专题5.3 一次函数与方程（组）和不等式（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题5.3一次函数与方程（组）和不等式 教学目标 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在联系，能清晰阐述三者在代数意义和几何意义上的关联。 2.掌握利用一次函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式的方法，以及通过一次函数图象交点求解二元一次方程组的技巧。 3.能根据实际问题情境，建立一次函数模型，结合方程（组）、不等式解决相关实际应用问题，提升知识综合运用能力。 教学重难点 1.重点 （1）一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系（代数意义：一次函数值为 0 时对应一元一次方程，函数值大于 / 小于 0 时对应一元一次不等式；两个一次函数交点坐标对应二元一次方程组的解；几何意义：一次函数图象与 x 轴交点横坐标对应方程的解，图象在 x 轴上方 / 下方部分对应不等式的解集，两函数图象交点对应方程组的解）。 （2）利用一次函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组的方法和步骤。 （3）运用一次函数、方程（组）、不等式的综合知识解决实际应用问题。 2.难点 （1）理解一次函数与方程（组）、不等式之间联系的本质，突破从 “数” 到 “形”、从 “形” 到 “数” 的转化难点，建立数形结合的思维模式。 （2）面对复杂实际问题时，能准确分析数量关系，合理选择一次函数、方程（组）或不等式模型，灵活运用知识解决问题。 （3）清晰阐述利用函数图象求解方程（组）、不等式的推理过程，做到逻辑严谨、表达准确。 知识点01 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, 1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， 2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【即学即练】 1．如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ． 知识点02 一次函数与不等式 由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 【即学即练】 2．如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 知识点03 一次函数与二元一次方程（组） 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【即学即练】 1．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 题型01 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例1】如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例2】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【变式1】直线与轴的交点坐标为 ． 【变式2】已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 题型03 利用图象法解一元一次方程 【典例3】已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 【变式3】一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．    题型04 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例4】一次函数的图象如图，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，函数(、为常数，)的图象与轴、轴分别交于、两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 ． 题型05 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例5】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】一次函数与的图象如图，则当自变量的范围为 时，有． 【变式2】如图直线：与直线：相交于点，由图中信息可知，满足不等式的的取值范围是 ． 【变式3】如图直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为 ． 题型06 两直线的交点与二元次方程组的解 【典例6】若一次函数与的图象交点为，则二元一次方程组的解为 ． 【变式1】已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ； 【变式2】如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是 ． 题型07 图象法解二元一次方程组 【典例7】如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是 ． 【变式1】一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与交于一点，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3.一次函数中，x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 那么一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 4.如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 5．将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，所得图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 7．如图，一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 10．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是 ． 11．如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 三、解答题 12．已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D． (1)直接写出方程组的解； (2)求△PCD的面积； (3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3一次函数与方程（组）和不等式 教学目标 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的内在联系，能清晰阐述三者在代数意义和几何意义上的关联。 2.掌握利用一次函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式的方法，以及通过一次函数图象交点求解二元一次方程组的技巧。 3.能根据实际问题情境，建立一次函数模型，结合方程（组）、不等式解决相关实际应用问题，提升知识综合运用能力。 教学重难点 1.重点 （1）一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系（代数意义：一次函数值为 0 时对应一元一次方程，函数值大于 / 小于 0 时对应一元一次不等式；两个一次函数交点坐标对应二元一次方程组的解；几何意义：一次函数图象与 x 轴交点横坐标对应方程的解，图象在 x 轴上方 / 下方部分对应不等式的解集，两函数图象交点对应方程组的解）。 （2）利用一次函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组的方法和步骤。 （3）运用一次函数、方程（组）、不等式的综合知识解决实际应用问题。 2.难点 （1）理解一次函数与方程（组）、不等式之间联系的本质，突破从 “数” 到 “形”、从 “形” 到 “数” 的转化难点，建立数形结合的思维模式。 （2）面对复杂实际问题时，能准确分析数量关系，合理选择一次函数、方程（组）或不等式模型，灵活运用知识解决问题。 （3）清晰阐述利用函数图象求解方程（组）、不等式的推理过程，做到逻辑严谨、表达准确。 知识点01 一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, 1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， 2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【即学即练】 1．如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为，进而问题可求解． 【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 知识点02 一次函数与不等式 由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 【即学即练】 2．如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用一次函数图象解不等式，不等式的解集为图象在图象上方部分所对应的x的取值，数形结合即可得到答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴当时，，即， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 知识点03 一次函数与二元一次方程（组） 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【即学即练】 1．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 题型01 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例1】如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程之间的关系，解题关键是利用数形结合思想解题． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：， ， 一次函数的图象与轴交于点， 时，，即时，， 关于的方程的解为． 故选：． 【变式1】如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故选：B． 【变式2】如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 【变式3】如图，一次函数的图象经过点，则方程的解是（   ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴方程的解是， 故选：D． 题型02 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例2】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图象与x轴的交点坐标是． 故选：A． 【变式1】直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与轴交点坐标的求法，求直线与轴的交点坐标，令，然后解关于的方程，得到的值和组成的坐标就是直线与轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得， 所以直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式2】已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 题型03 利用图象法解一元一次方程 【典例3】已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数的图象经过点， 即当时，自变量的值就是对应的一元一次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， ∴方程的解是， 故选：． 【变式1】数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用图象法解一元一次方程，根据一次函数和的图象交于点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴根据图象可得，关于x的方程的解为， 故选：A． 【变式2】如图所示，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，根据方程的解其实就是当时一次函数与轴的交点横坐标来解答是解题的关键．根据直线与轴交点的横坐标来解答． 【详解】解：由图知：直线与轴交于点， 即当时，； 因此关于的方程的解为：． 故答案为：． 【变式3】一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解． 结合函数图象得出一次函数图象经过点，即可求解． 【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为时，自变量x的值，观察图象可知一次函数图象经过点， ∴的解为 故答案为：． 题型04 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例4】一次函数的图象如图，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数图象与坐标轴的交点，结合一次函数图象的性质，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故选：C． 【变式1】如图，函数(、为常数，)的图象与轴、轴分别交于、两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查结合函数图象解不等式，理解图象在x轴上方，则是解题的关键． 根据函数图象判断不等式的解集即可． 【详解】解：由题知， 所以时，， 则不等式的解集为． 故选：D． 【变式2】如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为： 题型05 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例5】如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：解：函数和的图象相交于点， 由图象可知，不等式的解集为． 【变式1】一次函数与的图象如图，则当自变量的范围为 时，有． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特征是解题关键．表示的是一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：表示的是一次函数的图象位于一次函数的图象的下方， 则由函数图象可知，当时，有， 故答案为：． 【变式2】如图直线：与直线：相交于点，由图中信息可知，满足不等式的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握根据函数图象求解不等式的方法是解题的关键．根据一次函数与一元一次不等式的关系，通过观察图象中直线在直线上方时的取值范围来求解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点，从图象上看，当时，直线在直线的上方， ∴满足不等式的的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】如图直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象求不等式的解集，掌握一次函数图象的性质是关键，根据一次函数与坐标轴的交点的计算，两直线的交点坐标，数形结合分析即可求解． 【详解】解：在直线中，当时，， ∴当时，， 故答案为： ． 题型06 两直线的交点与二元次方程组的解 【典例6】若一次函数与的图象交点为，则二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此联立两函数所得方程组的解，即为两函数图象的交点坐标． 【详解】解：一次函数与的图象交点为， 所以，就可以同时满足两个函数解析式， 则是二元一次方程组的解， 故答案为：． 【变式1】已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ； 【答案】 【分析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得． 【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系． 【变式2】如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】由题可知，利用函数图象，求解对应方程组的解；由于方程组的解即为与其对应函数交点的坐标，即可求解． 【详解】由题可知：函数 与的图象交于点P（1，2）； 又所求方程组，恰为对应的函数组成； 又函数图象的交点即为其对应方程组的解； ∴方程组的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数与对应方程组的关系，重点理解交点及方程组解的对应关系；熟练数形结合的应用． 题型07 图象法解二元一次方程组 【典例7】如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组，解题的关键是方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， 则二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【变式1】一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，本题考查了利用函数图象求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系． 【详解】解：把代入得：， 解得， 所以点坐标为， 所以关于、的二元一次方程组的解是：， 故答案为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 【变式3】如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图象交点P的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】一次函数与的交点为P（、4） 解得 点P的坐标为（2、4） 的解为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解． 一、单选题 1．如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式． 根据图象，即可得满足题意的x的取值范围． 【详解】解：根据图象可知， 当时，x的取值范围是． 故选：D． 故选：A． 2．如图，直线与交于一点，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握一次函数与方程组的关系．根据两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成方程组的解即可直接得到答案． 【详解】解：由图可知，直线与交点， 方程组的解是， 故选：C． 3.一次函数中，x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 那么一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，此题实际上是求当时，所对应x的值，根据表格求解即可． 【详解】解：根据表格可得：当时，， 即一元一次方程的解是， 故选：D． 4.如图，已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解x为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于点 ∴关于x的方程的解， 故选：B． 5．将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，所得图象与x轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律得到新的函数解析式，再令即可求解． 【详解】将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后得到：， 令， 解得， 所得图象与x轴的交点坐标为． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的平移是解题的关键． 6．如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 7．如图，一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象，写出函数图象不在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于利用函数图象进行解答． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 8．如图，直线，的交点坐标可以看作是下列方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【详解】解：由图可知：直线过，，因此直线的函数解析式为：； 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 因此所求的二元一次方程组为：即 故选：A． 二、填空题 9．若关于的方程的解为，则直线一定经过点 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据方程可知当，，从而可判断直线经过点． 【详解】解：由方程可知：当时，， 故将代入直线，得， ∴直线的图象一定经过点． 故答案为：． 10．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键．先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入得， 解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 11．如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据函数图象解答即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象不在函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 三、解答题 12．已知一次函数=ax+6和=﹣x+b的图象交于点P（1，2），与坐标轴的交点分别是A、B、C、D． (1)直接写出方程组的解； (2)求△PCD的面积； (3)请根据图象直接写出当＞时x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象交点坐标可得方程组的解； （2）先求出两个解析式，再求出C，D的坐标，即可求出面积； （3）根据两函数图象的上下关系结合点P的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2）， ∴方程组的解为； （2）∵一次函数y1＝ax+6和y2＝﹣x+b的图象交于点P（1，2）， ∴， 解得， ∴y1＝﹣4x+6，y2＝﹣x+3， 当y＝0时，0＝﹣4x＋6，解得x＝， 当y＝0时，0＝﹣x+3，解得x＝3， ∴C（，0），D（3，0）， ∴CD， ∴S△PCD． 即△PCD的面积为； （3）根据图象可知当在P点左边时y1＞y2， ∴y1＞y2时x的取值范围为x＜1． 【点睛】本题考查一次函数图象交点与二元一次方程组的解和不等式的解集的关系，解题的关键是掌握一次函数图象与方程和不等式的关系，掌握方程的解与图象交点的关系． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $