4.2.2指数函数的图象和性质第一课时导学案2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦指数函数的图象和性质，梳理定义域、值域、定点、单调性等核心知识，通过核心知识梳理与典例精析搭建学习支架，衔接指数运算，为后续函数学习奠定基础。 资料设置分层跟踪训练与题型方法总结，如定点问题“令指数整体为0”，结合数形结合思想，培养学生直观想象与逻辑推理素养，助力掌握基础并提升解题能力，适合教学使用。

4.2.2指数函数的图象和性质 第一课时指数函数的图象和性质 【学习目标】 ①能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质； ②掌握指数型函数过定点及图象变换问题，能根据指数型函数的图象求参数； ③通过指数函数图象的绘制，培养直观想象的数学素养. 【学习重点】 掌握底数分两类下指数函数的图象、定点、单调性等核心性质，熟练运用平移、对称、翻折图象变换规则，会求解定点、识图判断参数、对比多函数图象等基础题型. 【学习难点】 准确区分底数与时图象增减与高低规律，理清两类翻折变换的操作差异，结合数形结合思想综合处理指数平移型识图、指数与幂函数同图辨析的复杂问题. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.指数函数的图象和性质 项目 图象 性质 定义域 值域 最值 无最值 定点 过定点，即0时，1 函数值的变化 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 2.指数函数图象间的关系 （1）函数（，且）的图象与的图象关于轴对称，即底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称. （2）在同一坐标系中，多个指数函数底数的变化规律是：在第一象限内，时，底数越大，指数函数的图象越靠近轴；时，底数越小，指数函数的图象越靠近轴. 3.指数函数的图象变换 已知指数函数（，且）. 1.平移变换 ；； ；. 2.对称变换 ；；. 3.翻折对称 ； 二、典例精析 题型1判断指数型函数图象的形状 例1（1）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． 答案：D 思路分析：根据题意，利用指数函数与幂函数的性质，分类讨论，结合选项逐一排除. 规范解答： 对于A：指数函数递减，说明，而此时幂函数形状是二次函数，矛盾， A错误； 对于B：指数函数递增，说明；但幂函数在第一象限递减，对应，矛盾，B错误； 对于C：指数函数递减，说明；但幂函数在第一象限递减，对应，矛盾，C错误； 对于D：指数函数递减，说明；幂函数在c递增，过原点，图像特征匹配，D正确. （2）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   答案：A 思路分析：首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 规范解答：已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 反思领悟：解决指数函数图象问题的关注点 （1）熟记当底数和时图象的大体形状； （2）在轴右侧，指数函数的图象“底大图高”；在轴左侧，指数函数的图象“底大图低”； （3）比较不同底的指数函数底数大小时可借助直线，指数函数图象与直线交点的纵坐标即底数. 题型2指数型函数的图象特征 类型1 指数函数过定点 例2函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 答案： 思路分析：求指数型函数过的定点，令指数部分等于0，解出，再代入求，该点与参数无关. 规范解答：令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 方法总结 （1）一句话点睛：求型定点，令指数，算出，再求，得到定点，不受底数干扰； （2）原理：利用消去参数，得到固定坐标； （3）易错提醒：不要误把代入，要看清指数括号内整体，令指数整体等于，不是令. 类型2 指数型函数的图象变换 例3.作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 思路分析：三个都是指数函数的变换：含绝对值，处理手段两种：①去绝对值写成分段函数，分段画图；②图象变换：翻折变换、平移变换. 规范解答： (1)法1：，分别画出两段函数图象； 法2：当时，单调递减，过定点，当时，无限接近轴； 当时，由部分沿轴翻折得到，如图： (2)先画，过定点，当时，图象无限接近轴； 向下平移1个单位得到，此时图象过定点，当时，图象无限接近直线； 轴上方的图象保持不变，把轴下方的图象沿轴向上翻折，得到如图： (3) 先画，过定点，当时，图象无限接近轴； 轴右侧的图象保持不变，去掉轴左侧部分，然后将轴右侧的图象翻折到左侧，得到图象： 将整个图象向右平移1个单位，得到图象，如图： 反思领悟：指数型函数的图象变换技巧 （1）作图先画基础函数，再做变换;画时，抓住函数单调性和定点、渐近线轴； （2）利用图象变换作图时，弄清定点变换为哪个点，渐近线变换为哪条直线； （3）平移变换遵循 “左加右减针对，上加下减针对整体”； （4）分清两类翻折：保留，沿y轴对称翻折；保留，把负的部分沿轴向上翻折. 类型3 根据指数型函数的图象求参数 例4．已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 答案：D 思路分析：由图象的单调性确定的取值范围；由指数函数的定点和渐近线，与图象比较得到的取值范围，然后逐项判断. 规范解答：因为图象在定义域内单调递减，所以； 图象由向下平移得到，所以，函数图象与轴交点由平移到轴负半轴上，，可得， 对于A：由前分析可知，A错误； 对于B：由前分析可知， B错误； 对于C：根据已有分析可知，所以， C错误； 对于D：由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上， 因此可知函数的图象不经过第四象限，D正确. 方法总结 （1）指数平移型识图，先看单调性定底数范围，再代入得到截距，结合渐近线判断参数。 （2）结论过定点，渐近线为； 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 2．若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：令可得，当时，由题意可得，解得. 3．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 答案：D 解析：由图象可知，函数为减函数，所以， ， 因为，所以，所以. 4．已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）．如图是上述函数的图象，则a，b，c，d与1，0的大小关系是____________． 5 答案： 解析：根据指数函数图象在第一象限的图象特征，底数大于1，图象上升，底数小于1，图象下降；底数越大，图象越高， 即由图可知：， 故答案为： 5．已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 6．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 答案： 解析：因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 7．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 答案： 解析：由题意得，，得，则函数的图象过定点. 8．若将函数更换为，并得到如下图象，试根据函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3). 解析：（1）将已知图象向右平移一个单位即可， （2）将已知图象向下平移一个单位即可， （3）作已知图象关于x轴对称的图象即可， 【能力提升】（多数必做） 9．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 10．已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：由的图象可知， 由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 11．（多选题）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：ACD 解析：时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 12．若曲线与直线没有公共点，则b的取值范围是________________． 答案： 解析：由已知画出的图象 因为，所以. 当时，直线表示直线， 由图可知，直线与函数图象无公共点，符合题意， 当时，直线表示直线和， 直线与函数图象无公共点， 若直线与函数图象无公共点，则， 综上的取值范围是. 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 （1）知识概念层面 指数函数过定点，单调性；指数型函数可通过平移、翻折变换得到，牢记 “左加右减、上加下减” 平移法则，分清两种翻折模型；定点问题令指数整体为0求解，平移后的指数型函数渐近线同步发生移动； （2）解题应用层面 做指数识图题，依靠单调性定底数范围，代入利用纵截距、渐近线判断参数大小；含绝对值的指数函数，既可利用图象变换画图，也可转化成分段函数分析； （3）思想方法方面 运用数形结合思想，将复杂指数型函数转化为基础指数函数，通过图象直观分析函数性质，提升数学抽象、逻辑推理与直观想象的核心素养. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2指数函数的图象和性质 第一课时指数函数的图象和性质 【学习目标】 ①能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质； ②掌握指数型函数过定点及图象变换问题，能根据指数型函数的图象求参数； ③通过指数函数图象的绘制，培养直观想象的数学素养. 【学习重点】 掌握底数分两类下指数函数的图象、定点、单调性等核心性质，熟练运用平移、对称、翻折图象变换规则，会求解定点、识图判断参数、对比多函数图象等基础题型. 【学习难点】 准确区分底数与时图象增减与高低规律，理清两类翻折变换的操作差异，结合数形结合思想综合处理指数平移型识图、指数与幂函数同图辨析的复杂问题. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.指数函数的图象和性质 项目 图象 性质 定义域 _____ 值域 _____________ 最值 _______ 定点 过定点_______，即_______0时，_______ 函数值的变化 当时，__________； 当时，__________ 当时，_________； 当时，__________ 单调性 在上是_________ 在上是________ 奇偶性 _____________函数 2.指数函数图象间的关系 （1）函数（，且）的图象与的图象关于______对称，即底数互为倒数的两个指数函数的图象关于______对称. （2）在同一坐标系中，多个指数函数底数的变化规律是：在第一象限内，时，底数越大，指数函数的图象越靠近_____；时，底数越小，指数函数的图象越靠近_____. 3.指数函数的图象变换 已知指数函数（，且）. 1.平移变换 __________；__________； ___________；___________. 2.对称变换 ______；_______；_________. 3.翻折对称 _________；___________. 二、典例精析 题型1判断指数型函数图象的形状 例1（1）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（    ） A． B． C． D． （2）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   反思领悟：解决指数函数图象问题的关注点 （1）熟记当底数和时图象的大体形状； （2）在轴右侧，指数函数的图象“底大图高”；在轴左侧，指数函数的图象“底大图低”； （3）比较不同底的指数函数底数大小时可借助直线，指数函数图象与直线交点的纵坐标即底数. 题型2指数型函数的图象特征 类型1 指数函数过定点 例2函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 方法总结 （1）一句话点睛：求型定点，令指数，算出，再求，得到定点，不受底数干扰； （2）原理：利用消去参数，得到固定坐标； （3）易错提醒：不要误把代入，要看清指数括号内整体，令指数整体等于，不是令. 类型2 指数型函数的图象变换 例3.作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 反思领悟：指数型函数的图象变换技巧 （1）作图先画基础函数，再做变换;画时，抓住函数单调性和定点、渐近线轴； （2）利用图象变换作图时，弄清定点变换为哪个点，渐近线变换为哪条直线； （3）平移变换遵循 “左加右减针对，上加下减针对整体”； （4）分清两类翻折：保留，沿y轴对称翻折；保留，把负的部分沿轴向上翻折. 类型3 根据指数型函数的图象求参数 例4．已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 方法总结 （1）指数平移型识图，先看单调性定底数范围，再代入得到截距，结合渐近线判断参数。 （2）结论过定点，渐近线为； 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 3．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）．如图是上述函数的图象，则a，b，c，d与1，0的大小关系是____________． 5 5．已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 7．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 8．若将函数更换为，并得到如下图象，试根据函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3). 【能力提升】（多数必做） 9．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．若曲线与直线没有公共点，则b的取值范围是________________． 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 （1）知识概念层面 指数函数过定点，单调性；指数型函数可通过平移、翻折变换得到，牢记 “左加右减、上加下减” 平移法则，分清两种翻折模型；定点问题令指数整体为0求解，平移后的指数型函数渐近线同步发生移动； （2）解题应用层面 做指数识图题，依靠单调性定底数范围，代入利用纵截距、渐近线判断参数大小；含绝对值的指数函数，既可利用图象变换画图，也可转化成分段函数分析； （3）思想方法方面 运用数形结合思想，将复杂指数型函数转化为基础指数函数，通过图象直观分析函数性质，提升数学抽象、逻辑推理与直观想象的核心素养. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $