微专题 三角恒等变换求值求角技巧归纳6种题型（专项训练）数学人教A版2019必修第一册

微专题 三角恒等变换求值求角技巧归纳 题型1 给角求值 1、 对角进行拆分、尽可能化为同角、特殊角，已知正余弦值的角。 2、 通过三角恒等变换公式的应用、逆用、变形对项进行求值。 1．（2025高三�全国�专题练习）（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式化简，再将化为，利用两角和与差的正弦公式可求三角函数式的值 【详解】 . 故选：A. 2．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 3．（多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D. 【详解】对于A：因为， 则， 所以，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD 4．（多选）（25-26高三上·四川遂宁·期中）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：AB. 5．（多选）（24-25高一下·江苏镇江·月考）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】拆角后由两角差的正切公式可判断A；由二倍角的余弦公式结合余弦值可得B错误；由二倍角的正弦公式和诱导公式可得C正确；由二倍角的正弦和辅助角公式可得D错误. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，， 故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC 题型2 给值求值-拆角、拼角 1、 利用诱导公式、拆角配角等来转换角度 2、 常见的一些拆角： 3、 化简过程利用两角和差公式、二倍角公式，公式正用、逆用等去求值。 4、 主要角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 1．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】由角与角的关系结合诱导公式即可计算求解. 【详解】 因为，， 所以． 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】令，即，，代入利用二倍角公式即可求解. 【详解】令，即，， ， 故答案为：. 3．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 4．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系、三角和差的余弦公式、二倍角公式化简计算即可，注意在用同角的三角函数关系求值时正负值的取舍. 【详解】，， ，， . 故选：B. 5．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据，根据二倍角公式及的范围求，，对于A，由，结合商的关系求即可判断，对于B，利用二倍角公式求，根据平方关系求，再由结合两角和正弦公式求即可判断，对于C，由，结合余弦函数的有界性即可判断，对于D，先求，再由结合两角和正切公式求即可判断. 【详解】因为，所以，， 又，所以，，故，， 对于A选项，因为，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，，所以， 因为，所以，又， 所以，， 所以，B错误， 对于C选项，因为，，故，C错误， 对于D选项，因为，，所以， 又，所以，故D正确， 故选：AD. 题型3 给值求值-利用正余弦乘积 1、 对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 2、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 1．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知，则（     ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【分析】结合，运用两角和与差的正弦公式构造出与，再利用诱导公式，即可得解. 【详解】由得，①，②， 即，， ∴ ∵，∴. 故选：D. 2．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正弦结合弦切互化化简即可. 【详解】，， 又由，得，即， ，即． 故选：D 3．（2025·湖南永州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件利用同角关系化简可得，由条件，结合两角和正弦公式可得，再根据两角差的正弦公式求出结果即可. 【详解】由题意得，即，即， 得，又因为， 所以， 因此. 故选：B. 4．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦与余弦的两角和与两角差，以及余弦的二倍角公式。 【详解】由，得， 由，得， 联立解得，， 因为， 所以， 故选：A 5．（多选）（25-26高三上·山东济宁·期中）设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，同角三角函数关系，两角和的正切公式依次判断每个选项即可. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 题型4 给值求值-弦化切 1、 对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同除来构造 2、 对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1 = ”来构造一个二次的分式齐次式，上下同除，从而得到 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求，再由两角和与差的余弦公式结合弦化切即可求解. 【详解】由题意有：，又，即， 所以，解得， 所以， 故选：D. 2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦和差公式和齐次化得到，再代入求值即可. 【详解】， 故. 故选：C 3．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）已知，则（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式化弦为切得，利用得，，然后利用两角和的正切公式求值即可. 【详解】因为，即， 等式两边同时除以，可得， 又，所以，， 则 故选：D 4．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式求得，然后利用将目标式子化弦为切，进而代入计算即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：B 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求解即得． 【详解】因为，解得， 又因为，所以 . 故答案为：. 题型5 给值求值-利用平方 1、对 通过该关系式可以对与进行互化。 2、遇到式子时，可以考虑平方相加。 3、遇到时，可以考虑构造对偶式,平方相加后求值。 1．（25-26高三上·浙江·月考）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果. 【详解】由得， 同理可得， 两式相加得， 即，所以， 因为，所以，得，所以. 故选：B. 2．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，则的值为 【答案】 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，再由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，且，所以为第二象限角，故. 所以，而 解得， 所以. 故答案为： 3．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知，，则 . 【答案】 【分析】通过平方已知等式求得，结合角的范围确定，再利用两角差余弦公式计算目标式. 【详解】将两边平方，得， 即， 由同号，可得为锐角， 又，得，所以， 故. 所以. 故答案为： 4．（山东省青岛市2025-2026学年高三上学期1月部分学生调研检测数学试题）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正余弦公式化简已知等式，求得，再利用二倍角的正切公式计算即得. 【详解】由可得，即， 也即，因，则，， 故得，即，故. 故答案为：. 题型6 给值求角 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生增根。 1．（25-26高一上·上海·月考）已知，且满足，则 ． 【答案】/ 【分析】根据两角差的余弦公式得，再根据角的范围求解. 【详解】根据题意，， 因为，则， 所以，则. 故答案为： 2．（24-25高二上·贵州遵义·月考）已知且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正弦公式结合求，注意确定角的范围，然后得出结论． 【详解】因为且，函数在上单调递减， ，， 又，，所以， ， ，， 所以， 又，，所以，结合，可得， 所以，所以， 故选：A． 3．（2025高三·全国·专题练习）若锐角、满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式变形为，设，问题转化为圆上点与直线有公共点，根据直线与圆的位置关系得出的不等式，解出的值，结合的取值范围可得出的值，然后将的值代入题干中的等式，结合角的取值范围可求出的值，即可得解. 【详解】由， 整理得． 考虑单位圆模型，我们设， 则． 原等式的几何意义为圆上的点与直线有公共点， 可得，所以， 整理可得， 所以， 由于为锐角，故， 将代入得 ，即， 因为，所以，故，即，所以， 故选：C． 4．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论. 【详解】解法1：由得，， 又因为，所以，则或， 整理得或（舍去）. 故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则， 整理得. 故选：C． 5．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题三角恒等变换求值求角技巧归纳 题型一给角求值 题型二给值求值拆角、拼角 题型三给值求值利用正余弦乘积 三角恒等变换求值求角技巧归纳 题型四给值求值弦化切 题型五给值求值利用平方 题型六给值求角 /0o 微点量破 题型一给角求值 啸方法 1、对角进行拆分、尽可能化为同角、特殊角，已知正余弦值的角。 2、通过三角恒等变换公式的应用、逆用、变形对项进行求值。 √3-4sin20°+8sin320° 1.(2025高三。全国专题练习) 2sin20°sin480 () 2W3 5 2 A.3 B.3 C.3 D.2 2.(多选)(25-26高一上·全国·课前预习)下列计算正确的是() A.Cos45cos151+3 4 B.sin45sin15°=1-V3 4 C.sin45°cos15°=1+V3 2 D. cos45sin15°=V5-1 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(多选)(25-26高三上·山东淄博·期中)下列化简正确的是() A. B. 2cos1o-sin20=3 tan80°-tan35°-tan80°tan35°=1 c0s20° 1 3 =-4 C.sinl0°cosl0° D.16sinl0°cos20°cos30°cos40°=√3 4.(多选)(25-26高三上·四川遂宁·期中)下列各式的值为2的是() 2tanπ 8 A.sin Sz B.2sin c 12cos 12 C.1-tan D. 6 8 cos +sinπ π 12 12 5.(多选)(24-25高一下·江苏镇江·月考)下列等式正确的是() A.(1+iam18(1+tan279=2 B.1+cos4=2cos2 1 3 C.4sin18°cos36°=1 D. =1 sin10°cos10° 题型二给值求值一拆角、拼角 啸方法 1、利用诱导公式、拆角配角等来转换角度 2、 常见的-些拆角：2a=(a+B)+(a-B);a=(c+B)-B=c+里+a一里 2 2 3、化简过程利用两角和差公式、二倍角公式，公式正用、逆用等去求值。 4、主要角的范围，在计算值正负性的时候比较重要。 16商一上云商限期月考)已口引，则0引出传-- :255有-上防无月专，已阳口}，2如- 6高-上进前月专)后+小5。业子，则后小昏-小 为() 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43 2W3 25 A.3 B.3 C.0 D.3 (s6有一卡石尚配明月专)已0，且如》.号号，则 4. cos(a+)=() 209 A.729 B 239 729 c 729 D.209 <0< 5.(多选)已知 5<B<元，cos2&=-5,cos(B-x)=V10 10,则() A.tana=2 B sin(a+B)io 10 C.cos(3a-)6 2 D.tanB=-1 题型三给值求值一利用正余弦乘积 啸方法 l、对sin(da±β)=sin a cos B±cos a sin Bi而言，可以把sina cosβ，cos asinβ看着两个整体，通过 直接求这两个值来求in(a±B)i。通常条件中出现sin(a+B八、sin(--B、 tanc,三者关系 tanβ 时。 2、对cos(ia±β)=cosa cos B干sin a sinβi而言，可以把cos a cosβ，sina sinB看着两个整体，通过 直接求这两个值来求cos(ia±B)d。通常条件中出现cos(ia+B)、cosa-B)、tana·tan Bi三者关 系时。 1.(2526高=上湖南都阳月考)已知io=2 2cozin,.in(a+A1-4,则sn(B-=() 1 1 1 1 A.6 B.一6 C.12 D.-12 2(25-26高一上：云南昆明期未)已知sn(a+)=ama=2amf,则lsinacos9B=) 1 A.5 B. C. D.5 3/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3.(2025·湖南永州·模拟预测) 已a引ao引n2a+-tmu tanB,则 sin(2aB)=() 1 A.5 B.5 C. o. 4.(24-25高一下：贵州遵义·月考)已知sina+B)=2 tanc=2anB,则cos2a-2B)=（) A B. D. 5.(多选)(25-26高三上山东济宁期中)设0 B-5,5c0sa+P月)=4，则(） 2 A.sinasin B B.cos(a-B)=0 C. tana tan B=-1 2tan(a+B)tan a +tan B D. 题型四给值求值-弦化切 煤方法 1、对于题目中给出的分式恰好是正余弦的一次比一次的齐次式或二次比二次的齐次式，则可以上下同 除cosr或除cos a来构造tana 2、对于题目中给出的式子每项都是二次式，这时可以用“1=c0sa+sina”来构造一个二次的分式 齐次式，上下同除cos2,从而得到tana cos(a-B) 1. (25-26高三上：黑龙江月考)已知a'B满足4ama+1=0'sina+f)=3cosa+),则cosa+ () 4v5 4V5 26 9 A.5 B.5 C.75 D.17 sin(a+B) 2.(25-26高三上：湖南长沙月考)已知tanB=-3tana≠0，则sina-B)() A.2 B.3 c D.-2 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3.(25-26高三上陕西宝鸡：期中)己知os(a+B川=sinco,tanctanp=2,则ana+B)=（） 11 11 A.3 B.9 1 C.3 D.3 4,（25-26商三上河北秦皇岛月考)若m0+}-3 sinθsin20-l) ,则cos0+cos30() 2W2 1 1 2W2 A. 3 B.3 C.3 D.3 5.(25,26高三上黑龙江哈尔族期中)若m口+引-3 cos(a-B) tanB=3,则sin(a+f) 题型五给值求值-利用平方 啸方法 1、对sina±cosa2=cos2a+sina+2 sinacosa=1+2 sinacosa 通过该关系式可以对sina±cosa与sinacosa进行互化。 2、遇到a sina+bcosB与a cosa-bsinB式子时，可以考虑平方相加。 3、遇到asina+bcosa时，可以考虑构造对偶式ncosa一bsina,平方相加后求值。 π 1.(25-26高三上浙江月考)已知“0 2,且 mcosa+ncos =m msina-nsin =n(mn) 2 2 则 cosa=() 1 A.3 B.Z c 2 D.2 2. 2025高一上·江苏专题练习)已知osa+sina=V7 -π3π sing 4,22, 则1-tana的值为 3.（25-26高三上山东潍坊月老)已知sinr-cosr附 号，动，则2r 4.(山东省青岛市2025-2026学年高三上学期1月部分学生调研检测数学试题)己知 2sin0+cos0=1,0e(0,π)，则tan0=—. 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六给值求角 城方法 在给值求角的问题时，主要问题在讨论角的象限。这是可以通过正余弦在不同象限的正负性来确定。在 讨论角的范围时，结合已知条件中的角的范围，以及三角函数值的符号，尽量缩小角的范围，防止产生 增根。 1. （25-26高-上·上海月考)已知a∈0，，且满足c0sac0s +sinasin 21 9 9=2,则a= 2.（24-25高二上：贵州遵义：月考)已知w,B∈0月cosa3的 osa+B=2 5, 10,则a-B=() A. π B.4 C. D. 3 3.(2025高三·全国：专题练习)若锐角aB满足cosa+cosB-cosa+B)=2,则2a+B=() 2 3π A.2 B.2 C.元 D.0 ana=1-sinB 4.(24-25高二下·陕西榆林·期末)已知 cosB,且 . 则下列选项正确的是() A.a+B-2 R.2a-B=8 C.2a+B-8 D.2a+f=π 5.(24-25高一下江苏镇江期末已知。，B为锐角，ana=马，cosa+p)=V3 -10,则2a+B的值为 () A. 3π B.元 C. π D.4 6/6