第2章 教材拓展3 分式函数与根式函数的值域(最值)(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学讲义聚焦分式函数与根式函数的值域（最值）高考核心考点，按定义、类型、求解方法的逻辑架构展开，通过考点梳理（如一次/二次分式函数类型及分离法等）、方法指导（换元法、判别式法等）、真题训练（典例应用与对点练）等环节，帮助学生构建系统解题思路，突破难点。 资料以一题多解（如典例3用分离常数法与判别式法）培养数学思维，分层练习（基础巩固到综合应用）提升应用意识，通过具体问题引导学生用数学语言表达解题过程，确保高效掌握方法，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

分式函数与根式函数的值域(最值) 【教材母题】 (人教B必修一P98T5)求下列函数的值域： (1)f(x)＝，1≤x≤2；(2)f(x)＝－，x∈[0，＋∞). 【知能拓展】 一、分式函数的值域(最值) 1.定义：把形如y＝叫做分式函数，高中阶段我们接触到的分式函数以一次分式函数和二次分式函数为主.比如：y＝，y＝，y＝… 2.求分式函数值域(最值)需要熟悉以下几个函数图象 (1)反比例函数：y＝(k≠0)，如图①、②；对勾函数：y＝x＋(a＞0)，如图③；飘带函数y＝x－(a＞0)，如图④，图象如下： 学生用书⬇第29页 (2)分式函数的类型及求解方法 ①一次分式函数：y＝＝＋＝＋. ②二次分式函数：y＝＝；y＝＝＋常数(归结为反比例函数)； y＝＝＝t＋＋常数或t－＋常数； y＝＝＝. 【典例应用】 (1)函数f(x)＝的值域为　　　　　　. (2)函数f(x)＝的值域为　　　　　　. (3)(一题多解)函数y＝的值域为　　　　　　　. (4)函数f(x)＝在区间[4，＋∞)上的最大值为　　　　　　　. 答案：(1)(－∞，－3)∪(－3，＋∞)　(2)(－∞，－2＋3]∪[2＋3，＋∞)　(3)　(4) 解析：(1)因为f(x)＝＝＝－3，所以函数f(x)＝的值域为(－∞，－3)∪(－3，＋∞). (2)设t＝x－1，则x＝t＋1，y＝＝＝(2t＋)＋3∈(－∞，－2＋3]∪[2＋3，＋∞). (3)法一(分离常数，构造不等式)：因为x2－x＋1＝(x－)2＋＞0，所以函数的定义域为R.y＝＝＋1，①当x＝0时，y＝1；②当x≠0时，＝［(x＋)－1］∈(－∞，－］∪［，＋∞)，∈［－，0)∪(0，2]，y∈［，1)∪(1，3].综上所述，函数y＝的值域为［，3］. 法二(方程思想，判别式法)：因为x2－x＋1＝＋＞0，所以函数的定义域为R.由y＝，得(y－1)x2－(y＋1)x＋y－1＝0，①当y－1＝0即y＝1时，－2x＝0，x＝0，所以y＝1是所求值域中的值；②当y－1≠0即y≠1时，因为方程(y－1)x2－(y＋1)x＋y－1＝0恒有实根，所以Δ＝(y＋1)2－4(y－1)2≥0，解得≤y≤3，所以y∈［，1)∪(1，3].综上所述，函数y＝的值域为［，3］. (4)f(x)＝＝＝，令g(x)＝x－1＋，因为x∈[4，＋∞)，所以x－1＞0，＞0，所以x－1＋≥2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝3时取得最小值.因为3∉[4，＋∞)，所以等号不成立，所以4不是g(x)的最小值.因为g(x)＝x－1＋是对勾函数的复合函数，所以由对勾函数的单调性可知g(x)min＝g(4)＝，所以f(x)max＝. 求分式函数值域(最值)的方法 1.基本方法是分离法，在分离的前提下使用换元法、基本不等式法等. 2.有时也使用判别式法，此时的分式函数的定义域一般是全体实数. 对点练1.若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　) A.(－∞，3] B.(2，3] C.(2，3) D.[3，＋∞) 答案：B 解析：f(x)＝＝2＋，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0＜≤1，所以f(x)∈(2，3].故选B. 对点练2.若x≥，则函数f(x)＝的最小值为　　　　. 答案：1 解析：因为x≥，所以x－2＞0，所以f(x)＝＝＝＋≥2＝1，当且仅当＝，即x＝3时等号成立.因为x＝3在定义域内，所以最小值为1. 对点练3.已知函数f(x)＝的值域为，求实数a，b的值. 解：依题意，－1≤≤2， 即恒成立，且两个等号都能成立， 所以解得a＝±2，b＝1. 二、根式函数的值域(最值) 　　求解根式型函数的值域，关键是消除或减少根号，常用方法有单调性法、代数换元法、三角换元法、导数法、平方法、几何意义法、反解法. 【典例应用】 (1)函数f(x)＝x＋2的值域为　　　　　　　. (2)函数f(x)＝x－2＋1的值域为　　　　　　　. (3)(一题多解)函数f(x)＝x＋的值域为　　　　　　. (4)(一题多解)函数f(x)＝x－的值域为　　　　　　. 答案：(1)　(2)　 (3)[－2，－1)∪[0，＋∞)　(4)[1，3＋] 解析：(1)设＝t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以y＝x＋2＝1－t2＋2t＝－(t－1)2＋2∈(－∞，2]，所以函数f(x)＝x＋2. (2)由题设t＝，t≥0，所以x＝1－t2.则f(x)＝g(t)＝－(t＋1)2＋3，根据一元二次函数性质不难得到t＝0时，函数最大值为2，没有最小值，所以函数值域为(－∞，2]. (3)法一(不等式思想＋分子有理化)： 当x∈时，f(x)单调递增，值域为；当x∈时，f(x)＝x＋＝＝－.因为∈，＋1∈，＋1∈，∈，所以f(x)∈，综上所述，函数f(x)的值域为[－2，－1)∪[0，＋∞). 法二(方程(组)思想＋等价变换)：y＝x＋⇔y－x＝⇔⇔≤y，即≥0，解得y∈[－2，－1)∪[0，＋∞)，综上所述，函数f(x)的值域为[－2，－1)∪[0，＋∞). (4)法一(三角换元)：由－x2＋6x－7≥0，解得3－≤x≤3＋，设x＝3＋cos α，α∈[0，π]，则f(x)＝g(α)＝3＋cos α－＝3＋cos α－sin α＝3＋2cos(α＋)∈[1，3＋].所以f(x)的值域为[1，3＋]. 法二(导数法)：由－x2＋6x－7＝0，解得x＝3±，设t＝x－3∈[－，]，则x＝t＋3，则f(x)＝t＋3－＝g(t)，g'(t)＝1＋＝，令g'(t)＜0，得－＜t＜－1，令g'(t)＞0，得－1＜t＜，所以g(t)在(－，－1)上单调递减，在(－1，)上单调递增，g(t)∈[1，3＋].所以f(x)的值域为[1，3＋]. 对点练4.(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B.函数y＝的值域为R C.函数y＝2x－的值域为 D.函数y＝＋的值域为[，＋∞) 答案：ACD 解析：对于A，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6)； 对于B(分离常数法)，y＝＝ ＝ 2＋，显然≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)；对于C(换元法)，设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为；对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，因为y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，所以y＝＋在[1，＋∞)上为增函数，所以当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞).故选ACD. 对点练5.(2025·山东泰安二模)函数y＝－x的最小值为　　　　. 答案： 解析：设f(x)＝－x，定义域为R，则f'(x)＝－.令f'(x)＝0，解得x＝，当x≤0时，f'(x)＜0，f(x)在R上单调递减；当0＜x＜时，＝＜，则f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞时，＝＞，则f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以函数f(x)在x＝处取得最小值f()＝－×＝. 学生用书⬇第30页 【教师备选】　(一题多解)已知实数x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x＋的最小值为　　　　. 答案： 解析：法一(方程组思想＋判别式法)：设t＝x＋＝x＋＝x＋(t＞0)，则(t－x)2＝5x2－8x＋4，4x2＋(2t－8)x＋4－t2＝0，Δ＝(2t－8)2－16(4－t2)＝20t2－32t≥0，所以t≤0(舍去)或t≥，当t＝时，解4x2＋(2t－8)x＋4－t2＝0，得x＝，所以当时，t＝，所以x＋. 法二(双变量转单变量＋导数法)： x＋＝x＋＝x＋，设f(x)＝x＋，x∈[0，1]，则f'(x)＝1＋＝，解＋5x－4＞0，得＜x＜1；解＋(5x－4)＜0，得x＜，所以f(x)在［0，)上单调递减，在(，1］上单调递增，所以f(x)≥f()＝，所以x＋. 学科网（北京）股份有限公司 $