5.5 练习5　简单的三角恒等变换 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“简单的三角恒等变换”同步练，以“基础巩固-综合应用-能力提升”分层，覆盖公式应用、化简证明等，适配新授课知识内化与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式应用（半角、积化和差）|1-5题直接公式计算，强化运算能力| |中档|公式综合与简单情境（周期、范围）|6-8、10-12题结合象限分析，发展几何直观| |提升|多知识点综合与证明|14题含两角和差推理、16题证明，培养逻辑推理能力|

5.5 练习5　简单的三角恒等变换 1. 已知cos α＝－＜α＜π，则sin 等于(　D　) A. － B. C. － D. 【解析】 由＜α＜π，可知，故sin . 2. 利用积化和差公式化简sin αsin的结果为(　D　) A. －[cos(α＋β)－cos(α－β)] B. [cos(α＋β)＋cos(α－β)] C. [sin(α＋β)－sin(α－β)] D. [sin(α＋β)＋sin(α－β)] 【解析】sin αsin＝sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]. 3. 设－3π＜α＜－，则等于(　D　) A. sin ＋cos B. －cos －sin C. cos －sin D. sin －cos 【解析】∵－3π＜α＜－，∴－＜－. ∴sin ＞0，cos ＜0， ＝sin －cos . 4. 化简：等于(　B　) A. tan α B. cos α C. sin α D. cos 2α 【解析】 ＝cos2－sin2＝cos α. 5. 函数y＝的最小正周期为(　C　) A. B. π C. 2π D. 3π 【解析】y＝＝tan ，其最小正周期T＝＝2π. 6. 若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于 (　D　) A. － B. － C. D. 【解析】由已知得2sincos·×2sinsin，∵0＜＜π，∴sin＞0，∴tan，又－，∴，∴α－β＝. 7. 设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是(　A　) A. B.(0，1) C. D. 【解析】直角三角形中两锐角为A和B，则A＋B＝C＝，则cos Acos B＝[cos(A－B)＋cos(A＋B)]＝cos(A－B)，再结合A－B∈，可得 cos(A－B)∈(0，1]，∴cos(A－B)∈. 8. (多选)下列各式中，与tan α相等的有(　CD　) A. B. C. ·(α∈(0， π)) D. 【解析】A不符合，＝|tan α|；B不符合， ＝tan ；C符合，∵α∈(0，π)，∴原式＝·＝tan α；D符合，＝tan α. 9. (多选)下列说法中，正确的有(　AC　) A. 存在实数α，使tan 2α＝2tan α B. C. 已知tan α＝－4，则tan D. tan 75°＝ 【解析】对于A，取α＝0，则tan 2α＝0＝2tan α，A正确；对于B，由半角公式可知＝tan 40°≠，B错误；对于C，由于tan α＝－4＝，整理得2tan2－tan－2＝0，解得tan，C正确；对于D，由正切的半角公式知tan 75°＝，D错误. 10. 已知sin －cos ＜α＜π，则tan ＝　2　.  【解析】∵，∴1－sin α＝，∴sin α＝.∵＜α＜π， ∴cos α＝－，∴tan＝2. 11. 已知cos α＋cos β＝，则cos cos 的值是 　.  【解析】∵cos α＋cos β＝，∴coscos(cos α＋cos β)＝×. 12. 化简：＝　tan　.  【解析】原式＝＝＝＝tan . 13. 已知＜α＜3π，试化简：. 解：∵＜α＜3π，∴，∴cos α＜0，sin ＜0. 故原式＝＝－sin . 14. 已知cos β＝－，sin(α＋β)＝，且α∈，β∈. 求： (1)tan 的值；(2)sin α的值. 解：(1)∵β∈，∴∈，从而tan＞0，又cos β＝－，∴tan. (2)∵β∈，cos β＝－，∴sin β＝. 又α∈，∴α＋β∈， 从而cos(α＋β)＝－＝－＝－， ∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝××. 15. (多选)已知函数f(x)＝sin x·sin的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值可能是(　AB　) A. B. C. D. 【解析】f(x)＝sin x·sin＝sin x·(1－cos 2x)＋sin 2x－sin.∵f(x)的值域为，∴sin∈，∴2x－∈，k∈Z，故x∈，k∈Z，∴(n－m)max＝kπ＋，(n－m)min＝×. 16. 证明：tan . 证明：＝tan，得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 练习5　简单的三角恒等变换 1. 已知cos α＝－＜α＜π，则sin 等于(　 　) A. － B. C. － D. 2. 利用积化和差公式化简sin αsin的结果为(　 　) A. －[cos(α＋β)－cos(α－β)] B. [cos(α＋β)＋cos(α－β)] C. [sin(α＋β)－sin(α－β)] D. [sin(α＋β)＋sin(α－β)] 3. 设－3π＜α＜－，则等于(　 　) A. sin ＋cos B. －cos －sin C. cos －sin D. sin －cos 4. 化简：等于(　 　) A. tan α B. cos α C. sin α D. cos 2α 5. 函数y＝的最小正周期为(　 　) A. B. π C. 2π D. 3π 6. 若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于 (　 　) A. － B. － C. D. 7. 设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是(　 　) A. B.(0，1) C. D. 8. (多选)下列各式中，与tan α相等的有(　 　) A. B. C. ·(α∈(0， π)) D. 9. (多选)下列说法中，正确的有(　 　) A. 存在实数α，使tan 2α＝2tan α B. C. 已知tan α＝－4，则tan D. tan 75°＝ 10. 已知sin －cos ＜α＜π，则tan ＝　 　.  11. 已知cos α＋cos β＝，则cos cos 的值是 　 .  12. 化简：＝　 　.  13. 已知＜α＜3π，试化简：. 14. 已知cos β＝－，sin(α＋β)＝，且α∈，β∈. 求： (1)tan 的值；(2)sin α的值. 15. (多选)已知函数f(x)＝sin x·sin的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值可能是(　 　) A. B. C. D. 16. 证明：tan . 学科网（北京）股份有限公司 $