第07讲 幂的运算（核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业）2026-2027学年人教版八年级数学上册秋期复习 + 期考讲义专项

本讲义聚焦幂的运算核心知识，系统梳理同底数幂的乘法（底数不变、指数相加）、幂的乘方（底数不变、指数相乘）、积的乘方（每因式分别乘方再相乘）三大法则，构建从基础法则到逆用技巧的学习支架，为后续因式分解、分式运算等内容奠定基础。 资料以6大易错辨析（如混淆运算类型、底数符号陷阱等）结合口诀强化理解，7类典例精讲（含正逆用题型）培养运算能力与推理意识，分层课后作业覆盖选择、填空、解答题，助力学生巩固应用。课中辅助教师精准突破难点，课后帮助学生查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

第07讲 幂的运算 （核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【知识点01】同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 拓展： 注意：底数必须相同，底数可以是数字、字母、单项式、多项式。 【知识点02】幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 拓展： 【知识点03】积的乘方 法则：积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 拓展： 逆用：，常用于简便计算。 易错点1：混淆同底数幂乘法与幂的乘方 典型错解：； 正确解法： （同底数幂相乘，指数相加） （幂的乘方，指数相乘） 辨析口诀：幂相乘，指数加；幂乘方，指数乘。 易错点2：积的乘方漏乘因式、忽略符号 典型错解：； 正确解法： 核心辨析：积的乘方，每一个因式（系数、字母、负号）都要单独乘方；负数偶次幂为正，奇次幂为负。 易错点3：底数识别错误（负号底数陷阱） 典型错解：；； 正确解法： 关键区分： ：整体为底数； ：只有为底数，负号独立于乘方运算外。 高频陷阱：， 易错点4：混淆合并同类项与幂的运算 典型错解：； 正确解法： 与不是同类项，无法合并； （合并同类项：系数相加，字母和指数不变） 核心辨析：式子加减只针对同类项，仅系数运算；幂的乘除运算，才对指数进行加减、乘方运算。 易错点5：幂的混合运算顺序混乱 典型错解： 正确解法：先乘方，再乘除，最后加减 运算口诀：先乘方，后乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 【题型一】同底数幂相乘 【例1】．（2026·广西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘 【详解】解：． 【变式1】．（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算的结果是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，运用同底数幂的乘法法则求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴， 故选：． 【变式2】．（25-26八年级上·广东东莞·期末）若，则________． 【答案】2 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，利用同底数幂的乘法法则，将等式左边化为，右边写成，再比较指数得出结果即可． 【详解】解：∵，， ， ． 故答案为：2． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如果，那么我们记．例如：因为，所以． (1)___________；，则___________． (2)已知，求的值； 【答案】(1)4；32 (2)3 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，本题是新定义型，熟练掌握新定义的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用新定义的规定列式解答即可； （2）利用新定义的规定列式求得，，再代入运算即可． 【详解】（1）解：， ； ， ． 故答案为：4；32； （2）解：， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 【题型二】同底数幂乘法的逆用 【例2】．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】逆用同底数幂乘法法则求出的值，再计算的结果． 【详解】解：∵， ∴把代入得：， 解得：， ∴． 【变式1】．计算：的值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查幂的运算性质，可通过提取公因式化简式子，直接得出结果． 【详解】解： ． 【变式2】．（25-26八年级上·广东广州·期末）若，则_____； 【答案】15 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：15． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)512； 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）根据同底数幂相乘的逆用求解， （2）根据同底数幂相乘的逆用求解， 【详解】（1）， ． （2）， ． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆用，解题的关键是熟练运用运算法则. 【题型三】幂的乘方运算 【例3】．（25-26八年级上·河南南阳·期末）计算（是正整数）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则求解即可． 【详解】解： ， ． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·山东德州·期中）如果，则x的值为________． 【答案】2 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键． 逆用幂的乘方把原式变为，，然后比较指数求解． 【详解】解：因为， 所以， 因此， 所以， 由于底数相同，指数相等，即， 解得． 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键． （1）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （4）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型四】幂的乘方的逆用 【例4】．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】利用幂的乘方运算法则，通过逐步代换变形，得到底数为3的幂，对比指数即可得到的值 【详解】解：∵ ，， ∴ 将代入，可得 ， 由幂的乘方法则得 ， ∵ ，将代入得 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 【变式1】．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）若，则，的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．通过将指数化为相同的幂次，比较底数大小，即可求解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知，，，则 a 、b 、c 之间的大小关系为 _____．（用“”连接） 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用，熟练掌握幂的乘方运算法则，是解题的关键．通过幂的乘方的逆运算，将指数化为相同，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：∵， ， ， 且， ∴． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·广西来宾·期中）若且是正整数），则；一个数也可以有不同的表达形式，例如：．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用． （1）逆用幂的乘方将化为，得到，进而得到，求解即可； （2）逆用幂的乘方将化为，得到，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【题型五】积的乘方运算 【例5】．（25-26八年级上·广东·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算 【分析】根据积的乘方公式计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）_____． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键．应用积的乘方法则，将积中每个因子分别乘方，再将所得的幂相乘． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】．数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方运算规律的应用，解题的关键是观察所给示例，总结出这一规律并灵活运用。 （1）利用总结的规律计算，并归纳的结果。 （2）通过对原式变形，使其符合积的乘方规律进行简便计算。 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；； （2）解：原式． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． （1）直接根据积的乘方运算法则计算即可； （2）直接根据积的乘方运算法则计算即可； （3）直接根据积的乘方运算法则计算即可； （4）直接根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型六】积的乘方的逆用 【例6】．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算的结果是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】此题主要考查逆向运用积的乘方运算法则，正确掌握运算法则是解题关键． 先将式子化简，再根据逆向运用积的乘方运算得，最后求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）计算：_____． 【答案】1 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，根据积的乘方法则将原式化为，然后计算乘法，再计算乘方． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】-2 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解题的关键是掌握运算法则． 利用幂的乘法先将的底数4改写成，然后再简便运算即可． 【详解】解：原式， ， ， 【变式3】．（25-26八年级上·天津·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方、幂的乘方，通过逆用积的乘方、幂的乘方来求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【题型七】幂的混合运算 【例7】．（24-25八年级上·广东江门·阶段检测）________________． 【答案】/ 【知识点】幂的混合运算 【分析】先利用积的乘方计算，再利用单项式与单项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案是． 【点睛】本题考查了积的乘方计算，单项式与单项式乘法计算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式1】．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）计算： ______． 【答案】 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为: ． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】0 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．计算： （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可． 【详解】解：（1）， =， =， =； （2）， =， =， =， =． 【点睛】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键． 1.幂的运算抓核心法则：同底幂乘除指数加减，幂的乘方指数相乘，积的乘方全因式乘方；严格区分与，牢记零指数幂底数不为0。 2.整式乘法抓本质：所有整式乘法的核心都是乘法分配律，做题杜绝漏乘、错符号、漏合并同类项三大低级错误。 3.高频解题技巧：熟练掌握幂公式逆用、完全平方公式变形，擅长整体代入求值，是解答中档题型的关键。 4.规范解题习惯：先定符号再计算，混合运算严守顺序，化简求值先化简后代入，含参数题型利用「系数为0」解题。 学习拓展：本节内容是因式分解、分式运算、二次根式运算的基础，务必熟练掌握，夯实初中代数计算核心功底。 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方运算，直接根据积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算和幂的乘方，原式表示n个相乘的积再取立方，应用指数运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3．（25-26八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：A．，故A错误； B．与不是同类项，不能合并或直接运算得到，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 4．（25-26八年级上·广东湛江·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意，将指数化为相同，底数越大，值越大，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选：D ． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26八年级上·山西临汾·期末）若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算．利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，将所求式子转化为已知式子的乘积形式，代入计算即可． 【详解】解：， ，， 原式， 故选D． 7．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则以及积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将化为，然后利用积的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，观察出，从而得到是解题的关键．然后利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 二、填空题 11．________； 【答案】 【详解】解： 12．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）计算： __________． 【答案】 【分析】先依据积的乘方法则计算，再运用同底数幂的乘法法则计算乘法运算，最后合并同类项得出结果． 【详解】解：原式 13．（25-26八年级上·广东珠海·阶段检测）已知，则_____ ． 【答案】6 【分析】本题考查幂的运算，利用积的乘方法则将 展开为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解： = = ． ∵，， ∴． 故答案为： 6 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键． 根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 15．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）若，则____． 【答案】3 【分析】先将等式两边化为同底数幂，根据同底数幂相等则指数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：将原方程左边变形，可得， 根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得， 因此原方程可化为， 因此得， ∴． 16．计算：______． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行简便计算即可. 【详解】解：原式. 三、解答题 17．（25-26八年级上·吉林四平·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： 18．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）已知计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)216 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握计算公式． （1）根据逆用同底数幂的乘法得到，再代入即可求解； （2）根据逆用幂的乘方得到，再代入即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：． 19．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． （1）运用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则进行计算； （2）通过负指数转换和幂的运算性质简化计算． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ． 20．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）计算与比较： (1)若，求x的值． (2)若，，比较M和N的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法得到，然后比较求解即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】（1）解： ∴ 解得； （2）解： ∴． 21．（25-26八年级上·全国·周测）下图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的解题方法解答问题． 计算：． 解：． 计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题侧重考查积的乘方，掌握其乘法法则是解题关键． （1）利用积的乘方的逆运算即可得答案； （2）将指数化为相同，利用积的乘方的逆运算即可得答案． 【详解】解：（1）原式． （2）原式 ． 22．（24-25八年级上·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴（个1相加）， （个相乘） ， ∴（2025个1相加）， （2025个相乘） ， ∴． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 24．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， 又， ， 即． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 幂的运算 （核心知识+6易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【知识点01】同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 拓展： 注意：底数必须相同，底数可以是数字、字母、单项式、多项式。 【知识点02】幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 拓展： 【知识点03】积的乘方 法则：积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 拓展： 逆用：，常用于简便计算。 易错点1：混淆同底数幂乘法与幂的乘方 典型错解：； 正确解法： （同底数幂相乘，指数相加） （幂的乘方，指数相乘） 辨析口诀：幂相乘，指数加；幂乘方，指数乘。 易错点2：积的乘方漏乘因式、忽略符号 典型错解：； 正确解法： 核心辨析：积的乘方，每一个因式（系数、字母、负号）都要单独乘方；负数偶次幂为正，奇次幂为负。 易错点3：底数识别错误（负号底数陷阱） 典型错解：；； 正确解法： 关键区分： ：整体为底数； ：只有为底数，负号独立于乘方运算外。 高频陷阱：， 易错点4：混淆合并同类项与幂的运算 典型错解：； 正确解法： 与不是同类项，无法合并； （合并同类项：系数相加，字母和指数不变） 核心辨析：式子加减只针对同类项，仅系数运算；幂的乘除运算，才对指数进行加减、乘方运算。 易错点5：幂的混合运算顺序混乱 典型错解： 正确解法：先乘方，再乘除，最后加减 运算口诀：先乘方，后乘除，最后算加减；有括号先算括号内。 【题型一】同底数幂相乘 【例1】．（2026·广西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·山西朔州·期末）计算的结果是 A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·广东东莞·期末）若，则________． 【变式3】．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如果，那么我们记．例如：因为，所以． (1)___________；，则___________． (2)已知，求的值； 【题型二】同底数幂乘法的逆用 【例2】．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）已知，则的值为（     ） A．0 B．1 C．12 D．42 【变式1】．计算：的值是（    ） A． B． C．0 D． 【变式2】．（25-26八年级上·广东广州·期末）若，则_____； 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【题型三】幂的乘方运算 【例3】．（25-26八年级上·河南南阳·期末）计算（是正整数）的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·山东德州·期中）如果，则x的值为________． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型四】幂的乘方的逆用 【例4】．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）若，则，的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法确定 【变式2】．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知，，，则 a 、b 、c 之间的大小关系为 _____．（用“”连接） 【变式3】．（25-26八年级上·广西来宾·期中）若且是正整数），则；一个数也可以有不同的表达形式，例如：．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【题型五】积的乘方运算 【例5】．（25-26八年级上·广东·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）_____． 【变式2】．数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ； ． 总结规律，解答下列问题． (1)__________，__________． (2)计算：． 【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型六】积的乘方的逆用 【例6】．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算的结果是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）计算：_____． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【变式3】．（25-26八年级上·天津·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型七】幂的混合运算 【例7】．（24-25八年级上·广东江门·阶段检测）________________． 【变式1】．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）计算： ______． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【变式3】．计算： （1）；     （2）． 1.幂的运算抓核心法则：同底幂乘除指数加减，幂的乘方指数相乘，积的乘方全因式乘方；严格区分与，牢记零指数幂底数不为0。 2.整式乘法抓本质：所有整式乘法的核心都是乘法分配律，做题杜绝漏乘、错符号、漏合并同类项三大低级错误。 3.高频解题技巧：熟练掌握幂公式逆用、完全平方公式变形，擅长整体代入求值，是解答中档题型的关键。 4.规范解题习惯：先定符号再计算，混合运算严守顺序，化简求值先化简后代入，含参数题型利用「系数为0」解题。 学习拓展：本节内容是因式分解、分式运算、二次根式运算的基础，务必熟练掌握，夯实初中代数计算核心功底。 一、单选题 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 计算 的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东江门·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东湛江·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山西临汾·期末）若，，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 7．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D．2 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 10．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．________； 12．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）计算： __________． 13．（25-26八年级上·广东珠海·阶段检测）已知，则_____ ． 14．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________． 15．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）若，则____． 16．计算：______． 三、解答题 17．（25-26八年级上·吉林四平·期末）计算： 18．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）已知计算： (1)； (2)． 19．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 20．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）计算与比较： (1)若，求x的值． (2)若，，比较M和N的大小． 21．（25-26八年级上·全国·周测）下图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的解题方法解答问题． 计算：． 解：． 计算： (1)． (2)． 22．（24-25八年级上·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 24．（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 1 学科网（北京）股份有限公司 $