专题01 等式性质与不等式性质（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以不等式性质为核心，通过5大题型系统构建“性质梳理-方法提炼-典例示范-变式迁移”的解题体系，强化数学推理与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的性质|1典例+3变式|性质及倒数性质归纳，结合多选考法|从对称性、传递性等基本性质到倒数性质的拓展| |求代数式范围|1典例+3变式|不等式性质应用注意点，待定系数法|性质应用到范围求解的逻辑推导| |比较大小|1典例+3变式|作差法与0比较、作商法与1比较|通过代数变形实现大小关系判断| |证明不等式|1典例+3变式|作差法、作商法、综合法|从差与0、商与1的关系到性质综合应用| |“糖水”不等式|1典例+3变式|糖水不等式性质及分数性质|生活情境到数学模型的抽象与应用|

专题01 等式性质与不等式性质 （题型突破·举一反三） 题型01 不等式的性质 题型02求代数式的范围 题型03 作差法、作商法比较大小 题型04 证明不等式 题型05 “糖水”不等式的性质及其应用 ▌题型01 不等式的性质 1、不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 2．有关倒数的性质 (1)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (2)a>b>0，0<c<d⇒>. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 【典例1】（多选）（25-26高二下·江西南昌·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-1】（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【变式1-2】（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． ▌题型02 利用不等式的性质求代数式的取值范围 1．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点 (1)注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤． (2)正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． 2．利用待定系数法求代数式的取值范围 已知和，求取值范围． (1)令，则设． (2)根据恒等变形求得待定系数p，q. (3)根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 【典例2】（25-26高一下·江西抚州·开学检测）已知，，求的范围. 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·河南许昌·阶段检测）已知实数，满足，，则( ). A. B. C. D. 【变式2-2】（25-26高一上·杭州滨江·期末）已知，则的取值范围是 ． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知“,”，则的取值范围是 ． ▌题型03 作差法、作商法比较大小 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 【典例3】（25-26高三·全国·一轮复习）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【变式3-1】（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 【变式3-2】（25-26高一上·江苏·期中）已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? ▌题型04 证明不等式 不等式证明常用基本方法及注意事项 1、作差法方法：通过计算两个式子的差，判断差与0的大小关系来证明不等式。若，则；若，则；若，则 。作差后常结合因式分解、配方等变形，便于判断符号。注意事项：变形要保证等价性，关注已知条件对差的符号判断的影响，如式子中变量的正负、取值范围等。 2、作商法方法：对于两个正数A，B，计算，若，则；若，则；若，则 。适用于含幂、积形式且能通过作商简化判断的不等式。注意事项：严格保证A，B为正数，否则不能直接用；作商后要结合指数函数、幂函数等性质判断商与1的大小。 3、利用不等式性质（综合法 ）方法：从已知条件出发，借助不等式基本性质，逐步推导证明结论。注意事项：熟练掌握不等式性质，注意性质成立的条件（如乘正数不等号方向不变，乘负数变向 ）；合理选择性质，搭建从条件到结论的逻辑桥梁。 【典例4】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）已知，求证:. 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 【变式4-2】（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【变式4-3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知，证明：． ▌题型05 “糖水”不等式的性质及其应用 1、糖水不等式的性质：若 ,则一定有 ,或者 通俗的理解就是 克的不饱和糖水里含有 克糖，往糖水里面加入 克糖，则糖水更甜； 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则(1)<；>(a－m>0)．(2)>；<(b－m>0)． 【典例5】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【变式5-1】（25-26高一上·上海奉贤·阶段检测）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【变式5-2】（25-26高一上·深圳·阶段检测）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·江西樟树·阶段检测）糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等式性质与不等式性质 （题型突破·举一反三） ▌题型01 不等式的性质 【典例1】BC 【详解】对于Ａ选项，取，，则，A不正确. 对于B选项，因为，所以，因为，所以，B正确. 对于C选项，因为，，所以，则正确. 对于D选项，取，，，则，故D不正确. 【变式1-1】D 【详解】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. 【变式1-2】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 【变式1-3】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. ▌题型02 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【典例2】 【答案】 【分析】根据不等式的性质可得出答案. 【详解】，，又，. 【变式2-1】ACD 【解析】实数，满足，，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，得，，故，正确；由，得，故错误；由，得，故正确.故选. 【变式2-2】 【答案】 【详解】因为，所以，所以。 【变式2-3】 【答案】 【解析】设，即， 所以解得即， 因为，所以， ① 又因为，所以， ② 由，得，故的取值范围是,. ▌题型03 作差法、作商法比较大小 【典例3】 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【变式3-1】 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 【变式3-2】 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 【变式3-3】 【答案】当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【详解】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. ▌题型04 证明不等式 【典例4】 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【变式4-1】 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 【变式4-2】 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【变式4-3】 【答案】证明见解析 【分析】应用不等式的性质得，利用同正相乘符号不变，即可证. 【详解】因为，所以， 所以，即， 因为，所以． ▌题型05 “糖水”不等式的性质及其应用 【典例5】 【答案】，证明见解析 【分析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可. 【详解】时，. 证明如下： ，. 【变式5-1】ABC 【详解】由，则，若， 若，则，故； 若，则，故；由题设，结合不等式性质显然有；故选：ABC 【变式5-2】C 【详解】对于A，，，A错误；对于B，，，则，B错误.对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误；故选：C 【变式5-3】 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，得，即，解得或，则当或时，不等式成立，所以不成立的的值可以是（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等式性质与不等式性质 （题型突破·举一反三） 题型01 不等式的性质 题型02求代数式的范围 题型03 作差法、作商法比较大小 题型04 证明不等式 题型05 “糖水”不等式的性质及其应用 ▌题型01 不等式的性质 1、不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 2．有关倒数的性质 (1)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (2)a>b>0，0<c<d⇒>. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 【典例1】（多选）（25-26高二下·江西南昌·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】对于Ａ选项，取，，则，A不正确. 对于Ｂ选项，因为，所以，因为，所以，B正确. 对于Ｃ选项，因为，，所以，则正确. 对于Ｄ选项，取，，，则，故D不正确. 【变式1-1】（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】当时，满足，但，选项错误； 若，则，又，则，选项错误； 若，则，，但不能推出，选项错误； 由得，若，则，，选项正确. 【变式1-2】（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 【变式1-3】（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. ▌题型02 利用不等式的性质求代数式的取值范围 1．用不等式性质求代数式取值范围的两个注意点 (1)注意题设和结论中代数式的关系，设计求解步骤． (2)正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除． 2．利用待定系数法求代数式的取值范围 已知和，求取值范围． (1)令，则设． (2)根据恒等变形求得待定系数p，q. (3)根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围． 【典例2】（25-26高一下·江西抚州·开学检测）已知，，求的范围. 【答案】 【分析】根据不等式的性质可得出答案. 【详解】，，又，. 【变式2-1】（多选）（25-26高一上·河南许昌·阶段检测）已知实数，满足，，则( ). A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】实数，满足，，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，得，，故，正确；由，得，故错误；由，得，故正确.故选. 【变式2-2】（25-26高一上·杭州滨江·期末）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以。 【变式2-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知“,”，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，即， 所以解得即， 因为，所以， ① 又因为，所以， ② 由，得，故的取值范围是,. ▌题型03 作差法、作商法比较大小 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 【典例3】（25-26高三·全国·一轮复习）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【变式3-1】（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26高一上·江苏·期中）已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 【答案】当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【详解】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. ▌题型04 证明不等式 不等式证明常用基本方法及注意事项 1、作差法方法：通过计算两个式子的差，判断差与0的大小关系来证明不等式。若，则；若，则；若，则 。作差后常结合因式分解、配方等变形，便于判断符号。注意事项：变形要保证等价性，关注已知条件对差的符号判断的影响，如式子中变量的正负、取值范围等。 2、作商法方法：对于两个正数A，B，计算，若，则；若，则；若，则 。适用于含幂、积形式且能通过作商简化判断的不等式。注意事项：严格保证A，B为正数，否则不能直接用；作商后要结合指数函数、幂函数等性质判断商与1的大小。 3、利用不等式性质（综合法 ）方法：从已知条件出发，借助不等式基本性质，逐步推导证明结论。注意事项：熟练掌握不等式性质，注意性质成立的条件（如乘正数不等号方向不变，乘负数变向 ）；合理选择性质，搭建从条件到结论的逻辑桥梁。 【典例4】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 【变式4-2】（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 【变式4-3】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】应用不等式的性质得，利用同正相乘符号不变，即可证. 【详解】因为，所以， 所以，即， 因为，所以． ▌题型05 “糖水”不等式的性质及其应用 1、糖水不等式的性质：若 ,则一定有 ,或者 通俗的理解就是 克的不饱和糖水里含有 克糖，往糖水里面加入 克糖，则糖水更甜； 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则(1)<；>(a－m>0)．(2)>；<(b－m>0)． 【典例5】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【答案】，证明见解析 【分析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可. 【详解】时，. 证明如下： ，. 【变式5-1】（25-26高一上·上海奉贤·阶段检测）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【答案】ABC 【详解】由，则，若， 若，则，故； 若，则，故；由题设，结合不等式性质显然有；故选：ABC 【变式5-2】（25-26高一上·深圳·阶段检测）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，A错误；对于B，，，则，B错误.对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误；故选：C 【变式5-3】（25-26高一上·江西樟树·阶段检测）糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是 .（只需填满足题意的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】由，得，即，解得或，则当或时，不等式成立，所以不成立的的值可以是（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $