第1章 集合与逻辑（复习讲义）高一数学沪教版必修第一册

该高中数学单元复习讲义以“集合与逻辑”为核心，通过表格系统梳理复习要点与重难点，分“集合概念、关系、运算及逻辑用语”四大模块构建知识体系，用韦恩图、数轴等工具直观呈现集合关系与运算，清晰展现概念间内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，设置14类典型题型如“根据集合包含关系求参数”，强调空集讨论与端点验证，培养数学思维中的推理意识。基础达标与能力进阶练习满足不同学生需求，解题要点提示如元素互异性检验，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学提升课堂效率。

第1章 集合与逻辑 复习要点 1.理解集合的相关概念，掌握集合元素的确定性、互异性、无序性，会区分元素与集合、集合与集合的符号，杜绝符号混用。 2.熟练掌握集合的多种表示方法，能灵活使用列举法、描述法、韦恩图、数轴、区间表示数集，读懂区间端点的虚实含义。 3.理清子集、真子集、集合相等、空集的概念，会求解子集、真子集个数，处理包含关系问题时要主动考虑空集的情况。 4.掌握交集、并集、补集的定义与运算性质，能够借助数轴、韦恩图完成交并补运算，熟练处理含参数的集合计算问题。 5.理解充分、必要、充要条件的逻辑含义，会利用集合范围判断条件关系，掌握反证法的证明步骤，能完成简单逻辑命题推理。 复习重难点 重点： 1.集合的基本概念与表示，分清元素三大特征，掌握数集符号、区间、韦恩图、数轴等集合表达工具，规范书写集合。 2.集合间的关系与集合运算，理解子集、真子集、相等、空集的性质，熟练进行交集、并集、补集运算，记住常用运算性质。 3.充分条件、必要条件、充要条件的判定，会利用集合范围大小判断逻辑推出关系，能够区分四类条件。 难点： 1.根据集合包含、交并补结果求解参数，容易忽略空集情况，端点取值容易出错，求出参数后需要检验集合元素互异性。 2.区分元素与集合、集合与集合的符号，处理描述法集合时读懂代表元素含义，容易混淆集合的代表元素造成解题错误。 3.充要条件的辨析与证明，准确判断命题之间的推出关系；反证法正确写出结论的反面，合理推导得出矛盾完成证明。 知识点 集合的有关概念 一、集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体。 集合通常用大写字母A、B、C表示，集合的元素通常用小写字母a、b、c表示。 二、元素与集合 1.元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集。元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示：若属于，记作；若不属于，记作。 2.集合中元素的三大特征 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，给定一个集合，任意一个元素是否属于该集合能够明确判断。 （2）互异性：一个给定集合中元素互不相同，集合内元素不会重复出现，含参数题目求出结果后必须检验互异性。 （3）无序性：集合中的元素没有固定顺序，调换元素顺序，依旧是同一个集合。 3.集合相等 若集合的全部元素都在集合中，且集合全部元素都在集合中，则。 证明，需要同时满足两个条件：任意则、任意则。 三、集合的表示方法 1.常用数集及其记：①自然数集（包含0和正整数）；②正整数集或；③整数集；④有理数集；⑤实数集 补充说明：自然数集仅比正整数集多一个元素0。 2.集合三种基础表示法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素顺序），写在大括号内。 （2）描述法：大括号内先写元素一般形式，竖线后标注元素共同特性，标准形式{}。 含义：集合内全部元素满足性质，所有满足的数都属于这个集合。 （3）图示法：有限集用韦恩图（封闭图形）表示；实数无限集借助数轴表示。 3.区间 （1）区间的概念(为实数,且) 如图，区间两端的数值称为区间的端点。在数轴上绘制区间时，若区间包含该端点，端点位置画实心圆点；若区间不包含该端点，端点位置画空心圆圈。 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 （2）其他区间的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 定义 符号 四、集合的分类 1.有限集：含有有限个元素的集合； 2.无限集：含有无限个元素的集合； 3.空集：不含任何元素的集合，记作。 要点速测 1．若集合，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，. 故选：B 2．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 知识点 集合与集合的关系 一、维恩图（Venn图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为维恩图。 维恩图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观工具，借助维恩图能简化集合关系类题目。 1.维恩图边界为封闭曲线，形状不限，圆、椭圆、矩形均可； 2.优点：直观展示集合间包含、相交等关系；缺点：无法体现集合元素共同特征。 二、子集 1.子集定义 对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，则称集合是集合的子集。 （1）记法与读法：记作（或），读作“含于”或“包含”。 （2）两条核心性质 ①任意集合是自身的子集，即； ②传递性：若，且，则。 （3）可用维恩图直观表示子集包含关系。 或 2.两类关系区分 包含符号用于集合与集合之间；从属符号用于元素与集合之间，二者不能混用。 三、集合相等 若集合的任意元素都属于，且集合的任意元素都属于，则集合与集合相等，记作。 等价判定：且。 补充说明：两相等集合所含元素完全一致，集合具有无序性，和元素书写顺序无关；可使用重合的维恩图表示相等集合。 四、真子集 若，且存在元素，同时，则称是的真子集。 1.记法与读法：记作，读作“真包含于”或“真包含”。 2.基础性质：①一个集合不能是自身的真子集；②传递性：若，，则。 3.维恩图表示：代表的封闭图形完全落在内部，二者不重合。 五、空集及其性质 不含任何元素的集合称为空集，记作。 1.规定：空集是任何集合的子集，即； 2.补充性质：①空集只有1个子集，就是它本身；②若为非空集合，则。 要点速测 3．以下选项不正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】A 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：A. 4．已知集合，若，则的值为______． 【答案】8 【详解】由，得，故， 此时满足． 故答案为：8 知识点 集合的运算 一、交集 1.定义：由所有既属于集合又属于集合的元素构成的集合，叫做与的交集，记作，读作“交”。符号语言： 2.交集常用性质：，，，， 高频推论：若，则 二、并集 1.定义：由所有属于集合或属于集合的元素构成的集合，叫做与的并集，记作，读作“并”。符号语言： 2.并集常用性质：，，，， 高频推论：若，则 三、全集与补集 1.全集：研究若干集合时，包含所有待研究元素的给定集合称为全集，常用符号表示。 2.补集定义：设为全集，，由中所有不属于的元素组成的集合，称为中子集的补集，记作。符号语言： 3.补集核心性质 ，， 要点速测 5．如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合， 因为，可得. 6．已知集合，则______，______. 【答案】 【详解】已知集合，即为取的公共部分，则； 为能将覆盖的全部范围，则. 知识点 常用逻辑用语 一、有关命题的概念 1.命题定义：能够判断真假的陈述句称为命题。 2.命题分类：能够判定为真的是真命题，能够判定为假的是假命题。 3.推出关系：若“若，则”为真命题，称可以推出，记作。 4.推出关系传递性：若且，则，是逻辑推理的基础。 二、充分条件、必要条件、充要条件 1.若，则是的充分条件，是的必要条件；若且，则是的充要条件，记作，二者等价。 2.几类条件关系：（1），：是充分不必要条件 （2），：是必要不充分条件 （3）：是充要条件 （4），：是既不充分也不必要条件 3.范围判断口诀：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围。 三、反证法 1.适用场景举反例仅可证明命题为假；证明命题为真可采用反证法，多用于题干含否定、至多、至少类语句。 2.核心原理先假设原结论不成立，经过严谨推理推出与已知、定理、事实矛盾的结果，从而证明原结论成立。 3.证明思路：肯定条件，否定结论→推理得出矛盾→假设不成立，原结论正确 4.标准步骤：（1）拆分命题的条件与结论；（2）作出与结论完全相反的假设；（3）结合条件与假设推理，推出矛盾；（4）否定假设，证明原命题为真。 要点速测 7．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由得，由得， 因为集合之间不存在包含关系， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 8．命题“若且，则”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】由且，可得， 所以命题“若且，则”成立， 故是真命题； 故答案为：真． 题型1判断元素与集合的关系 ▌例1 已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 为有理数集，集合表示区间 内的所有有理数. 是无限不循环小数，属于无理数，不满足有理数条件，因此 即 . ▌迁移练1-1已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以与集合的关系为， 故选项B正确，其他选项都错误. 故选：B. ▌迁移练1-2以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于方程，显然，，均不是方程的解， 是方程的解， 所以是集合的元素，故C正确； ，，均不是集合的元素，故A、B、D错误. 故选：C ▌迁移练1-3已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 题型2根据元素与集合的关系求参数 解题要点 将元素代入集合对应的条件式子，解出参数的候选取值。求出参数后一定要回代检验集合，保证集合元素满足互异性。 舍去造成元素重复的参数，同时还要检查参数是否满足题目的其他限制条件，避免出现增根。 ▌例2 已知，则实数的值为___________． 【答案】4 【详解】因为， 则当时，那么，不符合集合元素的互异性，不满足题意， 当时，，集合为满足题意， 所以实数的值为4 故答案为：4 ▌迁移练2-1已知集合，若，则______. 【答案】 【详解】因为，且， ①若，则，当时，，不符合题意； ②若，则， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. ▌迁移练2-2已知集合，若，则______． 【答案】或 【详解】因为，， 所以， 所以或， 当时，，满足条件， 当时，，满足条件， 故答案为：或 ▌迁移练2-3若集合，且，则___________． 【答案】 【详解】因为， 所以有，或， 解得或， 当时，，不符合集合元素互异性，故舍去， 当时，，符合集合元素互异性. 故答案为： 题型3集合的子集 解题要点 写子集先分清集合元素个数，含有个元素的集合，子集个数为，真子集个数，非空真子集。 列举子集按照元素由少到多书写，不要漏掉空集和集合本身。空集是任何集合的子集，做题优先考虑空集情况。 ▌例3 设，若是集合的真子集，则的值为__________. 【答案】2 【详解】由题意知集合为空集，则，即. 故答案为：. ▌迁移练3-1已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】已知集合，则集合的真子集个数为． 故选：C． ▌迁移练3-2中有个元素，若中增加一个元素，它的子集数将增加________个 【答案】 【详解】含有个元素的集合的子集个数为个， 增加一个元素，此时集合元素为个，子集的个数为个， 故子集增加了8个． 故答案为：8 ▌迁移练3-3已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2) 集合的所有子集为： . 【分析】 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）略 题型4判断两个集合的包含关系 解题要点 反证法先否定结论，把结论的反面作为已知条件，结合题设进行推理。经过推导得到矛盾，矛盾可以与已知、公理、事实冲突。 出现矛盾，就说明假设不成立，从而证明原命题正确。注意写对结论的否定，不能否定出错，否则整个证明失效。 ▌例4 如果，那么正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，，，故AB错误，D正确， 而，故C错误. 故选：D. ▌迁移练4-1已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， 当时，比较，与， 可知与表示的数完全相同，∴， 只相当于中当为偶数时的情形，∴. 综上可知. 故选：A ▌迁移练4-2已知集合，，则（   ） A． B． C． D．S与T的关系不确定 【答案】A 【详解】， 因为表示奇数，表示整数， 故根据子集的定义，必有. 故选：A. ▌迁移练4-3下列说法正确的是（   ） A．是菱形是正方形 B． C．集合的子集个数为7 D． 【答案】D 【详解】对于A，是正方形是菱形，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，集合的子集个数为，C错误； 对于D，方程无实数解，则，D正确. 故选：D 题型5根据集合的包含关系求参数 解题要点 做题第一步优先讨论的情况，空集容易漏解。把集合表示在数轴上，根据区间的位置列不等式。 处理端点的时候单独验证，看端点是否满足题意。求出参数范围后，回代检验，确认集合之间确实满足包含关系。 ▌例5 已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D ▌迁移练5-1已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，解得，集合，解得， 说明集合中的元素都属于集合，即. 故选：B ▌迁移练5-2已知集合，，若，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 【答案】B 【详解】集合， 因为，，所以的值为2， 故选：B. ▌迁移练5-3已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____. 【答案】8 【详解】因为集合，集合，且， 当时，则，满足； 当时，则，可得或，解得或； 综上所述：，集合的子集个数为. 故答案为：8. 题型6交集的概念及运算 ▌例6 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，， 所以． ▌迁移练6-1已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，， 联立，得，则. ▌迁移练6-2已知集合，，则的真子集个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】或，则方程组解为或， 即，有2个元素， 从而的真子集个数为个. ▌迁移练6-3已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因,， 则. 题型7根据交集结果求集合或参数 解题要点 依据的结果，提取两集合共有的元素，建立等式求解参数。一定要考虑交集为空集的可能性，不要直接默认集合有公共元素。 算出参数后代入原集合检验，核对集合元素，满足互异性，再验证交集结果和题目条件保持一致。 ▌例7 已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，且 . 若，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，此时，符合题意. 若，则，，不满足集合元素的互异性，舍去. 综上，. ▌迁移练7-1设集合，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则，此时，不符合题意； 若，解得，则，，此时，符合题意. 综上，的取值集合为. ▌迁移练7-2已知集合，若集合中有三个元素，则实数不可以是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由集合， 若集合中有三个元素，则， 可得，结合选项，可得A正确，B不正确，C正确，D正确． 故选：B. ▌迁移练7-3已知集合，或.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 题型8并集的概念及运算 ▌例8 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，， 所以. ▌迁移练8-1已知集合，，则集合中元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【详解】由于,所以集合中元素个数为 ▌迁移练8-2已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，， 则． ▌迁移练8-3已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. 题型9根据并集结果求集合或参数 解题要点 结合的结果，分析两个集合的元素范围，建立关系式求解参数。注意并集代表两个集合合并后的整体，不用要求集合一定相交。 求出参数后回代检验，核对合并之后的集合，确认和题干给出的并集结果一致，排除不符合条件的参数。 ▌例9 设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． ▌迁移练9-1设集合，则满足的集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】集合，， 满足条件的集合有：，共4个． 故选：A． ▌迁移练9-2已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C ▌迁移练9-3集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 题型10补集的概念及运算 ▌例10 设全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】全集，集合， 则. ▌迁移练10-1已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合A中满足方程的元素为2和4， 所以，故． ▌迁移练10-2已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由全集，集合， 根据集合补集的定义与运算，可得. ▌迁移练10-3设全集（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 则. 故选：A 题型11交并补混合运算 ▌例11 设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以， 所以． ▌迁移练11-1已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 又集合，，所以， 所以. ▌迁移练11-2已知全集，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ． ▌迁移练11-3已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则以下不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 题型12充分条件与必要条件 ▌例12 是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】∵ 解方程，可得或. 若成立，则可以为或，无法推出一定成立，故该条件不是充分条件. 若成立，代入可得，即成立，故该条件是必要条件. 因此是的必要不充分条件. ▌迁移练12-1“”是“”成立的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】由题可得，，充分性不成立；，必要性成立 ▌迁移练12-2“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. ▌迁移练12-3已知，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由，两边同时平方可得， 所以，得，故充分性成立， 若，当时，，， 此时不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 题型13充要条件 ▌例13 关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． ▌迁移练13-1“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得，则，所以，即由可以推出， 由，得，即，所以由可以推出， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. ▌迁移练13-2求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】 先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【详解】略 ▌迁移练13-3已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是 【详解】略. 题型14反证法 ▌例14 设.证明：若是奇数，则n是奇数. 【答案】 假设不是奇数，则是偶数，设，，则， 因为，则， 所以是偶数，即为偶数，这与已知为奇数矛盾， 所以假设不成立，即是奇数. 【详解】略 ▌迁移练14-1用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． 【答案】且 【详解】由题意应假设且， 故答案为：且 ▌迁移练14-2设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设：__________． 【答案】且 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 ▌迁移练14-3已知，且，求证：和至少有一个大于． 【答案】 假设和都不大于，则， 又，所以， 所以，与矛盾，故假设不成立， 所以和至少有一个大于. 【详解】略 难点一 根据集合包含、交并补结果求参数 难点1：容易忽略空集的情况，空集满足子集性质，做题时常被漏掉，直接造成少解。 难点2：利用数轴列不等式时，区间端点判断容易出错，等号取舍拿捏不准；求出参数之后忘记检验集合元素的互异性，产生增根。 处理方法：解题第一步优先讨论集合等于空集的情形，写出对应参数范围。把集合转化为区间，借助数轴画出范围，根据集合关系列出不等式，端点单独代入验证是否成立。解完参数，一定要回代原集合，检验元素互异性，舍去不符合题意的参数。 难点精练 1．集合或， ，若，则实数的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 【答案】D 【详解】当时，不等式，即为不成立，即，满足； 当时，不等式，解得，即， 要使得，则满足，解得； 当时，不等式，解得，即， 要使得，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围为. 故选：D. 2．已知集合，若，则实数的取值集合为_____ 【答案】 【详解】， 由，则， 当时，； 当时，， 则或，解得或； 综上所述：实数的取值集合为. 故答案为：. 难点二 充要条件证明 难点1：是分不清命题之间谁推谁，混淆充分、必要概念； 难点2：是不会利用集合范围判断条件关系；三是证明充要条件时，只证明单向，漏掉充分性或者必要性其中一步。遇到 “至多、至少” 类命题，很难写出结论的反面，反证法容易出错。 处理方法：可以把条件对应成集合，记住口诀 “小范围⇒大范围”，通过集合包含关系判断条件类型。做充要条件证明，强制分成两步：分别证明充分性、必要性。 难点精练 3．已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】 充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【详解】略 4．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 基础达标 一、填空题 1．若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 【答案】 2 【详解】由题意可知，即集合与集合的元素完全相同，因为，所以； 又集合的元素为，若，则无意义，因此， 故仅能，即； 将代入，得， 此时集合，集合， 由元素对应相等可得，. 因此. 2．满足的集合A共有______个. 【答案】64 【详解】依题意，集合是集合与集合的子集的并集， 而集合有个子集， 所以集合的个数为64. 3．设，则“”是“”的_____条件（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【详解】因为，若，则，所以“”是“”的必要条件； 取，满足，但，所以“”不是“”的充分条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 4．已知全集，集合，则________． 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以. 5．集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为，所以集合， 又因为集合，，且， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 6．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 【答案】且 【详解】由题意，应假设且， 故答案为：且 二、单选题 7．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 8．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：当时，，充分性不成立； 必要性：当时，，所以若成立，则必须有，必要性成立. 9．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 三、解答题 10．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，，综上可得. 11．设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）． 因为，所以， 所以，． （2）由于且， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 12．设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 能力进阶 1．已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述，或． 2．设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：因为非空，故； 当时，，， 当时，有，即，但，矛盾； 当时，，， 当时，有，即，即，故； 当时，，， 当时，有，即，即，解得， 综上，m的取值范围为. 故答案为： 3．（核心考点1集合（泸教版）【练】）若，则下列结论中正确结论的个数为_______. ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. 【答案】4 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，， 所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，， 所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若， 则， 故，⑤正确. 所以①②③⑤正确， 故答案为：4 4．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 【答案】C 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 5．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 6．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与逻辑 复习要点 1.理解集合的相关概念，掌握集合元素的确定性、互异性、无序性，会区分元素与集合、集合与集合的符号，杜绝符号混用。 2.熟练掌握集合的多种表示方法，能灵活使用列举法、描述法、韦恩图、数轴、区间表示数集，读懂区间端点的虚实含义。 3.理清子集、真子集、集合相等、空集的概念，会求解子集、真子集个数，处理包含关系问题时要主动考虑空集的情况。 4.掌握交集、并集、补集的定义与运算性质，能够借助数轴、韦恩图完成交并补运算，熟练处理含参数的集合计算问题。 5.理解充分、必要、充要条件的逻辑含义，会利用集合范围判断条件关系，掌握反证法的证明步骤，能完成简单逻辑命题推理。 复习重难点 重点： 1.集合的基本概念与表示，分清元素三大特征，掌握数集符号、区间、韦恩图、数轴等集合表达工具，规范书写集合。 2.集合间的关系与集合运算，理解子集、真子集、相等、空集的性质，熟练进行交集、并集、补集运算，记住常用运算性质。 3.充分条件、必要条件、充要条件的判定，会利用集合范围大小判断逻辑推出关系，能够区分四类条件。 难点： 1.根据集合包含、交并补结果求解参数，容易忽略空集情况，端点取值容易出错，求出参数后需要检验集合元素互异性。 2.区分元素与集合、集合与集合的符号，处理描述法集合时读懂代表元素含义，容易混淆集合的代表元素造成解题错误。 3.充要条件的辨析与证明，准确判断命题之间的推出关系；反证法正确写出结论的反面，合理推导得出矛盾完成证明。 知识点 集合的有关概念 一、集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体。 集合通常用大写字母_________表示，集合的元素通常用小写字母_________表示。 二、元素与集合 1.元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集。元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是_________与_________关系，符号表示：若属于，记作；若不属于，记作。 2.集合中元素的三大特征 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，给定一个集合，任意一个元素是否属于该集合能够明确判断。 （2）互异性：一个给定集合中元素互不相同，集合内元素不会重复出现，含参数题目求出结果后必须检验_________。 （3）无序性：集合中的元素没有固定顺序，调换元素顺序，依旧是同一个集合。 3.集合相等 若集合的全部元素都在集合中，且集合全部元素都在集合中，则。 证明，需要同时满足两个条件：任意则、任意则。 三、集合的表示方法 1.常用数集及其记：①自然数集（包含_________和正整数）；②正整数集或；③整数集；④有理数集_________；⑤实数集 补充说明：自然数集仅比正整数集多一个元素_________。 2.集合三种基础表示法 （1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素顺序），写在大括号内。 （2）描述法：大括号内先写元素一般形式，竖线后标注元素共同特性，标准形式{}。 含义：集合内全部元素满足性质，所有满足的数都属于这个集合。 （3）图示法：有限集用_________（封闭图形）表示；实数无限集借助数轴表示。 3.区间 （1）区间的概念(为实数,且) 如图，区间两端的数值称为区间的端点。在数轴上绘制区间时，若区间包含该端点，端点位置画实心圆点；若区间不包含该端点，端点位置画空心圆圈。 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 _________ 半开半闭区间 （2）其他区间的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即_________。 定义 符号 _________ 四、集合的分类 1.有限集：含有_________个元素的集合； 2.无限集：含有_________个元素的集合； 3.空集：不含任何元素的集合，记作。 要点速测 1．若集合，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 2．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 知识点 集合与集合的关系 一、维恩图（Venn图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为维恩图。 维恩图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观工具，借助维恩图能简化集合关系类题目。 1.维恩图边界为_________曲线，形状不限，圆、椭圆、矩形均可； 2.优点：直观展示集合间包含、相交等关系；缺点：无法体现集合元素共同特征。 二、子集 1.子集定义 对于两个集合，，如果集合中_________一个元素都是集合中的元素，则称集合是集合的子集。 （1）记法与读法：记作（或），读作“_________”或“包含”。 （2）两条核心性质 ①任意集合是_________的子集，即； ②传递性：若，且，则。 （3）可用维恩图直观表示子集包含关系。 或 2.两类关系区分 包含符号用于_________与_________之间；从属符号用于_________与_________之间，二者不能混用。 三、集合相等 若集合的_________元素都属于，且集合的_________元素都属于，则集合与集合相等，记作。 等价判定：且。 补充说明：两相等集合所含元素完全一致，集合具有无序性，和元素书写顺序无关；可使用重合的维恩图表示相等集合。 四、真子集 若，且存在元素，同时，则称是的真子集。 1.记法与读法：记作，读作“真包含于”或“真包含”。 2.基础性质：①一个集合不能是自身的真子集；②传递性：若，，则。 3.维恩图表示：代表的封闭图形完全落在内部，二者不重合。 五、空集及其性质 不含任何元素的集合称为空集，记作。 1.规定：空集是任何集合的_________，即； 2.补充性质：①空集只有1个子集，就是它本身_________；②若为非空集合，则。 要点速测 3．以下选项不正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 4．已知集合，若，则的值为______． 知识点 集合的运算 一、交集 1.定义：由所有既属于集合_________属于集合的元素构成的集合，叫做与的交集，记作_________，读作“交”。符号语言：_________ 2.交集常用性质：_________，_________，，， 高频推论：若，则 二、并集 1.定义：由所有属于集合_________属于集合的元素构成的集合，叫做与的并集，记作_________，读作“并”。符号语言：_________ 2.并集常用性质：_________，_________，，， 高频推论：若，则 三、全集与补集 1.全集：研究若干集合时，包含所有待研究元素的给定集合称为全集，常用符号表示。 2.补集定义：设为全集，，由中所有_________属于的元素组成的集合，称为中子集的补集，记作_________。符号语言： 3.补集核心性质 _________，_________，_________ 要点速测 5．如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则______，______. 知识点 常用逻辑用语 一、有关命题的概念 1.命题定义：能够判断真假的_________称为命题。 2.命题分类：能够判定为真的是真命题，能够判定为假的是假命题。 3.推出关系：若“若，则”为真命题，称可以推出，记作。 4.推出关系传递性：若且，则，是逻辑推理的基础。 二、充分条件、必要条件、充要条件 1.若，则是的_________条件，是的_________条件；若且，则是的_________条件，记作，二者等价。 2.几类条件关系：（1），：是_________条件 （2），：是_________条件 （3）：是_________条件 （4），：是_________ 3.范围判断口诀：_________范围可以推出_________范围，_________范围不能推出_________范围。 三、反证法 1.适用场景举反例仅可证明命题为假；证明命题为真可采用反证法，多用于题干含否定、至多、至少类语句。 2.核心原理先假设原结论_________，经过严谨推理推出与已知、定理、事实_________的结果，从而证明原结论成立。 3.证明思路：肯定条件，否定结论→推理得出矛盾→假设不成立，原结论正确 4.标准步骤：（1）拆分命题的条件与结论；（2）作出与结论完全相反的假设；（3）结合条件与假设推理，推出矛盾；（4）否定假设，证明原命题为真。 要点速测 7．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．命题“若且，则”是________命题．（填“真”或“假”） 题型1判断元素与集合的关系 ▌例1 已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-1已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2根据元素与集合的关系求参数 解题要点 将元素代入集合对应的条件式子，解出参数的候选取值。求出参数后一定要回代检验集合，保证集合元素满足互异性。 舍去造成元素重复的参数，同时还要检查参数是否满足题目的其他限制条件，避免出现增根。 ▌例2 已知，则实数的值为___________． ▌迁移练2-1已知集合，若，则______. ▌迁移练2-2已知集合，若，则______． ▌迁移练2-3若集合，且，则___________． 题型3集合的子集 解题要点 写子集先分清集合元素个数，含有个元素的集合，子集个数为，真子集个数，非空真子集。 列举子集按照元素由少到多书写，不要漏掉空集和集合本身。空集是任何集合的子集，做题优先考虑空集情况。 ▌例3 设，若是集合的真子集，则的值为__________. ▌迁移练3-1已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌迁移练3-2中有个元素，若中增加一个元素，它的子集数将增加________个 ▌迁移练3-3已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 题型4判断两个集合的包含关系 解题要点 反证法先否定结论，把结论的反面作为已知条件，结合题设进行推理。经过推导得到矛盾，矛盾可以与已知、公理、事实冲突。 出现矛盾，就说明假设不成立，从而证明原命题正确。注意写对结论的否定，不能否定出错，否则整个证明失效。 ▌例4 如果，那么正确的结论是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-1已知集合，试判断之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练4-2已知集合，，则（   ） A． B． C． D．S与T的关系不确定 ▌迁移练4-3下列说法正确的是（   ） A．是菱形是正方形 B． C．集合的子集个数为7 D． 题型5根据集合的包含关系求参数 解题要点 做题第一步优先讨论的情况，空集容易漏解。把集合表示在数轴上，根据区间的位置列不等式。 处理端点的时候单独验证，看端点是否满足题意。求出参数范围后，回代检验，确认集合之间确实满足包含关系。 ▌例5 已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练5-1已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2已知集合，，若，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 ▌迁移练5-3已知集合，集合，若，记的所有取值构成的集合为，则集合的子集个数为_____. 题型6交集的概念及运算 ▌例6 已知集合，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练6-1已知集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练6-2已知集合，，则的真子集个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌迁移练6-3已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型7根据交集结果求集合或参数 解题要点 依据的结果，提取两集合共有的元素，建立等式求解参数。一定要考虑交集为空集的可能性，不要直接默认集合有公共元素。 算出参数后代入原集合检验，核对集合元素，满足互异性，再验证交集结果和题目条件保持一致。 ▌例7 已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． ▌迁移练7-1设集合，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2已知集合，若集合中有三个元素，则实数不可以是（　　） A．2 B．3 C． D． ▌迁移练7-3已知集合，或.若，求实数的取值范围. 题型8并集的概念及运算 ▌例8 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练8-1已知集合，，则集合中元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 ▌迁移练8-2已知集合，，则（ ） A． B． C． D． ▌迁移练8-3已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型9根据并集结果求集合或参数 解题要点 结合的结果，分析两个集合的元素范围，建立关系式求解参数。注意并集代表两个集合合并后的整体，不用要求集合一定相交。 求出参数后回代检验，核对合并之后的集合，确认和题干给出的并集结果一致，排除不符合条件的参数。 ▌例9 设 ，若 ，求 的值． ▌迁移练9-1设集合，则满足的集合的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 ▌迁移练9-2已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练9-3集合或.若，求的取值范围； 题型10补集的概念及运算 ▌例10 设全集，集合，则为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练10-1已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． ▌迁移练10-2已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． ▌迁移练10-3设全集（    ） A． B． C． D． 题型11交并补混合运算 ▌例11 设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练11-1已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练11-2已知全集，若，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练11-3已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则以下不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型12充分条件与必要条件 ▌例12 是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌迁移练12-1“”是“”成立的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ▌迁移练12-2“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌迁移练12-3已知，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型13充要条件 ▌例13 关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌迁移练13-1“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌迁移练13-2求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. ▌迁移练13-3已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 题型14反证法 ▌例14 设.证明：若是奇数，则n是奇数. ▌迁移练14-1用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． ▌迁移练14-2设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设：__________． ▌迁移练14-3已知，且，求证：和至少有一个大于． 难点一 根据集合包含、交并补结果求参数 难点1：容易忽略空集的情况，空集满足子集性质，做题时常被漏掉，直接造成少解。 难点2：利用数轴列不等式时，区间端点判断容易出错，等号取舍拿捏不准；求出参数之后忘记检验集合元素的互异性，产生增根。 处理方法：解题第一步优先讨论集合等于空集的情形，写出对应参数范围。把集合转化为区间，借助数轴画出范围，根据集合关系列出不等式，端点单独代入验证是否成立。解完参数，一定要回代原集合，检验元素互异性，舍去不符合题意的参数。 难点精练 1．集合或， ，若，则实数的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 2．已知集合，若，则实数的取值集合为_____ 难点二 充要条件证明 难点1：是分不清命题之间谁推谁，混淆充分、必要概念； 难点2：是不会利用集合范围判断条件关系；三是证明充要条件时，只证明单向，漏掉充分性或者必要性其中一步。遇到 “至多、至少” 类命题，很难写出结论的反面，反证法容易出错。 处理方法：可以把条件对应成集合，记住口诀 “小范围⇒大范围”，通过集合包含关系判断条件类型。做充要条件证明，强制分成两步：分别证明充分性、必要性。 难点精练 3．已知，求证：成立的充要条件是．提示： 4．已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 基础达标 一、填空题 1．若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 2．满足的集合A共有______个. 3．设，则“”是“”的_____条件（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 4．已知全集，集合，则________． 5．集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 6．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 二、单选题 7．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 8．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 10．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 11．设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围． 12．设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 能力进阶 1．已知集合，，同时满足，，则___________． 2．设非空集合满足：当时，有，则实数m的取值范围是__________． 4．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 5．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $