第1章 集合与逻辑章节复习提升讲义（6大知识点+10大考点精练）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章集合与逻辑章节复习提升 考点01：集合的含义与表示 【例1】（2024-25上海高一阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 【例2】（2024秋•青浦区校级月考）下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}＝{b，a}③0＝∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【分析】本题利用元素与集合的关系进行判断，以及集合自身是自身的子集、空集是任何集合的子集进行判定即可． 【解答】解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确； 根据集合无序性可知②正确； 根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③不正确； 根据元素与集合之间的关系可知④正确； 根据集合与集合间只有包含关系，∅⫋{0}，⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合子集的判定，属于基础题． 【例3】（2024-25闵行区高一上期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 【例4】（2024-25上海高一阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合中有一个元素0判断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断. 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 【例5】（2022·上海·高一专题练习），则a的值是 ． 【答案】2 【分析】分和两种情况求出a的值，并检验是否符合集合的互异性，可得答案． 【详解】当时，解得或， 若，则集合为，符合题意；若，不满足集合的互异性，舍去； 当时，不满足集合的互异性，舍去； 综上所述：a的值是 故答案为： 考点02：集合间的基本关系 【例6】（2024-25上海高一阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 【例7】（2024-25松江区高一上期中）下列集合表示同一集合的是（    ） A． B． C．, D．, 【答案】B 【解析】根据集合中元素的范围、种类、顺序判断集合是否为相同集合. 【详解】A．元素表示不同的点，所以是不同的集合； B．集合中元素的顺序不同，但是元素相同，所以是同一的集合； C．集合中的元素是点，集合中的元素是数，所以是不同的集合； D．集合中的元素范围是，集合中的元素范围是，范围不同，所以是不同的集合； 故选：B. 【点睛】本题考查同一集合的判断，主要根据集合中元素的特点进行判断，难度较易. 【例8】（2024-25上海高一阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【例9】（2024-25普陀区高一上期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 【例10】（2024-25上海高一阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 【例11】（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】 【分析】由集合的交集运算及真子集的概念可得结果. 【详解】因为集合，， 所以，共3个元素，所以的真子集个数为. 故答案为：7. 【例12】（2022春•上海期末）若集合A＝{x|（k+1）x2+x﹣k＝0}有且仅有两个子集，则实数k的值是　　． 【分析】只要集合A只含有一个元素，即（k+1）x2+x﹣k＝0只有一个根或两个重根即可． 需要分类讨论：①当k+1＝0时，原方程化为一次方程．②当k+1≠0时，原方 程是一元二次方程． 【解答】解：∵A＝{x|（k+1）x2+x﹣k＝0}有且仅有两个子集，∴集合A中只有一个元素 ①当k+1＝0时，k＝﹣1，∴方程（k+1）x2+x﹣k＝0化为x+1＝0， ∴x＝﹣1，∴A＝{﹣1} 满足题意 ②当k+1≠0时，对于方程（k+1）x2+x﹣k＝0有两个相同的根， ∴Δ＝1﹣4（k+1）（﹣k）＝0 ∴k＝﹣， 故k＝﹣1或﹣ 【点评】本题考查集合的子集概念以及方程根的个数，属于基础题． 【例13】1.（2024-25上海高一阶段练习）已知集合满足，这样的集合有 个. 【答案】7 【解答】转化为求的真子集个数，故答案为 2.（2019·上海市曹杨中学高一期末）满足的所有集合的个数是________． 【答案】4 【解答】因为，故，故可在中或不在中， 所以的个数为的子集的个数即. 故答案为4. 【例14】（2024-25上海高一阶段练习）集合的三个实数元素可表示为，也可表示为，求的值. 【答案】1 【解答】由，可得，（否则不满足集合中元素的互异性）. 因为含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，，， 所以或解得或 经检验，满足题意. 所有. 【例15】（2024-25复兴高级中学高一上期中）若集合，，，，则实数的取值范围是 　　. 【答案】 【解答】因为，， 所以：，，，，， ①由△，解得， 时，，满足条件. ②若△，解得，可得，解得，因此，不可能等于. ③当△时，解得.若，，则（韦达定理），不成立，舍去. 综上可得：实数的取值范围为，. 故答案为：，. 考点03：集合的基本运算 【例16】（2025·上海长宁·二模）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据交集的定义可求. 【详解】由交集的定义可得， 故答案为： 【例17】（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 【答案】 【分析】先求解绝对值不等式解得集合，再根据补运算求解即可. 【详解】，又，故. 故答案为：. 【例18】（2022秋•长宁区校级月考）已知全集U＝R，A＝（1，+∞），B＝[，），则A∩＝　　． 【分析】由补集的运算法则求得，再由交集的运算法则，得解． 【解答】解：由B＝[，），知＝（﹣∞，）∪[，+∞）， 因为A＝（1，+∞）， 所以A∩＝（1，）∪[，+∞）． 故答案为：（1，）∪[，+∞）． 【点评】本题考查集合的运算，熟练掌握交集、补集的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 【例19】（2025七宝中学高三三模）已知全集，则（ ）． 　A. B. C. D. 【答案】 【例20】（2024-25闵行区高一上期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【例21】（2024-25嘉定区高一上期中）设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； 又，而，则， 所以，故D正确. 故选：D. 【例22】（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1),; (2). 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. （2）因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【例23】（2022·上海·高一专题练习）已知集合，集合 （1）求集合； （2）若集合，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【分析】（1）直接解方程可求集合； （2），则且，将代入方程求出的值，再将的值代入方程，解方程可得集合，检验是否满足条件即可； （3）若，则，可得或或或；分别讨论这四种情况即可求解. 【详解】（1）； （2）由（1）知：，若集合，则且， 将代入方程可得， 解得：或； 当时，原方程可化为，解得：或， 此时，满足， 当时，原方程可化为，解得：或， 此时，满足， 所以或； （3）若，则，所以或或或； 当时，方程无解，所以， 解得：， 若，则方程有两个相等的实根， 所以此时无解， 若，则方程有两个相等的实根， 所以此时无解， 若，则方程有两个不相等的实根， 所以此时无解， 综上所述：实数的取值范围为. 【例24】（2021秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）若，，，全集为实数集， （1）求集合， （2）如果，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）直接进行补集运算可得，再与集合进行交集运算可得； （2）先求时，实数的范围，再求补集即可求解. 【详解】（1）因为，全集为实数集，所以， 因为，所以； （2）因为，， 如果，则， 所以如果，可得， 所以实数的取值范围为. 【例25】（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）已知全集为，集合； (1)若集合，存在，使得，求实数的取值范围； (2)若集合，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由，讨论与集合的关系求范围，然后取并； （2）由题设知的根为或或无解，分类讨论即可求参数范围. 【详解】（1）由题设， 因为存在，使得， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. 综上，. （2）由知：的有一个根或两个根或无解， 当方程有一个根或时，，得或， 若时，此时方程根为，不合要求； 若时，此时方程根为，满足； 所以； 当方程有两根和时，且，无解； 当方程无解时，，得或. 综上，或. 考点04：韦恩图及其应用 【例26】（2024-25黄浦区高一上期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于方程， 当时，，解得， 当时，，即，恒成立， 当时，，解得， ∴. 由题意得，，. 图中阴影部分表示在集合B中不在集合A中的元素构成的集合，为. 故选：D. 【例27】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求出集合，再结合韦恩图求解. 【详解】由，得，而， 又全集，则，又图中阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：B 【例28】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得 或. 故选：D 考点05：集合的新定义问题 【例29】（2022秋•青浦区校级月考）若x∈A，则，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{0，，，1，2，3}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为　　． 【分析】先找出具有伙伴关系的元素：1，1；2，；3，共三组，它们中任一组、二组、三组均可组成非空伙伴关系集合，利用列举法列出即可． 【解答】解：具有伙伴关系的元素组有1，1；，2；，3共三组， 它们中任一组，二组或三组均可组成非空伙伴关系集合， 即{1}，{2，}，{3，}，{1，2，}，{1，3，}，{2，，3}，{1，2，，3，}共7个， 故答案为：7． 【点评】本题考查集合的子集问题、排列组合等知识以及对新概念问题的理解，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力． 【例30】（2024-25杨浦区高一上期中）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 【例31】（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是_______ A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 【例32】（2024-25青浦区高一上期中）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论不正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】C 【分析】对于A，设，，根据运算可验证，，；对于B，易得时，；对于CD，可举特例说明； 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：C. 【例33】（2025高三·全国·专题练习）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法不正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】C 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：C. 考点06：命题的真假判断 【例34】（2024-25闵行区高一上月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假 【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． 【例35】（2024-25闵行区高一上期中）已知命题，命题，则命题“或”为真的运算结果为　　 ． 【答案】或 【解答】根据题意，命题，当时，为假命题； 命题，解可得或，当且时，为假命题； 若命题“或”为真，即、中至少一个为真， 反之，若命题“或”为假，则、均为假. 命题、都是假命题，则有，即且， 故若命题“或”为真，则的取值范围为或； 故答案为：或． 【例36】已知命题：关于的不等式的解集为，且；命题：关于的方程有两个不相等的实数根． （1）若命题为真命题，求实数的范围； （2）若命题和命题中至少有一个是假命题，求实数的范围． 【答案】（1）；（2） 【解答】命题：关于的不等式的解集为，且，则， 解得； 命题：关于的方程有两个不相等的实数根，则，解得． （1）由命题为真命题，实数的范围是； （2）由命题和命题中都是真命题，则，解得． 可得：命题和命题中至少有一个是假命题，则，或． 实数的范围是． 考点07：充分条件与必要条件的判断 【例37】（2024-25上海高一阶段练习）设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式， 因此，而不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【例38】是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据反例可判断两者之间的条件关系. 【详解】若，如，满足， 但不满足，充分性不成立； 若，如，满足，但不满足，必要性不成立． 所以是的既不充分也不必要条件． 故选：D. 【例39】（2024-25上海高一阶段练习）已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则不正确的是（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】因为p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件， 所以，，，， 所以，，则， 所以p是q的必要条件，故A错误，B正确； s是r的充要条件，故C正确； r是q的充要条件，故D正确. 故选：A. 考点08：充分条件与必要条件的探求与应用 【例40】“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断选项中的满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立. 【详解】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误； 对于B，当时，，或，充分性不成立，B错误； 对于C，当时，，可得到，C正确； 对于D，当时，，或，充分性不成立，D错误. 故选：C. 【例41】（2024-25上海高一阶段练习）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 【例42】（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）已知，且，，且或 (1)若，，求实数a的值. (2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题意结合数轴法易得，得到后再检验一下，进而确定； （2）利用充要条件与集合之间的关系得到，结合数轴可得或，从而得到a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以由数轴法可得，解得， 此时，或，满足，， 故. （2）因为p是q的充分条件，所以， 又因为， 所以结合数轴可得，或，得或， 所以满足p是q的充分条件的实数的取值范围为. 【例43】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，得，由交集运算即可求解； （2）由题可知真包含于，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，又， 所以=； （2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于， ①当时，； ②当时，由真包含于得（等号不能同时成立）， ， 综上所述，. 考点09：反证法 【例44】（2024-25上海高一阶段练习）用反证法证明命题：“已知，，若不能被5整除，则与都不能被5整除”时，假设的内容应为　　. A．、都能被5整除 B．、不都能被5整除 C．、至多有一个能被5整除 D．、至少有一个都能被5整除 【答案】 【例45】已知，，，用反证法证明：、中至少有一个大于等于0． 【分析】根据给定条件利用反证法证明命题的步骤和方法直接证明即可. 【详解】假设a、b中没有一个大于等于0，即，，则有， 又，，，则， 这与假设所得结论矛盾，因此，假设不成立， 所以，a、b中至少有一个大于等于0. 【例46】（2022秋·上海杨浦·高一校考期中）若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 考点10：综合提升 【例47】（2024-25上海高一阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 【例48】（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得到有关于的两个一元二次方程，再根据有四个元素可得到两个二次方程均有两个实数根可求得结果； （2）根据（1）中的不等式可得到只能让有一解，让有两个解，即可得到之间的关系. 【详解】（1）有4个元素，即等价于与分别有两个不同实数根， 因为， 于是要求即可； （2）由于有3个元素，因此仅有一解，可以得到， 设是方程的两个解，于是得到， 可解得， 由于点到直线的距离为3，因此三个点构成的三角形为等边三角形， 所以. 【例49】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得到，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （3）由，根据集合交集的运算，列出等价不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为，可得，则满足所以，解得， 所以实数的取值范围为：. （2）解：由命题“，都有”为真命题，则； ①当时，，即，此时； ②当时，需满足，此时方程组无解； 所以实数的取值范围为：． （3）解：因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 【例50】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知集合中至少有三个元素，如果，同时满足①；②;③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)若集合，判断是否具有性质； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)具有性质，不具有性质； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的定义条件，分别判断集合. （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）由存在三个互不相同的，使得均属于，证明满足性质P的三个条件；再证明集合具有性质，集合是集合的“期待子集”即可. 【详解】（1）集合具有性质，理由如下： 取，满足，，是偶数， 因此集合具有性质； 集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取或或，均有，不满足条件②， 所以不具有性质. （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令，解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”. （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.   再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章集合与逻辑章节复习提升 考点01：集合的含义与表示 【例1】（2024-25上海高一阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【例2】（2024秋•青浦区校级月考）下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}＝{b，a}③0＝∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【例3】（2024-25闵行区高一上期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例4】（2024-25上海高一阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例5】（2022·上海·高一专题练习），则a的值是 ． 考点02：集合间的基本关系 【例6】（2024-25上海高一阶段练习）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【例7】（2024-25松江区高一上期中）下列集合表示同一集合的是（    ） A． B． C．, D．, 【例8】（2024-25上海高一阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例9】（2024-25普陀区高一上期中）若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【例10】（2024-25上海高一阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【例11】（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【例12】（2022春•上海期末）若集合A＝{x|（k+1）x2+x﹣k＝0}有且仅有两个子集，则实数k的值是　　． 【例13】1.已知集合满足，这样的集合有 个. 2.满足的所有集合的个数是________． 【例14】（2024-25上海高一阶段练习）集合的三个实数元素可表示为，也可表示为，求的值. 【例15】（2024-25复兴高级中学高一上期中）若集合，，，，则实数的取值范围是 　　. 考点03：集合的基本运算 【例16】（2025·上海长宁·二模）已知集合，则 ． 【例17】（2025·上海徐汇·二模）已知全集，，则 . 【例18】（2022秋•长宁区校级月考）已知全集U＝R，A＝（1，+∞），B＝[，），则A∩＝　　． 【例19】（2025七宝中学高三三模）已知全集，则 　A. B. C. D. 【例20】（2024-25闵行区高一上期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例21】（2024-25嘉定区高一上期中）设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例22】（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【例23】（2022·上海·高一专题练习）已知集合，集合 （1）求集合； （2）若集合，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【例24】（2021秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）若，，，全集为实数集， （1）求集合， （2）如果，求实数的取值范围． 【例25】（2022秋·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）已知全集为，集合； (1)若集合，存在，使得，求实数的取值范围； (2)若集合，求实数的取值范围； 考点04：韦恩图及其应用 【例26】（2024-25黄浦区高一上期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【例27】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【例28】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 考点05：集合的新定义问题 【例29】（2022秋•青浦区校级月考）若x∈A，则，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{0，，，1，2，3}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为　　． 【例30】（2024-25杨浦区高一上期中）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【例31】（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是_______ A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【例32】（2024-25青浦区高一上期中）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论不正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【例33】（2025高三·全国·专题练习）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法不正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 考点06：命题的真假判断 【例34】（2024-25闵行区高一上月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【例35】（2024-25闵行区高一上期中）已知命题，命题，则命题“或”为真的运算结果为　　 ． 【例36】已知命题：关于的不等式的解集为，且；命题：关于的方程有两个不相等的实数根． （1）若命题为真命题，求实数的范围； （2）若命题和命题中至少有一个是假命题，求实数的范围． 考点07：充分条件与必要条件的判断 【例37】（2024-25上海高一阶段练习）设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例38】是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例39】（2024-25上海高一阶段练习）已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件．则不正确的是（    ） A．p是q的充分条件 B．p是q的必要条件 C．s是r的充要条件 D．r是q的充要条件 考点08：充分条件与必要条件的探求与应用 【例40】“”的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【例41】（2024-25上海高一阶段练习）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【例42】（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）已知，且，，且或 (1)若，，求实数a的值. (2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 【例43】（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 考点09：反证法 【例44】（2024-25上海高一阶段练习）用反证法证明命题：“已知，，若不能被5整除，则与都不能被5整除”时，假设的内容应为　　. A．、都能被5整除 B．、不都能被5整除 C．、至多有一个能被5整除 D．、至少有一个都能被5整除 【例45】已知，，，用反证法证明：、中至少有一个大于等于0． 【例46】（2022秋·上海杨浦·高一校考期中）若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 考点10：综合提升 【例47】（2024-25上海高一阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【例48】（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）设且. (1)当有4个元素时，应当满足什么关系式； (2)若有3个元素，试求：当满足什么关系式时，以中元素为顶点的三角形恰为等边三角形. 【例49】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【例50】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知集合中至少有三个元素，如果，同时满足①；②;③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)若集合，判断是否具有性质； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $