第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版必修一第二章单元卷，全面覆盖一元二次函数、方程和不等式核心知识，通过基础题、数学文化题（如高斯函数应用）及综合题（如含参不等式讨论）的梯度设计，培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式性质、二次函数图像、基本不等式|基础巩固，如第3题结合图像分析系数符号| |多选|3/18|不等式判断、条件最值、高斯函数|能力提升，如第11题融合数学文化与逻辑推理| |填空|3/15|函数最值、整数解、几何面积|情境应用，如第14题矩形折叠面积计算| |解答|5/77|大小比较、条件最值、含参不等式|综合创新，如17题构造法求最值，18题分类讨论培养数学思维|

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷 （人教A版必修一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 7．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则函数的最大值为___________. 13．若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 14．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 16．已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 17．平均值不等式在求解最大值或最小值的过程中应用广泛，如：时，．当不能直接应用平均值不等式时，我们还可以通过构造来实现． (1)当时，求的最小值，并指出此时的值； (2)已知，且，求的最小值，并指出此时的值； (3)已知，求函数的最小值，并指出此时的值． 18．设． (1)当时，，使得，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 19．（1）已知，，，且不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）设命题q：，使得不等式成立，若q为真命题，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C B A C C AB ABC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 2．C 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 3．C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 4．C 【分析】通过双换元法将目标函数转化为求新变量乘积的形式，并结合已知条件利用基本不等式求出该乘积的最大值，最终代回原式求得最小值. 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 5．B 【详解】当时，可得， 即，解得或， 当时，可得， 即，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 6．A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 7．C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得. 由，得. 若是的必要不充分条件，则，解得. 8．C 【分析】对于ABC：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于D：根据题设条件反推即可. 【详解】因为非负实数x，y满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故C正确； 对于选项D：因为，为非负实数， 若的最小值是，当且仅当时成立， 但此时不满足，所以不是的最小值，故D错误； 故选：C. 9．AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 10．ABC 【详解】对于A：由基本不等式，代入得，化简得， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B:（法一）：因为， 所以，且． 所以，当时，． （法二）由柯西不等式，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以B正确． 对于C: ， 当且仅当，即时取等号，所以C正确； D.，当且仅当，由A选项可知， 所以最小值为，D错误． 11．ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；求出的取值，结合不等式恒成立求的取值范围，判断选项B；解不等式判断选项C；解不等式，利用解集求的取值范围，判断选项D． 【详解】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 12． 【分析】由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式. 【详解】因为，所以，, 当且仅当，即时，等号成立.故当时， 取最大值，即. 故答案为：3. 13． 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 14．/4.5 【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件. 【详解】由题意△△，而，， 所以，而矩形的周长为， 则，整理得，仅当等号成立， 所以，而，可得， 则，而△的面积，故最大值为，此时. 故答案为： 15．（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差后配方来判断符号，即可得大小关系； （2）作差后通分，由题目条件判断符号，即可证明大小关系. 【详解】（1）， 所以. （2）证明： 因为，，， 所以，， 所以原式大于0， 即. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 17．(1)当时，取得最小值3； (2)当时，的最小值是4； (3)当时，的最小值为. 【分析】（1）利用配凑得出，结合基本不等式即可得到最小值； （2）根据题意对所求式子乘，在结合基本不等式即可得到最小值； （3）先配凑出，再将其与所求式子相乘，然后结合基本不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以， ， 根据基本不等式，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 因此，当时，取得最小值3； （2）因为, 所以， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 由且，解得， 因此，当时，的最小值是4； （3）因为， 所以，， 因为， ， 根据基本不等式，因为，， 所以，当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以， 因此，当时，的最小值为. 18．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出时，函数的最小值，再利用已知命题得出大于等于函数的最小值，进而求出的取值范围； （2）先对原不等式化简，再对进行分类讨论解不等式求出不等式的解集． 【详解】（1）当时，，函数图象开口向上，对称轴为， 函数最小值， ，使得，则， 的取值范围为． （2）， ， 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，解不等式得 ，解集为； 当时，，不等式化为，解得或，故解集为； 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，，不等式化为，解得或， 故解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 19．（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式求最值，利用不等式恒成立求参数范围； （2）利用二次函数求出最小值，再利用存在不等式成立求参数范围. 【详解】（1）由题意可知：，   当且仅当，即，时取等号， 因为不等式恒成立，所以，   即，即， 解得，即实数的取值范围是. （2）当为真命题时，对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为， 则在区间上，， 故，成立等价于，   即， 故实数的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $