精品解析：福建福州高级中学2026-2027学年高三上学期8月适应性考试数学试题

福州高级中学2026―2027学年高三8月适应性考试 数学学科试卷 试卷总分：150分　　完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得，解得， 即，因， 则. 2. 已知复数满足：，则复数在复平面中对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】对两边同时除以，得， 化简得， 而，可知点位于第四象限，故D正确. 3. 已知圆与直线相切，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求得，再化简，代入即可求解． 【详解】因为， 由同角三角函数基本关系可得， 解得：， 所以， 故选：B． 5. 已知为正项等比数列，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合等比数列性质可求，再求，结合等比数列通项公式求公比，再由求和公式求结论. 【详解】因为， 所以，又为正项等比数列， 所以或（舍）. 因为， 所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 6. 如图，在中，，，，D是边上一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用与表示出，，进而利用向量的数量积运算公式进行计算. 【详解】由 可得，， 所以. 因为， 所以 . 7. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正三棱柱的体积，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最大值即可. 【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即． 正三棱柱的体积． 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，V取得最大值，最大值为． 故选：C. 8. 已知函数，若方程有三个不等实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得或，利用导数研究函数的单调性，作出示意图，数形结合可得，求解可得实数m的取值范围. 【详解】由，得， 解得或， 由求导得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，又，，，,, 作出函数的图象如下： 所由图知，有唯一根， 又因为方程有三个不等实根， 所以有两个不等正实根，由图知，，解得， 所以实数m的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 为偶函数 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【详解】A.余弦函数的最小正周期公式为， ，所以，故A正确． B.，故B错误． C.， 是奇函数，不是偶函数，故C错误． D.余弦函数的对称轴是使函数取到最值的位置，即， 解得，当时，，是函数的一条对称轴，故D正确． 10. 在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（ ） A. B. 过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C. 以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D. 三棱锥外接球的体积是 【答案】ABD 【解析】 【详解】设，在直角中，根据勾股定理得， 在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确， 延长相交于点，连接交于点，则截面周长为， 在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得， ，又底面是边长为4的正方形，则， 故截面周长为，故B正确， 点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面（正方形）的交线为半圆， 圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误， 在中，，则的外接圆半径，显然平面， 因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为， 则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确. 11. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（ ） A. B. 直线经过点 C. D. 与面积之和的最小值是3 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及计算判断A，B；利用向量模的坐标表示表示出模长，再结合韦达定理代换，最后用基本不等式求解最值判断C，利用三角形面积公式建立关系，借助基本不等式求解判断D即可. 【详解】对于A，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为， 由，消去得， 得到，，得， 而，，可得， 由，得，解得或， 而，即，因此，，故A正确； 对于B，此时直线恒过点，故B正确； 对于C，由模长公式得， 同理可得， 则 ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，得到， 可得，故C错误， 对于D，不妨设，而， 则 ， 当且仅当时取等号，故D正确. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 小张､小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为；小李的六次成绩从小到大分别为，只知小张的六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法，分别求得两组数据的百分位数，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以小张的六次成绩的第50百分位数为， 又因为，小李六次成绩的第80百分位数为， 可得，解得. 故答案为：. 13. 已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题得，解得， 可得的定义域为. 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以，则， 此时，满足为偶函数. 当时，，则， 所以， 则在处的切线方程为. 14. 数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 【答案】4052 【解析】 【分析】由可知数列中每一项加1的积，等于数列中每一项加1的积，依此规律即可求解. 【详解】第一次变换是：删除两项，添加， ∵，正好是新添加的项， 也就是说，数列中每一项加1的积，等于数列中每一项加1的积，也等于数列中每一项加1的积…… 原数列是共2026项， 每项加1后，初始乘积为：， 每一次变换会让数列的项数减少1，初始有2026项，经过2025次变换后， 数列只剩1项，设为，根据不变量，有，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若边上的高为，，求，． 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和性质、三角恒等变换化简已知等式求角； （2）结合三角形面积公式建立的关系，再用余弦定理列方程求解. 【小问1详解】 在中，，故 ， 将已知等式变形： ， 又 ， 代入得： ，  因，， 故，得； 【小问2详解】 由三角形面积相等得，代入，，， 化简得：  ，又 再代入余弦定理，得  ， 整理得，解得或， 对应代入，得或， 故，或，. 16. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，利用、得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面的法向量分别为， 则有，取， 则有， 即点到平面的距离为. 17. 已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知离心率且焦距为，结合焦距为即可得解. （2）由题意已知，所以设出直线方程（只含有一个参数即截距，不妨设为），将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理可将表示成的函数，进一步求其最大值即可. 【小问1详解】 由题意得, 解得,，， ∴椭圆的方程为 . 【小问2详解】 因为，所以设直线的方程为，，. 联立得得 ， 又直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，∴ ∴， ∴ 故当，即直线过原点时，最大，最大值为. 18. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. （1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.若， （i）求乙获胜的概率； （ii）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率. （2）设为“双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局”的概率；为“双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜”的概率.比较与的大小. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）（i）若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局，再利用独立事件和独立重复试验的概率公式可求出所求事件的概率； （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，分析出甲获胜的情况，求出的值，以及事件所包含的情形，求出的值，再利用条件概率公式可求出的值； （2）设表示前局中同学甲赢得的局数，记，求得，，作差，对与的大小进行分类讨论，即可得出与的大小关系. 【小问1详解】 （i）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为， 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局. 所以乙获胜的概率为； （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局， 若甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜， 若甲以获胜，则前局全是甲赢； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局. 所以. 事件（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以或获胜”， ， 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为. 【小问2详解】 设表示前局中同学甲赢得的局数，记， 则. 对于，设双方平之后甲获胜的概率为，则，所以， 则. 因此. 因为，可得， 又， 所以. 当时，可得，即； 当时，；当时，. 19. 三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”． （1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； （2）若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求； （3）设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 【答案】（1）是与在区间上的“分割函数”； 不是与在区间上的“分割函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过作差法来判断符号，从而确定是不是恒成立问题即可； （2）利用导数得到在处的切线，再结合在处与该切线相切的条件列方程，最后根据不等式恒成立确定参数范围即可求得； （3）通过联立直线与的方程求出交点横坐标的距离表达式，再结合之前得到的的表达式转化为关于的函数，最后通过求导判断函数单调性，得出的最大值. 【小问1详解】 因为恒成立，且恒成立， 所以当时，恒成立， 故是与在区间上的“分割函数”； 又因为，当与1时，其值分别为1和， 所以与在上都不恒成立， 故不是与在区间上的“分割函数”. 【小问2详解】 设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数恒成立， 因为，当时，它的值为4， 可知的图象在处的切线为直线， 它也是的图象在处的切线，如图： 所以，可得， 所以对一切实数恒成立， 可得且，即， 又因为时，与为相同函数，不合题意， 故所求的函数为. 【小问3详解】 关于函数，令，可得， 当与时，， 当与时，， 可知是函数的极小值点，0是极大值点， 该函数与的图象如图所示： 若函数是与在区间上的“分割函数”， 故存在使得且直线与的图象相切， 并且切点横坐标， 此时切线方程为，即， 设直线与的图象交于点， 则由，可得， 所以 令，，（当且仅当时，）， 所以严格减，故的最大值为， 可知的最大值为，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2026―2027学年高三8月适应性考试 数学学科试卷 试卷总分：150分　　完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足：，则复数在复平面中对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知圆与直线相切，则实数（ ） A. B. 0 C. D. 0或 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为正项等比数列，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，D是边上一点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程有三个不等实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 为偶函数 D. 的图象关于直线对称 10. 在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（ ） A. B. 过点的平面截该长方体，所得截面周长为 C. 以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D. 三棱锥外接球的体积是 11. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（ ） A. B. 直线经过点 C. D. 与面积之和的最小值是3 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 小张､小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为；小李的六次成绩从小到大分别为，只知小张的六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则__________. 13. 已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 14. 数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若边上的高为，，求，． 16. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值. 18. 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. （1）双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜.若， （i）求乙获胜的概率； （ii）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率. （2）设为“双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局”的概率；为“双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜”的概率.比较与的大小. 19. 三个互不相同的函数和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”． （1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； （2）若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求； （3）设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $