第三十讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦两角和与差的正弦、余弦和正切公式，从两角差余弦公式推导切入，结合单位圆与向量数量积知识，引导学生从已知推导其他公式，构建前后知识脉络，形成学习支架。 资料推导过程严谨，涵盖公式正用逆用及变形，总结角的变换技巧与辅助角公式，设易错点提醒，题型分类明确且梯度合理，助力学生发展推理能力与运算能力，培养模型意识，提升三角函数问题解决能力。

第三十讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【学习目标】1.从两角差的余弦公式出发推导出两角和与差的正弦、余弦公式 2.能用两角和与差的正弦、余弦进行简单的三角函数式的求值. 3.会推导两角和(差)的正切公式并熟记；会利用两角和(差)的正切公式进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明. 【学习重点】两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用. 【学习难点】从两角差的余弦公式出发，推导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一．两角差余弦公式的推导过程 如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则 ＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)． 由向量数量积的坐标表示，有 ·＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β. 设与的夹角为θ，则 ·＝||·||cos θ＝cosθ＝cos αcos β＋sin αsin β. 另一方面，由图(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ； 由图(2)可知，α＝2kπ＋β－θ. 于是α－β＝2kπ±θ，k∈Z. 所以cos(α－β)＝cos θ. 即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 二 ．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 注意：正切公式成立条件：。 三．有关公式的逆用及变形用 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． tan αtan β＝1－＝－1. ． ． (2)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)cos2α＝，sin2α＝； (4)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 四．角的变换技巧 α＝(α＋β)－β； α＝β－(β－α)； α＝[(α＋β)＋(α－β)]； β＝[(α＋β)－(α－β)]； ＋α＝－. 五 ．辅助角公式 ①，(辅助角公式)其中，． 或，其中 ②． 六易错点汇总 1.，余弦和角中间是减号，不要记反； 2.角的配凑题型，一定要看整体角的取值范围，确定三角函数正负，不要直接默认锐角； 3.正切和差公式有定义域限制，出现要检查角不能等于； 4.二倍角余弦有三组形式，根据题目条件灵活选用； 5.三角形中：，，； 6.不能错误展开：，三角函数没有分配律。 必考题型全归纳： 题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切基本公式 1．若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 题型二：角的配凑（整体角代换） 5．已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知，都是锐角，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型三：同角三角函数关系与和差公式综合 9．已知角的终边在第一象限，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（   ） A． B． C． D． 11．已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：辅助角公式 12．下列选项中，值为的是（   ） A． B． C． D． 13．已知函数（，）两个相邻的零点为，，距离y轴最近的对称轴为，则（    ）. A． B． C． D． 14．在中，，，是的三个内角，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五：二倍角公式 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 16．已知，，则（    ） A． B． C． D． 17 (多选)．在中，已知，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 5．的结果为（     ） A． B． C．0 D． 6．（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C．3 D．-3 8 (多选)．下列式子运算正确的有 （    ） A． B． C． D． 9 (多选)．若，且，，则（    ） A． B． C． D． 10 (多选)．下列等式计算正确的有（    ） A． B． C． D． 11 (多选)．下列命题中正确的有（     ） A．若，，则 B． C．若，，则 D．若角终边经过点，则 12 (多选)．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 13 (多选)．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 14．若，其中，则_________． . 15．已知，为锐角，且，，则的值为______． 16．已知为锐角，且，，则的值为____． 17．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 18．已知，，，且，则________． 19．已知，若，，则_____． 20．已知，，则______． 21．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 22．化简求值． (1)； (2)； 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【学习目标】1.从两角差的余弦公式出发推导出两角和与差的正弦、余弦公式 2.能用两角和与差的正弦、余弦进行简单的三角函数式的求值. 3.会推导两角和(差)的正切公式并熟记；会利用两角和(差)的正切公式进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明. 【学习重点】两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用. 【学习难点】从两角差的余弦公式出发，推导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一．两角差余弦公式的推导过程 如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则 ＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)． 由向量数量积的坐标表示，有 ·＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β. 设与的夹角为θ，则 ·＝||·||cos θ＝cosθ＝cos αcos β＋sin αsin β. 另一方面，由图(1)可知，α＝2kπ＋β＋θ； 由图(2)可知，α＝2kπ＋β－θ. 于是α－β＝2kπ±θ，k∈Z. 所以cos(α－β)＝cos θ. 即cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 二 ．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 注意：正切公式成立条件：。 三．有关公式的逆用及变形用 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． tan αtan β＝1－＝－1. ． ． (2)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)cos2α＝，sin2α＝； (4)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 四．角的变换技巧 α＝(α＋β)－β； α＝β－(β－α)； α＝[(α＋β)＋(α－β)]； β＝[(α＋β)－(α－β)]； ＋α＝－. 五 ．辅助角公式 ①，(辅助角公式)其中，． 或，其中 ②． 六易错点汇总 1.，余弦和角中间是减号，不要记反； 2.角的配凑题型，一定要看整体角的取值范围，确定三角函数正负，不要直接默认锐角； 3.正切和差公式有定义域限制，出现要检查角不能等于； 4.二倍角余弦有三组形式，根据题目条件灵活选用； 5.三角形中：，，； 6.不能错误展开：，三角函数没有分配律。 必考题型全归纳： 题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切基本公式 余弦差角： 余弦和角： 正弦和角： 正弦差角： 正切和角： 正切差角： 注意：正切公式成立条件：。 常见考法： ①直接代入公式化简、求值； ②逆用公式，把式子还原成； ③特殊角配凑，把普通角拆成两个特殊角的和差，例如。 1．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，由，，求出和，再由两角和的余弦公式得出结果 【详解】由题意知，，因为，所以， 因为，所以，则 故选：D 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：将分解为，使用正弦的和角公式即可解决本题； 方法2：将分解为，使用诱导公式和“特殊角”的余弦值即可解决本题； 本题分解方式较多，例如还可以是等，解法类似，不再赘述. 【详解】方法1： . 方法2： . 4．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，再根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为. 故选：C 题型二：角的配凑（整体角代换） 核心思想：把所求的角，用已知条件给出的角表示出来。 常用配凑： ；；；。 解题步骤： 1.观察条件角与目标角，写出配凑等式； 2.根据角的范围，判断配凑后整体角的象限； 3.用同角三角函数求出配凑角的正弦、余弦； 4.代入和差公式展开计算。 易错：一定要确定整体角的范围，判断三角函数正负，不能直接默认是锐角。 5．已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，， ，，则，， 因此 6．已知，都是锐角，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知是锐角，，则， ，都是锐角，则，又， 则，故， ． 7．已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用同角三角函数关系得出，再应用两角差正弦公式计算得出，求出角应用特殊角求解． 【详解】因为角α为锐角，且，所以． 因为，，所以． 又，所以， 所以， 所以，，； 8．已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 题型三：同角三角函数关系与和差公式综合 1.先用平方关系，由一个三角函数值，求出另外一个； 2.结合角所在象限，取舍正负； 3.再代入两角和差公式进行运算。 题型：已知一个角的三角函数，求另外和角、差角的值。 9．已知角的终边在第一象限，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 又的终边在第一象限，，所以， 所以． . 10．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设角的终边顺时针旋转后得到的角为，则，即， 由点在的终边上，可得， 根据三角函数的定义： ，， 所以 . 11．已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 又，所以. 因为，，所以，所以. 所以. 题型四：辅助角公式 ,其中。 作用：把的一次混合式合并成单一三角函数；求值域、最值、对称轴、零点。 12．下列选项中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，代入特殊角的三角函数计算即可；对于D，由辅助角公式验算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 13．已知函数（，）两个相邻的零点为，，距离y轴最近的对称轴为，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求得解析式，根据两角和的余弦公式计算即可． 【详解】由题意，知，又，所以； 又距离轴最近的对称轴为， 所以，即，因为，所以， 所以， 所以，故选：A． 14．在中，，，是的三个内角，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据同角的三角函数关系及诱导公式得到，结合二次函数性质求解即可. 【详解】令，则， 即， 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立.故的最大值为. 题型五：二倍角公式 由和角公式令直接得到： 变形（降幂公式）： ，。 考法：和两角和差公式结合求值、化简。 15．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦差角公式得， 代入得， 整理得，即； 由正切二倍角公式：. 16．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的范围确定半角为锐角，由半角正弦求出半角余弦，再利用二倍角公式算出，，最后代入两角差的余弦公式求值． 【详解】由，得， 又，所以， 所以， ， 所以． 17 (多选)．在中，已知，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据判断角为钝角，确定角为锐角，再结合同角三角函数基本关系、二倍角公式、两角和差公式、三角形内角和性质逐一计算各选项对应的值，判断正误. 【详解】∵ 在中，，， ∴ ，则，且，否则不符合三角形内角和性质. 对各选项逐一判断： 对于A选项，∵ ，， ∴ ，故A错误. 对于B选项，由二倍角公式得，故B正确. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，由两角差的正弦公式得，故D正确. 巩固提升： 1．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的余弦公式及正切的商数关系求解即可. 【详解】根据两角和的余弦公式可得： ， 又，所以 . 又，，所以. 2．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦二倍角公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式及余弦函数单调性即可判断. 【详解】，， 由， 则， 故， 显然，即． 4．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 5．的结果为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】. 6．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以原式. 7．已知，则（   ） A． B． C．3 D．-3 【答案】A 【详解】由，得，所以， 所以，所以，解得. 8 (多选)．下列式子运算正确的有 （    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角的平方关系计算即可判断A；根据两角和的余弦公式计算即可判断B；根据二倍角的正切公式计算即可判断C；根据两角和正切公式计算即可判断D. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：由得 所以，故C正确； D：，， ，故D正确. 故选：ACD 9 (多选)．若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，结合同角基本关系式求出，再利用两角和差公式逐项判断. 【详解】根据题意，，，所以， 则，A错误； ， 因为，则， 所以，B正确； 由，则， 所以 ，C错误； 因为， 则，D正确. 10 (多选)．下列等式计算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角恒等变换公式依次化简选项即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，,故B正确； 对于C，,故C正确； 对于D，,故D正确. 11 (多选)．下列命题中正确的有（     ） A．若，，则 B． C．若，，则 D．若角终边经过点，则 【答案】AB 【分析】A选项，由特殊角的函数值得到A正确；B选项，利用诱导公式和逆用余弦差角公式进行求解；C选项，根据的关系式，结合角的范围可得答案；D选项，由三角函数定义及余弦和角公式进行求解 【详解】A选项，内，只有，故，A正确； B选项， ，B正确； C选项，，两边平方得， 即，， 因为，所以， 又，所以，故， ， 所以，C错误； D选项，角终边经过点， 则，， 故，D错误. 12 (多选)．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C正确； ，所以D正确. 13 (多选)．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为的终边经过点，则， 可得，，，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 14．若，其中，则_________． 【答案】 【详解】因为，所以，且， 故. 因，且，所以. 所以. 15．已知，为锐角，且，，则的值为______． 【答案】或 【分析】先利用同角三角函数的基本关系求出和的值，再通过配凑角，结合余弦差角公式计算； 【详解】因为，均为锐角，所以，可得， 由，为锐角，得， 由，得， 利用配凑角，根据余弦差角公式可得： 当时，； 当时，， 故答案为：或. 16．已知为锐角，且，，则的值为____． 【答案】/ 【分析】先由已知锐角条件，利用同角三角函数关系求出；再通过角的拆分，将表示为，应用余弦差角公式展开；最后结合为锐角的范围限制，舍去不符合条件的增根，得到的值． 【详解】因为，为锐角，所以， 又，所以， 当时， ， 当时， ， 又为锐角，所以． 17．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 【答案】 【详解】设，则以为终边的角为， 又，， 所以， 所以点的横坐标为    18．已知，，，且，则________． 【答案】/ 【分析】先根据的正弦值和所在象限求出正切值，将拆成，用两角差的正切公式算出，结合的范围确定象限，再利用同角三角函数平方关系求出． 【详解】由，，得， 所以，又， 所以， 由，得，代入， 得，解得，因为，，所以， 所以． 19．已知，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据已知有、，再由平方关系及差角余弦公式求，即可得角的大小. 【详解】，， ，， ，， ，又， . 20．已知，，则______． 【答案】 【分析】将已知式两边平方，并求和，结合同角三角关系式及两角差的余弦公式可得. 【详解】由，， 得，且. 两式相加得， 即，所以. 21．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合已知条件求出的值，进而计算求解； （2）根据二倍角公式计算的值，再利用两角差的余弦公式计算求解． 【详解】（1）， ，故， ，则，结合， ，， ． （2）， ， ． 22．化简求值． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2）原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $