5.3 一次函数的图像与性质（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦一次函数的图象与性质，系统梳理正比例函数（过原点、k的几何意义及增减性）、一次函数（两点法作图、k/b对象限与增减性的影响）、平移与对称规律，通过对比归纳构建知识支架。 资料以分层设计为特色，含知识点讲解、易错提醒、随学随练及真题题型，结合数形结合培养几何直观（数学眼光），通过参数分析发展推理意识（数学思维），融入音高变化等实际问题提升应用意识（数学语言），课中助教师高效授课，课后方便学生查漏补缺。

第五章 一次函数 5.3 一次函数的图象与性质 课标要点 1.掌握一次函数、正比例函数的图象特征，知晓其图象为直线，熟练掌握两点法画函数图象。 2.理解系数k、b的几何意义，能根据k、b正负判断函数增减性、图象经过的象限。 3.掌握正比例函数的图象性质与增减规律，明确其过原点的图象特征。 4.能利用一次函数图象与性质比较函数值大小、求解简单取值范围，初步运用数形结合思想解题。 学习重难点 重点： 1.掌握一次函数图象的画法与基本特征； 2.理解k、b对函数图象和增减性的影响； 3.熟练根据解析式判断图象象限与函数变化趋势。 难点： 1.结合k、b综合判断函数图象位置，易混淆参数对应的图象特征； 2.利用函数增减性比较大小、分析取值范围； 3.数形结合转化图象信息，解决基础图象分析题型。 知识点 正比例函数的图象与性质 1. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），正比例函数的图象是一条过原点的直线。 2. 正比例函数图象的性质：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小； 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快。 易错提醒 1）混淆、的图象经过象限； 2）误认为正比例函数图象不过原点； 3）增减性判断错误。 随学随练 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于函数，下列结论错误的是（     ） A．它是正比例函数 B．函数图象经过点 C．函数图象经过第二、四象限 D．随的增大而减小 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若函数的图象如图所示，则k的值可能为（     ）    A．2 B．0 C． D． 知识点 一次函数的图象与性质（重点） 1. 一次函数图象的形状与特征： ①一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可； ②一般一次函数的图象必经过点（轴交点）和点（轴交点）。 2. 截距：直线与轴相交于点，叫作直线在轴上的截距，简称截距。 3. 一次函数的性质： y＝kx+b k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 直线趋势 函数从左到右上升 函数从左到右下降 与y轴交点的位置 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 倾斜程度 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快 特别提醒 1）一次函数图象是直线； 2）定增减、定倾斜方向，定与y轴交点； 3）绝对值越大，直线越陡。 随学随练 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 2．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）若一次函数（是常数，）的图象经过第一、三、四象限，则满足的条件是（     ） A． B． C． D． 知识点 一次函数的平移（重点） 1. 图象的平移规律：对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化 ①上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 ②左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 特别提醒 1）平移口诀：上加下减、左加右减； 2）上下平移改变，不变，直线平行； 3）左右平移改变x本身，依然不变。 随学随练 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将直线向上平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期末）将直线向上平移1个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级下·山东德州·期末）将函数的图象向上平移3个单位长度后，得到另一个函数的图象，则函数的解析式为_________． 知识点 一次函数的对称 1. 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）： ①关于x轴对称：（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）； ②关于y轴对称：（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）； ③关于原点对称：（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）。 特别提醒 1）直线对称核心：找两点对称再求新解析式； 2）关于x轴对称：x不变、y变号； 3）关于y轴对称：y不变、x变号； 4）关于原点对称：x、y同时变号； 5）对称后直线倾斜方向改变，通常变号。 随学随练 1．（25-26八年级上·广西贺州·期末）将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 拓展 正比例函数与一次函数图象、性质对比 1. 正比例函数是特殊的一次函数，二者图象均为直线，但定点、象限分布、截距存在明显差异，核心对比归纳如下： 函数 正比例函数 一次函数 图象定点 必过原点、定点 必过、 截距特征 无截距，直线过坐标原点 为y轴截距，决定与y轴交点位置 象限规律 过一、三象限；过二、四象限 由正负共同决定，四种象限分布情况 增减性 仅由决定，与其他参数无关 活学活用 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）关于函数，下列说法错误的是（     ） A．当时， B．它的图象是一条过原点的直线 C．随的增大而减小 D．它的图象经过第一、第三象限 2．下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．当时，y大于4 拓展 一次函数k、b参数图象规律拓展 1. 斜率k的核心作用：唯一决定函数增减性与倾斜程度。图象上升，y随x增大而增大；图象下降，y随x增大而减小。越大，直线倾斜程度越陡，函数变化速度越快。 2. 截距b的核心作用：唯一决定直线与y轴交点位置，不改变增减性。交于y轴正半轴，交于y轴负半轴，即为正比例函数。 3. 象限组合规律：k定升降、b定上下，二者组合可唯一判定直线经过的象限，是识图必考规律。 4. 两直线位置与斜率、截距的关系： 直线与平行 直线与重合 直线与垂直 活学活用 1．直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．一次函数的图象与直线平行，且过点，求这个一次函数的关系式． 3．已知直线与相交于轴上的点A处，且直线与互相垂直． (1)求点A的坐标； (2)求，的值． 拓展 一次函数平移与对称核心规律 变换类型 变换规则（） 核心特征 上下平移 上移 下移（上加下减） k值不变，仅截距b改变，直线倾斜程度不变 左右平移 左移 右移（左加右减） k值不变，整体水平移动，形状趋势不变 关于x轴对称 k、b全部变号 关于y轴对称 k变号、b不变 关于原点对称 k不变、b变号 活学活用 1．（25-26八年级下·上海·期末）把一次函数的图像向左平移3个单位长度，那么所得图像的函数表达式是____________． 2．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________． 3．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 题型 正比例函数的图象与性质 解题贴士 易错：①忘记正比例函数必过原点；②k的正负与增减性、象限对应记反；③混淆k的正负和绝对值的作用，误判倾斜程度；④认为正比例函数可以不过原点。 ▌例1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·河南新乡·期末）对于正比例函数，随的增大而增大，则的值可以是__________．（写一个即可） ▌对点练1-1．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 ▌对点练1-2．（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知是关于的正比例函数，且图象过第一、三象限，则的取值为________________． ▌对点练1-4．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知正比例函数，随的增大而增大，请写出一个符合条件的值：_________． 题型 一次函数的图象与性质 解题贴士 易错：①混淆k、b功能，用b判断增减性；②象限判断遗漏、错判；③忽略前提；④无法根据图象反推k、b正负。 ▌例1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）对于一次函数，下列说法错误的是（     ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．y随x的增大而减小 D．图象与x轴的交点坐标为 ▌例2．（25-26八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数，当时，则函数值y的取值范围是_______ ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一次函数（）的图象不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（     ） A．； B．； C．； D．． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当时，一次函数的最大值是________． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·新疆克孜勒苏·期末）若一次函数的函数值y随x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数解析式______． 题型 一次函数图象的判断 解题贴士 1)根据解析式，先由k定升降趋势，再由b定纵截距，双重匹配排除错误图像； 2)逆向题型由图像特征，反推k、b的正负性。 ▌例1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2026·广西南宁·一模）已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（    ）． A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型 一次函数图象共存问题 解题贴士 1)同一坐标系中两个一次函数，两个解析式的k、b参数必须相互不矛盾； 2)逐一验证选项中两条直线的增减趋势、截距是否符合参数逻辑，排除冲突选项。 ▌例1．下列选项中，表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图像的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数（，为常数，且）的图象错误的是（    ） A． B． C． D． 题型 画一次函数图象 解题贴士 采用两点法作图：取直线与坐标轴的两个交点，描点后连接成直线并双向延长。 ▌例1．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． … 3 0 … … 1 … ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·北京延庆·期中）一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求该函数的图象与轴，轴的交点坐标： (3)画出该函数图象． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 题型 比较一次函数值的大小 解题贴士 易错：①k<0时增减规律记反，大小比较颠倒；②跨函数乱比较，未区分不同函数；③忽略自变量取值范围盲目比较。 ▌例1．（25-26八年级下·广东江门·期末）已知两点，都在直线（为常数）上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 ▌例2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）一次函数的图象过点，，则和的大小关系是__________． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东潮州·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 ▌对点练1-3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）已知点和在直线上，则与的大小关系为________． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·新疆·期末）点和点是一次函数的图象上的两点，则________（填“”或“”）． 题型 一次函数图象与坐标轴交点问题 解题贴士 1）与y轴交点：令x=0，得(0,b)； 2）与x轴交点：令y=0，解方程得横坐标； 3）可进一步求直线与坐标轴围成的三角形周长、面积。 ▌例1．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·湖南永州·期末）已知一次函数的解析式为，求这个函数与两条坐标轴的交点坐标． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）一条直线与x轴交于点，则该直线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）函数的图象如图所示，当时，_________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）填空：直线经过点______、______． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)求的面积． 题型 一次函数图象平移问题 解题贴士 平移口诀：上加下减常数项，左加右减自变量。 ▌例1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）将直线向左平移个单位长度，则平移后的直线解析式是（     ） A． B． C． D． ▌例2．（25-26八年级下·上海静安·期末）如果一次函数的图像可以由函数的图像平移得到，且该一次函数图像与轴的交点坐标为，那么这个一次函数的表达式为________． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线向右平移一个单位长度后得到的直线表达式为（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）已知一次函数的图象与直线平行，则________． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的范围是__________． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）将直线向上平移m个单位长度，得到的直线经过点，求m的值． 题型 一次函数图象对称问题 解题贴士 易错：①各类对称后k、b变化规律记混；②仅凭直觉改写解析式，不取点验证；③对称后忘记保留 条件。 ▌例1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， ▌对点练1-2．（2026·江苏南京·一模）一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 题型 一次函数图象规律探究问题 解题贴士 依次求出前几组交点坐标、线段长度、面积，观察横纵坐标、数值的等差、周期、奇偶规律，归纳通用公式，求解指定项结果。 ▌例1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． ▌对点练1-1．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026·山东济宁·二模）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 基础通关 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．图象经过第二象限 C．图象与轴交于点 D．图象与轴交于点 3．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数的图象是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、三象限 D．第一、三、四象限 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为_____________．（用“<”连接） 7．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）一次函数的图象与轴正半轴相交，则的值可以是________．（写出一个即可） 8．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为______． 9．（25-26八年级下·吉林·期末）已知直线经过点，． (1)求此直线的解析式； (2)求该一次函数的图象与轴的交点坐标． 10．（25-26八年级下·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式． 11．（25-26八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为_________； (3)请在下面的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的两条性质． 12．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． (1)求点的坐标； (2)已知点在轴上，且，求点的坐标． 13．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知一次函数． (1)当为何值时，随的增大而增大； (2)当为何值时，函数图象经过原点； (3)当为何值时，图象经过第二、三、四象限． 素养提升 1．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若、为常数，且，则一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）若点、都在一次函数（，为常数，）的图象上，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将直线（k为常数，且）先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到直线（b为常数），则下列说法错误的是（     ） A． B．若点，在直线上，且，则 C．直线一定经过第一象限 D．若直线不经过第四象限，则 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）点，在一次函数的图像上，当 时， 则a的取值范围是_______． 5．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求k，的值； (2)若一次函数的图象与x轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求y的取值范围． 迁移创新 1．（25-26八年级下·河南焦作·期末）在音乐中，音高的频率与数学中的函数存在密切联系，已知在十二平均律中，相邻半音的频率满足等比关系，但在简单旋律中，音高变化常呈现线性规律． (1)问题1：用函数表示音高变化 某段旋律的音高（简谱用数字1~7表示音高，1对应最低音，7对应最高音）随时间（单位：秒，假设旋律持续到8秒）变化的部分数据如下： 时间（秒） 0 2 4 6 音高 2 3 4 5 观察数据，判断与之间是否满足一次函数关系，若满足，求出关于的函数解析式，并写出的取值范围． (2)问题2：旋律中的函数图象与音乐情感 ①若另一段旋律的音高关于时间的函数解析式为，请在同一坐标系中画出问题1中的函数和该函数的大致图象，并对比两段旋律的变化趋势： ·问题1的旋律音高____________（填上升下降或平稳）； ·函数对应的旋律音高____________（填上升下降或平稳）． ②结合数学中比例系数的意义，当比例系数为正数时，试说明为什么比例系数较大的旋律常给人急促上升的感觉． 0 2 2 3 6 5 2．（25-26八年级下·安徽黄山·期末）对于实数，定义表示两个数中的较小值．例如：，． (1)填空： ． (2)已知，，且和为两个连续的正整数，求的值． (3)求函数的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一次函数 5.3 一次函数的图象与性质 课标要点 1.掌握一次函数、正比例函数的图象特征，知晓其图象为直线，熟练掌握两点法画函数图象。 2.理解系数k、b的几何意义，能根据k、b正负判断函数增减性、图象经过的象限。 3.掌握正比例函数的图象性质与增减规律，明确其过原点的图象特征。 4.能利用一次函数图象与性质比较函数值大小、求解简单取值范围，初步运用数形结合思想解题。 学习重难点 重点： 1.掌握一次函数图象的画法与基本特征； 2.理解k、b对函数图象和增减性的影响； 3.熟练根据解析式判断图象象限与函数变化趋势。 难点： 1.结合k、b综合判断函数图象位置，易混淆参数对应的图象特征； 2.利用函数增减性比较大小、分析取值范围； 3.数形结合转化图象信息，解决基础图象分析题型。 知识点 正比例函数的图象与性质 1. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），正比例函数的图象是一条过原点的直线。 2. 正比例函数图象的性质：正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小； 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快。 易错提醒 1）混淆、的图象经过象限； 2）误认为正比例函数图象不过原点； 3）增减性判断错误。 随学随练 1．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于函数，下列结论错误的是（     ） A．它是正比例函数 B．函数图象经过点 C．函数图象经过第二、四象限 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：A、形如（为常数，）的函数是正比例函数，中，符合该形式，是正比例函数，结论正确； B、把代入，得，故函数图象不经过点，结论错误； C和D、∵， ∴函数图象经过第二、四象限，随的增大而减小，故C、D结论正确； 2．（25-26八年级下·河北张家口·期末）若函数的图象如图所示，则k的值可能为（     ）    A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的图象解答即可． 【详解】解：根据图象得：函数的图象过一、三象限， ∴， ∴k的值可能为2． 知识点 一次函数的图象与性质（重点） 1. 一次函数图象的形状与特征： ①一次函数的图象是一条直线，因此画一次函数图象只需确定两个点即可； ②一般一次函数的图象必经过点（轴交点）和点（轴交点）。 2. 截距：直线与轴相交于点，叫作直线在轴上的截距，简称截距。 3. 一次函数的性质： y＝kx+b k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 直线趋势 函数从左到右上升 函数从左到右下降 与y轴交点的位置 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴 倾斜程度 越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快 特别提醒 1）一次函数图象是直线； 2）定增减、定倾斜方向，定与y轴交点； 3）绝对值越大，直线越陡。 随学随练 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，，∴，即，故选项不符合题意； B、∵一次函数中的系数为，∴随的增大而增大，故选项不符合题意； C、当时，，∴它的图象与轴交于点，故选项符合题意； D、∵一次函数中的系数为，常数项为，∴它的图象经过第一、三、四象限，故选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 、 的符号确定图象经过的象限及与 轴交点位置，即可解题． 【详解】解：∵ 中 ， ∴图象经过第一、三象限， ∵， ∴图象与 轴的负半轴相交， 综上，图象经过第一、三、四象限， 即一次函数的图象大致是． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）若一次函数（是常数，）的图象经过第一、三、四象限，则满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一次函数的常数项为 ∵ 其图象经过第一、三、四象限， ∴ ，且 解得． 知识点 一次函数的平移（重点） 1. 图象的平移规律：对于一次函数，平移时值不变，仅发生变化 ①上下平移：向上平移个单位 → ； 向下平移个单位 → （上加下减）。 ②左右平移：向左平移个单位 → ； 向右平移个单位 → （左加右减）。 特别提醒 1）平移口诀：上加下减、左加右减； 2）上下平移改变，不变，直线平行； 3）左右平移改变x本身，依然不变。 随学随练 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将直线向上平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“左加右减，上加下减”的规则即可求出平移后的函数表达式． 【详解】将直线向上平移2个单位后，所得函数表达式为：． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期末）将直线向上平移1个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象平移规则求出平移后的解析式，再利用一次函数和的符号判断直线经过的象限，即可得到不经过的象限． 【详解】解：直线向上平移个单位，根据平移“上加下减”的规则，可得平移后的解析式为， ∵， ∴直线经过第一，三象限， ∵ ， ∴ 直线与轴交于正半轴，经过第二象限， 因此平移后的直线经过第一，第二，第三象限，一定不经过第四象限． 3．（25-26八年级下·山东德州·期末）将函数的图象向上平移3个单位长度后，得到另一个函数的图象，则函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】一次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：将函数的图象向上平移3个单位长度后，得到另一个函数的图象，则函数的解析式为． 知识点 一次函数的对称 1. 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）： ①关于x轴对称：（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）； ②关于y轴对称：（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）； ③关于原点对称：（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）。 特别提醒 1）直线对称核心：找两点对称再求新解析式； 2）关于x轴对称：x不变、y变号； 3）关于y轴对称：y不变、x变号； 4）关于原点对称：x、y同时变号； 5）对称后直线倾斜方向改变，通常变号。 随学随练 1．（25-26八年级上·广西贺州·期末）将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 拓展 正比例函数与一次函数图象、性质对比 1. 正比例函数是特殊的一次函数，二者图象均为直线，但定点、象限分布、截距存在明显差异，核心对比归纳如下： 函数 正比例函数 一次函数 图象定点 必过原点、定点 必过、 截距特征 无截距，直线过坐标原点 为y轴截距，决定与y轴交点位置 象限规律 过一、三象限；过二、四象限 由正负共同决定，四种象限分布情况 增减性 仅由决定，与其他参数无关 活学活用 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）关于函数，下列说法错误的是（     ） A．当时， B．它的图象是一条过原点的直线 C．随的增大而减小 D．它的图象经过第一、第三象限 【答案】D 【分析】根据正比例函数的性质对各选项逐一判断，选出说法错误的选项即可． 【详解】解：A、当时，，故A说法正确，不符合题意； B、正比例函数的图象是一条过原点的直线，故B说法正确，不符合题意； C、∵，∴随的增大而减小，故C说法正确，不符合题意； D、∵，∴的图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限，故D说法错误，符合题意． 2．下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．当时，y大于4 【答案】D 【详解】解：对于A选项，∵，∴的值随着增大而减小，A说法正确，不符合题意； 对于B选项，∵，，∴函数图象经过第一、二、四象限，B说法正确，不符合题意； 对于C选项，∵当时，，∴函数图象与轴的交点坐标为，C说法正确，不符合题意； 对于D选项，∵随增大而减小，且时，∴当时，，D说法错误，符合题意． 拓展 一次函数k、b参数图象规律拓展 1. 斜率k的核心作用：唯一决定函数增减性与倾斜程度。图象上升，y随x增大而增大；图象下降，y随x增大而减小。越大，直线倾斜程度越陡，函数变化速度越快。 2. 截距b的核心作用：唯一决定直线与y轴交点位置，不改变增减性。交于y轴正半轴，交于y轴负半轴，即为正比例函数。 3. 象限组合规律：k定升降、b定上下，二者组合可唯一判定直线经过的象限，是识图必考规律。 4. 两直线位置与斜率、截距的关系： 直线与平行 直线与重合 直线与垂直 活学活用 1．直线与轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为，直线与y轴的交点在y轴上， ∴将代入，得， ∴直线与轴的交点坐标为． 2．一次函数的图象与直线平行，且过点，求这个一次函数的关系式． 【答案】 【分析】设这个一次函数的关系式为，根据一次函数的图象与直线平行得到，进而将代入关系式求出即可． 【详解】解：设这个一次函数的关系式为， ∵一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵过点， ∴， 解得：， 即． 3．已知直线与相交于轴上的点A处，且直线与互相垂直． (1)求点A的坐标； (2)求，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入计算即可； （2）根据直线与互相垂直可知，将代入直线的方程中计算即可． 【详解】（1）解：当时， 解得：， 即； （2）解：∵直线与互相垂直， ∴， ∴， ∵直线与相交于轴上的点A处， ∴将点代入得， 即， 解得：． 拓展 一次函数平移与对称核心规律 变换类型 变换规则（） 核心特征 上下平移 上移 下移（上加下减） k值不变，仅截距b改变，直线倾斜程度不变 左右平移 左移 右移（左加右减） k值不变，整体水平移动，形状趋势不变 关于x轴对称 k、b全部变号 关于y轴对称 k变号、b不变 关于原点对称 k不变、b变号 活学活用 1．（25-26八年级下·上海·期末）把一次函数的图像向左平移3个单位长度，那么所得图像的函数表达式是____________． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式平移规律“上加下减，左加右减”，对原解析式进行变换即可得到结果． 【详解】解：将的图像向左平移3个单位长度，所得图像的函数表达式为， 展开整理得． 2．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：，当时，， 当时，， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 一次函数的图像与直线关于x轴对称， 一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 所以，一次函数的解析式为：． 故答案为：． 3．已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 【答案】(1) (2)，不在 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，体现数学中的转化思想，掌握方法很重要： （1）根据与成正比例，则，将时，代入计算即可； （2）根据（1）中函数式和图象平移规律：“上加下减”写出直线对应的函数表达式，进行验证即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 当时，, 所以, 解得，， ∴ ∴， 故y与x之间的函数关系式：； （2）解：由（1）知：， 所以将图象向上平移5个单位后得到直线， ∴直线对应的函数解析式为，即， 当时，故点不在直线上． 题型 正比例函数的图象与性质 解题贴士 易错：①忘记正比例函数必过原点；②k的正负与增减性、象限对应记反；③混淆k的正负和绝对值的作用，误判倾斜程度；④认为正比例函数可以不过原点。 ▌例1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据经过的象限，可以判断的符号，从而判断出中和的正负性，最后便能判断该函数所经过的象限． 【详解】解：经过第二、四象限， ， ，， 经过二、三、四象限， A正确． ▌例2．（25-26八年级下·河南新乡·期末）对于正比例函数，随的增大而增大，则的值可以是__________．（写一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据正比例函数的性质，当比例系数大于时，随的增大而增大，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：在正比例函数中，比例系数， 由随的增大而增大，得， 解得， 任取满足的值即可，例如（答案不唯一）． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·山西运城·期末）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，k越大，图象越靠近y轴；当时，图象经过第二、四象限，越大，图象越靠近y轴，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】解：由图象可知： 的图象都经过第一、三象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以； 的图象都经过第二、四象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以，所以 综上所述：； 故选D． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）已知是关于的正比例函数，且图象过第一、三象限，则的取值为________________． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义和性质，正比例函数的比例系数大于0时图象经过第一、三象限，据此列不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：是关于的正比例函数，且图象过第一、三象限 ， ， ∴ ． ▌对点练1-4．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知正比例函数，随的增大而增大，请写出一个符合条件的值：_________． 【答案】(答案不唯一，任意均可) 【分析】根据正比例函数的性质，当时，随的增大而增大，因此只需写出一个大于的即可． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴， ∴任意大于的都符合条件， 故答案为(答案不唯一)． 题型 一次函数的图象与性质 解题贴士 易错：①混淆k、b功能，用b判断增减性；②象限判断遗漏、错判；③忽略前提；④无法根据图象反推k、b正负。 ▌例1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）对于一次函数，下列说法错误的是（     ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．y随x的增大而减小 D．图象与x轴的交点坐标为 【答案】B 【分析】将两点，代入直线表达式判断A；根据的符号判断直线经过的象限，即可判断B；根据一次函数的性质分析C；令求解直线与x轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴点在图象上； 当时，， ∴点在图象上，故A选项正确； ∵，，∴图象经过第一、二、四象限，故B选项错误； ∵， ∴y随x的增大而减小，故C选项正确； 令，得，解得， ∴图象与x轴的交点坐标为，故D选项正确． ▌例2．（25-26八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数，当时，则函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【分析】先判断一次函数的增减性，再代入计算边界函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴ 随的增大而增大， 当时，， ∵ ， ∴ ． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知一次函数（）的图象不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， 若，当时，图象经过一、二、四象限；当时，图象经过二、三、四象限；两种情况均经过第二象限，不符合题意， ∴，B错误，A正确． 当时，若图象不经过第二象限，可得，故C、D错误． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】一次函数中，时图象经过第一、三象限，截距时图象与轴交于正半轴，经过第二象限． 【详解】解：将函数整理为，可得，截距为， 函数图象经过第一、二、三象限，已经满足图象过第一、三象限，要经过第二象限，需图象与轴交于正半轴，即， 解得． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当时，一次函数的最大值是________． 【答案】/ 【分析】根据可知一次函数中，随的增大而减小，因此取最小值时，取得最大值，代入计算即可得到结果. 【详解】解：, 一次函数中，随的增大而减小. , 当时，取得最大值. 此时. ▌对点练1-4．（25-26八年级下·新疆克孜勒苏·期末）若一次函数的函数值y随x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数解析式______． 【答案】（答案不唯一，任意满足的一次函数均可） 【详解】解：∵一次函数中，函数值随的增大而减小， ∴， ∴任意取一个小于的实数作为，例如取，可得符合条件的函数解析式为．（答案不唯一） 题型 一次函数图象的判断 解题贴士 1)根据解析式，先由k定升降趋势，再由b定纵截距，双重匹配排除错误图像； 2)逆向题型由图像特征，反推k、b的正负性。 ▌例1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一次函数(为常数，)，当时，y随x的增 大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，图象与y轴的正半轴相交，当时，图象与y轴的负 半轴相交，当时，图象经过原点，根据一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随x的增大而增大， ∴C、D选项不符合题意； ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴B选项不符合题意， 综上，A选项符合题意． ▌对点练1-1．（2026·广西南宁·一模）已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项B：当时，，不符合题意； 对于选项C：的图象为“V”型，且交轴于点，符合题意； 对于选项D：当时，，不符合题意． ▌对点练1-2．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． ▌对点练1-3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】解：∵实数a，b满足，， ∴，， ∴， ∴函数的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴下方． 故选：B． 题型 一次函数图象共存问题 解题贴士 1)同一坐标系中两个一次函数，两个解析式的k、b参数必须相互不矛盾； 2)逐一验证选项中两条直线的增减趋势、截距是否符合参数逻辑，排除冲突选项。 ▌例1．下列选项中，表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图像的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合正比例函数图象和一次函数图象判断即可． 【详解】解：图中过原点直线为正比例函数，不过原点直线为一次函数， ①当时，正比例函数过第一、三象限， ∴，同号，同正时， 一次函数过第一、二、三象限，同负时过第二、三、四象限； ②当时，正比例函数过第二、四象限， ∴，异号，则过第一、三、四象限或第一、二、四象限， 结合图象可知，其中选项，选项， 所以选项正确． ▌对点练1-1．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． ▌对点练1-2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象，解题的关键是用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解∶正比例函数与一次函数的自变量系数分别是k和，则两直线相交·故A、C不符合题意； B、正比例函数图象经过第二、四象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则．则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故本选项符合题意； 故选∶D． ▌对点练1-3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布，理解题意是解决本题的关键． 在函数中，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”，再进行讨论b的情况即可判断． 【详解】解：A由图象得，由图象得，故不符合题意； B由图象得，由图象得，故符合题意； C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； D由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； 故选：B． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数（，为常数，且）的图象错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与正比例函数的图象与性质；根据一次函数的图象判断的正负，再判断正比例函数的图象即可解答． 【详解】解：A、由一次函数的图象得：，此时，由正比例函数的图象得：，相符合，故本选项不符合题意； B、由一次函数的图象得：，此时，由正比例函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、由一次函数的图象得：，此时，由正比例函数的图象得：，相符合，故本选项不符合题意； D、由一次函数的图象得：，此时，由正比例函数的图象得：，相符合，故本选项不符合题意； 故选：B 题型 画一次函数图象 解题贴士 采用两点法作图：取直线与坐标轴的两个交点，描点后连接成直线并双向延长。 ▌例1．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 则， ∴， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：列表如下： … 3 0 … … 1 … 函数图象如下所示： ▌对点练1-1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在函数图象上 如下图： 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可得出答案； （2）根据列表，描点，连线得出函数图象，再将代入关系式验证即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：当时，， ∴点不在一次函数的图象上． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·北京延庆·期中）一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求该函数的图象与轴，轴的交点坐标： (3)画出该函数图象． 【答案】(1)这个一次函数的表达式为 (2)该函数的图象与轴，轴的交点坐标分别为， (3) 一次函数的图象如图所示： 【分析】（1）这个一次函数的表达式为，代入点和，得到，解得，即可求解； （2）当时，，解得，得到该函数的图象与轴的交点坐标为；当时，，得到该函数的图象与轴的交点坐标为； （3）利用两点法即可画出函数图象． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过点和， ∴将点和代入中，得 ，解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：由（1）知这个一次函数的表达式为， ∵当时，， 解得， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为； ∵当时，， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为； （3）略 ▌对点练1-3．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) 画出函数图象如下： (2) 【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可； （2）根据图象，写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点坐标为． （2）解：由图象可知，当时，y的取值范围是． 题型 比较一次函数值的大小 解题贴士 易错：①k<0时增减规律记反，大小比较颠倒；②跨函数乱比较，未区分不同函数；③忽略自变量取值范围盲目比较。 ▌例1．（25-26八年级下·广东江门·期末）已知两点，都在直线（为常数）上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】先根据一次函数解析式的比例系数判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵在中，一次项系数， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． ▌例2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）一次函数的图象过点，，则和的大小关系是__________． 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得到和的大小关系． 【详解】解：在一次函数中，一次项系数， 根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小， 两个点的横坐标分别为和， ， ， ． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·广东潮州·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大. ∵点，在该函数图象上，且， ∴． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据函数解析式可得一次函数的增减性，再根据增减性可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数， ∴随的增大而增大， ∵点横坐标为，点横坐标为，且， ∴． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）已知点和在直线上，则与的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：在直线中，一次项系数， 根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小， ∵点和，可得横坐标， ∴． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·新疆·期末）点和点是一次函数的图象上的两点，则________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式确定的符号，利用一次函数的性质判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小． 【详解】解： 在一次函数中，． 随的增大而减小． ． ． 题型 一次函数图象与坐标轴交点问题 解题贴士 1）与y轴交点：令x=0，得(0,b)； 2）与x轴交点：令y=0，解方程得横坐标； 3）可进一步求直线与坐标轴围成的三角形周长、面积。 ▌例1．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】y轴上所有点的横坐标为0，将代入一次函数解析式，即可求出对应的y值，得到交点坐标． 【详解】解：将代入得：， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标是． ▌例2．（25-26八年级下·湖南永州·期末）已知一次函数的解析式为，求这个函数与两条坐标轴的交点坐标． 【答案】与轴交点，与轴交点 【分析】分别求出当时，，当时，，进而可得答案． 【详解】解：对于，当时，， 当时，由得， ∴函数与轴交点，与轴交点． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）一条直线与x轴交于点，则该直线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线表达式为， 令，得， 即直线与轴的交点坐标为． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）函数的图象如图所示，当时，_________． 【答案】3 【详解】解：由图象可知：当时，． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）填空：直线经过点______、______． 【答案】 【分析】由一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将题中已知坐标代入解析式，解方程求出未知坐标即可． 【详解】解：对于直线，当时，代入解析式得，解得；当时，代入解析式得， 综上所述，直线经过点、． ▌对点练1-4．（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据、两点分别在、轴上，令求出的值；再令求出的值即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得，对于直线， 当时，，解得，则点的坐标为， 当时，，则点的坐标为． （2）点的坐标为，点的坐标为， ，． ． 题型 一次函数图象平移问题 解题贴士 平移口诀：上加下减常数项，左加右减自变量。 ▌例1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）将直线向左平移个单位长度，则平移后的直线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数平移规律“左加右减，上加下减”对原解析式进行变换即可得到结果． 【详解】解：∵将直线向左平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式是，即． ▌例2．（25-26八年级下·上海静安·期末）如果一次函数的图像可以由函数的图像平移得到，且该一次函数图像与轴的交点坐标为，那么这个一次函数的表达式为________． 【答案】/ 【详解】解：设所求一次函数的表达式为， 将点代入得：， 则这个一次函数的表达式为：． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线向右平移一个单位长度后得到的直线表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一次函数平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：∵直线沿轴向右平移1个单位长度，根据“右减”的平移规律，需要将原式中替换为， ∴， ∴平移后得到的直线表达式为． ▌对点练1-2．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）已知一次函数的图象与直线平行，则________． 【答案】 【分析】根据平行一次函数的性质，平行的两个一次函数的一次项系数相等，据此即可求出的值． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的范围是__________． 【答案】 【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的性质列出不等式，求解得到的范围． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度，平移后的直线解析式为， 平移后的直线经过第一、二、三象限， ， 解得． ▌对点练1-4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）将直线向上平移m个单位长度，得到的直线经过点，求m的值． 【答案】5 【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再将已知点的坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：由题意可得，平移后得到的直线解析式为， 将点代入得， 解得． 题型 一次函数图象对称问题 解题贴士 易错：①各类对称后k、b变化规律记混；②仅凭直觉改写解析式，不取点验证；③对称后忘记保留 条件。 ▌例1．（25-26九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出一次函数的图象经过点，代入计算即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点， ∴一次函数的图象经过点， ∴， 解得． ▌对点练1-1．（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意易得直线与x轴、y轴的交点坐标为，然后可得点关于直线的对称点坐标分别为，进而问题可求解． 【详解】解：当时，则有，解得：，当时，则有， ∴直线与x轴、y轴的交点坐标为， ∴点关于直线的对称点坐标分别为， ∵直线与直线关于直线对称， ∴把点代入得： ， 解得：． ▌对点练1-2．（2026·江苏南京·一模）一次函数的图象关于轴对称的直线的表达式是_____________． 【答案】 【分析】先在原一次函数图象上选取两个点，利用关于轴对称的点的坐标规律得到对称点的坐标，再利用待定系数法求出对称后直线的函数表达式． 【详解】解：在一次函数的图象上取两点： 当时，，可得点 当时，，可得点 关于轴对称的点的坐标规律为：横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此上述两点关于轴对称的点分别为， 设所求直线的表达式为， 将，代入表达式得 把代入，得 解得 因此所求直线的表达式为 题型 一次函数图象规律探究问题 解题贴士 依次求出前几组交点坐标、线段长度、面积，观察横纵坐标、数值的等差、周期、奇偶规律，归纳通用公式，求解指定项结果。 ▌例1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． ▌对点练1-1．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律． 首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线的解析式为；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点，的横坐标为，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 点的坐标为， 同理，在等腰直角三角形中，，，则， 和均在一次函数的图象上， ， 解得， 该直线的解析式为， 和的横坐标相同，都是3， 当时，，即，则， ， …… 以此类推，，的横坐标为， 当时，， 点的坐标为． 点的坐标为． 故选：D． ▌对点练1-2．（2026·山东济宁·二模）如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． ▌对点练1-3．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 基础通关 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）若点，都在正比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点，都在正比例函数的图象上，且， ∴． 2．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知一次函数的解析式为，下列说法正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．图象经过第二象限 C．图象与轴交于点 D．图象与轴交于点 【答案】C 【详解】解：A、对于一次函数，∵ ，∴ 随的增大而增大，该选项不符合题意； B、∵ ，，∴ 函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项不符合题意； C、令，得，∴ 图象与轴交于点，该选项符合题意； D、令，得，解得，∴ 图象与轴交于点，该选项不符合题意； 故答案为C． 3．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）正比例函数的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的图象性质：图象必过原点，当时经过第一、三象限，并结合特殊点坐标进行判断． 【详解】解：函数是正比例函数， 其图象是一条经过原点的直线，故排除D， ， 图象经过第一、三象限，故排除A， 又当时，， 图象必经过点， 观察选项可知，B选项经过点，C选项经过点， C选项符合题意． 4．（25-26八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数，，，的图象如图所示，则比例系数中最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的图像与系数的关系及直线越陡，越大，可得答案． 【详解】解：∵正比例函数，经过一、三象限，，经过二、四象限， ∴，，，， ∵直线越陡，越大， ∴，即比例系数中最大的是． 5．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、三象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵一次函数解析式为，可得，， ∴该一次函数图象经过第一、二、四象限． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为_____________．（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质，由比例系数的符号判断函数的增减性，再比较三个点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：正比例函数中，比例系数，由正比例函数的性质可得， 当时，随的增大而增大； 三个点的横坐标分别为，，， ∵， ∴． 7．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）一次函数的图象与轴正半轴相交，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据一次函数与y轴交点的坐标特征判断的取值范围，选取符合范围的一个值即可. 【详解】解：对于一次函数，它的图象与轴交点坐标为. 该一次函数图象与轴正半轴相交， ， ∴（答案不唯一）. 8．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键． 根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·吉林·期末）已知直线经过点，． (1)求此直线的解析式； (2)求该一次函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，的值即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴此直线的解析式为． （2）解：将代入函数得：， 解得， 则该一次函数的图象与轴的交点坐标为． 10．（25-26八年级下·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式． 【答案】 【分析】平行直线的一次项系数相等，得到所求直线的一次项系数，再用待定系数法代入已知点坐标求出常数项，即可得到直线解析式． 【详解】解：设平行于的直线解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴这条直线的解析式为． 11．（25-26八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_________； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为_________； (3)请在下面的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的两条性质． 【答案】(1)全体实数 (2)2 (3)见解析 (4)当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最小值，最小值为． 【分析】（1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）把代入中求出y的值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可得到答案； （4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）解：在中，当时，， ∴； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：由函数图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，函数有最小值，最小值为． 12．（25-26八年级下·上海闵行·期中）已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． (1)求点的坐标； (2)已知点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式即可； （2）根据三角形的面积列方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：如图，设， 则有， 解得， ∴点的坐标为或． 13．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）已知一次函数． (1)当为何值时，随的增大而增大； (2)当为何值时，函数图象经过原点； (3)当为何值时，图象经过第二、三、四象限． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的增减性，随的增大而增大列不等式，求解即可； （2）由一次函数图象过原点的特征，代入原点坐标列方程，求解即可； （3）由一次函数图象经过的象限与系数的关系，列不等式组，求解即可． 【详解】（1）解： 随的增大而增大， ， ； （2）解：函数图象经过原点， 当时，， ； （3）解：图象经过第二、三、四象限， ， ． 素养提升 1．（25-26八年级下·陕西延安·期末）若、为常数，且，则一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数中，，的符号，结合图象逐一判断即可． 【详解】解：、如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、如图，由图象可得，，由图象可得，，符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、由图象可知有一条直线经过原点，则或，不合题意，故选项不正确，不符合题意； 、如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 如图，由图象可得，，由图象可得，，不符合题意． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）若点、都在一次函数（，为常数，）的图象上，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数中得出随的增大而增大，由此性质即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴一次函数中随的增大而增大， ∵点，在函数图象上，， ∴． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将直线（k为常数，且）先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到直线（b为常数），则下列说法错误的是（     ） A． B．若点，在直线上，且，则 C．直线一定经过第一象限 D．若直线不经过第四象限，则 【答案】D 【分析】由一次函数平移规律得出平移后解析式，得到与的关系式，再结合一次函数性质判断各选项. 【详解】解：将直线向右平移1个单位长度，得，再向上平移3个单位长度，得， ∴，A正确； ∵点，在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即，B正确； 将代入，得， ∴直线恒过定点，该点在第一象限， ∴直线一定经过第一象限，C正确； 若直线不经过第四象限，则需满足且，即且， 解得，故D错误． 4．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）点，在一次函数的图像上，当 时， 则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由已知条件时，可得随的增大而减小，结合一次函数性质即可得到的取值范围． 【详解】解：已知一次函数解析式为， 由题意可知，当时，， 说明函数值随的增大而减小， 当随的增大而减小时， ， 因此． 5．（2026·山东济宁·二模）正方形，，按如图所示的方式放置，点，，和点，，，分别在直线（）和轴上，已知点，点的坐标是________． 【答案】 【分析】首先求出，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出，，，，得到点Q横纵坐标的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 将代入，得 ∴直线的解析式是 将代入 ∴， ∴，， ∴， 同理可得，， ．．．．．．， ∴． ∴点的坐标是． 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求k，的值； (2)若一次函数的图象与x轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)的值为1，的值为2 (2)2 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）先分别求出当时和当时，的值，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴的值为1，的值为2． （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 将代入函数得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴轴， ∴一次函数的图象与坐标轴围成的的面积为． （3）解：∵一次函数的解析式为， ∴当时，；当时，， 又∵在一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，． 迁移创新 1．（25-26八年级下·河南焦作·期末）在音乐中，音高的频率与数学中的函数存在密切联系，已知在十二平均律中，相邻半音的频率满足等比关系，但在简单旋律中，音高变化常呈现线性规律． (1)问题1：用函数表示音高变化 某段旋律的音高（简谱用数字1~7表示音高，1对应最低音，7对应最高音）随时间（单位：秒，假设旋律持续到8秒）变化的部分数据如下： 时间（秒） 0 2 4 6 音高 2 3 4 5 观察数据，判断与之间是否满足一次函数关系，若满足，求出关于的函数解析式，并写出的取值范围． (2)问题2：旋律中的函数图象与音乐情感 ①若另一段旋律的音高关于时间的函数解析式为，请在同一坐标系中画出问题1中的函数和该函数的大致图象，并对比两段旋律的变化趋势： ·问题1的旋律音高____________（填上升下降或平稳）； ·函数对应的旋律音高____________（填上升下降或平稳）． ②结合数学中比例系数的意义，当比例系数为正数时，试说明为什么比例系数较大的旋律常给人急促上升的感觉． 【答案】(1) (2)① 上升，下降 ②比例系数越大，音高变化速度越快且音高上升，故比例系数较大的旋律常给人急促上升的感觉． 【分析】（1）先通过表格两组自变量差值、对应函数值差值恒定，完成一次函数的判断；再设一次函数解析式，代入表格坐标列方程组求解系数，结合旋律时长确定自变量取值范围． （2）①分别对两个一次函数列表取值，根据表格坐标在同一坐标系描点连线画出函数图象；根据一次函数比例系数正负判断增减趋势，完成填空．②结合一次函数比例系数的几何意义，从函数值变化快慢角度解释比例系数为正且数值大时音高急促上升的原因． 【详解】（1）解：∵表格自变量：，相邻自变量差值：，，，自变量差值恒定． ∵表格对应音高：，相邻函数值差值：，，，函数值差值恒定． ∴与满足一次函数关系． 设， 将，代入，得 ， ． ； （2）①列表 函数1： 0 2 2 3 6 5 函数图象略； 问题1的旋律音高上升； 函数对应的旋律音高下降； ②略 2．（25-26八年级下·安徽黄山·期末）对于实数，定义表示两个数中的较小值．例如：，． (1)填空： ． (2)已知，，且和为两个连续的正整数，求的值． (3)求函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，函数的最大值为 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵和为两个连续的正整数， ∴，， ∴； （3）解：令， 解得， 当时，， ∴， ∴ ， 此时比例系数为1，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值， 当时，， ∴， 此时比例系数为，随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值， 综上所述，当时，的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $