精品解析：云南曲靖市第一中学2025-2026学年高一年级上学期阶段性检测（一）数学试卷

曲靖一中2028届高一年级阶段性检测卷（一） 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 4.本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：C 2. 如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合运算和韦恩图求解即可. 【详解】由图可知，阴影部分在M和S的公共部分中，则阴影部分在中， 又阴影部分不在P中，则阴影部分在中， 所以阴影部分为. 故选：B 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，所以D选项正确. 4. 如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的定义，分别判断四个电路图中“开关闭合”与“灯泡亮”之间的逻辑推导关系即可. 【详解】 设为“开关闭合”，为“灯泡亮”. 对于图①，开关与另一开关并联. 若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，可能是另一开关闭合而断开，即， 故图①中是的充分不必要条件. 对于图②，开关与灯泡串联.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则电路必须接通，故必闭合，即， 故图②中是的充要条件. 对于图③，开关与另一开关串联.若闭合，另一开关断开，则电路不通，不亮，即； 若亮，则电路接通，两开关均须闭合，故必闭合，即， 故图③中是的必要不充分条件. 对于图④，开关在干路上.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则干路必须接通，故必闭合，即， 故图④中是的充要条件. 综上所述，满足条件的电路图是②④. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 奇数集可以表示为 B. 或 C. 已知，，且，则 D. 集合，或中有无数个元素 【答案】A 【解析】 【分析】逐一分析各选项中集合的表示、运算及性质是否符合定义，判断出错误选项. 【详解】对于A：对于，若取，则是偶数，故A错误； 对于B，集合的补集为，但不存在同时等于2和的实数， 因此该补集为空集，原集合即为全体实数集，故B正确； 对于C：由，可分两种情况讨论： ① 若且，由得，两边同除以得，即； ② 若且，由得，两边同除以得，即； 两种情况均得，故C正确； 对于D：集合表示平面直角坐标系中轴、轴上所有点的集合， 因为坐标轴上的点有无数个，因此该集合的元素个数为无数个，故D正确. 6. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】解：根据韦达定理得，，原不等式的两根满足，解得：， 故解集为：， 故选：D. 7. 对于集合，，定义，且，，设，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 8. 设集合中的最大值与最小值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表达式单调性确定最大值的取值，再利用约束条件将最小值问题转化为基本不等式求最值，最终计算差值即可.  【详解】表达式中，为关于的减函数，为关于的增函数， 结合约束，当、时表达式取最大值： ，满足约束条件，成立. 对固定的，由得，当且仅当时取等号. 又，当且仅当即时，等号成立. 因为，此时，满足约束，故. 所以，. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为空集是任何集合的子集， 即，故A正确； 对于B，因为，而是集合中的一个元素， 所以，故B正确； 对于C，因为，而是集合中的一个元素， 所以,故C错误； 对于D，因为集合是由集合中的元素组成的， 所以，故D正确. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B. “关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 命题“，”为假命题 【答案】BC 【解析】 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 11. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将代入，化简，利用基本不等式求解可判断C，利用基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A,因为， 即，解得， 又因为正实数，，所以， 则有，当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B，， 即，解得（舍）， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C,由题可得所以，解得， ， 当且仅当即时取得等号，故C正确； 对于D, ， 当且仅当时取得等号，故D正确， 故选:BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是______． 【答案】或. 【解析】 【分析】化简不等式为，结合一元二次不等式的解法和绝对值的定义，即可求解. 【详解】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 13. 某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人． 【答案】43 【解析】 【分析】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，根据题意画出维恩图求解. 【详解】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C， 由题意画出维恩图，如图所示： 全班人数为（人）. 故答案为：43 14. 已知集合，，若中有且仅有2个正整数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先因式分解求解三次不等式得到集合，再结合集合的范围，根据交集仅有2个正整数的约束确定的取值范围. 【详解】由分组进行因式分解，可得：  ， 利用穿根法可得解集为； 因集合满足中有且仅有2个正整数， 显然，则这两个整数应为1和3， 则需使，， 因，则且，则. 故实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求，； （2）设，求. 【答案】（1）或，. （2）或. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集、并集的定义求解. （2）由（1）及已知，利用补集的定义求解. 【小问1详解】 解不等式，即，得，即， 不等式，则，解得或，或， 所以或，. 【小问2详解】 由（1）及，得或. 16. 已知集合，，，且. （1）求集合的真子集的个数； （2）求实数的值组成的集合； （3）若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求解集合，再结合集合的子集个数即可求解； （2）先求解集合，再结合集合的包含关系即可求解； （3）先求解集合、，再结合集合和集合的新定义规则即可求解. 【小问1详解】 已知集合，解方程，得或，故， 由可知，是的所有子集构成的集合， 集合有个元素，故的子集共个，即含个元素， 根据元集合真子集个数为，得的真子集个数为. 【小问2详解】 由（1）可知，，集合， 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无解，，空集是任意集合的子集，符合条件； ② 当时，，由得或，解得或； 综上，实数的取值集合为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 由且，得或，故，所以， 由得的候选值为，由于集合， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故，所有元素的和为. 17. （1）已知，，，且，求证：； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】 （1）法一：由， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 法二：根据柯西不等式：对任意实数  和 ， 有  , 令 ，取 ，代入得：   , 化简左侧为 ，结合题设条件 ，右侧代入得：   ,两边同时除以正数3，不等号方向不变，得：   等号成立当且仅当 ，即 ，结合 ， 解得  时等号成立。 （2） 若 ，解集为;若 ，解集为 ；若 ，解集为 . 【解析】 【分析】（1）法一：利用差值比较法证明不等式；法二：利用柯西不等式或者平方和与和的平方的关系公式推导。 （2）先对二次式因式分解，得到不等式对应方程的两个根,因为，二次函数开口向上，所以根据两个根的大小关系分情况讨论，结合二次函数图象写出解集. 【详解】（1）略 （2） ，原不等式等价于：  ， 由于 ，两边同时除以正数 ，不等号方向不变，得： ， 该二次函数  开口向上，两个零点分别为  和 ，根据两根的大小关系分三类讨论： 当 ，即  时，解集为; 当 ，即  时，不等式变为 ，解集为 ；  当 ，即  时，二次函数大于0的区间在两根外侧，解集为. 综上，若 ，解集为; 若 ，解集为 ； 若 ，解集为 . 18. （1）已知，求的最大值； （2）已知，且. ①求的最大值； ②求的最小值； ③求的最大值. 【答案】（1） （2）①；②；③. 【解析】 【分析】（1）令，代入表达式中结合余弦二倍角公式，辅助角公式即可求解； （2）①结合已知条件，利用基本不等式先求解的最大值，即可得出的最大值；②将代入中化简，利用基本不等式求解即可；③由，得且，代入式子化简得，令，得出，代入化简后的式子，根据所给条件利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，令， 所以 ， 其中，所以当时，有最大值， 所以的最大值为：，即的最大值为. （2）①因为，所以， 由， 当且仅当，即时等号成立， 即，所以，所以的最大值为. ②因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. ③因为，所以且， 所以 ， 令，由，则，此时， 所以原式化为 因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最大值为. 19. 若命题：存在，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 （1）若命题中至少有一个真命题，求的取值范围？ （2）对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考虑补集思想，先求出命题均为假命题时的取值范围，再求出其补集即可； （2）先得，然后该不等式左边为关于的一次函数，所以只要把和代入上式不等式可求得结果. 【小问1详解】 考虑补集思想，命题中至少有一个真命题的反面为：命题均为假命题， ，则恒成立， 故， ，则有解， ，当且仅当时取等号， 故， 故，再取补集：的取值范围为 【小问2详解】 先研究，不等式对于有解， 故：，当且仅当时，取得最小值1， 再研究，将视为主元，则该不等式左边为关于的一次函数，故只须在的值均满足条件即可， 则，得，解得或 故的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中2028届高一年级阶段性检测卷（一） 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 4.本试卷共4页，共19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 5. 下列说法错误的是（ ） A. 奇数集可以表示为 B. 或 C. 已知，，且，则 D. 集合，或中有无数个元素 6. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 对于集合，，定义，且，，设，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 设集合中的最大值与最小值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B. “关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C. 真包含于 D. 命题“，”为假命题 11. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是______． 13. 某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人． 14. 已知集合，，若中有且仅有2个正整数，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求，； （2）设，求. 16. 已知集合，，，且. （1）求集合的真子集的个数； （2）求实数的值组成的集合； （3）若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和. 17. （1）已知，，，且，求证：； （2）求关于的不等式的解集. 18. （1）已知，求的最大值； （2）已知，且. ①求的最大值； ②求的最小值； ③求的最大值. 19. 若命题：存在，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 （1）若命题中至少有一个真命题，求的取值范围？ （2）对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $