第13章 三角形单元章节测评卷基础过关卷（A卷）2026-2027学年八年级数学人教版

**基本信息** 初中数学第13章三角形单元基础过关卷，以基础巩固为主，融入起重机操作、折纸等现实情境与探究性问题，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形边与内角识别、补角定义|基础概念辨析，如第1题考查三角形要素识别| |填空题|6/24|三角形稳定性、三边关系|结合实际应用，如第11题木工钉木条用稳定性原理| |解答题|9/96|中线、角平分线、折叠变换|综合探究，如24题折叠问题关联内角和，25题延伸角平分线性质推理|

第13章 三角形单元章节测评卷基础过关卷（A卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 2．下列选项中，一定能说明和互为补角的是（   ） A． B． C．和是对顶角 D． 3．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 4．如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到 两个三角形纸片，则一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在中，，则中最大的内角度数为（    ）． A． B． C． D． 6．如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的高线,AB=3,AC=5,DE=2,点D到AB的距离是（ ） A．2 B． C． D． 7．如图，在中，，，平分，点P为线段上的一点，过点P作交直线于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这两个角之差为，那么这两个角分别为(      ) A．和 B．和 C．和 D．和 9．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 10．在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为（） A． B． C．或 D．或 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是_________． 12．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则__________． 13．如图，在中，，，则外角的度数为________． 14．如图，点为内一点，，，，则的度数为______． 15．如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是______． 16．如图，在中，点D、E分别为的中点，点F在线段上，且，若的面积为．则的面积为___________．    三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 18．（10分）如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O． (1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长． (2)若于点D，，求的度数． 19．（10分）如图，是内一点，． (1)若，，求的度数． (2)若分别为的平分线，求的度数． 20．（10分）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 21．（10分）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图中，△AOB的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． (1)如图1，在“对顶三角形”与中，若，则　 　； (2)如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数． (3)如图3，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点，设，直接写出的度数（用含的式子表示）．    22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． (1)求∠CBE的度数； (2)过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． (3)若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数． 23．（10分）已知a，b，c是的三边． (1)化简； (2)若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 24．（13分）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置． (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．    25．（13分）小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： （1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；   （2）【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD=∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由； （3）【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形单元章节测评卷基础过关卷（A卷） （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 2．下列选项中，一定能说明和互为补角的是（   ） A． B． C．和是对顶角 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了补角的定义．解答的关键是熟练掌握补角的定义：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角．根据补角的概念求解即可． 【详解】如果与互为补角，那么． 故选：D． 3．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围；先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于，小于，符合题意的只有B选项， 故选：B 4．如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到 两个三角形纸片，则一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三角形外角的性质，根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和进行判断即可． 【详解】解：根据图形可知：，，， ∵相当于的外角， ∴，故不符合题意，D符合题意． 故选：D． 5．在中，，则中最大的内角度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，然后根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】∵在中，， ∴设，，， ∴， ∴解得， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据三角形内角和定理列出方程求解． 6．如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的高线,AB=3,AC=5,DE=2,点D到AB的距离是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：作DF⊥AB于点F，先由AD是△ABC的中线可得S△ABD=S△ACD，然后根据面积法即可求出DF的长， 详解：作DF⊥AB于点F， ∵AD是△ABC的中线, ∴S△ABD=S△ACD， ∴， ∴3DF=5×2， ∴DF=. 故选D. 点睛：本题考查了三角形中线的性质和面积法求线段的长，由中线的性质得出S△ABD=S△ACD是解答本题的关键. 7．如图，在中，，，平分，点P为线段上的一点，过点P作交直线于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形外角的性质即可求出度数，进一步求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8．一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，且这两个角之差为，那么这两个角分别为(      ) A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，由这两个角互为补角，即可计算． 【详解】解：四边形内角和是， ， ，， ， ， ， ，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查有关角的计算，关键是判断出这两角互为补角． 9．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】C 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 10．在“折纸与平行”的拓展课上，老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查折叠性质，平行线性质，三角形的内角和定理等知识，分时和时两种情况计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：，， 当时，如图，则， ， 当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 综上，的度数为或或， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是_________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．利用三角形的性质解答即可． 【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止门变形，会沿着门的对角线方向钉上一根斜拉的木条，这做的根据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12．已知a，b，c是的三边长，满足，c为偶数，则__________． 【答案】8 【分析】绝对值与平方的取值均为非负数，它们和为零，可知，，可得a、b的值，根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而得到c的值． 【详解】解：， ，， ， 由三角形三边关系可得， ， 为偶数， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定所求边长的取值范围． 13．如图，在中，，，则外角的度数为________． 【答案】135 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：135． 14．如图，点为内一点，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形两个锐角互余可得，再根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余以及三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为． 15．如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．设，，根据，，得，，根据外角的性质列式解答即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴①，②， ∵， ∴由①②得 解得． 故答案为：． 16．如图，在中，点D、E分别为的中点，点F在线段上，且，若的面积为．则的面积为___________．    【答案】 【分析】根据三角形中线平分三角形面积求出，进而得到，再由，即可得． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】(1) (2)28 (3)边上的高为 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线，和高，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为h，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，的周长为30， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：28． （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， ∴边上的高为． 18．（10分）如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O． (1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长． (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，由的周长为得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】（1）解：是的中线， ， ∵的周长为， 的周长， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． 19．（10分）如图，是内一点，． (1)若，，求的度数． (2)若分别为的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由，，得出，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）由（1）知，，根据，分别为，的平分线可得出的度数，进而得出结论． 【详解】（1）， ， ，， ， ； （2）由（1）知，， ，分别为，的平分线， ， ． 20．（10分）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)过点D作，交的延长线于点F，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据角平分线定义求解即可； （2）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又平分， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（10分）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图中，△AOB的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．    (1)如图1，在“对顶三角形”与中，若，则　 　； (2)如图2，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数． (3)如图3，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点，设，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对顶三角形的性质求解即可； （2）利用对顶三角形的性质，结合图形进行分析即可求解； （3）由题意得，再由角平分线的定义可求得：，，从而可求解即可． 【详解】（1）解：在“对顶三角形”与中，则， ， 故答案为：； （2）在中，， ， 、分别平分和， ， ， 又， ，； （3）在中，， ， 、是分别平分和， ，， ， 和的平分线和相交于点， ，， ， ， ， ， ． 即． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系，并熟记三角形的内角和为． 22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． (1)求∠CBE的度数； (2)过点D作DFBE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． (3)若把直线FD绕点F旋转，直线DF和直线BE相交于点M，当DF和三角形ABC的一边平行时，请直接写出∠FME的度数． 【答案】(1)65° (2)25° (3)65°或115°． 【分析】（1）根据三角形外角的性质得出∠CBD的度数，再根据角平分线定义即可求得∠CBE的度数； （2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB的度数，再根据平行线的性质求出∠F的度数； （3）根据题意分别画出图形，再利用平行线的性质解决． 【详解】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠CBD=∠ACB+∠A=130°， ∵BE是∠CBD的角平分线， ∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=∠ACB-∠CBE=25°， ∵DFBE， ∴∠F=∠CEB=25°； （3）解：当FD与BC平行时，如图3-1所示， ∴∠FME=∠CBE=65°； 当FM与AB平行时，如图3-2所示， ∴∠FME=∠ABE=∠ABC+∠CBE=180°-∠ACB-∠A+∠CBE=115°； ∵F在AC上， ∴FM与AC平行不存在， 综上所述：∠FME=65°或115°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义，正确画出符合题意的图形是解题的关键． 23．（10分）已知a，b，c是的三边． (1)化简； (2)若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2)11或13 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到：，根据绝对值的性质进行化简，即可求解； （2）根据三角形的三边关系，确定c的范围，再求出三角形的周长． 【详解】（1）∵a，b，c是的三边， ∴， ∴； （2）解方程组，得， 根据三角形的三边关系得，即， ∵c为偶数， ∴或6， ∴这个三角形的周长为或． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，绝对值的化简，解二元一次方程组的知识，解题的关键是明确三角形的三边关系． 24．（13分）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可； （2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可； （3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠得： . ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠得： ∴， ∴的度数为； （3）解：如图：    ∵， ∴， 由折叠得： ， ∴ ， ∴与x，y之间的数量关系：． 25．（13分）小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： （1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；   （2）【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD=∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由； （3）【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACF+∠BCF=90°， ∵CD是AB边上的高线， ∴CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠ACF=∠B， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=∠BAE， ∵∠CFE=∠CAE+∠ACF，∠CEF=∠B+∠BAE， ∴∠CFE=∠CEF； （2）解：相等． 理由：∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=∠BAE， ∵∠CFE=∠CAE+∠ACF，∠CEF=∠B+∠BAE，∠ACD=∠B， ∴∠CFE=∠CEF； （3）解：∠M+∠CFE=90°， 证明：∵C、A、G三点共线， AE、AN为角平分线， ∴∠CAE=∠BAE=∠BAC，∠GAN=∠BAN=∠BAG， ∴∠EAN=∠BAE +∠BAN=(∠BAC+∠BAG) =90°=∠MAE， ∴∠M+∠CEF=90°， ∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B， ∴∠CEF=∠CFE， ∴∠M+∠CFE=90°． 【分析】（1）利用余角的性质可证得∠ACF=∠B，由角的平分线可得∠CAE=∠BAE，再利用三角形外角的性质可证明结论； （2）由角的平分线可得∠CAE=∠BAE，再利用三角形外角的性质可证明结论； （3）在（2）结论基础上，通过角平分线的性质可求证FB∥OD，进而得出∠COD=∠F=β，再由∠BAC=2∠BOC-180°以及∠BOD=90°即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $