第一章 空间向量与立体几何（二）单元测试（基础达标版）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何单元，覆盖位置关系、距离夹角等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，培养几何直观、推理能力与模型观念，适配高二单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|方向向量夹角、法向量判定、线面关系充要条件|结合正方体、四棱台模型，考查空间观念与逻辑推理| |填空题|3/15|线面平行的方向向量、平面距离、劳动实习帐篷模型|融入实际情境，体现应用意识| |解答题|5/77|异面直线角、线面距离、二面角、羡除存在性问题|综合运用空间向量工具，通过分层设问发展创新意识|

人教A版选择性必修第一册同步章末检测 高二数学备课组 第一章　空间向量与立体几何（二） 同步章末检测试卷 考试范围： 用空间向量研究直线、平面的位置关系 用空间向量研究距离、 夹角问题 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·广东湛江·阶段检测）若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量夹角与异面直线所成角关系，结合两条异面直线所成角的范围即可求解. 【详解】设与两条异面直线所成的角为，则， 因为与这两条异面直线所成的角等于直线的方向向量与的方向向量的夹角或夹角的补角， 又，所以， 所以异面直线与所成的角等于， 故选：B. 2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，，所以， 因为平面的一个法向量为，所以， 则，解得， 故选：C. 3．（24-25高二上·山西大同·阶段检测）若平面的一个法向量分别为，，则（    ） A． B．与相交但不垂直 C．或与重合 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，得出，进而得到或与重合. 【详解】由题意，向量平面的一个法向量分别为，， 可得，所以，所以或与重合. 故选：C. 4．（25-26高二上·广东·期末）已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】将“”与“”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“”时，由于可能在平面内，所以无法推出“”. 当“”时，“”. 综上所述，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解平面法向量得，即可根据共线得，进而根据垂直关系即可求解. 【详解】，，设平面的法向量为， 由，可知，且， 令，则， 所以，为平面的一个法向量， 因为在线段上， 设， 所以， 由可得： 所以，，即，所以， 故选：B. 6．（24-25高二上·湖北·期中）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要是平面的一个法向量，则要与平面的两不共线的向量垂直，两向量垂直即数量积为零，再根据数量积的运算验证即可. 【详解】如下图所示： 在平行六面体中，，．设，，， 所以， ，， 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，, ， 与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确； 故选：D. 7．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度． 甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（水库底面与水坝的交线）的距离和分别为和m，的长为m，甲乙之间拉紧的绳长为，则水库底面与水坝所成二面角的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用几何的方法找出二面角的平面角，再用余弦定理得到夹角的余弦值，即可得到夹角． 【详解】过点作，且， 所以四边形为平行四边形，，且， 由题意知，，， 因为，， 所以，， 又， 所以平面， 因为平面， 所以， 在中，，， 所以， 因为，，， 所以为库底与水坝所在水平面夹角的平面角，， 又，所以． 故选：C． 8．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 所以以为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则，，设，其中， 所以，，则点到直线的距离： . 设，因为，所以，则. 所以点到直线的距离的最小值为.    故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．存在，使得 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【分析】根据平面的法向量和直线的方向向量，逐项进行判断即可. 【详解】若，则，即，解得，，则，故A正确. 若，则，即，因为，所以不存在，使得，故B错误. 若，则，所以，解得，故C正确. 若，则，所以，所以.当时，，故D错误. 故选:AC. 10．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在四棱台中，上底面为边长为2的正方形，下底面为边长为4的正方形，分别为上、下底面的中心，平面，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．若点F在平面内，且，则点F到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】过分别作于，可求得判断A；进而可求得坐标判断BC；设，利用，可求得，利用向量法可求点F到平面的距离判断D. 【详解】过分别作于， 因为平面，平面，所以，， 由已知可得四棱台为正四棱台， 又上底面为边长为2的正方形，下底面为边长为4的正方形，， 所以可得，所以，所以，故A正确； 所以，故B正确；，故C错误； 可得，所以，设，所以， 因为，所以，解得， 由题意可知平面，所以平面的一个法向量为， 又， 所以点F到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（    ）    A．当E点运动时，总成立 B．当E向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为45° D．在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】通过证明平面，即可由线面垂直证明线线垂直，即可判断A，根据几何特点，即可直接判断B，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角夹角的余弦值，根据其范围，即可判断C，利用向量的投影向量计算即可得解，即可判断D. 【详解】对A：因为，面，所以面， 因为面，所以，同理可证， 因为，面，所以平面， 因为平面，所以总成立，故选项A正确； 对B：平面即平面，而平面即平面，所以当E向运动时， 二面角大小不变，选项B不正确； 对C：建立如图所示的空间直角坐标系：    则， 因为E，F在上，且，故可设 ，设平面的法向量为， 又，所以，取，则， 平面的法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角， 故，当，故，所以，当且仅当时取最大值，即取最小值，故C正确； 对D：因为，，所以，故在方向上的投影向量为， 故选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（25-26高二上·湖南·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则x的值为______. 【答案】/或/或 【分析】利用空间向量几何意义列方程，解之即可求得x的值. 【详解】由直线平面，可得，则 则 解之得 故答案为： 13．（25-26高二上·广东·期末）已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为________． 【答案】 【分析】求得平面ABC的一个法向量，由求解 【详解】解：因为点，，，， 所以， 设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 所以过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为， 故答案为： 14．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 【答案】 【分析】设与的交点为点O，以O为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意可知，， 故． 设平面的法向量为，又， 则有即 令，可得平面的一个法向量为． 设与平面的法向量的夹角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（24-25高二上·山东·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 16．（15分）（24-25高二上·河北·阶段检测）如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 【答案】(1) 证明：如图，连接交于点，连接. 根据题意可知该四棱锥为正四棱锥，平面，平面，. 又四边形为正方形，. 又，平面，平面，平面， 平面，. (2)证明：以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，，. ，，，，， ，，由平面，知为平面的一个法向量. 又，且不在平面， 平面. 【分析】(1)线面垂直的性质定理可证,先证平面，即可得到结论； (2)建立空间直角坐标系，由（1）知为平面的一个法向量，根据可证. 【详解】（1）略 （2）略 17．（15分）（24-25高二上·河南·期末）在直四棱柱中，，，． (1)证明：平面⊥平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)由题意可知底面， 因为底面，所以． 在梯形中，，， 可得，又，所以， 又因为，所以由余弦定理可得，， 所以，故， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面⊥平面． (2) 【分析】（1）由题意只需证明平面即可，通过解三角形知识可得，由线面垂直的性质可得，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证． （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题意底面，底面， 所以， 又因为， 所以， 以D为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，． 所以． 取为平面的一个法向量． 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以平面的一个法向量为， 所以． 故平面与平面夹角的余弦值为． 18．（17分）（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意可得，再根据，即可求得点的坐标； （2）由（为平面的法向量），求解即可； （3）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 19．（17分）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图，五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，其中，，，，为的中点，平面与平面交于.再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除能够唯一确定，然后解答下列各题. 条件①：平面平面； 条件②：平面平面； 条件③：. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：选①、②或③，几何体都能唯一确定， 在等腰梯形中，是的中点，， 所以，又， 故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，故平面. (2)选①：0； 选②③：； (3)不存在，理由如下： 选①： 设，，则，，则， 所以， ， 解得，均不满足题意，故不存在点Q满足题意. 选②或③： 设，，则， ，则，所以， ，解得， 均不满足题意，故不存在点Q满足题意. 【分析】（1）由四边形为平行四边形，得，根据线面平行的判定定理得证； （2）选①：如图，连接，过作于，由垂直关系建立如图空间直角坐标系，利用两平面的法向量求解； 选②：取的中点为的中点为，连接，如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量求解； 选③：取的中点为的中点为，连接，通过求解二面角的大小为，所以，后面同②； （3）选①、②或③：设，，由先与法向量余弦值求即可. 【详解】（1）略 （2）选①：如图，连接，过作于， 则，，，，同理可得， 则，故. 因为平面平面，平面平面，平面， 故平面，又平面，故， 故，此时，故. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，. 设平面的法向量为，则 取，则； 设平面的法向量为，则 取，则. ， 所以二面角的余弦值为0. 选②：取的中点为的中点为，连接，如图， 因为四边形均为等腰梯形，，所以，. 因为平面平面，平面平面， ，平面，故平面， 又平面，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 设平面的法向量为，则即 令，则，则.易知是平面的一个法向量. ，根据图形知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 选③：取的中点为的中点为，连接，则，. 取的中点为，连接，如图.易知，， ，，， 又，所以，故， 故二面角的大小为，所以. 下同②. （3）略 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步章末检测 高二数学备课组 第一章　空间向量与立体几何（二） 同步章末检测试卷 考试范围： 用空间向量研究直线、平面的位置关系 用空间向量研究距离、 夹角问题 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·广东湛江·阶段检测）若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高二上·山西大同·阶段检测）若平面的一个法向量分别为，，则（    ） A． B．与相交但不垂直 C．或与重合 D． 4．（25-26高二上·广东·期末）已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖北·期中）在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度． 甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（水库底面与水坝的交线）的距离和分别为和m，的长为m，甲乙之间拉紧的绳长为，则水库底面与水坝所成二面角的大小为（    ）． A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．存在，使得 C．若，则 D．若，且，则 10．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）如图，在四棱台中，上底面为边长为2的正方形，下底面为边长为4的正方形，分别为上、下底面的中心，平面，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．若点F在平面内，且，则点F到平面的距离为 11．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（    ） A．当E点运动时，总成立 B．当E向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为45° D．在方向上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（25-26高二上·湖南·期中）直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则x的值为______. 13．（25-26高二上·广东·期末）已知点，，，，则过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离为________． 14．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（24-25高二上·山东·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 16．（15分）（24-25高二上·河北·阶段检测）如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 17．（15分）（24-25高二上·河南·期末）在直四棱柱中，，，． (1)证明：平面⊥平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 19．（17分）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.如图，五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，其中，，，，为的中点，平面与平面交于.再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除能够唯一确定，然后解答下列各题. 条件①：平面平面； 条件②：平面平面； 条件③：. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $