第二单元混合运算和数量关系（三）（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

该小学数学讲义以单元整体框架构建分数混合运算与数量关系知识体系，通过核心知识框架图呈现计算体系（运算顺序、运算律）和数量关系体系（单位“1”、工程问题等），梳理九类知识点及内在逻辑，突出重难点分布。 讲义亮点是“情境化问题+分层练习”设计，如工程问题（甲队30天、乙队20天合作）、分数倍比问题（包子店售出量），结合线段图培养几何直观，用单位“1”模型训练模型意识。基础题到综合题覆盖不同层次，易错点汇总助力教师精准教学，提升学生运算能力与解题思维。

第二单元 混合运算和数量关系（三）（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《混合运算和数量关系（三）》是苏教版六年级上册第二单元核心内容，承接整数、小数混合运算及分数乘除法基础，系统学习分数四则混合运算、简便运算与分数类实际问题数量关系。本单元是小学阶段四则运算体系的收尾升华，是分数应用题、工程问题的核心基础，衔接后续百分数、比例综合应用题，是小学数学代数运算与数量分析的重点单元。 2. 单元核心知识框架 本单元分为两大模块：一是分数四则混合运算的计算体系，包含运算顺序、运算定律、简便计算规则；二是分数专属数量关系体系，包含分数倍比问题、增减分率问题、基础工程问题，实现计算能力与解题思维的双向拔高。 3. 核心学习本质 统一整数、小数、分数三类数的混合运算逻辑，掌握分数运算的简便技巧，建立以单位“1”为核心的分数数量分析思维，能独立拆解复杂分数应用题的数量逻辑，实现运算规范化、解题模型化。 知识点二、分数四则混合运算顺序规则 1. 通用运算总原则 分数四则混合运算顺序与整数、小数四则混合运算顺序完全一致，无特殊专属规则，所有运算遵循先高级后低级、有括号优先括号的统一逻辑。 2. 同级运算规则 算式中只有加减法或只有乘除法，属于同级运算，严格按照从左往右的顺序依次计算，不可颠倒运算顺序、不可跳步计算。 3. 两级运算规则 算式中同时含有加减法（低级运算）和乘除法（高级运算），优先计算乘除法，再计算加减法，先算高级运算、后算低级运算。 4. 括号优先运算规则 算式含有括号时，优先计算括号内部内容；同时含有小括号、中括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的运算，括号层级由内向外依次计算。 5. 分数运算前置规范 分数混合运算过程中，可优先约分再计算，简化计算步骤；计算结果必须化为最简分数，假分数可根据规范保留或转化，杜绝未化简的分数结果。 知识点三、分数混合运算常用运算律与简便性质 1. 加法运算定律通用 加法交换律：任意两个分数相加，交换加数位置，和不变；加法结合律：多个分数相加，可任意结合分组计算，和不变，适用于分数连加简便运算。 2. 乘法运算定律通用 乘法交换律：分数连乘可交换因数位置，积不变；乘法结合律：分数连乘可任意分组结合计算，积不变；乘法分配律：最核心简便运算定律，两个数的和或差乘一个分数，等于两个数分别乘这个分数再求和或差，可正向、逆向灵活运用。 3. 减法简便运算性质 一个数连续减去多个分数，等于这个数减去所有减数的和；一个数减去多个数的和，等于连续减去和里的每一个数，适用于分数连减凑整简便计算。 4. 除法简便运算性质 一个数连续除以多个不为0的分数，等于这个数除以所有除数的积；仅适用于连除运算，不可用于加减混合除法算式。 5. 简便运算核心原则 分数简便运算的核心是凑整、约分、简化计算步骤，所有运算律、性质的运用必须保证算式数值大小不变，变形等价、结果唯一。 知识点四、分数应用题核心：单位“1”认知 1. 单位“1”的定义 单位“1”是分数应用题中被当作标准的整体数量，代表一个完整的整体，可以是一个物体、一组数量、一批物品、一项工程等，是所有分数倍比关系的参照标准。 2. 单位“1”的判定方法 常规句式中，“的”字前面的量、“比、占、是、相当于”后面的量为单位“1”；整体与部分题型中，整体为单位“1”，部分为对应分率的数量。 3. 单位“1”的核心解题规律 单位“1”的量已知，用乘法计算，求单位“1”的几分之几是多少；单位“1”的量未知，用除法或方程计算，通过对应数量÷对应分率求出整体。 知识点五、基础分数乘法数量关系模型 1. 基础倍比模型 求一个数的几分之几是多少，核心数量关系：单位“1”的量×对应分率＝对应部分量，是所有分数应用题的基础模型。 2. 多几分之几数量模型 求比一个数多几分之几的数是多少，两种等价数量关系：单位“1”的量＋单位“1”的量×多的分率＝对应数量；单位“1”的量×（1＋多的分率）＝对应数量。 3. 少几分之几数量模型 求比一个数少几分之几的数是多少，两种等价数量关系：单位“1”的量－单位“1”的量×少的分率＝对应数量；单位“1”的量×（1－少的分率）＝对应数量。 4. 分率与数量对应原则 每一个具体数量必须对应唯一的分率，每一个分率必须对应唯一的部分量，量率一一对应是分数应用题解题的核心关键。 知识点六、分数工程问题专属数量关系 1. 工程问题核心设定 无具体工作总量的工程问题，统一将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为单位时间内完成工作总量的几分之几。 2. 基础工程数量公式 通用核心关系：工作总量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作总量÷工作时间；工作时间＝工作总量÷工作效率。 3. 单人工作效率规律 一项工作单独完成需要n天，每日工作效率就是1/n，工作时间越长，单日效率越低，效率与时间成反向对应关系。 4. 多人合作工作规律 多人合作工作，总工作效率等于所有人工作效率之和；合作工作时间＝工作总量÷合作总效率，是工程合作问题的核心模型。 5. 工程问题核心特征 工程问题只关注工作效率、工作时间、工作总量的倍比关系，不关注具体工作量大小，依托单位“1”实现无具体数值的量化计算。 知识点七、线段图分析数量关系的核心方法 1. 线段图核心作用 线段图是拆解分数复杂数量关系的标准工具，可直观区分单位“1”、已知量、未知量、对应分率，清晰呈现多、少、倍比、合作等数量逻辑。 2. 单一线段图画图逻辑 整体画一条完整线段表示单位“1”，根据分率将线段平均划分，标注已知分率、已知数量、未知部分，匹配量率对应关系，适配基础分数应用题。 3. 双线段图画图逻辑 存在两个对比量时，画两条对齐的独立线段，第一条表示单位“1”，第二条表示对比量，直观体现多几分之几、少几分之几的差值关系。 知识点八、混合运算与数量关系通用解题流程 1. 分数混合运算解题流程 先观察算式结构，判断运算层级与括号分布，优先判断能否简便运算；严格遵循运算顺序计算，能约分先约分，分步规范计算，最终结果化简为最简分数。 2. 分数应用题解题流程 先找关键句，判定单位“1”已知或未知；梳理量率对应关系，匹配对应数量模型；列出算式或方程求解，最后验证结果与题意逻辑是否相符。 知识点九、单元高频易错点汇总 1. 运算顺序易错 混淆两级运算顺序，先算加减后算乘除；括号运算顺序混乱，错算中括号、小括号层级；同级运算随意跳步、颠倒顺序，导致计算结果错误。 2. 简便运算易错 乱用运算律，非匹配算式强行套用乘法分配律；加减混合算式错误使用除法性质；简便变形不等价，改变算式原有数值大小。 3. 分数计算易错 计算后不化简分数结果；约分不彻底、随意约分；混淆分数乘除计算规则，除法未转化倒数直接计算。 4. 单位“1”判定易错 找错题目中的单位“1”；混淆已知、未知单位“1”，乱用乘除法解题；多个分率题型中混淆不同参照标准的单位“1”。 5. 量率对应易错 具体数量与分率不匹配，错用分率对应无关数量；多、少几分之几题型，遗漏1±分率的整体结构，直接用分数加减数量。 6. 工程问题易错 忘记将工作总量看作单位“1”；错误用具体数量计算效率；多人合作忘记累加工作效率；混淆单独工作与合作工作的时间、效率逻辑。 7. 线段图应用易错 画图时分率划分不均、标注混乱；无法通过线段图区分整体与部分，不能精准匹配量率关系，导致分析失误。 8. 综合题型易错 混合题型中，既无法规范运算，又无法梳理数量关系；多层分率叠加题型，逻辑混乱，无法分步拆解解题。 一、例题讲解 【典例】 1．一套“学习强国”专项答题测试中共有54道题，王老师答了一部分题后，还剩，王老师已答了( )道题。 【答案】 30 【分析】把这套题的总道数看作单位“1”，已知还剩，则已答的占总道数的。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，用总道数乘已答的分率即可求出已答的道数。 【详解】 （道） 【典例】 2．华氏温度和摄氏温度换算公式是：华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，如果今天的气温测出是80.6华氏度，那么相当于( )摄氏度。 【答案】 【分析】利用所给的公式：华氏温度摄氏温度，可以得出摄氏温度（华氏温度），代入数据计算即可。 【详解】 （摄氏度） 所以如果今天的气温测出是华氏度，那么相当于摄氏度。 【典例】 3．如果购买2千克白萝卜和2千克上海青，一共需要7.8元；如果购买5千克白萝卜和2千克上海青，一共需要9.9元。两种蔬菜每千克的价格各是多少元？ 【答案】白萝卜：0.7元；上海青：3.2元 【分析】两次购买的上海青重量相同，总价的差值对应多购买的白萝卜的总价，先求出白萝卜的单价，再计算上海青的单价。 【详解】（9.9－7.8）÷（5－2） ＝2.1÷3 ＝0.7（元） （7.8－0.7×2）÷2 ＝（7.8－1.4）÷2 ＝6.4÷2 ＝3.2（元） 答：白萝卜的每千克是0.7元，上海青的每千克是3.2元。 【典例】 4．为了实现河道输水通畅、达到生态补水的条件，某地对河道进行清理整治。一个工程队前5天一共清理整治河道1.79千米，后6天一共清理整治河道2.28千米。这个工程队平均每天清理整治河道多少千米？ 【答案】0.37千米 【分析】要求平均每天清理整治河道的长度，需先算出清理的总长度和总天数，总长度＝前5天共清理的1.79千米＋后6天共清理的2.28千米，总天数＝5＋6＝11天，最后再用总长度除以总天数即可。 【详解】 ＝4.07÷11 （千米） 答：这个工程队平均每天清理整治河道0.37千米。 提升练习 二、填空题 5．5.2×0.86的积是( )位小数，估计结果不会超过( )。 【答案】 三/3 5.2 【分析】两个因数末尾数的乘积不是整十数，可根据积的小数的位数等于两个因数的小数的位数的和，求出积有几位小数；把0.86看作1，计算出5.2×1的结果，据此估算即可。 【详解】5.2有1位小数，0.86有两位小数，1＋2＝3（位） 因为5.2×1＝5.2，0.86＜1，所以5.2×0.86＜5.2，即结果不会超过5.2。 6．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字是相邻的偶数，个位上的数字比十位上的数字大，这个两位数是______。 【答案】 68 【分析】十位、个位数字都是偶数：0、2、4、6、8，且两个数字相邻； 个位数字比十位数字大，说明十位数字是3的倍数，又是偶数； 把十位数字看作单位“1”，个位比十位大，也就是：； 两位数，十位不能为0。 【详解】0、2、4、6、8这些偶数里只有6是3的倍数，所以十位上的数是6。 ，个位上的数是8。 6和8是相邻的偶数，符合要求，所以这个两位数是68。 7．计算( )，这个过程运用了( )律。 【答案】 1200 乘法分配 【分析】把除法转化为乘，将1284拆成1200＋80＋4，利用乘法分配律，让括号内每个数分别乘，再相加求出结果。 乘法分配律：两个数的和乘一个数，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把积相加，也可以拓展到三个及多个数相加的形式。 【详解】1284÷4 ＝（1200＋80＋4）× ＝1200×＋80×＋4× ＝300＋20＋1 ＝321 这个过程运用了乘法分配律。 8．60kg增加后是( )kg；减少后是( )。 【答案】 65 40 【分析】求比一个数多（少）几分之几的数是多少，单位“1”已知，用乘法计算，即单位“1”的量×（1±几分之几）。 【详解】（1）60×（1＋） ＝60× ＝65（kg） （2）45×（1－） ＝45× ＝40（） 9．某项工程，甲队单做需要30天完成，乙队单做需要20天完成。现由甲、乙两队合作施工，中途甲队因故退出，剩余工程由乙队单做5天完成。将总工程款9000元按两队完成的工作量分配，甲队应分得( )元。 【答案】2700 【分析】把总工程看作单位1，先求出甲、乙工作效率，先算出乙单独5天完成的工作量，剩下就是甲乙合作完成的工作量，再求出合作天数，得到甲完成的工作量，最后按工作量分配工程款。 【详解】甲效率： 乙效率： 乙单独5天工作量： 甲乙合作工作量： 合作天数： （天） 甲完成工作量： 甲分得工程款：（元） 10．8×（2＋）＝16＋6＝22，这是根据( )计算的。 【答案】乘法分配律 【分析】乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别与这两个数相乘，然后再相加；用字母表示是a×（b＋c）＝a×b＋a×c。 【详解】8×（2＋） ＝8×2＋8× ＝16＋6 ＝22 可判断：这是根据乘法分配律计算的。 11．一个长方形长是分米，宽是分米，它的周长是( )。 【答案】2分米/2dm 【分析】长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2。 【详解】（）×2 ＝1×2 ＝2（分米） 12．甲、乙、丙三个数，甲数是丙数的4.6倍，乙数是丙数的1.4倍，甲数比乙数大80。则甲数是( )，乙数是( )，丙数是( )。 【答案】 115 35 25 【分析】由题意知，甲数＝丙数×4.6，乙数＝丙数×1.4，甲数比乙数多丙数×（4.6－1.4），则丙数×（4.6－1.4）＝80，丙数＝80÷（4.6－1.4）；求出丙数后，将丙数分别代入和甲数、乙数的关系式，求出甲数、乙数。 【详解】80÷（4.6－1.4） ＝80÷3.2 ＝25 25×4.6＝115 25×1.4＝35 即甲、乙、丙数分别为115、35、25。 三、选择题 13．水果店新进一批水果，梨有60kg，猕猴桃比梨多，猕猴桃有多少千克？孙明是这样列式的：。他是先求出（    ）。 A．猕猴桃比梨少几千克 B．猕猴桃是梨的几分之几 C．猕猴桃比梨少几分之几 D．猕猴桃比梨多几分之几 【答案】B 【分析】把梨的重量看作单位“1”，单位“1”已知，求猕猴桃重量本质是求梨重量的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】，这一步求出猕猴桃是梨的； （千克），这一步求出猕猴桃的重量。 所以列式，式子先算括号内：，所以是先求出猕猴桃是梨的几分之几。 14．估一估，算式4.51×2的积在（    ）之间。 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 【答案】C 【分析】在方框里分别填入0和9，估算出最小和最大的乘积，再与选项进行比较，即可解答。 【详解】 里最小填0，4.501＞4.5，4.5×2＝9，所以实际积一定大于9； 里最大填9，4.591＜5，5×2＝10，所以实际积一定小于10。 综上可得：算式4.51×2的积在9和10之间。 15．下列各式中，与12.5×8.8的结果不相等的是（    ）。 A．12.5×8×1.1 B．12.5×（8＋0.8） C．125×0.88 D．12.5×8×0.8 【答案】D 【分析】先计算出原式的结果，再结合乘法运算定律、积的变化规律分别计算各选项的结果，对比后选出和原式结果不相等的选项即可。 乘法交换律a×b＝b×a 乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c） 乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c 【详解】12.5×8.8＝110 A．12.5×8×1.1 ＝100×1.1 ＝110 与原式结果相等； B．12.5×（8＋0.8） ＝12.5×8＋12.5×0.8 ＝100＋10 ＝110 与原式结果相等； C．125×0.88 ＝125×（8×0.11） ＝125×8×0.11 ＝1000×0.11 ＝110 与原式结果相等； D．12.5×8×0.8 ＝100×0.8 ＝80 80≠110，与原式结果不相等。 16．师傅和徒弟生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，有事出去了，徒弟继续做了3天，完成了任务的，如果师傅单独完成，需要（    ）天。 A．10 B．15 C．20 D．12 【答案】A 【分析】将总工作量看作单位“1”，先求师徒合作的工作效率，把师傅做5天、徒弟做3天的情况转化为师徒合作3天加师傅单独做2天，依次计算师傅2天的工作量、师傅的工作效率，最后求出师傅单独完成的时间。 【详解】师徒合作每天完成总工作量的： 师徒合作3天完成的工作量： 师傅单独做2天的工作量： 师傅每天完成总工作量的： 师傅单独完成需要的时间：（天） 17．一条路长360千米，若甲队单独修，12天修完；若乙队单独修，18天修完。若两队合修，9天能修完吗？解决这个问题，三位同学想到了不同的解法。下面说法正确的是（    ）。 小丽：能，因为：算出7.2天就能完成。 小梅：能，因为：算出天就能完成。 小强：能，因为：等于6天，等于9天，合作时间应该大于6天，小于9天。 A．小丽、小梅、小强的解法都正确。 B．只有小丽和小梅的解法正确。 C．只有小梅和小强的解法正确。 D．只有小丽和小强的解法正确。 【答案】A 【分析】小丽用总路程除以两队每天修路长度和得到合修时间，再与9天比较； 小梅将工作总量看作单位“1”，用工作总量除以两队工作效率和得到合修时间，再与9天比较； 小强通过判断合修时间介于6天和9天之间，得出9天能修完，据此解答即可。 【详解】小丽的计算： ＝7.2（天） 7.2＜9，解法正确 小梅的计算： （天） ，解法正确 小强的计算：（天） （天） 两队合修效率大于乙队的2倍、小于甲队的2倍，因此合修时间大于6天、小于9天，9天能修完，解法正确。 所以小丽、小梅、小强的解法都正确。 四、判断题 18．一个数的6倍比它本身大15，这个数是2.5。( ) 【答案】 × 【分析】可根据这个数是2.5，逆推它的6倍是否比本身大15，如果不是说明这个数不是2.5，以此判断。 【详解】 故答案为：× 19．45米减少后，再增加它的，结果还是45米。( ) 【答案】× 【分析】先把45米看作单位“1”，用45乘（1－）求出减少后的长度，再把减少后的长度看作单位“1”，用减少后的长度乘（1＋），求出增加后的长度，最后把算出的结果和45米比较大小。 【详解】45×（1－）×（1＋） ＝45×× ＝40× ＝（米） ≠45，原题说法错误。 故答案为：× 20．一项工程，甲队单独干30天完成，乙队单独干20天完成，甲、乙两队合作，25天就能完成这项工程。( ) 【答案】× 【分析】将工作总量看作单位“1”，先分别求出甲、乙两队的工作效率，再计算两队合作的工作时间，与25天比较即可判断对错。 【详解】 （天） 实际合作12天就能完成。 故答案为：× 21．。( ) 【答案】× 【分析】按照分数四则混合运算需先算除法，再算减法，然后把计算结果与0作比较即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 故答案为：× 22．一项工程，甲队单独做需要4天完成，乙队单独做需要3天完成，则两队合作需要几天完成？列式是。( ) 【答案】√ 【分析】先把这项工程的总工作量看作单位“1”，因为工作效率＝工作总量÷工作时间，先分别计算甲队、乙队各自的工作效率，两队合作的工作效率是两队工作效率之和，工作时间＝工作量÷工作效率，用工作量除以两队合作的总效率和，即可得到所需时间。 【详解】甲队每天工作效率： 乙队每天工作效率： 两队合作每天的效率和为 合作需要的时间：。题目说法正确。 故答案为：√ 五、计算题 23．用简便方法计算下面各题。 1.25×88          128＋2.3－28          6 【答案】110；102.3；10 【分析】（1），因为和相乘可得到整十数，所以考虑将拆成或，分别用乘法结合律或乘法分配律简便计算； （2），因为同级运算可交换运算顺序，所以根据交换律，将与交换位置，先计算得到整百数，再计算加求得结果； （3），因为两个乘法项有相同因数，所以用乘法分配律提取公因数，先算的和，再乘求得结果。 【详解】（1）1.25×88 ＝1.25×（80＋8） ＝1.25×80＋1.25×8 ＝100＋10 ＝110 （2）128＋2.3－28 ＝128－28＋2.3 ＝100＋2.3 ＝102.3 （3） 六、解答题 24．狗不理包子是一道以猪肉、面粉等为食材蒸制而成的小吃。一家狗不理包子店，昨天售出包子720个，今天比昨天多售出，今天售出包子多少个？ 【答案】个 【分析】以昨天的售出量为单位“1”，今天比昨天多售出，因此今天的售出量对应分率为，用单位“1”的量乘对应分率即可求解。 【详解】 （个） 答：今天售出包子个。 25．商场某品牌夹克的价格是640元，“五一”期间降价，后来又涨价，这件夹克现在的价格比原价贵还是便宜？贵（或便宜）多少元？ 【答案】便宜；便宜10元 【分析】把原价看作单位“1”，原价640元，降价后，价格是原价的，用原价乘得出降价后的价格；把降价后的价格看作单位“1”，则涨价后，价格是降价后的，用降价后的价格乘得出现价；然后与原价比较计算即可。 【详解】 ＝ ＝560（元） ＝ ＝630（元） 640＞630 （元） 答：现价比原价便宜，便宜了10元。 26．某品牌电脑原价5000元，端午节开展促销活动，降价，节后又涨价，这时电脑的价格是多少元？ 【答案】元 【分析】两次价格调整的单位不同，第一次降价以原价为单位，第二次涨价以降价后的价格为单位，求比一个数多或者少几分之几的数是多少，用乘法。 【详解】 （元） 答：这时电脑的价格是元。 27．甲有若干本书，乙借走了一半多加3本，剩下的书，丙借走了加2本，再剩下的书，丁借走了加1本，最后甲还有2本书，问甲原有多少本书？ 【答案】24本 【分析】从最后剩下的2本书倒推，（2＋1）本是丙借了后剩下的，剩下的为本；（4＋2）本是乙借了后剩下的，剩下的为本；（9＋3）本是甲全书的一半，原有书为本。 【详解】丁借书前的数量： （本） 丙借书前的数量： （本） 甲原有的数量： （本） 答：甲原有24本书。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算和数量关系（三）（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《混合运算和数量关系（三）》是苏教版六年级上册第二单元核心内容，承接整数、小数混合运算及分数乘除法基础，系统学习分数四则混合运算、简便运算与分数类实际问题数量关系。本单元是小学阶段四则运算体系的收尾升华，是分数应用题、工程问题的核心基础，衔接后续百分数、比例综合应用题，是小学数学代数运算与数量分析的重点单元。 2. 单元核心知识框架 本单元分为两大模块：一是分数四则混合运算的计算体系，包含运算顺序、运算定律、简便计算规则；二是分数专属数量关系体系，包含分数倍比问题、增减分率问题、基础工程问题，实现计算能力与解题思维的双向拔高。 3. 核心学习本质 统一整数、小数、分数三类数的混合运算逻辑，掌握分数运算的简便技巧，建立以单位“1”为核心的分数数量分析思维，能独立拆解复杂分数应用题的数量逻辑，实现运算规范化、解题模型化。 知识点二、分数四则混合运算顺序规则 1. 通用运算总原则 分数四则混合运算顺序与整数、小数四则混合运算顺序完全一致，无特殊专属规则，所有运算遵循先高级后低级、有括号优先括号的统一逻辑。 2. 同级运算规则 算式中只有加减法或只有乘除法，属于同级运算，严格按照从左往右的顺序依次计算，不可颠倒运算顺序、不可跳步计算。 3. 两级运算规则 算式中同时含有加减法（低级运算）和乘除法（高级运算），优先计算乘除法，再计算加减法，先算高级运算、后算低级运算。 4. 括号优先运算规则 算式含有括号时，优先计算括号内部内容；同时含有小括号、中括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的运算，括号层级由内向外依次计算。 5. 分数运算前置规范 分数混合运算过程中，可优先约分再计算，简化计算步骤；计算结果必须化为最简分数，假分数可根据规范保留或转化，杜绝未化简的分数结果。 知识点三、分数混合运算常用运算律与简便性质 1. 加法运算定律通用 加法交换律：任意两个分数相加，交换加数位置，和不变；加法结合律：多个分数相加，可任意结合分组计算，和不变，适用于分数连加简便运算。 2. 乘法运算定律通用 乘法交换律：分数连乘可交换因数位置，积不变；乘法结合律：分数连乘可任意分组结合计算，积不变；乘法分配律：最核心简便运算定律，两个数的和或差乘一个分数，等于两个数分别乘这个分数再求和或差，可正向、逆向灵活运用。 3. 减法简便运算性质 一个数连续减去多个分数，等于这个数减去所有减数的和；一个数减去多个数的和，等于连续减去和里的每一个数，适用于分数连减凑整简便计算。 4. 除法简便运算性质 一个数连续除以多个不为0的分数，等于这个数除以所有除数的积；仅适用于连除运算，不可用于加减混合除法算式。 5. 简便运算核心原则 分数简便运算的核心是凑整、约分、简化计算步骤，所有运算律、性质的运用必须保证算式数值大小不变，变形等价、结果唯一。 知识点四、分数应用题核心：单位“1”认知 1. 单位“1”的定义 单位“1”是分数应用题中被当作标准的整体数量，代表一个完整的整体，可以是一个物体、一组数量、一批物品、一项工程等，是所有分数倍比关系的参照标准。 2. 单位“1”的判定方法 常规句式中，“的”字前面的量、“比、占、是、相当于”后面的量为单位“1”；整体与部分题型中，整体为单位“1”，部分为对应分率的数量。 3. 单位“1”的核心解题规律 单位“1”的量已知，用乘法计算，求单位“1”的几分之几是多少；单位“1”的量未知，用除法或方程计算，通过对应数量÷对应分率求出整体。 知识点五、基础分数乘法数量关系模型 1. 基础倍比模型 求一个数的几分之几是多少，核心数量关系：单位“1”的量×对应分率＝对应部分量，是所有分数应用题的基础模型。 2. 多几分之几数量模型 求比一个数多几分之几的数是多少，两种等价数量关系：单位“1”的量＋单位“1”的量×多的分率＝对应数量；单位“1”的量×（1＋多的分率）＝对应数量。 3. 少几分之几数量模型 求比一个数少几分之几的数是多少，两种等价数量关系：单位“1”的量－单位“1”的量×少的分率＝对应数量；单位“1”的量×（1－少的分率）＝对应数量。 4. 分率与数量对应原则 每一个具体数量必须对应唯一的分率，每一个分率必须对应唯一的部分量，量率一一对应是分数应用题解题的核心关键。 知识点六、分数工程问题专属数量关系 1. 工程问题核心设定 无具体工作总量的工程问题，统一将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为单位时间内完成工作总量的几分之几。 2. 基础工程数量公式 通用核心关系：工作总量＝工作效率×工作时间；工作效率＝工作总量÷工作时间；工作时间＝工作总量÷工作效率。 3. 单人工作效率规律 一项工作单独完成需要n天，每日工作效率就是1/n，工作时间越长，单日效率越低，效率与时间成反向对应关系。 4. 多人合作工作规律 多人合作工作，总工作效率等于所有人工作效率之和；合作工作时间＝工作总量÷合作总效率，是工程合作问题的核心模型。 5. 工程问题核心特征 工程问题只关注工作效率、工作时间、工作总量的倍比关系，不关注具体工作量大小，依托单位“1”实现无具体数值的量化计算。 知识点七、线段图分析数量关系的核心方法 1. 线段图核心作用 线段图是拆解分数复杂数量关系的标准工具，可直观区分单位“1”、已知量、未知量、对应分率，清晰呈现多、少、倍比、合作等数量逻辑。 2. 单一线段图画图逻辑 整体画一条完整线段表示单位“1”，根据分率将线段平均划分，标注已知分率、已知数量、未知部分，匹配量率对应关系，适配基础分数应用题。 3. 双线段图画图逻辑 存在两个对比量时，画两条对齐的独立线段，第一条表示单位“1”，第二条表示对比量，直观体现多几分之几、少几分之几的差值关系。 知识点八、混合运算与数量关系通用解题流程 1. 分数混合运算解题流程 先观察算式结构，判断运算层级与括号分布，优先判断能否简便运算；严格遵循运算顺序计算，能约分先约分，分步规范计算，最终结果化简为最简分数。 2. 分数应用题解题流程 先找关键句，判定单位“1”已知或未知；梳理量率对应关系，匹配对应数量模型；列出算式或方程求解，最后验证结果与题意逻辑是否相符。 知识点九、单元高频易错点汇总 1. 运算顺序易错 混淆两级运算顺序，先算加减后算乘除；括号运算顺序混乱，错算中括号、小括号层级；同级运算随意跳步、颠倒顺序，导致计算结果错误。 2. 简便运算易错 乱用运算律，非匹配算式强行套用乘法分配律；加减混合算式错误使用除法性质；简便变形不等价，改变算式原有数值大小。 3. 分数计算易错 计算后不化简分数结果；约分不彻底、随意约分；混淆分数乘除计算规则，除法未转化倒数直接计算。 4. 单位“1”判定易错 找错题目中的单位“1”；混淆已知、未知单位“1”，乱用乘除法解题；多个分率题型中混淆不同参照标准的单位“1”。 5. 量率对应易错 具体数量与分率不匹配，错用分率对应无关数量；多、少几分之几题型，遗漏1±分率的整体结构，直接用分数加减数量。 6. 工程问题易错 忘记将工作总量看作单位“1”；错误用具体数量计算效率；多人合作忘记累加工作效率；混淆单独工作与合作工作的时间、效率逻辑。 7. 线段图应用易错 画图时分率划分不均、标注混乱；无法通过线段图区分整体与部分，不能精准匹配量率关系，导致分析失误。 8. 综合题型易错 混合题型中，既无法规范运算，又无法梳理数量关系；多层分率叠加题型，逻辑混乱，无法分步拆解解题。 一、例题讲解 【典例】 1．一套“学习强国”专项答题测试中共有54道题，王老师答了一部分题后，还剩，王老师已答了( )道题。 【典例】 2．华氏温度和摄氏温度换算公式是：华氏温度＝摄氏温度×1.8＋32，如果今天的气温测出是80.6华氏度，那么相当于( )摄氏度。 【典例】 3．如果购买2千克白萝卜和2千克上海青，一共需要7.8元；如果购买5千克白萝卜和2千克上海青，一共需要9.9元。两种蔬菜每千克的价格各是多少元？ 【典例】 4．为了实现河道输水通畅、达到生态补水的条件，某地对河道进行清理整治。一个工程队前5天一共清理整治河道1.79千米，后6天一共清理整治河道2.28千米。这个工程队平均每天清理整治河道多少千米？ 提升练习 二、填空题 5．5.2×0.86的积是( )位小数，估计结果不会超过( )。 6．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字是相邻的偶数，个位上的数字比十位上的数字大，这个两位数是______。 7．计算( )，这个过程运用了( )律。 8．60kg增加后是( )kg；减少后是( )。 9．某项工程，甲队单做需要30天完成，乙队单做需要20天完成。现由甲、乙两队合作施工，中途甲队因故退出，剩余工程由乙队单做5天完成。将总工程款9000元按两队完成的工作量分配，甲队应分得( )元。 10．8×（2＋）＝16＋6＝22，这是根据( )计算的。 11．一个长方形长是分米，宽是分米，它的周长是( )。 12．甲、乙、丙三个数，甲数是丙数的4.6倍，乙数是丙数的1.4倍，甲数比乙数大80。则甲数是( )，乙数是( )，丙数是( )。 三、选择题 13．水果店新进一批水果，梨有60kg，猕猴桃比梨多，猕猴桃有多少千克？孙明是这样列式的：。他是先求出（    ）。 A．猕猴桃比梨少几千克 B．猕猴桃是梨的几分之几 C．猕猴桃比梨少几分之几 D．猕猴桃比梨多几分之几 14．估一估，算式4.51×2的积在（    ）之间。 A．7和8 B．8和9 C．9和10 D．10和11 15．下列各式中，与12.5×8.8的结果不相等的是（    ）。 A．12.5×8×1.1 B．12.5×（8＋0.8） C．125×0.88 D．12.5×8×0.8 16．师傅和徒弟生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，有事出去了，徒弟继续做了3天，完成了任务的，如果师傅单独完成，需要（    ）天。 A．10 B．15 C．20 D．12 17．一条路长360千米，若甲队单独修，12天修完；若乙队单独修，18天修完。若两队合修，9天能修完吗？解决这个问题，三位同学想到了不同的解法。下面说法正确的是（    ）。 小丽：能，因为：算出7.2天就能完成。 小梅：能，因为：算出天就能完成。 小强：能，因为：等于6天，等于9天，合作时间应该大于6天，小于9天。 A．小丽、小梅、小强的解法都正确。 B．只有小丽和小梅的解法正确。 C．只有小梅和小强的解法正确。 D．只有小丽和小强的解法正确。 四、判断题 18．一个数的6倍比它本身大15，这个数是2.5。( ) 19．45米减少后，再增加它的，结果还是45米。( ) 20．一项工程，甲队单独干30天完成，乙队单独干20天完成，甲、乙两队合作，25天就能完成这项工程。( ) 21．。( ) 22．一项工程，甲队单独做需要4天完成，乙队单独做需要3天完成，则两队合作需要几天完成？列式是。( ) 五、计算题 23．用简便方法计算下面各题。 1.25×88          128＋2.3－28          6 六、解答题 24．狗不理包子是一道以猪肉、面粉等为食材蒸制而成的小吃。一家狗不理包子店，昨天售出包子720个，今天比昨天多售出，今天售出包子多少个？ 25．商场某品牌夹克的价格是640元，“五一”期间降价，后来又涨价，这件夹克现在的价格比原价贵还是便宜？贵（或便宜）多少元？ 26．某品牌电脑原价5000元，端午节开展促销活动，降价，节后又涨价，这时电脑的价格是多少元？ 27．甲有若干本书，乙借走了一半多加3本，剩下的书，丙借走了加2本，再剩下的书，丁借走了加1本，最后甲还有2本书，问甲原有多少本书？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $