重难点培优03 不等式证明以及秒杀应用之权方和与柯西不等式（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式证明核心考点，涵盖柯西不等式（二维、n维及变形）和权方和不等式（直接应用及变形），按“知识重构-题型精研-实战检测”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、技巧通法指导、分层真题训练，帮助学生构建解题框架，突破不等式证明难点。 资料创新采用口诀记忆（如柯西不等式“平和城，城和平”）和变形技巧教学，结合题型精研培养学生数学思维与推理能力，设置重难巩固、创新提升分层练习，配合即时反馈机制，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

重难点培优01 不等式证明以及秒杀应用之权方和与柯西不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 不等式的证明（★★★） 3 题型02 直接应用二维柯西不等式（★★★★） 4 题型03 二维柯西不等式的变形（★★★★） 4 题型04 n维柯西不等式（★★★） 5 题型05 直接应用权方和不等式（★★★） 5 题型06 权方和不等式的变形（★★） 6 03 实战检测·分层突破验成效 6 重难知识巩固 6 创新能力提升 9 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3、扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 知识点02 权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 不等式的证明 【技巧通法·提分快招】 基本不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 1．（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 2．已知，，，且，证明： (1)； (2). 3．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 4．已知，且.求证： (1)； (2). 5．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 6．已知，，均为正数 (1)求证：； (2)若，求证：． 题型02 直接应用二维柯西不等式 【技巧通法·提分快招】 1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘的意思 1．已知，，，则的最大值是______. 2．若，则的最大值为______． 3．设实数，满足，求证：. 4．已知，求的最值． 题型03 二维柯西不等式的变形 【技巧通法·提分快招】 二维形式的柯西不等式的变式 1．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 5．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为__________. 6．已知x，y为正实数，，求函数的最大值． 题型04 n维柯西不等式 【技巧通法·提分快招】 ， 当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 1．（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____． 2．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 3．存在正数使得不等式成立，则的最大值是_____________. 4．（2025高三·全国·竞赛）若，满足，则函数的最大值是_____． 5．已知，求的最小值． 6．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 题型05 直接应用权方和不等式 【技巧通法·提分快招】 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 1．（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 2．已知，求的最小值为______________ 3．已知正数，，满足，则的最小值为______________ 题型06 权方和不等式的变形 1．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为__________. 2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 3．（2025高三·全国·竞赛）已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 4．已知正实数、且满足，求的最小值___________. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．已知：，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，且满足，求的最小值为_______________. 6．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 7．已知，则的取最小值时，为_____________. 8．的最小值为________. 9．已知，，，，求证： (1)； (2)． 10．已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 11．已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 12．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 13．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 创新能力提升 1．已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为______. 4．（2025高三·全国·竞赛）设，且，则的最大值为_____． 5．（2025高三·全国·竞赛）若锐角满足，则的最小值是_____. 6．（2025高三·全国·竞赛）实数满足，求的最小值． 7．已知均为正实数． (1)证明：． (2)若，求的最小值． (3)若，求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 不等式证明以及秒杀应用之权方和与柯西不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 不等式的证明（★★★） 3 题型02 直接应用二维柯西不等式（★★★★） 8 题型03 二维柯西不等式的变形（★★★★） 9 题型04 n维柯西不等式（★★★） 12 题型05 直接应用权方和不等式（★★★） 15 题型06 权方和不等式的变形（★★） 16 03 实战检测·分层突破验成效 18 重难知识巩固 18 创新能力提升 27 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3、扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 知识点02 权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 不等式的证明 【技巧通法·提分快招】 基本不等式链： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 1．（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【详解】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 2．已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 3．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 4．已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【详解】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 5．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， 【分析】（1）由基本不等式得，再左右分别相加可得； （2）由基本不等式结合立方和公式变形可证明；变形所求函数为，再由前面证明结果可得. 【详解】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明：由已知，故， ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 用替换，替换，替换 得 ，即 ， 故 成立 当且仅当，即时，等号成立，. 6．已知，，均为正数 (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别对两个因式使用均值定理即可. （2）先对原式进行变形简化，然后通过换元，最后使用柯西不等式即可. 【详解】（1）∵，，均为正数， ∴，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理，有，当且仅当时等号成立． 又∵，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理， 有，当且仅当时等号成立． ∴， 当且仅当时等号成立． ∴. （2）,同理可得, ∴, 设有 则原式=     由可得， ∴ ，当且仅当时等号成立， ∴. 题型02 直接应用二维柯西不等式 【技巧通法·提分快招】 1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：口诀：平和城，城和平 平：平方 城：同“乘”，相乘的意思 1．已知，，，则的最大值是______. 【答案】2 【分析】利用柯西不等式即可求解 【详解】由柯西不等式得 所以，当, 即时等号成立. 所以，即的最大值是2 2．若，则的最大值为______． 【答案】6 【分析】由柯西不等式即可得到答案. 【详解】， 当且仅当，即时取“=”. 所以的最大值为6. 故答案为:6 3．设实数，满足，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由柯西不等式即可得证. 【详解】由柯西不等式知 ． 4．已知，求的最值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将已知不等式变形为，利用柯西不等式可得出，然后去绝对值可求得的取值范围，即可得解. 【详解】解：由已知得， 由柯西不等式知：． 所以，，即， 由此可得：，易知最大值为，最小值为． 题型03 二维柯西不等式的变形 【技巧通法·提分快招】 二维形式的柯西不等式的变式 1．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值. 【详解】由题意，， 当且仅当时等号成立， 当，时， 故的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题. 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 3．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 4．若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解. 【详解】由已知整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为. 故选：C． 5．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】运用柯西不等式进行求解即可. 【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立， 则k的最小值为. 故答案为： 6．已知x，y为正实数，，求函数的最大值． 【答案】 【分析】由柯西不等式进行求解. 【详解】x，y为正实数，， 由柯西不等式可得， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故最大值为. 题型04 n维柯西不等式 【技巧通法·提分快招】 ， 当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 1．（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】/0.4 【分析】根据柯西不等式的性质计算即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 故答案为：. 2．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用不等式构造定值求解即可. 【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 故答案为： 3．存在正数使得不等式成立，则的最大值是_____________. 【答案】3 【分析】运用柯西不等式计算即可. 【详解】解:由柯西不等式可知 由能成立. 故答案为：3. 4．（2025高三·全国·竞赛）若，满足，则函数的最大值是_____． 【答案】 【分析】运用柯西不等式进行求解即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以函数的最大值是． 故答案为： 5．已知，求的最小值． 【答案】12 【分析】利用柯西不等式求解即可. 【详解】根据柯西不等式， ， 所以， 当且仅当时，即，，，时取到等号， 所以的最小值为12． 6．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式即可求解； （2）由柯西不等式即可得证. 【详解】（1）由柯西不等式知：． ，， 当，，时，取到最小值为． （2）由柯西不等式和（1）得 ， ，所以． 题型05 直接应用权方和不等式 【技巧通法·提分快招】 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 1．（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 【答案】 27 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值. 【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故答案为： ；27 2．已知，求的最小值为______________ 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 3．已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 题型06 权方和不等式的变形 1．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为__________. 【答案】2 【分析】直接根据权和不等式即可得结果. 【详解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 【答案】52 【分析】先将转化为，然后根据权方和不等式计算. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为： 3．（2025高三·全国·竞赛）已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用权方和不等式的性质计算即可. 【详解】应用权方和不等式，有 等号成立时． 所以的最小值是． 故答案为：. 4．已知正实数、且满足，求的最小值___________. 【答案】 【分析】设，，，由权方和不等式计算可得. 【详解】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．已知：，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可. 【详解】解:利用柯西不等式，得, ， 解得. 故选:B 【点睛】本题是一道求代数式取值范围的题目，关键是掌握柯西不等式. 2．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得： ， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 3．（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可. 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 4．（多选题）（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D. 【详解】由时，满足，此时，A错， 由，有，当且仅当时取等号，B对， 由，当且仅当时取等号，C对， 由，则，当且仅当，即时取等号，D对. 5．已知，且满足，求的最小值为_______________. 【答案】/0.4 【分析】结合题意并利用柯西不等式求解即可. 【详解】由题意得， 则由柯西不等式得， 可得，解得， 当且仅当时取等，此时， 可得的最小值为. 故答案为： 6．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 7．已知，则的取最小值时，为_____________. 【答案】 【分析】利用柯西不等式求出的最小值，再根据等号成立的条件求出，进而可求出的值. 【详解】由柯西不等式得：， 则，则， 根据等号成立条件知，解得，，， 所以. 故答案为： 8．的最小值为________. 【答案】/ 【分析】，进而利用权方和不等式可求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 9．已知，，，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式，利用即可证明； （2）由柯西不等式，利用即可证明. 【详解】（1），当，即时取等， ． （2），当，即时取等， ． 10．已知是正实数． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）利用基本不等式进行累加求和证明即可； （2）利用三元完全平方和公式来进行证明即可； （3）利用代换法，结合均值不等式即可证明. 【详解】（1）由基本不等式可得， 累加得， 即，当且仅当时取等号； （2）由（1）得， 变形得 配方得， 因为，所以，当且仅当取等号； （3）因为，所以 ， 因为是正实数，所以，同理可得， 即， 当且仅当时取等号. 11．已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）化简所求不等式，结合基本不等式来证得不等式成立. （2）通过对进行展开，结合已知条件以及基本不等式来证明. （3）利用综合法以及基本不等式来证得不等式成立. 【详解】（1）要证，因为，两边同时平方，即证. 展开得，已知，所以即证， 也就是证，即证. 对于，有，已知，所以，则， 当且仅当时等号成立. 所以得证. （2）根据二项式，将，代入可得： 整理得 因为，所以 已知，可得，即 ，当且仅当时取等号. 同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）. 将和代入可得： ，当且仅当时等号成立. 综上，若，得证. （3）因为，所以， 以上三个式子相加得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，且，所以， 所以，所以. 12．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，维柯西分式型不等式为：若，为正实数，则，当且仅当时等号成立.若都是正实数，且. (1)证明2维柯西分式型不等式：并指出等号成立条件；（提示：即证） (2)请写出3维柯西分式型不等式，并利用该不等式，求的最小值； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据基本不等式，以及题干所给条件，证明不等式即可. （2）根据题干条件，写出不等式，再利用不等式求出最小值即可. （3）对不等式进行换元，再根据题目定义，证明结果即可. 【详解】（1）由题意可知要证明，只需证明， 左边， 右边， 所以左边右边，当且仅当，即时等号成立； （2）3维柯西分式型不等式为：若均为正实数，则，当且仅当时等号成立； 由3维柯西分式型不等式可知， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）由柯西分式不等式可知，当且仅当时，即时取等号； 由可得， 即， 可得， 当且仅当时，即时取等号. 令， 则等价于，， 即证，即证， 因为恒成立，且时取等号，故原命题得证. 13．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 创新能力提升 1．已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 所以，所以的最小值为. 故选：B 2．柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到与的关系，然后对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由得，则，即， 则，得， 所以，代入得， 因为，所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即等号成立. 故选：B. 3．已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用权方和不等式，可得答案. 【详解】解析  ，当且仅当：时等号成立. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·竞赛）设，且，则的最大值为_____． 【答案】/ 【分析】令，则，将已知条件变形为，根据柯西不等式可得的最大值.或者由对称性设，将条件变形为，再根据柯西不等式得，进而得到的最大值． 【详解】解法1：令，则. 所以已知条件可变形为． 于是， 当，即，即， 即时，取得等号． 解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为． 又， 当且仅当时，取得等号． 所以． 故答案为：. 5．（2025高三·全国·竞赛）若锐角满足，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用权方和不等式的性质计算即可. 【详解】 ， 等号成立时． 附：权方和不等式的证明． (Hölder不等式)设， 则． 取，代入Hölder不等式得 ． 故答案为：. 6．（2025高三·全国·竞赛）实数满足，求的最小值． 【答案】6400 【分析】，根据的符号及柯西不等式进行求解． 【详解】注意到， 若，由柯西不等式， 可得 等号成立时； 若，同理可得， 等号成立时（如）； 若，不妨设，则 ， 等号成立时；若一正二负或一负二正时， 不妨设，且， 此时． 综上，的最小值为6400． 7．已知均为正实数． (1)证明：． (2)若，求的最小值． (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)2． 【分析】（1）利用基本不等式有，可证结论； （2）（方法一）由，可得，则，由（1）的结论可求最小值； （方法二）由，可得，消元得，令，结合基本不等式求最小值． （3）利用柯西不等式求最小值. 【详解】（1）证明：． 因为a，b，c，d均为正实数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以得证． （2）解：（方法一）由，可得． ， 因为a，b均为正实数，所以由（1）的结论可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． （方法二）由，可得，则，即，所以， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． （3）． 因为a，b，c均为正实数，所以， ，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 故的最小值为2． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $