期末专题08 三角函数的图象及其变换、应用（大题综合）（考点串讲+专项训练）（精选30题）-【百强名校好题】2026年高一数学（上）期末终极冲刺（人教A版必修第一册）

期末专题08 三角函数的图象及其变换、应用（大题综合） 百强名校-考点串讲 1．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据诱导公式以及辅助角公式化简，即可利用周期的计算公式求解， （2）利用整体法即可求解. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为. （2）由，，得，， 所以函数的单调递增区间为，. 2．(24-25高一上·吉林长春博硕学校·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为 (2)， 【分析】（1）由二倍角公式及两角差的正弦公式化简，由周期公式可得周期，由整体法求解可得函数的单调递减区间； （2）由的范围和三角函数的性质逐步求解可得值域. 【详解】（1）由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. （2）由（1）知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. 3．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值. （2）利用整体代入法和赋值法来求得正确答案. （3）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式等知识来求得正确答案. 【详解】（1）由图可知， ， 则，由， 得，则， 由于，所以，所以. （2）由于， 要使，则令得， 所以在上的单调增区间是. （3）， . 4．(24-25高一上·河北昌黎第一中学·调研)已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）根据图像先求出周期即可得，由和即可求出和； （2）令即可求出函数的对称轴方程，令，即可求出函数的对称中心的横坐标，纵坐标为0； （3）函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质得解出即可. 【详解】（1）由图可知函数的周期为，有，又由，可得， 又由图可知，有，有，又由.有，可得. 又由图可知，有，可得. 故函数的解析式为； （2）令，可得， 可得函数的图象的对称轴方程为， 令，可得， 可得函数的图象的对称中心的坐标为； （3）当时，，有. 若函数在区间上的值域为，由正弦函数的图象和性质可知，可得 故实数的取值范围为. 5．(21-22高一上·甘肃兰州第二中学·期末)已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的最小正周期T及的解析式； (2)求函数的对称轴方程及单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 【答案】(1)， (2)对称轴为：（），增区间为：（） (3) 【分析】（1）根据图象以及三角函数对称性可求得周期，再由经过的点坐标可得解析式； （2）利用整体代入法根据正弦函数的对称轴方程以及单调区间即可求解； （3）由平移规则得出的解析式并画出图象，再由数形结合可得结果. 【详解】（1）由题意，， 则，所以， 又因为图象过点，所以，可得； 而，则， 于是. （2）结合图象可知，函数的对称轴为（）， 令，，解得，， 即函数的增区间为（）. （3）的图象向右平移个单位长度得到：，于是，如图所示： 因为在上有两个解，所以，即； 即a的取值范围为. 6．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)已知函数. (1)若函数的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； (2)若函数在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，再由周期公式求解； （2）求出的范围，由函数值域及余弦函数的性质可知，即可得解. 【详解】（1） ， 若的两条相邻对称轴之间的距离为，则最小正周期，由得. （2）由（1）知， 由函数在上的值域为可得在上的值域为， 当时，， 因为，所以，可得， 所以的取值范围为. 7．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和. (1)求函数的解析式及的值. (2)求的单调减区间. (3)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据函数图象可求出的解析式，利用五点作图法可求得的值. （2）利用整体代入法可求函数的单调减区间. （3）利用图象变换可求的解析式，即可得到值域. 【详解】（1）设函数的最小正周期为， 由题意可得，，，故， 因为，， 所以，， 根据五点作图法可得，，解得. （2）由，得，， 故的单调递减区间为，. （3）由题意得，， 当时，， 所以， 所以，即的值域为 . 8．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心. （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，， 则，. 所以的对称中心为，. （2）由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 9．(24-25高一上·福建福州第一中学·)为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用锐角三角函数的定义求出 、 的长，然后根据面积公式算出 的面积； （2）根据题意，用关于 的三角函数式表示出三角形区域 的面积 ，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域 面积的最大值. 【详解】（1）设 与 相交于点 ，则 ， 可得 ， ， 因为 等于 到 的距离， 所以， 即 的面积为 . （2）过点 作 于点 ，则 ， 且三角形区域 面积为 ， 设 ，由 ，得 所以 ， 结合 ，可得 当 时， 取得最大值， 即三角形区域 面积的最大值为 . 10．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)0．已知定义在上的函数满足， (1)求值： (2)当时 （i）证明：在上单调递增； （ii）设为锐角，求的最大值. 【答案】(1)1012 (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据已知等式计算求解函数值即可； （2）（i）应用函数单调递增定义证明即可；（ii）根据已知等式化简再结合二倍角的正弦及余弦公式最后应用基本不等式求解得出最大值. 【详解】（1）由已知 所以 有，故 所以 （2）（i）由已知 设，则 结合可知 因为，所以 所以，所以在上单调递增 （ii）设，则目标函数为 由已知， 所以 设，则 由基本不等式 取等，即或，所以 由于单调递增，所以，故的最大值为 由已知 所以 所以的最大值为 因为目标函数为，所以所求函数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数结合三角恒等变换最后应用基本不等式计算求解. 百强名校-真题精练 1．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若不等式对恒成立，求. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意可得，结合正弦函数性质分析求解； （2）分析可知分别为的最小值和最大值，可得，代入运算即可. 【详解】（1）令，即，可得， 所以不等式的解集为. （2）因为对恒成立， 可知分别为的最小值和最大值， 则，可得， 所以. 2．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)已知函数在区间上的最大值为4. (1)求常数的值； (2)当时，写出图象的对称中心及满足时，的取值集合. 【答案】(1). (2)对称中心为，或 【分析】（1）利用辅助角公式和二倍角余弦公式化简函数，再根据正弦函数性质求得最值，列式求解即可. （2）代入正弦函数对称中心结论求解对称中心，将方程化为，根据正弦函数性质解方程即可. 【详解】（1）. 当时，， 的最大值为.即. （2）由（1）得， 令，则，即对称中心为 令.即， 可得或，即或， 所以的取值集合为或. 3．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据“列表描点连线”可作出函数在一个周期上的图象； （2）由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出，再利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）列表如下： 作出函数在一个周期内的图象如下图所示： （2）因为，且，所以，， 所以，， 因此， . 4．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】(1)最小正周期， (2) 【分析】（1）利用三角恒变换化简可得，再由周期公式以及正弦函数的对称轴方程即可求得结果； （2）求出函数的解析式再由复合函数单调性即可得出其值域. 【详解】（1） ， 函数的最小正周期. 令，解得. 所以图象的对称轴方程为. （2）由题知， 则， 令， 则， 当时，；当时，. 综上可知，所求值域为. 5．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知函数，（）的周期是. (1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； (2)解不等式； (3)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简，结合周期求出确定，根据的范围确定的范围，即可确定函数的单调递增区间. （2）将看成整体，解不等式，即可求解. （3）根据的范围确定的范围，由此确定的范围，得到不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为 ， 因为，所以，所以， 因为，所以， 当时，即时函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为：. （2）因为，即， 所以，， 解得：，， 所以不等式的解集为：. （3）当时，，此时， 因为不等式恒成立， 所以，解得：. 6．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若时函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上恰有2024个零点，求所有满足条件的实数与整数. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间. （2）求出相位范围，由给定的佳域求得，再利用正弦函数图象、性质求出范围. （3）化简函数，由零点的意义建立等式分离参数，换元结合函数图象及正弦函数的周期性分类分析判断. 【详解】（1）函数， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）当时，，由时函数的值域为， 得，则， 而当时，，当时，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）知，， 由，而，得，令， ，又，则作出函数的图象如下图：    当时，，，每个周期有2个零点，或， 当时，或，每个周期有3个零点，； 当时，，，每个周期有4个零点，； 当时，或，每个周期有3个零点，， 若，有2023个零点，若，有2025个零点，不可能为2024个零点； 当时，，，每个周期有2个零点，或， 所以当时，或；当时，； 当时，；当时，或. 7．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先根据二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为，然后根据正弦函数的单调性求解单调递增区间即可； （2）由得，然后根据正弦函数性质求解值域即可； （3）设，根据得，根据同角三角函数基本关系及二倍角公式得，，最后利用两角差正弦公式化简求值即可. 【详解】（1）. 令， 所以的单调递增区间为，； （2）当时，所以，所以，所以的值域为； （3）设，则， 由于，故， 所以，所以，， 故. 8．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化简函数的解析式，根据周期求，再利用代入法求函数的值域； （2）根据（1）的结果，代入求得，再利用换元，以及二倍角公式，两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1） ， 因为函数的最小正周期为，所以，得， 所以， ，则，所以， 所以函数的值域是； （2）， 设，，则，，所以， 所以， . 9．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，即可利用整体法求解单调性， （2）根据五点作图法即可求解， （3）根据，利用和差角公式以及辅助角公式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得 ， 令,解得， 故单调递增区间为 （2） 0 0 1 0 0 故在区间内的图象如下所示： （3）由可得, 由于，则，故，故， 因此， 由于，则， 故当，即时，取最大值为. 10．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线（，），其振幅为，且经过点. (1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)若，判断是否为常数？并说明理由. 【答案】(1)，. (2)是，常数为，理由见解析 【分析】（1）首先根据振幅求出，将点代入解析式即可； （2）化简，通过诱导公式、两角和差的余弦公式，化简即可证明. 【详解】（1）由振幅为，，可得，， 由嗓声声波曲线经过点，得， 而，，则，则， 又降嗓声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，所以. （2）由（1）得， 则 . 11．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知函数. (1)求函数的单调递增区间及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)单调递增区间为（），对称中心为（）. (2). 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质求出函数的单调递增区间及对称中心即可； （2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即可求得函数在区间上的值域. 【详解】（1）函数 ， ∴. 令，，得，， 即函数的单调递增区间为（）. 令，，得，， 所以函数的对称中心为（）. （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象； 再向下平移个单位长度得到函数的图象. 因为，所以，所以， 所以，即的值域为. 12．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析； (2) (3)最大值为. 【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可； （2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围； （3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值. 【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解， 故不是“依赖函数”. （2）因为在上递增，故，即，， 由，故，得， 从而在上单调递增，故. （3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故在上单调递减， 从而，解得(舍)或， 从而存在.使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由，得. 由，可得， 又在单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立. 13．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数的图像经过点，且两条对称轴间的距离的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)当，求函数的单调递增区间； (3)若关于的方程在上有且仅有两个实数根，求实数的取值范围，并求出的值. 【答案】(1) (2) (3)的取值范围：，的值为：或. 【分析】（1）由图像过点求得的值，由两条对称轴间的距离的最小值为，求得的值，从而求得函数的解析式； （2）令求出函数的单调递增区间，然后取为和后得到在内的区间，从而写出单调递增区间； （3）由（2）可知函数在区间上函数单调递增，在上单调递减，且存在两条对称轴分别为和，由函数大致图像得到的取值范围，并得到的值. 【详解】（1）∵的图像经过点， ∴，∴或， ∵，∴， 令，解得， ∵两条对称轴间的距离的最小值为， ∴，且， ∴， ∴ （2）令， 解得， 当时，，时， 又∵，∴函数的单调递增区间为. （3）由（2）可知函数在区间上函数单调递增，在上单调递减， 在区间内存在两条对称轴分别为和， ，，， 函数大致图像为： ∵有且仅有两个实根，即有两个交点，如图所示 由图像可知的取值范围：， 由三角函数的对称性可知的值为：或. 14．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)已知. (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求a的取值范围； (3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 【答案】(1)，. (2) (3)92 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性，得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算 求对勾函数最值即可求解根； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【详解】（1） . 令，，则，， 故的单调递增区间为，. （2），即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则， 由对勾函数的性质知在上单调递减， 又，所以， 则的最大值为，故. （3）令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数图像及应用，关键是利用整体思想结合对称性求解第三问. 15．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)定义在上的函数满足：①；②，. (1)求的值； (2)若（，），试求的最大值； (3)在（2）的条件下，已知函数，，其中，实数m，n为与x无关的常数，记函数的最大值为M，试求M的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，进行计算即可求出； （2）由函数的定义可以求得的周期为3，从而求得的值，根据的值建立方程，可以求得的解析式. （3）由绝对值三角不等式先求出，再求的最小值. 【详解】（1）由，，得， 所以，，. （2）由（1）得，， 所以的周期为3，即，所以. 所以. 又， 解得， 所以，. （3）由（2）知， 又当时，， 函数，此时，或，或， 故可得，， 当时，， 所以函数的最大值M的最小值为. 【点睛】关键点点点睛： 第二问的关键是由（1）确定的周期为3，再利用的值求出；第三问的关键是利用绝对值不等式求出. 16．(24-25高一上·福建福州第一中学·)定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【答案】(1)不具有性质，具有性质. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据性质的定义，结合两个函数的解析式，即可判断； （2）（ⅰ）结合性质的定义，根据特殊值，即可判断，再根据定义得到，，并推导出，并求的值，（ⅱ） 【详解】（1）， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质. （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质. （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得： 17．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)证明：为定值，并求出该定值； (3)设的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）设，由锐角三角函数与三角形的周长得到，从而表示出，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得； （2）设，，则，，从而可得，，，再通过的周长为，建立等式，再由两角和的正切公式求出，即可求出； （3）由三角形的面积公式得到，再将（2）中数据代入求出，求出到的距离为定值1，即可求解； 【详解】（1）设，，则，， 的周长为， ， 所以， 又，， ， 当，即时，取得最小值，且的最小值为； （2）设，，， 则，， ，，， 的周长为， ， ， ， ，又，， ， ， ，为定值； （3） 如图，作， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 由（2）知， ， ，即到的距离的定值为． 又的最小值为， 所以的最小值为 【点睛】关键点点睛：由，推证到的距离的定值为； 18．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟. (1)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （2）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（， ）， 依题意可得，， ． 依题意，， 当时，，且位于递增区间，所以可取， ． （2）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 19．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)哈尔滨冰雪大世界的雪花摩天轮总高120米，转轮直径约为106米，共有48个月冕型轿厢，每个轿厢可容纳10人.雪花摩天轮旋转一圈时间约是24分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位；min）后距离地面的高度为H（单位：m） (1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)若甲、乙两人进舱时间相差4分钟，从第一个人进仓开始记时，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值. 【答案】(1)，. (2)分钟时，第一次达到最大值53米. 【分析】（1）摩天轮的运动可以看作是一个圆周运动，其高度随时间的变化可以用正弦函数或余弦函数来表示.我们需要根据摩天轮的相关参数确定函数的各项参数. （2）在求出（1）中函数解析式的基础上，根据甲、乙进舱时间差，分别写出两人距离地面高度的表达式，然后求高度差的表达式，再通过分析这个表达式来找出高度差第一次达到最大时的时间和最大值. 【详解】（1）摩天轮转轮直径约为米，那么半径米，摩天轮总高米. 摩天轮旋转一圈时间约是分钟，根据三角函数的周期公式（这里），可得. 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设. 因为，，. 所以，. （2）设甲进舱时间为，则乙进舱时间为. 甲距离地面高度.乙距离地面高度. 高度差. 根据两角和的余弦公式，. 则进一步化简. 根据两角差的余弦公式，. 当，即分钟时，第一次达到最大值53米. 20．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. (1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； (2)设，若与为“函数对”，求的取值范围； (3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义进行求解即可； （2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及单调性的性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数单调性的性质可知函数是实数集上的增函数， 因为，所以函数在上有唯一零点， 当时，函数是单调递减函数， ，即， 所以函数在上没有零点，不符合题中定义，和不是“函数对”； （2）由得，， ，所以的零点是的零点， 由得，， 当时，，所以为的零点 而当时，必须使得无解， 否则的一些零点不能使得， 所以对成立， 所以，得，此时的零点也全是的零点，综上. （3）由， 因为函数与为“函数对”， 所以，取对得， 由， 因为函数与为“函数对”， 所以有， 因为在上单调递增，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题08 三角函数的图象及其变换、应用（大题综合） 百强名校-考点串讲 例1．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间. 例2．(24-25高一上·吉林长春博硕学校·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值. 例3．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)若，求的值. 例4．(24-25高一上·河北昌黎第一中学·调研)已知函数的部分图象如图所示，函数的图象与轴的交点的纵坐标为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围. 例5．(21-22高一上·甘肃兰州第二中学·期末)已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的最小正周期T及的解析式； (2)求函数的对称轴方程及单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 例6．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)已知函数. (1)若函数的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； (2)若函数在上的值域为，求的取值范围. 例7．(24-25高一上·陕西西安西北工业大学附属中学·期末)已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和. (1)求函数的解析式及的值. (2)求的单调减区间. (3)先将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位长度，最后得到函数的图象，求在区间上的值域. 例8．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 例9．(24-25高一上·福建福州第一中学·)为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值. 例10．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)0．已知定义在上的函数满足， (1)求值： (2)当时 （i）证明：在上单调递增； （ii）设为锐角，求的最大值. 百强名校-真题精练 1．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若不等式对恒成立，求. 2．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)已知函数在区间上的最大值为4. (1)求常数的值； (2)当时，写出图象的对称中心及满足时，的取值集合. 3．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)若，且，求的值. 4．(24-25高一上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期末)已知函数. (1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域. 5．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)已知函数，（）的周期是. (1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； (2)解不等式； (3)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 6．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若时函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上恰有2024个零点，求所有满足条件的实数与整数. 7．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值. 8．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 9．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)用五点法作出在区间内的图象； (3)在中，若，求的最大值. 10．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线（，），其振幅为，且经过点. (1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)若，判断是否为常数？并说明理由. 11．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知函数. (1)求函数的单调递增区间及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 12．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． (1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； (3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 13．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知函数的图像经过点，且两条对称轴间的距离的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)当，求函数的单调递增区间； (3)若关于的方程在上有且仅有两个实数根，求实数的取值范围，并求出的值. 14．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)已知. (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求a的取值范围； (3)已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值. 15．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)定义在上的函数满足：①；②，. (1)求的值； (2)若（，），试求的最大值； (3)在（2）的条件下，已知函数，，其中，实数m，n为与x无关的常数，记函数的最大值为M，试求M的最小值. 16．(24-25高一上·福建福州第一中学·)定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质和； (2)若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 17．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)证明：为定值，并求出该定值； (3)设的面积为，求的最小值. 18．(24-25高一上·浙江杭州第二中学·期末)某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟. (1)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (2)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值. 19．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)哈尔滨冰雪大世界的雪花摩天轮总高120米，转轮直径约为106米，共有48个月冕型轿厢，每个轿厢可容纳10人.雪花摩天轮旋转一圈时间约是24分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位；min）后距离地面的高度为H（单位：m） (1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； (2)若甲、乙两人进舱时间相差4分钟，从第一个人进仓开始记时，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值. 20．(24-25高一上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)若函数和的零点相同，则称和是“函数对”. (1)已知，判断与是否为“函数对”，并说明理由； (2)设，若与为“函数对”，求的取值范围； (3)已知m，n是实数，若函数与为“函数对”，函数与为“函数对”，求mn的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $