第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元卷，以核心素养为导向，通过全运会吉祥物、阿基米德杠杆原理等情境设计问题，适配单元复习，覆盖知识与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|不等式性质、充分必要条件、基本不等式|基础巩固，梯度分布| |填空题|3题15分|比较大小、实际应用（天平称黄金）、含参不等式|文化情境与数学应用结合| |解答题|5题77分|解不等式、基本不等式应用、实际利润问题、创新应用|综合考查数学思维与语言，贴近真题趋势|

参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 2 3 4 5 6 > 8 C C A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 BD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（-1,3) 13.大于 14.4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 【详解】(1)由2x2-x-6>0, 得(2x+3)(x-2)>0」 解得x<- 3 或x>2故不等式的解集为<-2或x>2 3x-7。 2)-3之2，即-7≥0，则-2≤0 (x-2)(3x-7)≤0 2-x 2-x x-2≠0 7 解得2<x≤ 故得的集为中引 (3)4x+2<3→-3<4x+2<3→- 5 <x< 4, 故不等式的解集为： 4 16. (15分) 21 【详解】()当1=0时，b=4+26,则后+方1 因为a、b均为正实数， 1/5 所以a+b=(a+b)二+ 2+》=3+9+2b≥3+2 a 2b b a =3+2W2, a b b a -2b b a 当且仅当 2+=1时，即当 a b 时取等号， a>0,b>0 a=2+V2b=√2+1 所以a+b的最小值为3+22， (2)当t=6时，ab=a+2b+6,可得ab-a-2b+2=8,则(a-2)b-l)=8, 所以b=0+6 a-2,因为b>0'a>0:所以a>2:进而得b>1' 1 ->0 4>0 所以a-220，b- 1,4 14 14 a-26-1 当且仅当(a-2)(b-)=8时，即当 时取等号， a>2,b>1 a=2+V2 b=4W2+1 1 4 所以a-2+6-的最小值为2 17.(15分) 【详解】(1)由题意，-1和2是方程(a-1)x-2br-2=0的两根，且a-1>0, 2b 1+2= a-1 a=2 所以 1x2=2，解得 1 b= a-1 2 (2)因为a=2,所以不等式amr2+(m-a)x-1≥0可化为2mx2+(m-2)x-1≥0， 即(mx-1)(2x+1)≥0 当m=0时，不等式可化为2x+150与≤- 2 2/5 当m<0时，不等武可化为+0 11 若2<m,即m<-2时，不等式的解为2 m: 11 1 若2m,即m=-2时，不等式的解为x= 2 -11 若2>m,即-2<m<0时，不等式的解为m srs 1 综上，当m=0时，所求不等式的解集为 [117 当-2<m<0时，所求不等式的解集为m2小： 1 当m=-2时，所求不等式的解集为2： 「11 <-2时，所求不等式的解集为2m 当 (3)因为a=2,所以不等式amx2+(m-a)x-1≥mx可化为2mr2≥2x+1, 因为：听，不特式21直或这，用加子-但判-1晚心 因为xeL2小所店别]，+1[32](j[}4所-1[尽] 1 由2m≥+1 3 x -1恒成立，可得2m≥3→m≥ 3 即所求m的取值范围为 2,+co 18.(17分) 【详解】(1)当0<x≤10时，y=f(x)-5-ax=x2+x-ax-5 当10<x≤50时，y=f)-5-ar=4x-90-x+15 因为x=20时，y=f(20)-5-20a=80-45-20a+155=190-20a=90,解得a=5 3/5 x2-4x-5,0<x≤10， ..y= 900 -x- +155,10<x≤50. x (2)当0<x≤10时，y=x2-4x-5=(x-2)2-9, :当x=10时，ymx=55, 当10<s50时.y归-9015=15- 900155-2x 900-95, x x 900 当且仅当x= ，即x=30时，等号成立， .当x=30时，ynax=95 又95>55. 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元. 19.(17分) 1+4=1 【详解】(1)若正实数x,y满足x+y y-(+引5554-9当i取是-号周==6k等9。 所以x+y的最小值9，当且仅当x=3,y=6时取等号. -2x+3,x≤1 (2)函数y=r-1+x-2=11<x≤2，作出图象， 2x-3,x>2 函数y=k-1+-2的最小值为1，则a+b=3, +7+Q+g+2_6-+6-b+2 a b a b aa b 4/5 a-6a+9+6-60+9+7=a-6+9+h-6+9+7-(a+b)+16+9-12 a b a a b a a b a b 3g+259-4+2)9-号 32 a b 3 16b9a 12 9 当且仅当。=6且a+b=3即a= ,b= 7时，等号成立： 22 所以，所求最小值为3· x2 y2 (3)若正实数a,bxy满足。=l,且a>b: -=-后引4r+》 所似-6=e-倍影)+-(）s+r-2 ≤x2+y2-2=(c-y),所以a2-b≤(x-y. 代数式M=√4m+5-√m+1, 令x=V4m+5,y=Vm+i,则r2-4y2=la2=1,b2= 4 所以M=V4m+5-Vm+i=x-y≥a2-F=5 2 当且仅当子=4y,即x=4y时取等号， 1 又因为-4=1，解得x=25)=5 3 6 即V4m+5=2 3，所以m=-11 12 所以M=4m+5-m+的最小值为发，此时m=马 3 121 5/5 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知且，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 4．记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 5．若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 6．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式的解集为. 已知，，则的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 8．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 10．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 11．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 13．阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量_____20g（填“大于”“小于”或“等于”） 14．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 16．已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 17．已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 18．第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 19．正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； (2)设的最小值为，且正数满足，求的最小值； (3)若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知且，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举特例说明ABD错误，用不等式的性质证明C正确. 【详解】对A：当，时，满足，但不成立，故A错误； 对B：当时，由可得，故B错误； 对C：因为，所以，故C正确； 对D：当，，时，满足，但，，，所以不成立，故D错误. 故选：C 2．已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 3．已知 ，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】由，则、， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 4．记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 5．若，则关于的不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，解得． 6．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 7．若关于的不等式的解集为. 已知，，则的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的解集为和，、可得，进而可求得和，从而结合基本不等式即可求解的最小值. 【详解】由题意，关于的方程有两个正根， 且由韦达定理知，解得，所以， 所以， 又，，故，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 结合得，时取等号.此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值. 故选：C. 8．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：将所求因式通分后利用基本不等式计算即可. 方法二：将所求因式配凑后利用基本不等式计算即可. 方法三：根据柯西不等式计算即可. 【详解】方法一： 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为； 方法二 因为，所以 ， 因为a，b为正数，所以，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，故的最小值为. 方法三： 因为，所以由柯西不等式得， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 【答案】BD 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 10．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 11．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 13．阿基米德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里预购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的和黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量_____20g（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】设天平左臂长为，右臂长为，根据题设得，再应用基本不等式求的范围，即可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， ，则， ， ， 故答案为：大于 14．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】分和两种情况讨论， 数形结合列出不等式，求解即得参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，符合题意； 当时，需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）由二次不等式解法可得答案； （2）由分式不等式解法可得答案； （3）由绝对值不等式解法可得答案. 【详解】（1）由，得， 解得或，故不等式的解集为或； （2），即，则. 解得，故不等式的解集为； （3），故不等式的解集为：. 16．已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【详解】（1）当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. （2）当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 17．已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 18．第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】(1) (2)当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时， 当时， 因为时，，解得 （2）当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元． 19．正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值，并指出等号成立的条件； (2)设的最小值为，且正数满足，求的最小值； (3)若实数满足，试比较和的大小；利用该结论求代数式的最小值，并指出等号成立时m的值. 【答案】(1) (2) (3)；的最小值为，此时 【分析】（1）根据题意，由，结合基本不等式，即可求解； （2）先求得函数的最小值为1，再化简，即可利用题干中方法求最值； （3）由，结合，即可判断；令，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）若正实数满足， ,当且仅当且,即时取等号， 所以的最小值，当且仅当时取等号. （2）函数，作出图象，    函数的最小值为1，则， ， 当且仅当且，即时，等号成立； 所以，所求最小值为. （3）若正实数满足,且， 由 因为，且仅当时取等号， 所以 ，所以. 代数式, 令,则, 所以, 当且仅当，即时取等号, 又因为，解得， 即，所以. 所以的最小值为，此时. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $