第14章 全等三角形单元章节测评卷提优验收卷（B卷）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 全等三角形单元提优验收卷，120分钟150分，涵盖选择、填空、解答题，聚焦全等判定与性质，通过动态几何、实际应用等情境，提升逻辑推理与几何直观能力，适配单元复习巩固与提优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等判定（SAS/ASA）、性质应用、动点最值|结合测量情境（第1题），考查数学眼光观察现实世界| |填空题|6/24|角度计算、全等性质、动点与全等综合|设计双动点问题（第15题），培养数学思维的严谨性| |解答题|9/96|中线性质证明、类比探究、动态几何综合|分层设计，基础题（17-19题）巩固推理能力，综合题（22-25题）通过拓展延伸（如含30°角的全等）发展创新意识，贴合中考命题趋势|

第14章 全等三角形单元章节测评卷提优验收卷（B卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 3．如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（    ） A． B． C． D． 5．在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．无法确定 7．如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．如图，在中，，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，，则的度数是_________． 12．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则________． 13．如图，在中，，，、都是的高，它们交于点H，若，则的长为______． 14．如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 15．（2024秋•雷州市期末）如图，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的值为 　 ． 16．如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，．    三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，在中，，D为上一点，且，过D作，连接，且． (1)求证：； (2)若，，求的长．    18．（10分）（2024秋•海珠区校级期末）求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等． （解题要求：补全已知、求证，写出证明） 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线， ． 求证： ． 证明： 19．（8分）（2025秋•福清市期中）求证：全等三角形对应边上的中线相等（解题要求：补全已知、求证，并写出证明）． 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD是△ABC的边BC上的中线 　 ． 求证： ． 20．（10分）（2025春•长安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 21．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥CD于点D，AE⊥CD于点E．求证：CD＝AE； （2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠CDB＝90°，CD＝5．求△ACD的面积； （3）已知，A（﹣2，﹣5），点B和点C分别是y轴和x轴上一点，且满足AC＝BC，∠ACB＝90°．请直接写出点B和点C的坐标． 22．（12分）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题] 如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究] 如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸] 如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 23．（12分）如图所示，在中，，点是线段延长线上一点，且，点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且． (1)过点作，垂足为． ①求证： ②求证：； (2)如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．    24．（12分），，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 25．（12分）如图，在中，，，过点作，点在上（不与点，重合），作，的边交直线于点，连接． (1)如图1，当点在射线上时，作，交于点，求证：； (2)如图2，当点在射线上时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的基础上，若与交于点，当为的中点，且四边形的面积比的面积大16时，直接写出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形单元章节测评卷提优验收卷（B卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“” 证明，即可获得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，，点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，，进而利用线段的和差求解即可． 【详解】解：， ，． ． ． 故选：B． 3．如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由全等三角形的判定方法：，，，即可判断． 【详解】解A、由可以判定，故不符合题意； B、，这两个角分别是，的对角，不能判定，故符合题意； C、由可以判定，故不符合题意； D、由可以判定，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 4．根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、三边确定，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； B、已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； C、已知两边及其中一边的对角，属于的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故符合题意， D、已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意． 故选：C． 5．在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题，熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解题关键． 延长至，使，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．无法确定 【答案】A 【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题． 【详解】解： 如图，过点G作GH⊥AB于H． ∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC， ∴GH＝GC＝1， 根据垂线段最短可知，GP的最小值为1， 故选：A． 【点睛】本题考查垂线段最短的知识点，作好辅助线求解是关键． 7．如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过、两点作，于点、，证明得利用三角形的外角性质即可得解。 【详解】解：分别过、两点作，于点、， ∵在和中， ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：． 8．如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选:A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出． 9．如图，在中，，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，是的中点，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，延长，在其延长线上取点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出． 【详解】解：如图，延长，在其延长线上取点G，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，，则的度数是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据角度和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，在中，，，、都是的高，它们交于点H，若，则的长为______． 【答案】10 【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出，然后求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ，， 在和中， ∴， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 14．如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长为， 故答案为：10． 15．（2024秋•雷州市期末）如图，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的值为 　2或　 ． 【分析】根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后分别求出相应的a的值即可． 【解答】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC＝PB，AP＝BQ， ∵AC＝6，AB＝14， ∴PB＝6，AP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8， ∴BQ＝8， ∴8÷a＝8÷2， 解得a＝2； 当△CAP≌△QBP时，则AC＝BQ，AP＝BP，． ∵AC＝6，AB＝14， ∴BQ＝6，AP＝BP＝7， ∴6÷a＝7÷2， 解得a； 由上可得a的值是2或， 故答案为：2或． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 16．如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，．    【答案】2或5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，，    ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； ②当点E在射线上移动时，， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故答案为：2或5． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，在中，，D为上一点，且，过D作，连接，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和， ， ∴ (2) 【分析】（1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得到，则，则，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求平方根的方法解方程，证明是解题的关键． 18．（10分）（2024秋•海珠区校级期末）求证：三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等． （解题要求：补全已知、求证，写出证明） 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE⊥AD于E，BP⊥AD的延长线于P ． 求证：BP＝CE ． 证明： 【分析】首先根据题意写出已知，求证，再利用已知条件证明△BPD≌△CED，再根据全等三角形的性质得以证明题目结论． 【解答】解：已知：如图，AD为△ABC的中线，CE⊥AD于E，BP⊥AD的延长线于P． 求证：BP＝CE． 证明：∵AD为△ABC的中线． ∴BD＝CD， ∵BP⊥AD，CE⊥AD， ∴∠BPD＝∠CED＝90°， 在△BPD和△CED中， ， ∴△BPD≌△CED（AAS）， ∴BP＝CE． 故答案为：CE⊥AD于E，BP⊥AD的延长线于P，BP＝CE． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是得到△BPD≌△CED． 19．（8分）（2025秋•福清市期中）求证：全等三角形对应边上的中线相等（解题要求：补全已知、求证，并写出证明）． 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD是△ABC的边BC上的中线A′D是△A′B′C的边B′C上的中线　 ． 求证：AD＝A′D′ ． 【分析】根据全等三角形的性质得到∠B＝∠B′，AB＝A'B'，BC＝B'C'，求得BD＝B′D′，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】已知：如图，△ABC≌△A′B′C，AD是△ABC的边BC上的中线， A′D是△A′B′C的边B′C上的中线， 求证：AD＝A′D′， 证明：∵△ABC≌△A′B′C， ∴∠B＝∠B′，AB＝A'B'，BC＝B'C'， ∵AD和A′D分别是△ABC和△A'B'C'的中线， ∴，， ∴BD＝B′D′， 在△ABD和△A'B'D'中， ， ∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）， ∴AD＝A′D′； 故答案为：A′D是△A′B′C的边B′C上的中线，AD＝A′D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 20．（10分）（2025春•长安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG； （2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAG， 在△ABF和△ACG中， ， ∴△ABF≌△ACG（ASA）； （2）证明：由（1）得△ABF≌△ACG， ∴AF＝AG，BF＝CG， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠CAD＝∠CAG， 在△AEF和△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）． ∴EF＝EG， ∴BE＝BF+FE＝CG+EG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG． 21．（10分）（1）如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥CD于点D，AE⊥CD于点E．求证：CD＝AE； （2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠CDB＝90°，CD＝5．求△ACD的面积； （3）已知，A（﹣2，﹣5），点B和点C分别是y轴和x轴上一点，且满足AC＝BC，∠ACB＝90°．请直接写出点B和点C的坐标． 【答案】（1）答案见解答过程；（2）；（3）点B（0，3）或（0，7），点C（﹣5，0）或（5，0）． 【分析】（1）先证∠EAC＝∠DCB，再依据“AAS”可判定△ACE和△CBD全等，进而可得出结论； （2）过点A作AE⊥CD于点E，由（1）可知△ACE≌△CBD（AAS），从而得CD＝AE＝5，据此可求出△ACD的面积； （3）分两种情况进行讨论：①当点C在x轴的负半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E，由（1）可知△ACE和△CBO全等，从而AE＝OC＝5，CE＝OB，据此可求出点B，C的坐标；②当点C在x轴的正半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E，由（1）可知△ACE≌△CBO（AAS），从而得AE＝OC＝5，CE＝OB，据此可求出点B，C的坐标． 【解答】（1）证明：∵AE⊥CD，BD⊥CD， ∴∠AEC＝∠CDB＝90°， ∴∠EAC+∠ACE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝90°， ∴∠EAC＝∠DCB， 在△ACE和△CBD中， ， ∴△ACE≌△CBD（AAS）， ∴AE＝CD， 即：CD＝AE． （2）解：过点A作AE⊥CD于点E， 由（1）可知：△ACE≌△CBD（AAS）， ∴CD＝AE＝5， ∴． （3）点B（0，3）或（0，7），点C（﹣5，0）或（5，0）．理由如下： 分两种情况进行讨论： ①当点C在x轴的负半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E， ∵点A（﹣2，﹣5）， ∴AE＝5，OE＝2， 由（1）可知：△ACE≌△CBO（AAS）， ∴AE＝OC＝5，CE＝OB， ∴CE＝OC﹣OE＝5﹣2＝3， ∴点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（﹣5，0）； ②当点C在x轴的正半轴上时，点B在y轴的正半轴上，过点A作AE⊥OC于E， 由（1）可知：△ACE≌△CBO（AAS）， ∴AE＝OC＝5，CE＝OB， ∴OB＝CE＝OC+OE＝5+2＝7， ∴点B的坐标为（0，7），点C的坐标为（5，0）． 综上所述：点B（0，3）或（0，7），点C（﹣5，0）或（5，0）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，难点利用类比思想解答（2）和（3），第（3）小题的分类讨论是解答此题的易错点之一． 22．（12分）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题] 如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究] 如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸] 如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】发现问题：；类比探究：；拓展延伸： 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识． 发现问题：设与交于点O，证明，则，由三角形外角的性质即可得到的度数； 类比探究：证明，则，由，得到，再根据三角形外角的性质得到的度数； 拓展延伸：证明，则，得到，即，由及等量代换即可得到结论． 【详解】解：发现问题：， 如图，设与交于点O， ， ， 即， ， ， ， ， ； 故答案为：； 类比探究：，理由如下： ， ， 即， ， ， ， ； 拓展延伸：，理由如下： ， ， 即， ， ， ， ， ，即， ， ． 23．（12分）如图所示，在中，，点是线段延长线上一点，且，点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且．    (1)过点作，垂足为． ①求证： ②求证：； (2)如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ∴； ②证明：，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． (2) ，理由如下： 如图2，过点作，交的延长线于点，则，   ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理； （1）①先由得到，然后由得到，从而得到，再结合、得证；②先由和得到，再结合、得证，进而得到，最后由得到，最后得证； （2）过点作，交的延长线于点，则，先由，得到，然后由是以为斜边的等腰直角三角形得到，，从而得证，因此有，再由得到，然后证明，最后得到． 【详解】（1）①略； ②略； （2）略． 24．（12分），，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【答案】(1) ， 理由：延长交延长线于N点， ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； (2) ， 过M作交延长线于N点，交于Q点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理， （1）延长交延长线于N点，根据题意证明出，得到，然后证明出，得到，即可证明出； （2）过M作交延长线于N点，交于Q点，首先证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等． 【详解】（1）略 （2）略 25．（12分）如图，在中，，，过点作，点在上（不与点，重合），作，的边交直线于点，连接． (1)如图1，当点在射线上时，作，交于点，求证：； (2)如图2，当点在射线上时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的基础上，若与交于点，当为的中点，且四边形的面积比的面积大16时，直接写出的面积． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 解：线段、、之间的数量关系为：，理由如下： 如图2，过点作交延长线于点， 同（1）得：， ，， ，， ， ， 又， ， ， ，， ； (3) 【分析】（1）证，再证，然后证，即可得出结论； （2）过点作交延长线于点，同（1）得，则，，再证，得，即可解决问题； （3）过点作于点，由（2）可知，，，求出，则，再证，得，则，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，过点作于点， 则， 由（2）可知，，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的面积以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $