第14章 全等三角形单元章节测评卷基础过关卷（A卷）（解析版+原卷版）-2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 全等三角形单元基础过关卷，覆盖全等形概念、判定定理及应用，通过基础巩固与综合应用题梯度设计，适配单元复习，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等形判定（SSS/SAS）、角平分线性质|结合集贸市场位置等情境，考查空间观念| |填空题|6/24|全等三角形性质、动态几何|以跷跷板等生活场景，体现应用意识| |解答题|9/96|综合证明（如多条件判定）、拓展探究（如教材延伸题）|分层设计，22题多问递进，25题链接教材，发展推理能力与创新意识|

第14章 全等三角形单元章节测评卷基础过关（A卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中，正确的有（    ） ①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据全等的定义和性质判断即可． 【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误； ②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误； ③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确； ④若，则，，故④错误； 故正确的有1个． 故选：A 【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义． 2．用直尺和圆规作一个角的平分线，其作图依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定；由作图过程得角平分线的作图通过构造两个全等三角形来实现，其中三边对应相等，故依据SSS全等判定，即可求解． 【详解】解：设，以O为圆心画弧交于C，于D；再以C、D为圆心画弧交于E，连接． ，，， ， ， 即平分． 故选：A． 3．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使成立的条件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，．由全等三角形的判定，即可判断． 【详解】解：， ， ①，又，，由判定，故①符合题意； ②，和分别是和的对角，不能判定，故②不符合题意； ③，又，，由判定，故③符合题意； ④，又，由判定，故④符合题意． 其中能使成立的条件有3个． 故选：B． 4．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处， 故这个集贸市场可选的位置只有1处， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答． 5．如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，证明即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，， ∵， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 6．如图，中，，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质可得出，可求出，由三角形内角和定理可求出的度数，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 7．如图，AD是的角平分线，E是AB的中点，的面积为21，，，则的面积为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】作于F，于点M，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于F，于点M 是的角平分线于F，， ， 即：得 ， E是AB的中点， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 8．如图，的三边、、的长分别是、、，点是三条角平分线的交点，则：：的值为（    ）    A．：： B．：： C．：： D．：： 【答案】A 【分析】如图：过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知再由三角形的面积公式计算，再作比即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点，   点是三条角平分线的交点， ， ， ， ， ：：：：：：． 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线、根据角平分线的性质定理得出是解题关键． 9．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 10．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，点D为的中点，可得，，设点、的运动时间为，分别表示出，，分和两种情况，即可求解． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴，， ∴点的对应点是点， 设点、的运动时间为，点Q的运动速度为， ∴，， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，，若，，则的度数为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 12．跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是______． 【答案】90 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，可得，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∵当小敏从水平位置下降，即， ∴， 又∵点O至地面的距离是， ∴这时小明离地面的高度是， 故答案为：． 13．如图，，，平分，交于点，，交延长线于，且垂足为，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是________个． 【答案】 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质即可判断；利用证明，推出，，即可判断；由，，即可判断． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，；正确； 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，正确； ， ， 又， ，正确； 综上，都正确，正确的个数是个． 14．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】过点I作于点E，根据角平分线的性质得到，根据得到，，根据求解即可． 【详解】解：过点I作于点E， 平分交于点，于点， ， ，， ，， ，， ， ， 解得． 15．如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，解答关键是构造一线三垂直模型得到全等三角形． 由题意，设，则，过点作，交的延长线于点，证明得到，再证明，得到，再利用三角形面积公式表示化简即可． 【详解】解：由，设，则， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 16．如图，，，动点从点（不含点），以 个单位长度秒的速度沿射线运动，点为射线 上一动点，且始终保持，当点运动___秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．设点运动时间为秒，根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出值即可． 【详解】解： ， ， 设点运动时间为秒， ，， 当时， ， ， 解得：（舍）或； 当时， ， ， 解得：或； 综上：秒或秒或秒时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵． ∴， 在和中， ∴ (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出． （1）根据得出，由平行线的性质得出角相等，即可根据求证； （2）根据全等的性质得出对应角相等，再根据三角形的内角和为180度，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（10分）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【答案】①（或②） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 19．（10分）如图，点A、C、D在同一条直线上，，垂足为C，，点E在上，，连接，． (1)求证； (2)写出与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) ，理由如下． 延长交与点F，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）利用直接证明即可； （2）延长交与点F，利用，可得，由，可得，问题得解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 20．（10分）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； (2)10 【分析】（1）证明，得到，得到，即可得证； （2）根据，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键． 21．（18分）如图，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E，连接，过C点作，垂足为F．不添加辅助线找出图中与相等的线段，然后再加以证明． (1)结论：______． (2)证明过程： 【答案】(1) (2) 解：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识； （1）根据题意结合图形得； （2）根据垂直的定义和平行线的性质，可得，，即可证得，据此即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 22．（12分）如图，已知AC=BC，点D是BC上一点，∠ADE=∠C． （1）如图1，若∠C=90°，∠DBE=135°． ①求证：∠EDB=∠CAD； ②求证：DA=DE； （2）如图2，若∠C=40°，DA=DE，求∠DBE的度数； （3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA=DE成立． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）∠AGD=110°；（3）∠DBE=90°+∠C． 【分析】（1）①根据三角形的内角和及平角的定义可得结论； ②如图1，作辅助线，构建等腰直角三角形，利用ASA证明△AFD≌△DBE（ASA），可得结论； （2）方法一：如图2，同理作辅助线，证明△AGD≌△DBE（SAS），得∠AGD=∠DBE=110°； 方法二：如图2，延长DB到点H使DH=AC，连接EH，证明△ACD≌△DHE（SAS），得∠C=∠H=40°，CD=EH，再根据已知证明CD=BH=EH，可得结论； （3）同理作辅助线，证明△AFD≌△DBE（SAS），根据三角形的外角和三角形内角和定理可得结论． 【详解】（1）证明：①∵∠ADE=∠C， ∴∠CAD=180°-∠C-∠ADC， ∠EDB=180°-∠ADE-∠ADC， ∴∠CAD=∠EDB； ②在AC上截取CF=CD，连接FD，（或在AC上截取AF=BD，连接FD） ∵∠C=90°， ∴∠CFD=∠CDF=45°， ∴∠AFD=135°=∠DBE， ∵AC=BC， ∴AC-CF=BC-CD，即：AF=BD， 由①知：∠CAD=∠BDE， ∴△AFD≌△DBE（ASA）， ∴DA=DE； （2）方法一：如图2，在AC上截取AG=DB，连接GD（在AC上截取CG=CD，连接GD）， ∵AC=BC， ∴AC-AG=BC-BD即：CG=CD， ∴∠CGD=∠CDG==70°， ∵DA=DE，∠CAD=∠EDB（已证），AG=DB， ∴△AGD≌△DBE（SAS）， ∴∠AGD=∠DBE=110°； 方法二：如图3，延长DB到点H使DH=AC，连接EH， ∵∠CAD=∠BDE，AD=DE， ∴△ACD≌△DHE（SAS）， ∴∠C=∠H=40°，CD=EH， ∵AC=BC=DH， ∴CD=BH=EH， ∴∠HBE=∠HEB=70°， ∴∠DBE=110°； （3）当∠DBE=90°+∠C时，总有DA=DE成立； 理由是：如图3，在AC上截取CF=CD，连接DF，则∠CDF=∠CFD， 设∠CDF=x， △CDF中，∠C+∠CDF+∠CFD=180°， ∴∠C+x+x=180°， x==90°-， 同理得△AFD≌△DBE（SAS）， ∴∠AFD=∠DBE=∠C+∠CDF=∠C+x=∠C+90°-∠C， ∴∠DBE=90°+∠C． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边.对应角相等的性质，本题中作辅助线证明AFD≌△DBE是解题的关键． 23．（10分）如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE （1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD； （2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明． 思路引领：（1）先判定△CAE≌△DFE（AAS），得出AC＝DF，AE＝FE，再判定△AEB≌△FEB（SAS），得到∠BAE＝∠F，∠ABE＝∠FBE，再根据∠CAE＝∠BAE，即可得出AE平分∠BAC，BE平分∠ABD； （2）根据全等三角形的对应边相等，可得AB＝BF，即AB＝BD+DF，再根据（1）可得，DF＝AC，即可得到AB＝BD+AC． 解：（1）如图所示，延长AE交BD的延长线于F， ∵AC∥BD， ∴∠CAE＝∠DFE， ∵E为CD的中点， ∴CE＝DE， 在△CAE和△DFE中， ， ∴△CAE≌△DFE（AAS）， ∴AC＝DF，AE＝FE， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△AEB和△FEB中， ， ∴△AEB≌△FEB（SAS）， ∴∠BAE＝∠F，∠ABE＝∠FBE， ∴∠CAE＝∠BAE， ∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABD； （2）线段AB、AC、BD的数量关系为：AB＝BD+AC． 证明：由（1）可得，△AEB≌△FEB， ∴AB＝BF， 即AB＝BD+DF， 由（1）可得，DF＝AC， ∴AB＝BD+AC． 点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行求解． 24．（13分）如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：如图，过点E分别作，垂足分别为点F、G， ∵点E是平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点G， ∵， ∴； (2) 解：补全图形如下： 之间的数量关系为：． 证明如下： 如图，在线段上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，； ∵， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵． 【分析】（1）过点E分别作，垂足分别为点F、G，则由角平分线性质定理得，从而可证明，得，再由三角形内角和定理即可求证； （2）依题补全图形即可；在线段上截取，先证明，得；再证明，得，再由即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． 25．（13分）【教材呈现】 下面是人教版《数学八年级上册》教材，第60页，第11题的内容． 如图，，垂足分别为，求的长．    解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （1）请根据提示，结合上面的教材第11题图，将上述证明过程在方框内补充完整． 【问题解决】 （2）如图①，在中，，过点作直线，，垂足分别为点．    ①求证：． ②若，则四边形的面积为_______． 【拓展延伸】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在平面直角坐标系内存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】 （1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴    ∴ ∵    ∴ ∴ （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴    ∴； ②； （3）或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题． （1）由题得，可得，根据线段和差即可求解； （2）①由题得即可求解；②根据四边形为梯形，即可求解；      （3）分点P在第一象限和第三象限讨论，过点作轴，过点作，过点作，证明，再根据线段和差，即可求解. 【详解】解：（1）略 （2）① 略 ②∵ ∴四边形为梯形， ∵由①可知， ∴， ∴ ∴ 故答案为：. （3）∵在平面直角坐标系内存在一点，使得 ∴①如图，过点作轴，过点作，过点作，                ∵，， ∴， ， ∴   ∴ ∴ ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴                               ∴. ②如图，过点作轴，过点作，过点作，                ∵，， ∴， ， ∴   ∴ ∴ ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴ ∴. 综上所述：的坐标为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形单元章节测评卷基础过关卷（A卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中，正确的有（    ） ①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若，则， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．用直尺和圆规作一个角的平分线，其作图依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使成立的条件有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 5．如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　） A． B． C． D． 6．如图，中，，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，AD是的角平分线，E是AB的中点，的面积为21，，，则的面积为（    ） A． B．5 C．6 D． 8．如图，的三边、、的长分别是、、，点是三条角平分线的交点，则：：的值为（    ）    A．：： B．：： C．：： D．：： 9．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 10．如图，在中，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若在某一时刻能使与全等．则点Q的运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，，若，，则的度数为______． 12．跷跷板是儿童游乐场里常见的等臂杠杆应用．小明与小敏到游乐场玩跷跷板游戏，如图，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端．已知点O到地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是______． 13．如图，，，平分，交于点，，交延长线于，且垂足为，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是________个． 14．如图，在中，点在边上，连接，，平分交于点，于点，若，则的长为_____． 15．如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（为常数），则________（用含的代数式表示）． 16．如图，，，动点从点（不含点），以 个单位长度秒的速度沿射线运动，点为射线 上一动点，且始终保持，当点运动___秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．（10分）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 19．（10分）如图，点A、C、D在同一条直线上，，垂足为C，，点E在上，，连接，． (1)求证； (2)写出与的位置关系，并说明理由． 20．（10分）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 21．（8分）如图，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E，连接，过C点作，垂足为F．不添加辅助线找出图中与相等的线段，然后再加以证明． (1)结论：______． (2)证明过程： 22．（12分）如图，已知AC=BC，点D是BC上一点，∠ADE=∠C． （1）如图1，若∠C=90°，∠DBE=135°． ①求证：∠EDB=∠CAD； ②求证：DA=DE； （2）如图2，若∠C=40°，DA=DE，求∠DBE的度数； （3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA=DE成立． 23．（10分）如图，AC∥BD，E为CD的中点，AE⊥BE （1）求证：AE平分∠BAC，BE平分∠ABD； （2）线段AB、AC、BD有怎样的数量关系？请写出你的结论并证明． 24．（13分）如图，直线交于点O，点E是平分线上的一点，点M，N分别是射线上的点，且． 求证： (1)求证：； (2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，若，依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 25．（13分）【教材呈现】 下面是人教版《数学八年级上册》教材，第60页，第11题的内容． 如图，，垂足分别为，求的长．    解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （1）请根据提示，结合上面的教材第11题图，将上述证明过程在方框内补充完整． 【问题解决】 （2）如图①，在中，，过点作直线，，垂足分别为点． ①求证：． ②若，则四边形的面积为_______． 【拓展延伸】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在平面直角坐标系内存在一点，使得，请直接写出点的坐标．    1 学科网（北京）股份有限公司 $