第五单元用字母表示数和数量关系解决问题（专项练习）-2026-2027学年五年级数学上册（人教版）

**基本信息** 聚焦用字母表示数的完整应用链，以“概念生成-关系表达-代入求值-规律建模”为主线，系统培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础表示与公式应用|1-8题|“设基础量→用关系表示其他量”“公式字母化”|从具体数量到抽象字母，建立数量关系符号化表达| |代入求值与实际应用|9-20题|“代数式化简→代入计算”“情境问题数量关系转化”|字母表示过渡到数值运算，强化模型应用| |规律探究与综合应用|21-25题|“从特殊到一般找通项”“分段计费分类讨论”|从静态关系到动态规律，提升数学思维与表达|

第五单元用字母表示数和数量关系解决问题 一、解答题 1．某文具店出售的中性笔比圆珠笔贵1元钱，钢笔的价格是圆珠笔的4倍，用字母表示这三种笔的价格关系。 2．为践行低碳出行理念，李老师每天骑自行车上、下班。 （1）若用表示骑行速度，t表示骑行时间，表示骑行路程，请用字母表示求骑行速度的数量关系式。 （2）如果李老师某次骑行路程为3300米，用时15分钟，利用上面的式子求出骑行的速度。 3．张老师响应绿色低碳出行，每天从家骑自行车去上班。他每分钟行x米，15分钟到学校。 （1）用含有字母的式子表示张老师家到学校的距离是（ ）米。 （2）当x＝247时，张老师家到学校有多少米？ 4．修一段公路，平均每天修a米，已经修了15天，还剩500米没有修。 （1）用含有字母的式子表示这段公路的长度。 （2）当a＝120时，这段公路长多少米？ 5．学校采购课外读物，每套经典名著b元，每套科普丛书比经典名著贵26元。 （1）买6套科普丛书需要多少元？用含字母的式子表示。 （2）当时，经典名著、科普书各买4套，一共花多少钱？ 6．从一个长是8米，宽是a米的长方形中剪去一个最大的正方形。 （1）剩下的图形的面积是多少平方米？ （2）当a＝5时，剩下图形的面积是多少平方米？ 7．两辆汽车分别以a千米/时和b千米/时的速度同时从甲乙两地相向而行。行驶21小时两车相遇。 （1）用含有字母的式子表示两辆车行驶的总路程。 （2）当a＝60，b＝100时，求出两辆车一共行驶多少千米？ 8．机器人“背着”货物跑，传送带上包裹自己“认路”……这样的场景在青岛某物流园区每天都在发生。一个智能机器人平均每分钟可以处理33件快递，这样的一个智能机器人工作��分钟后，还剩下12件快递未处理，这批快递一共有多少件？ （1）用含有字母的式子表示这批快递一共多少件。 （2）当t＝12时，这批快递一共多少件？ 9．小军用小棒搭正方形，搭1个正方形需要4根小棒（图1），搭2个正方形需要7根小棒（图2），搭3个正方形需要10根小棒（图3）。 （1）照这样继续搭下去，搭4个正方形需要（ ）根小棒。 （2）31根小棒可以搭几个正方形？请你通过画图、文字叙述或者列式计算表达你的思考过程。 10．将一张长方形纸对折，再对折，再对折…… 如果对折8次，有多少个小长方形？有多少条折痕？ 11．下面是一张把自然数按一定顺序排列的数表，用一个有5个空格的“十”字框可以框出不同的五个数，认真观察“十”字框中正中间的数与其他四个数的关系，再回答问题。 （1）“十”字框中五个数的和与该“十”字框正中间的数有什么关系？ （2）如果“十”字框正中间的数是x，那么上面的数是（ ），下面的数是（ ）。 12．一支中性笔a元，一支钢笔比一支中性笔贵b元。 （1）一支钢笔多少元？（只写式子不写答语） （2）买1支钢笔和3支中性笔共多少元？（只写式子不写答语） （3）当a＝1.8，b＝5.2时，买1支钢笔和3支中性笔共多少元？ 13．物流干线A仓到B仓全程780千米，货运专车平均速度350千米/时，车辆从A仓出发前往B仓。 （1）用式子表示行驶t小时后，车辆离B仓的距离。 （2）计算t＝2时，车辆离B仓的距离。 14．为响应国家“全民阅读”号召，学校开展书香校园建设。四年级采购课外读物，已知采购科普书a本、文学书比科普书的3倍少b本。 （1）用含有字母的式子表示四年级一共采购图书的总本数。 （2）当a＝100，b＝105时，四年级一共采购多少本图书？ 15．王老师购买了12副乒乓球拍和1盒乒乓球。乒乓球拍每副m元，乒乓球每盒30元。 （1）王老师一共要付多少元？（用含有字母的式子表示） （2）当m＝80时，王老师一共要付多少元？ 16．小区中心绿地修建了一处景观花圃，整体是大正方形，内部设有一个小正方形花池，阴影部分为外围绿植区。大正方形边长为a米，内部小正方形边长为b米。 （1）用含有字母的式子表示阴影部分的总周长。 （2）如果沿着阴影区域的边缘安装护栏，当a＝15，b＝12时，一共需要多少米护栏？ 17．下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸。 （1）第5个图中所贴剪纸“○”的个数是（ ）。 （2）第n个图中所贴剪纸“○”的个数是多少？请写出你发现的规律。 18．某工厂需要30吨煤，已经运来了x车，每辆车运2吨。 （1）用含x式子表示还需要运（ ）吨煤； （2）当x＝6时，还需要运多少吨煤？ （3）如果还需要运8吨煤，求已经运来了几车煤？ 19．康康去科技馆时，上坡用了5分钟，平均每分钟走x米，下坡用了3分钟，平均每分钟走y米。 （1）用含有字母的式子表示康康走的总米数是（ ）米。 （2）当，时，康康一共走了多少米？ 20．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时相向出发，甲的速度是a千米/小时，乙的速度是b千米/小时，从A地到B地全长2000千米。 （1）7小时后，甲乙两车共行驶了多少千米？ （2）几小时后，两车相遇？ 21．修路队修一条乡村公路，每天修a米，修了12天，还剩下180米没有修。 （1）用含有字母的式子表示这条公路的全长。 （2）当a＝75时，这条公路的全长是多少米？ 22．一辆大客车和一辆出租车同时从甲市出发，沿同一条路开往乙市。大客车每小时行驶90千米，出租车每小时行驶x千米。2小时后，出租车刚好到达乙市，大客车还没有到达。 （1）用含有字母的式子表示大客车离乙市还有多少千米。 （2）当x＝110时，大客车离乙市还有多少千米？ 23．2025年全国第十五届运动会的吉祥物是一对中华白海豚：喜洋洋和乐融融。乐淘玩具工厂每天可生产a个喜洋洋和b个乐融融玩偶。 （1）用含有字母的式子表示5天该工厂一共能生产多少个吉祥物。 （2）当a＝120，b＝80时，5天该工厂生产的喜洋洋比乐融融多多少个？ 24．校园阶梯水费收费标准：每月用水量≤20吨，按3.4元/吨收费；超过20吨的部分，按4.6元/吨收费。 （1）用含有字母x的式子表示每月水费：当x≤20时，水费是（ ）元；当x＞20时，水费是（ ）元。 （2）一栋教学楼11月用水28吨，应缴水费多少元？ 25．为处理社区生活污水、保护周边河道环境，要铺设一条长3千米的污水处理输送管道，已经铺了5天，每天铺x千米，还剩一段未铺。 （1）用含有字母的式子表示未铺的管道是（ ）千米。 （2）当x＝0.32时，还剩多少千米没有铺？ 参考答案 1．设圆珠笔的价格为a元，则中性笔的价格是（a＋1）元，钢笔的价格是4a元。（答案不唯一） 【分析】可以把圆珠笔价格设为字母a元，题目说中性笔比圆珠笔贵1元，则中性笔的价格等于圆珠笔价格加1元；钢笔价格是圆珠笔的4倍，则钢笔的价格等于圆珠笔的价格乘4，据此解决。 【详解】设圆珠笔的价格为a元。 则中性笔的价格是（a＋1）元，钢笔的价格是4a元。 2．（1） （2）220米/分 【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”的数量关系，用对应字母替换得到速度的字母表达式； （2）将已知的路程和时间数值代入表达式，计算出速度。 【详解】（1）根据分析，解答如下： 答：求骑行速度的数量关系式为。 （2）根据分析，解答如下： （米/分） 答：骑行的速度是220米/分。 3．（1） （2） 3705米 【分析】根据行程问题中路程等于速度乘时间的数量关系，第一问用含有字母的式子表示路程；第二问将的数值代入式子，计算出实际路程。 【详解】（1） 路程＝速度×时间，已知速度为每分钟米，时间为15分钟，因此距离为： 。 （2） 当时，代入式子计算： （米） 答：张老师家到学校有3705米。 4．（1）（）米 （2）2300米 【分析】（1）根据题意，用平均每天修路的米数乘修路的天数，再加上还剩下没有修的米数，即可求出这段公路的长度。 （2）把a＝120代入第（1）小题得到的式子中，计算出结果即可。 【详解】（1）15天修路的长度：15a米 这段公路总长度：（15a＋500）米 答：这段公路的长度为（15a＋500）米。 （2）当a＝120时： 15×120＋500 ＝1800＋500 ＝2300（米） 答：这段公路长2300米。 5．（1）元 （2）680元 【分析】（1）先计算出1套科普丛书的价格，再乘6得到6套科普丛书的价格。 （2）先计算出1套科普丛书的价格，再计算经典名著和科普丛书相加的和乘4，即可求解。 【详解】（1）1套科普丛书的价格：元 6套科普丛书的价格： 元 答：买6套科普丛书需要元。 （2）当时， 1套科普丛书的价格： （元） 一共： （元） 答：一共花680元。 6．（1）平方米 （2）15平方米 【分析】从长方形中剪去一个最大的正方形，正方形的边长等于长方形的宽。 （1）用长方形的面积减去剪去的正方形的面积即可求出剩下图形的面积，用含的式子表示剩下图形的面积； （2）将代入第一问的式子计算即可。 【详解】（1）长方形的面积：（平方米） 正方形的面积：（平方米） 剩下图形的面积：（）平方米 答：剩下的图形的面积是（）平方米。 （2）当时 ＝40－25 ＝15（平方米） 答：剩下图形的面积是15平方米。 7．（1）（21a＋21b）千米 （2）3360千米 【分析】（1）两车同时出发、相向而行，相遇时各自行驶的时间相同，都是21小时。根据“路程＝速度×时间”，可以分别用含字母的式子表示两辆车的路程，再相加就是总路程。 （2）当a＝60，b＝100时，即两辆汽车分别以60千米/时和100千米/时的速度同时从甲乙两地相向而行，求出两辆车一共行驶多少千米，根据“路程＝时间×（甲的速度＋乙的速度）”，代入数据即可解答。 【详解】（1）甲车行驶的路程：21a（千米） 乙车行驶的路程：21b（千米） 总路程：（21a＋21b）千米 （2）当a＝60，b＝100时， 21×（60＋100） ＝21×160 ＝3360（千米） 答：两辆车一共行驶3360千米。 8．（1） 件 （2） 408件 【分析】（1）先通过工作效率乘工作时间求出已处理的快递件数，加上未处理的件数得到总件数的字母表达式。 （2）将t的具体数值代入表达式，计算出总件数。 【详解】（1）＝（33t＋12）件 答：用含有字母的式子表示这批快递一共（33t＋12）件。 （2） ＝33×12＋12 ＝ 396＋12 ＝408（件） 答：这批快递一共408件。 9．（1）13 （2）搭n个正方形需要1＋3n（根）小棒。 1＋3n＝31 1＋3n－1＝31－1 3n＝30 3n÷3＝30÷3 n＝10； 10个 【分析】（1）搭1个正方形需要小棒数：（1＋3）根； 搭2个正方形需要小棒数：（1＋3×2）根； 搭3个正方形需要小棒数：（1＋3×3）根； 以此类推可知搭4个正方形需要（1＋3×4）根。 （2）根据上述分析可知，搭n个正方形需要（1＋3n）根小棒，令得数等于31，可求出n。 【详解】（1）1＋3×4 ＝1＋12 ＝13（根） 搭4个正方形需要13根小棒。 （2）由分析可知 搭n个正方形需要1＋3n（根）小棒。 1＋3n＝31 解：1＋3n－1＝31－1 3n＝30 3n÷3＝30÷3 n＝10 答：31根小棒可以搭10个正方形。 10． 有256个小长方形，有255条折痕。 【分析】先从对折1次、2次、3次的简单情况入手，分别统计对应的小长方形数量和折痕数量，寻找数量和对折次数的规律。因为每对折1次，纸张层数变为原来的2倍，对折n次后，小长方形数量就是 n个2相乘。观察折痕数量和对应小长方形数量的关系，折痕总比小长方形的数量少1（初始1张纸没有折痕，每一次对折后，折痕数＝小长方形数－1）据此解答即可。 【详解】对折8次有长方形：（个） 对折8次有折痕：256－1＝255（条） 答：有256个小长方形，有255条折痕。 11．（1）五个数的和是正中间数的5倍 （2） x－7 x＋7 【分析】（1）设“十”字框正中间的数为a，通过观察数表规律，上面的数比正中间数小7，即为a－7；下面的数比正中间数大7，即为a＋7；左边的数比正中间数小1，即为a－1；右边的数比正中间数大1，即为a＋1。这五个数的和（（a－7）＋（a－1）＋a＋（a＋1）＋（a＋7）），化简这个式子，－7与＋7抵消，－1与＋1抵消，结果为5a，所以五个数的和是正中间数的5倍。 （2）由前面分析数表规律可知，“十”字框中上面的数比正中间数小7，当正中间数是x时，上面的数就是x－7；下面的数比正中间数大7，所以下面的数是x＋7。 【详解】（1）“十”字框中五个数的和与该“十”字框正中间的数的关系：五个数的和是正中间数的5倍。 （2）如果“十”字框正中间的数是x，那么上面的数是（x－7），下面的数是（x＋7）。 12．（1）a＋b （2）4a＋b （3） 12.4元 【分析】（1）钢笔单价比中性笔贵元，即钢笔单价等于中性笔单价加元。 （2）总价等于支钢笔的价钱加上支中性笔的价钱。 （3）将，代入第（2）题的式子中进行计算，注意小数加减乘法的运算法则。 【详解】（1）中性笔单价为元，钢笔比中性笔贵元，则一支钢笔单价为元。 （2）买支钢笔和支中性笔，总价钱为： 元 （3）当，时， （元） 答：买支钢笔和支中性笔共元。 13．（1）（780－350t）千米 （2）80千米 【分析】（1）根据总路程－已行驶路程＝剩余路程计算：已知速度是350千米/时，根据路程＝速度×时间，t小时行驶的路程为350t千米，用总路程减去已行驶路程就是离B仓的距离。把t＝2代入第一问得到的式子，直接计算即可。 【详解】（1）780－350×t ＝（780－350t）千米 答：车辆离B仓的距离是（780－350t）千米。 （2）t＝2 780－350t ＝780－350×2 ＝780－700 ＝80（千米） 答：车辆离B仓的距离是80千米。 14．（1）（）本 （2）本 【分析】（1）文学书的本数是科普书的倍少本，求一个数的几倍用乘法，即本，四年级一共采购图书的总本数等于科普书本数加文学书本数，列出式子并化简即可。 （2）将，代入第（1）题求出的含有字母的式子中，按照四则运算顺序计算出结果。 【详解】（1）文学书的本数： 总本数：本 （2）当， 时 （本） 答：四年级一共采购295本图书。 15．（1）元 （2）990元 【分析】（1）根据数量关系“总价＝单价×数量”，分别表示出乒乓球拍的总价和乒乓球的总价，再将两者相加即可得到总费用的代数式。 （2）将 代入（1）小题得到的式子中，按照整数四则混合运算的顺序计算出具体数值。 【详解】（1）乒乓球拍的总价为：（元） 乒乓球的总价为：元 一共要付的钱数为：元 答：王老师一共要付元。 （2）当时 （元） 答：王老师一共要付990元。 16．（1） 米 （2） 米 【分析】（1）观察图形可知，阴影部分（绿植区）的周长由两部分组成：外部大正方形的周长和内部小正方形的周长。根据正方形的周长公式，分别用含有字母的式子表示出大、小正方形的周长，最后相加即可。 （2）将数值代入第（1）题得出的式子，按照四则运算的顺序进行计算，即可求出护栏的总长度。 【详解】（1） （米） 答：用含有字母的式子表示阴影部分的总周长为米。 （2）当a＝15，b＝12时 ＝ （米） 答：一共需要108米护栏。 17．（1）17 （2）3n＋2； 规律：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 【分析】（1）观察可知，第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，可见每增加一个图形，“○”的数量就增加3个，因此用第3个图“○”的数量连续加2个3，即可求出第5个图中“○”的数量。 （2）根据（1）中分析，将每个图形的数量写成3×n＋2的形式，总结出第n个图中所贴剪纸“○”的个数，并写出规律。 【详解】（1）第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，依次多3个“○”，则第5个图中所贴剪纸“○”的个数为： 11＋3＋3＝17（个） （2）第1个图有5个“○”，5＝3×1＋2； 第2个图有8个“○”，8＝3×2＋2； 第3个图有11个“○”，11＝3×3＋2； …… 第n个图中“○”的个数为3×n＋2，即（3n＋2）个。 规律为：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 18．（1） （2）18吨 （3）11车 【分析】（1）还需要运煤的吨数＝总吨数－已经运煤的吨数，据此解答即可； （2）将的取值代入（1）题数量表达式计算即可； （3）用总吨数减去还需要运来的吨数，再除以每辆车运的吨数即可。 【详解】（1）＝（）吨 （2）当＝6时， ＝30－2×6 ＝30－12 ＝18（吨） 答：还需要运18吨煤。 （3）当还需运8吨时，已运煤量为：30－8＝22吨， 因此车数为：22÷2＝11（车） 答：已经运来了11车煤。 19．（1）（5x＋3y） （2）380米 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，上坡路程为5×x＝5x米，下坡路程为3×y＝3y米，总路程就是上坡加下坡的路程和。 （2）把x＝40，y＝60代入第一问的式子计算即可。 【详解】（1）5×x＋3×y＝（5x＋3y）米 用含有字母的式子表示康康走的总米数是（5x＋3y）米。 （2）将x＝40，y＝60代入5x＋3y，可得： 5x＋3y ＝5×40＋3×60 ＝200＋180 ＝380（米） 答：康康一共走了380米。 20．（1）7（a＋b）千米 （2）2000÷（a＋b）小时 【分析】甲车的速度：a千米/小时，乙车的速度：b千米/小时，A、B两地的总路程：2000千米，两车同时从两地相向出发。 （1）用甲乙的速度和乘行驶时间，就可以计算出甲乙两车共行驶了多少千米； （2）用总路程除以甲乙的速度和，就可以计算出几个小时后相遇。 【详解】（1）（a＋b）×7＝7（a＋b）千米 答：甲乙两车共行驶了7（a＋b）千米。 （2）2000÷（a＋b） 答：[2000÷（a＋b）]小时后，两车相遇。 21．（1）（12a＋180）米 （2）1080米 【分析】（1）已修的长度＋未修的长度＝公路总长。 （2）把a＝75代入算式中，计算出这条公路的总长即可。 【详解】（1）＝（）米 答：这条公路的全长为（）米。 （2）当a＝75时 （米） 答：这条公路的全长是1080米。 22．（1） （2x－180）千米 （2） 40千米 【分析】（1）根据题意，出租车行驶2小时刚好到达乙市，可知甲市到乙市的总路程为出租车速度乘以时间，即2x千米；大客车行驶了2小时，速度是90千米/时，行驶路程为90×2千米。大客车离乙市的距离等于总路程减去大客车已行驶的路程。 （2）将x＝110 代入第（1）题得到的式子中，计算出具体数值即可。 【详解】（1）2x－90×2＝（2x－180）千米 答：客车离乙市还有（2x－180）千米。 （2）当x＝110时， 2x－180 ＝2×110－180 ＝220－180 ＝40（千米） 答：大客车离乙市还有40千米。 23．（1）5（a＋b）个 （2）200个 【分析】已知每天生产喜洋洋个，乐融融个，则每天一共生产个。要求5天一共生产的个数，根据“总产量每天产量天数”，用每天生产的总个数乘5即可。 要求5天生产的喜洋洋比乐融融多多少个，可以先求出每天喜洋洋比乐融融多的个数，再乘5。将，代入含有字母的式子中计算即可。 【详解】（1）每天生产吉祥物总个数为个。 5天生产吉祥物总个数为： 答：5天该工厂一共能生产个吉祥物。 （2） 当，时， （个） 答：5天该工厂生产的喜洋洋比乐融融多200个。 24．（1） 3.4x 4.6x－24 （2）104.8元 【分析】（1）当用水量x≤20时，直接根据“总价＝单价×数量”列式；当用水量x＞20时，水费由两部分组成：20吨以内的基础水费和超过20吨部分的额外水费，需分别计算后相加。 （2）已知用水量为28吨，大于20吨，应代x＞20时的式子进行计算。 【详解】（1）当x≤20时，单价为3.4元/吨，水费为：3.4×x＝（3.4x）元； 当x＞20时，前20吨水费为3.4×20＝68（元），超过20吨的部分为x－20吨，单价为4.6元/吨，这部分水费为4.6×（x－20）。 总水费为：68＋4.6×（x－20） ＝68＋4.6x－92 ＝（4.6x－24）元 用含有字母x的式子表示每月水费：当x≤20时，水费是3.4x元；当x＞20时，水费是4.6x－24元。 （2）因为28＞20，所以适用第二段收费标准。 4.6×28－24 ＝128.8－24 ＝104.8 答：应缴水费104.8元。 25．（1） （2）1.4千米 【分析】本题考查用字母表示数及含有字母式子的求值。 （1）根据数量关系“未铺长度＝总长度－已铺长度”进行分析。总长度已知为3千米，已铺长度等于每天铺的长度乘天数，即乘，写作千米，据此列出含有字母的式子。 （2）将代入第（1）小题得到的式子中，按照先乘除后加减的运算顺序进行脱式计算，求出结果。 【详解】（1）已铺的管道长度为千米。 未铺的管道长度为：（）千米 （2）当时 （千米） 答：还剩1.4千米没有铺。 学科网（北京）股份有限公司 $