第5章 5.4.3 正切函数的性质与图象（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学正切函数的性质与图象，在已学正弦、余弦函数基础上，通过类比迁移，系统梳理定义域、周期性、奇偶性、图象画法、对称性、单调性及值域，构建完整学习支架。 以问题驱动引导学生自主探究，如通过诱导公式推导周期性与奇偶性，培养数学思维与抽象能力。课中助力教师引导知识构建，课后例题、跟踪训练及课时对点练帮助学生巩固提升，查漏补缺。

5.4.3　正切函数的性质与图象 学习目标　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.(重点)2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.(难点) 导语 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究.这就是我们本节课要研究的问题. 一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性 问题1　请同学们模仿正弦函数、余弦函数的定义，给正切函数下个定义吧，注意定义域. 提示　y=tan x，x∈R，x≠+kπ，k∈Z. 问题2　你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？这两个公式分别体现了正切函数的什么性质？ 提示　公式二中tan(π+α)=tan α，体现了正切函数的周期性，周期为π； 公式三中tan(-α)=-tan α，体现了正切函数的奇偶性，是奇函数. 知识梳理　 1.正切函数的定义：y=tan x，x∈R，x≠+kπ，k∈Z. 2.周期性：由诱导公式tan(x+π)=tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π. 3.奇偶性：由诱导公式tan(-x)=-tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，正切函数是奇函数. 注意点： 注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式：T=. 例1　(1)函数y=tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由x-≠kπ+k∈Z， 得x≠kπ+k∈Z. (2)函数f(x)=tan的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π 答案　A 解析　方法一　T=. 方法二　f(x)=tan =tan =tan=f  ∴T=. 反思感悟　(1)判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tan x有意义，即x≠+kπ，k∈Z. (2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 ①一般地，函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=常常利用此公式来求周期. ②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系. 跟踪训练1　(1)函数f(x)=2tan的最小正周期为(　　) A. B.π C.2π D.4π 答案　C 解析　函数f(x)=2tan的最小正周期为=2π. (2)f(x)=tan2x是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　B 解析　f(x)=tan2x的定义域为关于原点对称， 又f(-x)=[tan(-x)]2=(-tan x)2=tan2x， ∴f(-x)=f(x). ∴f(x)是偶函数. 二、正切函数的图象与对称性 问题3　你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 提示　可以先考察函数y=tan x，x∈的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展. 问题4　如何画出函数y=tan x的图象？ 提示　如图，先画出y=tan x，x∈的图象，然后根据正切函数是奇函数，得到关于原点对称的y=tan x，x∈的图象，再根据函数的周期性，只要把函数y=tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y=tan x，x∈R，x≠+kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线. 知识梳理　 正切函数的对称中心为k∈Z). 注意点： 正切函数只有对称中心，没有对称轴. 例2　函数y=tan的一个对称中心是(　　) A.(0，0) B. C. D.(π，0) 答案　C 解析　令x+k∈Z，得x=k∈Z， 所以函数y=tan的对称中心是k∈Z.令k=2，可得函数的一个对称中心为. 反思感悟　正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键. 跟踪训练2　(1)y=a(a为常数)与y=tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为(　　) A.π B. C. D. 答案　C 解析　y=tan 3x的周期为所以y=a(a为常数)与y=tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为. (2)与函数y=tan的图象不相交的一条直线是(　　) A.x= B.y= C.x= D.y= 答案　C 解析　令2x+=kπ+k∈Z)， 得x=k∈Z). 令k=0，得x=. 三、正切函数的单调性与最值(值域) 1.单调性：正切函数在每一个区间k∈Z)上都单调递增. 2.值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R. 例3　已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f的大小. 解　(1)因为f(x)=3tan =-3tan 所以f(x)的最小正周期T==4π. 由kπ-<kπ+k∈Z)， 得4kπ-<x<4kπ+k∈Z). 因为y=3tank∈Z)上单调递增， 所以f(x)的单调递减区间为 k∈Z). (2)f(π)=3tan=3tan=-3tan f =3tan=3tan=-3tan 因为0< 且y=tan x 在上单调递增， 所以tan<tan所以f(π)>f . 反思感悟　(1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 当ω>0时，把ωx+φ看成一个整体，解-+kπ<ωx+φ<+kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 跟踪训练3　(1)函数y=tanx∈的值域为　　　　；  (2)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为　　　　. 答案　(1)(-1)　(2)tan 2<tan 3<tan 4<tan 1 解析　(1)∵x∈∴x- ∴tan∈(-1)，∴函数的值域为(-1). (2)tan 2=tan(2-π)，tan 3=tan(3-π)， tan 4=tan(4-π). 又∵-<2-π<3-π<4-π<1<且y=tan x在上单调递增， ∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan(4-π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 4<tan 1. 四、正切函数图象与性质的综合应用 例4　设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 解　(1)由+kπ(k∈Z)， 得x≠+2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 因为ω= 所以最小正周期T==2π. 由-+kπ<+kπ(k∈Z)， 得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z). 所以函数f(x)的单调递增区间是 k∈Z)，无单调递减区间. 由k∈Z)， 得x=kπ+k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是k∈Z). (2)由-1≤tan 得-+kπ≤+kπ(k∈Z)， 解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z). 所以不等式-1≤f(x)≤的解集是. 反思感悟　解答正切函数图象与性质问题的注意点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是k∈Z)，不存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每一个区间 k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增. 跟踪训练4　画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 解　由y=|tan x|， 得y= 画出其图象，如图所示， 由图象可知，函数y=|tan x|的定义域为 值域为[0，+∞)，是偶函数， 函数y=|tan x|的周期T=π， 函数y=|tan x|的单调递增区间为k∈Z， 单调递减区间为k∈Z. 1.知识清单： (1)正切函数图象的画法. (2)正切函数的性质. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：最小正周期T=(k∈Z). 1.函数y=tan的最小正周期为(　　) A.2π B.π C. D. 答案　C 解析　根据周期公式计算得T=. 2.函数y=-2+tan的单调递增区间是(　　) A.k∈Z B.k∈Z C.k∈Z D.k∈Z 答案　A 解析　由-+kπ<x++kπ，k∈Z， 得-+2kπ<x<+2kπ，k∈Z. 3.函数f(x)=2x·tan x(-1<x<1)的图象可能是(　　) 答案　B 解析　因为函数f(x)=2x·tan x(-1<x<1)， 所以f(-x)=-2x·tan(-x)=2x·tan x=f(x)，则函数f(x)为偶函数，故排除A，C选项； 又f(1)=2×1×tan 1=2tan 1>0，故排除D选项；B选项符合题意. 4.函数y=tan 2x的对称中心为　　　　　. 答案　k∈Z) 解析　令2x=k∈Z，解得x=k∈Z， 所以函数y=tan 2x的对称中心为k∈Z). 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.函数f(x)=-2tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由2x++kπ，k∈Z，得x≠k∈Z. ∴函数f(x)=-2tan的定义域是. 2.函数y=tan在一个周期内的图象是(　　) 答案　A 解析　函数的最小正周期为=2π，且当x=时，tan=0，排除B，C，D，显然A项符合. 3.函数f(x)=3tanx∈的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵x∈∴2x+ ∴tan ∴f(x)=3tanx∈的值域为3. 4.函数y=tan x+是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　A 解析　函数的定义域是定义域关于原点对称， 且tan(-x)+=-tan x-=- 所以函数y=tan x+是奇函数. 5.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y=1所得的线段长为则ω的值是(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案　C 解析　由题意可得f(x)的最小正周期为则又∵ω>0，∴ω=4. 6.已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点则φ可以是(　　) A.- B. C.- D. 答案　A 解析　因为函数的图象过点 所以tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z，所以φ=kπ-k∈Z. 结合选项，令k=0，可得φ=-. 7.(多选)下列关于函数y=tan的说法不正确的是(　　) A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点对称 D.图象关于直线x=对称 答案　ACD 解析　令kπ-<x+<kπ+k∈Z，解得kπ-<x<kπ+k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x+k∈Z，解得x=k∈Z，任取k值不能得到x=故C错误；正切函数图象没有对称轴，因此函数y=tan的图象也没有对称轴，故D错误. 8.(5分)函数y=tan2x-2tan x+2的最小值为　　　　. 答案　1 解析　y=(tan x-1)2+1，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数取最小值为1. 9.(5分)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： (1)tan　　　　tan；  (2)tan　　　　tan. 答案　(1)<　(2)< 解析　(1)tan=tan且0< 又y=tan x在上单调递增， 所以tan<tan即tan<tan. (2)tan=tantan=tan 因为0< 又y=tan x在上单调递增， 所以tan<tan则tan<tan. 10.(10分)求函数y=3tan的单调递减区间. 解　y=3tan可化为 y=-3tan 由kπ-x-<kπ+k∈Z， 得2kπ-<x<2kπ+k∈Z， 故函数的单调递减区间为k∈Z. 11.已知函数f(x)=a-tan 2x，x∈的最大值为7，最小值为3，则ab等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵x∈∴b>-∴2x∈ ∵函数f(x)的最大值为7，最小值为3， ∴2b<即-<b< 根据正切函数g(x)=tan x在上单调递增， 则f(x)=a-tan 2x在上单调递减， ∴f=a+3=7，即a=4， ∴f(b)=4-tan 2b=3， 则tan 2b=∵2b∈ ∴2b=即b= ∴ab=4×. 12.(多选)已知函数f(x)=tanω>0)，则下列说法正确的是(　　) A.若f(x)的最小正周期是2π，则ω= B.当ω=1时，f(x)的对称中心的坐标为k∈Z) C.当ω=2时，f <f  D.若f(x)在区间上单调递增，则0<ω≤ 答案　AD 解析　当f(x)的最小正周期是2π，即T==2π，则ω=故A正确； 当ω=1时，f(x)=tan 所以令x-k∈Z， 解得x=k∈Z， 所以函数的对称中心的坐标为k∈Z)，故B错误； 当ω=2时，f(x)=tan f =tan =tan=tan f =tan =tan=tan 由于y=tan x在上单调递增， 故f >f故C错误； 令-+kπ<ωx-+kπ，k∈Z， 解得-<x<k∈Z， 所以函数的单调递增区间为k∈Z， 因为f(x)在区间上单调递增， 所以k∈Z， 解得-1+3k≤ω≤+k，k∈Z， 另一方面，T=≥π-ω≤ 所以+k≤即k≤ 又因为ω>0，所以k=0， 故0<ω≤故D正确. 13.(5分)已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a，b∈R)，若f(-2)=2 025，则f(2)=　　　　. 答案　-2 027 解析　依题意，f(x)的定义域为 关于原点对称， 设g(x)=f(x)+1=asin x+btan x， 则g(-x)=asin(-x)+btan(-x) =-(asin x+btan x)=-g(x)， 所以g(x)为奇函数， 则有g(2)+g(-2)=f(2)+1+f(-2)+1=0， 而f(-2)=2 025，所以f(2)=-2 027. 14.(11分)已知函数f(x)=tanω>0)在上单调递增. (1)求ω的取值范围；(3分) (2)若ω=求f(x)的单调递增区间；(4分) (3)若f(0)·f=1，求f(x)的最小正周期.(4分) 解　(1)当x∈时，ωx+ 因为f(x)=tan上单调递增， 所以ω<所以0<ω<1， 所以ω的取值范围为(0，1). (2)若ω=则f(x)=tan=tan. 由-+kπ<x++kπ，k∈Z，解得-2π+3kπ<x<π+3kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为(-2π+3kπ，π+3kπ)，k∈Z. (3)若f(0)·f=1，则tan ·tan=1，得tan 则ω++kπ，k∈Z， 解得ω=+3k，k∈Z， 又因为0<ω<1，所以ω= 故f(x)的最小正周期为=2π. 15.(5分)已知函数f(x)=sin x+tan +x3，x∈(-1，1)，则满足不等式f(a-1)+f(2a-1)<0的实数a的取值范围是　　　　. 答案　 解析　∵函数f(x)=sin x+tan +x3，x∈(-1，1)， ∴f(-x)=sin(-x)+tan+(-x)3=-=-f(x)， ∴f(x)为奇函数， ∴不等式f(a-1)+f(2a-1)<0，即f(a-1)<-f(2a-1)，即f(a-1)<f(1-2a)， ∵y=sin x在上单调递增，则y=sin x在(-1，1)上单调递增， y=tan 在(-π，π)上单调递增，则y=tan 在(-1，1)上单调递增， y=x3在R上单调递增，则y=x3在(-1，1)上单调递增， ∴函数f(x)=sin x+tan +x3在(-1，1)上单调递增， ∴不等式f(a-1)<f(1-2a)，转化为解得0<a< ∴满足不等式f(a-1)+f(2a-1)<0的实数a的取值范围是. 16.(12分)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为且过点(0，-3). (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)求满足f(x)≥的x的取值范围.(6分) 解　(1)由题意可得f(x)的周期为 T=因为ω>0，所以ω= 则f(x)=Atan又它的图象过点 所以tan=0，即tan=0， 所以+φ=kπ，k∈Z，得φ=kπ-k∈Z， 又|φ|<所以φ=- 则f(x)=Atan 又它的图象过点(0，-3)， 所以Atan=-3，得A=3. 所以f(x)=3tan. (2)因为3tan 所以tan 则kπ+x-<kπ+k∈Z， 解得≤x<k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $