（浙江台州）2026-2027学年浙教版七年级数学上册第一次阶段检测（测试范围：第1章—有理数、第2章—有理数的运算）

**基本信息** 聚焦有理数与运算，以《九章算术》负数引入、春运客运量科学记数法等真实情境为载体，通过基础题（如相反数、倒数）、规律探究题（蚂蚁爬行）、综合应用题（数轴距离）梯度设计，考查抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|有理数概念（相反数、数轴）、科学记数法|结合传统文化（《九章算术》）与社会热点（春运数据）| |填空|6/18|倒数、近似数、圆滚动数轴应用|融入几何直观（圆滚动对应数轴点）| |解答|8/72|混合运算、新定义运算、数轴动态问题|设计规律探究（蚂蚁爬行）与综合应用（动点距离），体现推理意识与模型观念|

2026—2027学年七上第一次阶段检测 考试范围：第1章（有理数）、第2章（有理数的运算） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A D A C B C C B D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 12. 13. 14. 15. 16.或3 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6 分） 【答案】 数轴表示为： 【分析】本题考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． 先化简部分数，再在数轴上表示各有理数，然后利用数轴上右边的数总比左边的数大即可用“”连接各数． 【详解】解：（6 分） 18．（8 分） 【答案】 正数集合：，，，，； 负数集合：，，，，； 整数集合：，，，； 分数集合：，，，， ，，． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正数是大于的数，负数是小于的数，整数包括正整数、、负整数，分数包括有限小数和无限循环小数． 【详解】略（8 分） 19．（12 分） 【答案】(1)2 (2)33 (3)1 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）利用加法的结合律，交换律计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）除法转化为乘法计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减． 解题的关键是掌握有理数的混合运算法则． 【详解】（1）解： ；（3 分） （2） ；（6 分） （3） ；（9分） （4） ．（12 分） 20．（8 分） 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，代数式求值，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由绝对值的意义可得，，，进而可得，或，，代入代数式即可求解； （2）由可得，即得或，得到，或，，代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或；（4分） （2）解：∵，，， ∴， ∴或， ∴，或，， ∴或， ∴的值或．（8分） 21．（8 分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义、有理数的混合运算、相反数，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算的值，再根据相反数的定义即可求出的值． 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ，   因为5的相反数为， 所以的值为．（8分） 22．（8 分） 【答案】(1)小王在出发地点的西边，距出发地点的距离是 (2)3，18； (3)这天上午他的汽车共耗油 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的实际应用． （1）计算各数据之和，根据符号正负判断即可； （2）求出每次送完教师后离第一次的出发地点的距离，进而作答即可； （3）求出各数绝对值的和，乘以油耗即可． 【详解】（1）解：， 那么将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点的西边，距出发地点的距离是； （2 分） （2）解：送完第1位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第2位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第3位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第4位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第5位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第6位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第7位老师后与第一次的出发地点的距离：， 即小王送完第3位教师后距离第一次的出发地点最远，最远距离是． 故答案为：3，18；（5分） （3）解：， 即这天上午他的汽车共耗油．（8分） 23．（10 分） 【答案】(1)（1）①；② (2) 【分析】本题主要考查数字的变化规律、有理数的运算，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找到和为固定常数的规律． （1）①由每两个数为一组，其差为，共1013组，据此可得答案； ②由每两个数为一组，其差为，共506组，据此求解可得； （2）根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共506组，据此求解可得答案． 【详解】（1）解：①； ②．（5 分） （2） 解：． （10分） 24．（12 分） 【答案】（1）8   （2）8   （3）   （4）7或9秒   （5） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离的定义求解； （2）根据绝对值的性质求解； （3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解； （4）设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，据此列方程求解即可； （5）根据绝对值几何意义分别求和的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：， 故答案为：8；（2分） （2）解：数轴上表示数的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8；（4分） （3）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：；（6 分） （4）解：设经过秒时，，之间的距离为3， 此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 整理得， 解得或， 故当为7或9秒时，，之间的距离为3；（9 分） （5）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， 的最小值为1，的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：．（12 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年七上第一次阶段检测 考试范围：第1章（有理数）、第2章（有理数的运算） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．的相反数为（　　　） A．2026 B．0 C． D． 2．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（     ） A． B． C． D． 3．某款袋装零食的标准质量是“”，下面4袋不同质量的零食中，不符合产品标准质量的是（   ） A．148g B．151g C．154g D．157g 4．m、n在数轴上对应的点如图所示，对于m、n可能的值，下列结论不成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．古人云“车马很慢，书信很远”，春运“一票难求”曾是无数人的共同记忆．如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量将达到约540000000人次，数据“540000000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若，且，则的值是（    ） A．4或 B．或 C．6或 D．10或 8．用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 9．如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（    ） A．0 B． C． D．3 10．四个互不相等的整数m，n，p，q满足．则的最大值是（） A．12 B．9 C．7 D．8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．的倒数是___________． 12．取近似数精确到百分位为_______________． 13．比较大小：______（填“”“”或“”）． 14．若互为相反数，，则的值为___________． 15．如图，把半径为1的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是_________． 16．如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中，，，分别表示一个数，则的值是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6 分）把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“”连接起来． ，0，，2.5， 18．（8 分）把下列各数填入相应的集合中． ，，，，，，，， 正数集合：{                                    …}； 负数集合：{                                    …}； 整数集合：{                                    …}； 分数集合：{                                    …}； 19．（12 分）计算： (1) (2) (3) (4) 20．（8 分）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．（8 分）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 22．（8 分）为庆祝教师节，今年教师节当天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：）：，，，，，，． (1)将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点哪边？距出发地点的距离是多少？ (2)小王送完第________位教师后距离第一次的出发地点最远？最远距离是________． (3)如果小王的汽车耗油量为，这天上午他的汽车共耗油多少？ 23．（10 分）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1012组，所以结果为1012．根据这个思路小明改编了下列几题： (1)计算：①； ②； (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行个单位，第二次向右爬行1个单位，第三次向左爬行个单位，第四次向左爬行2个单位，第五次向右爬行个单位，第六次向右爬行3个单位，第七次向左爬行个单位……按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 24．（12 分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年七上第一次阶段检测 考试范围：第1章（有理数）、第2章（有理数的运算） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．的相反数为（　　　） A．2026 B．0 C． D． 2．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（     ） A． B． C． D． 3．某款袋装零食的标准质量是“”，下面4袋不同质量的零食中，不符合产品标准质量的是（   ） A．148g B．151g C．154g D．157g 4．m、n在数轴上对应的点如图所示，对于m、n可能的值，下列结论不成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．古人云“车马很慢，书信很远”，春运“一票难求”曾是无数人的共同记忆．如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量将达到约540000000人次，数据“540000000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若，且，则的值是（    ） A．4或 B．或 C．6或 D．10或 8．用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 9．如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（    ） A．0 B． C． D．3 10．四个互不相等的整数m，n，p，q满足．则的最大值是（） A．12 B．9 C．7 D．8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．的倒数是___________． 12．取近似数精确到百分位为_______________． 13．比较大小：______（填“”“”或“”）． 14．若互为相反数，，则的值为___________． 15．如图，把半径为1的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是_________． 16．如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中，，，分别表示一个数，则的值是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6 分）把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“”连接起来． ，0，，2.5， 18．（8 分）把下列各数填入相应的集合中． ，，，，，，，， 正数集合：{                                    …}； 负数集合：{                                    …}； 整数集合：{                                    …}； 分数集合：{                                    …}； 19．（12 分）计算： (1) (2) (3) (4) 20．（8 分）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．（8 分）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 22．（8 分）为庆祝教师节，今年教师节当天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：）：，，，，，，． (1)将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点哪边？距出发地点的距离是多少？ (2)小王送完第________位教师后距离第一次的出发地点最远？最远距离是________． (3)如果小王的汽车耗油量为，这天上午他的汽车共耗油多少？ 23．（10 分）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1012组，所以结果为1012．根据这个思路小明改编了下列几题： (1)计算：①； ②； (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行个单位，第二次向右爬行1个单位，第三次向左爬行个单位，第四次向左爬行2个单位，第五次向右爬行个单位，第六次向右爬行3个单位，第七次向左爬行个单位……按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 24．（12 分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年七上第一次阶段检测 考试范围：第1章（有理数）、第2章（有理数的运算） 总分：120分 考试时间：120min 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．的相反数为（　　　） A．2026 B．0 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数为2026． 2．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵气温零上记作，说明规定零上为正， ∴与零上意义相反的零下为负，因此气温零下记作． 3．某款袋装零食的标准质量是“”，下面4袋不同质量的零食中，不符合产品标准质量的是（   ） A．148g B．151g C．154g D．157g 【答案】D 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，先根据质量标注求出合格产品的质量范围，再判断哪个选项不符合范围即可． 【详解】解：∵标准质量标注为， ∴合格产品的最低质量为 ，最高质量为 ，即合格质量范围是； 对比选项可知，都在合格范围内，只有D选项的不在该范围内，因此不符合产品标准质量的是D． 4．m、n在数轴上对应的点如图所示，对于m、n可能的值，下列结论不成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据数轴上右边的数大于左边的数求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∵，，，， 故只有A选项不成立，符合题意． 5．古人云“车马很慢，书信很远”，春运“一票难求”曾是无数人的共同记忆．如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量将达到约540000000人次，数据“540000000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 6．a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，属于基础题型，正确判断的符号及其绝对值的大小关系是关键． 由在数轴上的位置可判断，结合，可得，进一步根据数轴逐一判断即可得答案． 【详解】解：根据题意，得：，而， ， 如图， ∴，所以选项B中是正确的． 故选：B． 7．若，且，则的值是（    ） A．4或 B．或 C．6或 D．10或 【答案】C 【分析】本题考查平方根、绝对值，代数式求值，根据绝对值和平方根求出a和b的可能值，再根据确定符号关系，计算． 【详解】解：∵， ∴或． ∵， ∴或． 又∵， ∴ a和b异号． 当时，，则． 当时，，则． ∴的值为6或． 故选：C． 8．用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意代入数据进行计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故选：C 9．如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了流程图与有理数的运算，理解流程图是解题关键． 根据流程图计算求解即可． 【详解】解：当输入时，结果为，不能输出； 进入循环，结果得，输出结果； 故选：B． 10．四个互不相等的整数m，n，p，q满足．则的最大值是（） A．12 B．9 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，掌握一些有理数整除的特征是解题的关键． 由于四个互不相等的整数满足，且的整数因子为，但只有组合满足四个互不相等的整数的条件．为最大化，需将正数分配给和，负数分配给和，计算可得最大值为． 【详解】解：∵是互不相等的整数，且， ∴的可能取值为． ∵要最大化， ∴令和取较大的正数（即和），和取较小的负数（即和）． 例如，设， 则． 其他类似分配均得到， ∴最大值为． 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．的倒数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 先将带分数化为假分数，再求其倒数即可． 【详解】，的倒数是， ∴的倒数是， 故答案为：． 12．取近似数精确到百分位为_______________． 【答案】 【分析】要得到精确到百分位的近似数，需观察千分位上的数字，根据四舍五入法则计算即可． 【详解】解：根据近似数的规则，精确到某一位时，应当对下一位的数字进行四舍五入． 百分位是小数点后第二位，的千分位数字为，，因此向百分位进． 百分位原数字为，，因此向十分位进，百分位保留， 计算得： 13．比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而小． 【详解】解：，， ∵，即， ∴． 故答案为：． 14．若互为相反数，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值与平方的非负性，代数式求值．根据相反数的定义和绝对值与平方的非负性，求出、和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：因为，互为相反数，所以． 由， 得且， 解得，． 则． 所以． 故答案为：． 15．如图，把半径为1的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应2，将圆形纸片沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是_________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴与点的对应关系，关键是掌握点的移动与点表示的数之间的关系． 先计算圆的周长，再根据逆时针转动及点A对应点即可求解． 【详解】解：该圆的周长为， 与A的距离为， 由于圆形是逆时针滚动，所以在A的左侧， A点对应2， 表示的数为， 故答案为：． 16．如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中，，，分别表示一个数，则的值是______． 【答案】或3 【分析】本题考查有理数的加法，根据题意利用有理数的加法法则进行计算即可．掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 所以内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为， 所以， 所以， 故或， 所以或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（6 分）把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“”连接起来． ，0，，2.5， 【答案】 数轴表示为： 【分析】本题考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握． 先化简部分数，再在数轴上表示各有理数，然后利用数轴上右边的数总比左边的数大即可用“”连接各数． 【详解】解：（6 分） 18．（8 分）把下列各数填入相应的集合中． ，，，，，，，， 正数集合：{                                    …}； 负数集合：{                                    …}； 整数集合：{                                    …}； 分数集合：{                                    …}； 【答案】 正数集合：，，，，； 负数集合：，，，，； 整数集合：，，，； 分数集合：，，，， ，，． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正数是大于的数，负数是小于的数，整数包括正整数、、负整数，分数包括有限小数和无限循环小数． 【详解】略（8 分） 19．（12 分）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2)33 (3)1 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）利用加法的结合律，交换律计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）除法转化为乘法计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减． 解题的关键是掌握有理数的混合运算法则． 【详解】（1）解： ；（3 分） （2） ；（6 分） （3） ；（9分） （4） ．（12 分） 20．（8 分）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义和性质，代数式求值，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由绝对值的意义可得，，，进而可得，或，，代入代数式即可求解； （2）由可得，即得或，得到，或，，代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或；（4分） （2）解：∵，，， ∴， ∴或， ∴，或，， ∴或， ∴的值或．（8分） 21．（8 分）我们用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：． 例如，． (1)求的值； (2)若的值与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义、有理数的混合运算、相反数，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算的值，再根据相反数的定义即可求出的值． 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ，   因为5的相反数为， 所以的值为．（8分） 22．（8 分）为庆祝教师节，今年教师节当天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：）：，，，，，，． (1)将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点哪边？距出发地点的距离是多少？ (2)小王送完第________位教师后距离第一次的出发地点最远？最远距离是________． (3)如果小王的汽车耗油量为，这天上午他的汽车共耗油多少？ 【答案】(1)小王在出发地点的西边，距出发地点的距离是 (2)3，18； (3)这天上午他的汽车共耗油 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的实际应用． （1）计算各数据之和，根据符号正负判断即可； （2）求出每次送完教师后离第一次的出发地点的距离，进而作答即可； （3）求出各数绝对值的和，乘以油耗即可． 【详解】（1）解：， 那么将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点的西边，距出发地点的距离是； （2 分） （2）解：送完第1位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第2位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第3位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第4位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第5位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第6位老师后与第一次的出发地点的距离：， 送完第7位老师后与第一次的出发地点的距离：， 即小王送完第3位教师后距离第一次的出发地点最远，最远距离是． 故答案为：3，18；（5分） （3）解：， 即这天上午他的汽车共耗油．（8分） 23．（10 分）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1012组，所以结果为1012．根据这个思路小明改编了下列几题： (1)计算：①； ②； (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行个单位，第二次向右爬行1个单位，第三次向左爬行个单位，第四次向左爬行2个单位，第五次向右爬行个单位，第六次向右爬行3个单位，第七次向左爬行个单位……按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 【答案】(1)（1）①；② (2) 【分析】本题主要考查数字的变化规律、有理数的运算，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找到和为固定常数的规律． （1）①由每两个数为一组，其差为，共1013组，据此可得答案； ②由每两个数为一组，其差为，共506组，据此求解可得； （2）根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共506组，据此求解可得答案． 【详解】（1）解：①； ②．（5 分） （2） 解：． （10分） 24．（12 分）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______； （2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； （3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______； 实际应用： （4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3． 拓展提升： （5）若数，满足，求的最小值． 【答案】（1）8   （2）8   （3）   （4）7或9秒   （5） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及数轴、绝对值，掌握两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离的定义求解； （2）根据绝对值的性质求解； （3）根据两点之间距离的定义及当在两点之间时距离和最小求解； （4）设经过秒时，，之间的距离为3，此时点表示的数是，点表示的数是，据此列方程求解即可； （5）根据绝对值几何意义分别求和的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离为：， 故答案为：8；（2分） （2）解：数轴上表示数的点位于与5之间， ， ， 故答案为：8；（4分） （3）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取最小值， 故答案为：；（6 分） （4）解：设经过秒时，，之间的距离为3， 此时点表示的数是，点表示的数是， 则， 整理得， 解得或， 故当为7或9秒时，，之间的距离为3；（9 分） （5）解：表示数到点1与3的距离之和， 当时，取得最小值； 表示数到点4与的距离之和， 当时，取得最小值， 此时， 的最小值为1，的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：．（12 分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $