第二章 一元二次函数、方程和不等式（提升版）单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学人教A版必修一第二章“一元二次函数、方程和不等式”提升版单元卷，涵盖选择、填空、解答题型，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，体现数学思维与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|充分必要条件、二次函数最值、基本不等式、方程根分布等|结合各地模拟题，如矩形面积最值（数学眼光）、不等式恒成立（运算能力）| |填空题|3题|不等式命题真假、基本不等式求最值、根与系数关系|考查概念辨析，如3个不等式命题真假判断（推理意识）| |解答题|3题|基本不等式应用（三问递进）、解不等式与解集、二次函数恒成立探究|综合性强，如多问最值问题（模型意识）、恒成立探究（创新意识），贴合真题命题趋势|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 试卷版（提升版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：50分钟 1、 单选题 1．（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 2、 多选题 6．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 7．对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 8．（23-24高一上·福建厦门·阶段检测）以下说法正确的有（    ） A．实数是成立的充要条件 B．实数a，b中至少有一个不为0的充要条件是 C．命题“，使得”的否定是真命题，则a的取值范围为 D．若实数a，b满足，则 3、 填空题 9．（25-26高一上·上海徐汇·期中）有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 10．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 11．若、是方程的两个实数根，且，则实数m的值为______． 4、 解答题 12．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 13．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）（1）解不等式. （2）若不等式的解集是，求不等式的解集. 14．（23-24高一上·全国·课后作业）已知. (1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 解析版（提升版） 【人教A版 高中数学必修一】 建议时长：50分钟 1、 单选题 1．（2026·安徽合肥·三模）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断. 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 2．（24-25高二下·重庆·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】化简得到，再结合基本不等式即可求出. 【详解】因，则， 因x，y为正数，则，得，等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 3．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 4．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解的条件列式求出的范围，再利用给定命题为假命题求解. 【详解】由，，得，解得或， 由命题“，”是假命题，得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 2、 多选题 6．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 7．对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】分， ， ， ， 五种情况讨论，分别结合一次或二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 8．（23-24高一上·福建厦门·阶段检测）以下说法正确的有（    ） A．实数是成立的充要条件 B．实数a，b中至少有一个不为0的充要条件是 C．命题“，使得”的否定是真命题，则a的取值范围为 D．若实数a，b满足，则 【答案】BD 【分析】对A，举反例说明；对B，由条件结合充要条件定义判断；对C，利用特称命题的否定是全称命题求解判断；对D，利用基本不等式求解判断. 【详解】A：x与y同为正数时不成立，如，但，错误； B：已知平方和，当且仅当时平方和等于0，所以中至少有一个不为0等价于，正确； C：命题“，使得”的否定为“，使得”， 该不等式的二次项系数大于0，只要满足，解得，错误； D：若，则与，所以，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：BD. 3、 填空题 9．（25-26高一上·上海徐汇·期中）有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 【答案】 【分析】根据不等式性质分别判断各命题. 【详解】①由，当时，，所以①错误； ②由，即，所以，所以②正确； ③由，当时，，所以③错误； 故答案为：. 10．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 11．若、是方程的两个实数根，且，则实数m的值为______． 【答案】1 【解析】由一元二次方程有两个实根，结合韦达定理、判别式即可求m的值. 【详解】∵方程有两个实数根，即， ∴，由题意知：，， 又，∴， 解得或（舍去）， 即有. 故答案为：1 4、 解答题 12．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解； （2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解； （3）由重要不等式结合（1）即可计算求解. 【详解】（1）因为，均为正数，， 所以即，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为； （2）由题可得，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为； （3）由（1）可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 13．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）（1）解不等式. （2）若不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】（1）或 （2） 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求出结果即可； （2）根据一元二次不等式的解集，求出参数，进而求出新的一元二次不等式的解集. 【详解】（1），即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）因为不等式的解集是， 所以，解得， 所以即，得，解得. 即解集为. 14．（23-24高一上·全国·课后作业）已知. (1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由二次函数对应方程的可求得结果； （2）根据二次函数图象分析可构造不等式组，由不等式组无解可确定不存在满足条件的. 【详解】（1）由题意知：只有当二次函数与直角坐标系中的轴无交点时，才能满足题意； 其相应方程此时应满足，解得：， 实数的取值范围为. （2）若对任意，恒成立，则满足题意的函数的图象如图所示，    由图象可知，此时应该满足，则， 不等式组无解， 不存在实数满足：对任意，恒成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $