5.5三角恒等变换专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5 三角函数恒等变换 【知识点归纳】 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β)) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) tan 2α＝ (T2α) 3．公式的变形、逆用和变形用 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 正切和差公式变形（拓展结论）： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos)2，1－sin α＝(sin－cos)2. 4.万能公式：用正切来表示正弦、余弦的倍角公式 (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. 5.辅助角公式 ,其中。 【典型例题】 例1．（单选题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，由，，求出和，再由两角和的余弦公式得出结果 【解析】由题意知，，因为，所以， 因为，所以，则 故选：D 【变式1】（填空题）求_________ 【答案】 【分析】将，再根据两角差的余弦公式计算可得. 【解析】因为. 例2．（填空题）已知，都是锐角，，，则的值_________ 【答案】 【解析】已知是锐角，，则， ，都是锐角，则，又， 则，故， ． 【变式2】（单选题）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，利用两角和的正弦公式求和. 【详解】因为，，所以 . 故选：D 例3.（解答题）已知 (1)求 的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值. 【解析】（1）且，. 且， 因此，； （2）由（1）知，，，， ， 、，，因此，. 【变式3】（填空题）已知，，，，则的值为_____. 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【解析】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 例4.（填空题）将下列各式化成的形式，其中，，. ①________________； ②________________； ③________________； 【答案】① ； ② ； ③ ； 【变式4】（填空题）将下列各式化成的形式，其中，，. ①________________； ②________________； ③________________； 【答案】① ； ② ； ③ ； 【练习】（1-7单选题） 1.　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】解：原式．故选：B. 2．已知，则　　 A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】解：由，整理得，解得， 所以．故选：． 3．已知，，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，，， 为锐角，为锐角或钝角，若为锐角，则，不成立， 为钝角，，且， ．故选：． 4．若，则　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】故选：．解：因为， 所以；． 5．已知，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意，可得．故选：． 6．若，则　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：若，则， 即，可得，， 所以．故选：． 7．已知，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由可知，， 即，得， 所以．故选：． 8.(多选题)下列四个选项中，结果正确的是(　　) A.cos(－15°)＝ B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0 C.sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝ D.cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin(25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝－ 【答案】BC 【解析】对于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝，A错误； 对于B，cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝－cos 15°·sin 15°＋sin 15°cos 15°＝0，B正确； 对于C，sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°·cos16°＋cos14°sin16°＝sin30°＝，C正确； 对于D，cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝，D错误．故选BC. 9.列各式中，值为的是（） A. B.cos2－sin2 C.cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 【答案】AB 【解析】由半角公式得，故A符合题意. 由二倍角余弦公式得，故B符合题意. 由正弦差角公式得，故C不符合题意. 由二倍角正切公式得，故D不符合题意. 故选：AB. 10.（填空题）已知，，，________ 【答案】 【解析】由，，，得， . 由两角和的正弦公式展开计算得 . 11.（填空题）                   ． 【答案】 【解析】由正切差角公式得， 代入原式分子，结合，，得原式等于. 展开分子化简得. 故答案为：. 12.已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈. 求： (1) cos(2α－β)的值； (2) β的值. 【答案】（1） （2） 【解析】解：(1) 因为α，β∈，所以α－β∈. 又因为sin(α－β)＝＞0， 所以0＜α－β＜. 所以sin α＝＝， cos(α－β)＝＝. cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝. (2) cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝， 因为β∈，所以β＝. 13.已知函数． (1)求在上的最大值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)2；(2)；(3) 【解析】（1） ， ， 则，故在上的最大值为； （2）； （3）由（1）当则， ， 故 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 三角函数恒等变换 【知识点归纳】 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β)) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) tan 2α＝ (T2α) 3．公式的变形、逆用和变形用 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2. 正切和差公式变形（拓展结论）： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－＝－1. 配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos)2，1－sin α＝(sin－cos)2. 4.万能公式：用正切来表示正弦、余弦的倍角公式 (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. 5.辅助角公式 ,其中 【典型例题】 例1．（单选题）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（填空题）求_________ 例2．已知，都是锐角，，，则的值_________ 【答案】 【变式2】（单选题）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 例3.（解答题）已知 (1)求 的值; (2)求的值. 【变式3】（填空题）已知，，，，则的值为_____. 例4.（填空题）将下列各式化成的形式，其中，，. ①________________； ②________________； ③________________； 【变式4】（填空题）将下列各式化成的形式，其中，，. ①________________； ②________________； ③________________； 【练习】（1-7单选题） 1.　　 A． B． C． D． 2．已知，则　　 A． B． C．3 D． 3．已知，，且，则　　 A． B． C． D． 4．若，则　　 A． B． C． D． 5．已知，则的值为　　 A． B． C． D． 6．若，则　　 A． B． C． D． 7．已知，则的值为　　 A． B． C． D． 8.(多选题)下列四个选项中，结果正确的是(　　) A.cos(－15°)＝ B.cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0 C.sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝ D.cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin(25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝－ 9.(多选题)列各式中，值为的是（） A. B.cos2－sin2 C.cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 10.（填空题）已知，，，________ 11.（填空题）                   ． 12.（解答题）已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈. 求： (1) cos(2α－β)的值； (2) β的值. 13.（解答题）已知函数． (1)求在上的最大值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $