精品解析：云南文山州马关县第一中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试卷

马关县第一中学2023年秋季学期高一年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，结合常见数集，可得答案. 【详解】对于A，由为无理数，而指的是有理数集，则，故A错误； 对于B，由为数集，而指的是整数集，则，故B错误； 对于C，由为数集，而指的是自然数集，则，故C正确； 对于D，由是以为元素的数集，而是以为元素的点集，则，故D错误. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“，”的否定是“，”. 3. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，从而可求其真子集个数. 【详解】，故其真子集的个数为. 故选：C. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的定义及充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知，， 或，即不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中元素确定集合，再根据并集的运算即可. 【详解】因为， 当，时，可取0，，； 当，时，可取1，0，； 当，时，可取2，1，0， 所以，所以. 故选：D. 6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出解集，结合充分条件，必要条件的概念求解即可. 【详解】不等式，即的解集为. 结合充分不必要条件的概念及各项描述，不等式成立的一个充分不必要条件为. 7. 已知函数，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出二次函数图象，结合二次函数单调性及其值域即可求得结果. 【详解】由可得， 即二次函数的开口向下，对称轴为，画出其函数图象如下图所示： 易知，当时，；当或时，； 根据题意当时，并结合图象可知. 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 已知实数，若，则的最小值为（ ） A. 12 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】构造基本不等式，利用基本不等式即可. 【详解】由，，， 所以 ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为：12， 故选：A. 二、多项选择题（本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 设，，若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】使用不等式的性质进行分析. 【详解】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. 10. 下列结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 设，是集合，则“”是“”的充要条件 C. “，且”是“”的充分不必要条件 D. 设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 11. 已知集合，，则使的实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】AB 【解析】 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 12. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是5 C. 当时，的最小值是2 D. 设，，且，则的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式研究最值即可做出判定，对于BC要注意正负的转化，对于D要注意常数的代换. 【详解】A选项：当时，，，当且仅当时等号成立， A选项正确； B选项：当时，，则， 当且仅当即时等号成立，B选项错误； C选项：当时，的最小值是2； 当时，的最大值是， C选项错误； D选项：当，，， 当且仅当时等号成立,D选项正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 注意“一正二定三相等"的要求和灵活转化后利用基本不等式研究最值. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 【答案】160 【解析】 【详解】听讲座的人数为. 14. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 15. 函数的最大值是___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性求最值即可. 【详解】二次函数在上单调递增，上单调递减，所以当时取得最大值，最大值为. 故答案为：. 16. 已知函数的最大值为0，关于的不等式的解集为，则______，的值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题知，根据二次函数在对称轴处取得最大值即可化简求出；根据不等式的解集为，可得的解集为，然后利用韦达定理表示出，再利用即可出结果. 【详解】因为函数的最大值为0， 所以当时，函数有最大值，即， 化简得出. 不等式的解集为， 即的解集为， 设方程的两根为， 则，所以， 即， 即， 所以. 故答案为：；. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解关于的不等式，其中； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）， ，所以原不等式的解集为. （2）， 或， 即或， 从而原不等式的解集为. 18. 已知全集，集合，或，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由题中条件，根据交集的概念，可直接得出结果； （2）先求出，根据题中条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）因为集合，或， 所以 (2)由题意，可得 或，所以， 又，， 所以，解得. 即实数的取值范围为. 19. 已知集合和非空集合 （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，求出时集合B，再求； （2）问题转化为是的真子集，由此列不等式组求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 不等式解得，则有， 当时，，. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集， 则有，由于等号不能同时成立，故， 所以实数的取值范围. 20. （1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. （2） 【解析】 【分析】（1）结合基本不等式证明即可. （2）根据基本不等式及求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 21. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）分别按照和讨论求出实数的取值范围； （2）原不等式可化为，利用基本不等式求解，即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 22. 已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有． （1）求函数的表达式； （2）设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，得，从而恒成立，得，即可求解； （2）依题意可得，分和两种情况，当时，分离变量进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得 ，所以， 因为对于任意，都有，即恒成立， 故，解得，. 所以； 【小问2详解】 由≥得 当时，不等式恒成立； 当时，， 令，则， 即， 当且仅当时，即时，实数取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2023年秋季学期高一年级第一次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共60分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 6. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，若，则的最小值为（ ） A. 12 B. C. D. 8 二、多项选择题（本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 设，，若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列结论中正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 设，是集合，则“”是“”的充要条件 C. “，且”是“”的充分不必要条件 D. 设是集合，则“”是“”的充要条件 11. 已知集合，，则使的实数的取值可以是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 12. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是5 C. 当时，的最小值是2 D. 设，，且，则的最小值是 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 14. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 15. 函数的最大值是___________. 16. 已知函数的最大值为0，关于的不等式的解集为，则______，的值为______. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解关于的不等式，其中； （2）解不等式. 18. 已知全集，集合，或，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知集合和非空集合 （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 20. （1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 21. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有． （1）求函数的表达式； （2）设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $