福建省福州第一中学2025-2026学年高三上学期开学质量检测数学试题

福州一中2026届高三第一学期开学质量检测 数学学科试卷 （完卷120分钟 满分150分） （注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. 21 C. 35 D. 84 5. 已知函数则的解集为 A. B. C. D. 6. 将含有甲、乙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，）的图象过点，其相邻对称轴间的距离为.设且，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知定义域均为的函数，且满足.若在单调递增，则（ ） A. 是奇函数 B. 是上的增函数 C. ，使得 D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的各项均为正数，且公比，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，曲线为圆 B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为 C. “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要条件 D. 存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为 11. 设正整数，其中，记.已知集合，下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，有 C. 若，则使成立的m的取值个数为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________. 13. 已知正项数列，的前n项和为，且，，则________. 14. 三棱锥的体积为，且，，则三棱锥的外接球半径的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角C； （2）若点D在边AC上，，，，求AD长. 16. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启用的设备），已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这3台设备中，只要有1台能正常工作，计算机网络就不会断掉，设3台设备的可靠度均为0.7，它们之间互不影响. （1）记能正常工作的设备台数为X，求X的分布列与数学期望； （2）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉会给该产业园带来约500万元的经济损失.为减少给该产业园带来的经济损失，可以升级设备，每台设备的升级费用为2.5万元，升级后可以使设备的可靠性提升到0.8，从总损失期望最小的角度，应该升级几台设备？ 17. 如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. （1）证明：平面平面； （2）设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 18. 拋物线焦点为，第一象限内点在上，A的纵坐标是. （1）若到焦点的距离为3，求； （2）若，在上，且的重心恰为，求直线的方程； （3）直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，，求实数a的取值集合； （2）设， （i）对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点（记零点为）； （ii）证明：. 福州一中2026届高三第一学期开学质量检测 数学学科试卷 （完卷120分钟 满分150分） （注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】11 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （2）升级2台设备，损失最小 . 【17题答案】 【答案】（1） 由于， 故，则， 由于E为AC的中点，所以， 因为平面， 故平面，又平面， 故平面平面. （2）（i），（ii） 【18题答案】 【答案】（1） （2）直线的方程为 （3）的取值范围为 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明：则， 当时，由得，此时无零点，不符合题意， 当时，单调递增， 由于，， 故在有唯一的零点， 综上可知：对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点， （ii）证明：设，， 则当时，，在单调递减， 当时，在单调递增， 故，故当且仅当时取等号， 由得， 故， 所以，则， 又因为，所以 即， 再由可得，当且仅当时取等号， 由得， ，即，则， 当且仅当时取等号， 当时， ， 由得， 所以， 故， 则,当且仅当时取等号， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $