第二单元混合运算和数量关系（三）（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

该小学数学讲义通过框架图系统梳理分数四则混合运算与数量关系知识体系，整合运算顺序、定律应用、分数小数互化规则，用思维导图呈现三类分数应用模型和工程问题公式，结合线段图辅助单位“1”判定，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于真题拔高设计，涵盖填空、计算、工程问题等题型，如“甲单独8个月完成，乙10个月，合作2个月完成几分之几”，培养运算能力和模型意识。易错指引针对性列出运算顺序混乱等问题，帮助基础学生掌握规则，优秀学生深化思维，支持教师精准分层教学。

第二单元 混合运算和数量关系（三）（讲义） 知识精讲 一、单元整体认知 1. 单元核心定位 （1）本单元是小学阶段四则运算与数量关系的综合进阶单元，整合整数、小数、分数运算体系，衔接分数乘除法基础，为百分数、比例应用题筑牢核心基础。 （2）主要包含两大核心板块：分数四则混合运算计算体系、分数专属数量关系模型，兼顾运算能力与应用题建模能力。 （3）核心数学思想：转化思想、模型思想、择优运算思想、数形结合思想。 2. 单元学习核心目标 （1）掌握分数四则混合运算的通用顺序与简便运算规则，适配分数、小数混合计算场景。 （2）熟练掌握分数三类核心实际问题的数量关系，精准判定单位“1”。 （3）掌握工程问题标准模型，能依托混合运算解决复合型分数实际问题。 （4）学会用估算策略解决分数、小数综合生活问题，区分精确计算与估算应用场景。 二、分数四则混合运算基础规则 1. 通用运算顺序 （1）分数四则混合运算顺序与整数、小数四则混合运算顺序完全一致。 （2）同级运算规则 ① 只有加减或只有乘除，属于同级运算，严格按照从左往右的顺序依次计算。 ② 算式中含分数除法时，需先统一转化为乘倒数，再从左往右约分计算。 （3）两级运算规则 ① 同时含有加减、乘除两级运算时，优先计算乘除法，后计算加减法。 （4）多层括号运算规则 ① 算式带有小括号和中括号时，先算小括号内部，再算中括号内部，最后算括号外部。 2. 运算定律与性质的通用性 （1）整数所有运算定律、简便运算性质，完全适用于分数四则运算。 （2）加法运算定律 ① 加法交换律：交换两个分数加数的位置，和不变。 ② 加法结合律：多个分数相加，可任意结合分组计算，和不变，多用于凑整简化。 （3）乘法运算定律（本单元简便计算核心） ① 乘法交换律：交换分数因数位置，积不变。 ② 乘法结合律：多个分数相乘，可任意结合分组约分，积不变。 ③ 乘法分配律：两个数的和或差乘一个分数，可分别相乘再求和差，支持正向、逆向变形，是高频简便考点。 （4）除法简便性质 ① 一个数连续除以两个分数，等于这个数除以两个分数的积。 3. 分数与小数混合运算择优规则 （1）统一计算形式是混合运算的核心原则，避免分数、小数混用计算。 （2）优先化小数为分数：当分数无法化成有限小数时，全部转化为分数计算，杜绝近似误差。 （3）优先化分数为小数：当分数分母仅含2、5质因数，能化成有限小数时，可转化为小数快速计算。 4. 分数运算通用书写规范 （1）所有分数除法，必须先转化为乘除数的倒数，再进行约分相乘。 （2）计算过程中能提前约分的优先约分，简化大数运算，降低出错率。 （3）最终结果必须化为最简分数，假分数可根据需求规范转化为带分数。 三、分数实际问题核心数量关系（三） 1. 单位“1”精准判定方法 （1）句式判定核心规则 ① 带有“的几分之几”句式，“的”字紧邻靠前的量为单位“1”。 ② 带有“比、多、少几分之几”句式，“比”字后面的参照量为单位“1”。 （2）逻辑判定规则 ① 整体量、标准量、被比较的基准量，统一判定为单位“1”。 ② 部分量、变化量均为对应分率的比较量。 2. 三大通用基础数量关系式 （1）单位“1”的量 × 对应分率 = 分率对应的比较量 （2）比较量 ÷ 单位“1”的量 = 比较量对应的分率 （3）比较量 ÷ 对应分率 = 单位“1”的量 3. 三类核心分数应用模型 （1）模型一：求一个数的几分之几是多少 ① 适用条件：单位“1”的量已知，求对应部分量。 ② 核心逻辑：整体按指定分率拆分，直接用乘法列式。 （2）模型二：求剩余部分量 ① 适用条件：已知总量，减去其中一部分分率，求剩余量。 ② 两种列式逻辑：总量－总量×部分分率；总量×（1－部分分率），可灵活选用混合运算列式。 （3）模型三：比单位“1”多、少几分之几的问题 ① 比单位“1”多几分之几：单位“1”的量 ×（1＋多分率）。 ② 比单位“1”少几分之几：单位“1”的量 ×（1－少分率）。 4. 线段图辅助解题规则 （1）优先绘制完整线段表示单位“1”的整体量。 （2）按照题目分率平均分线段，清晰标注已知条件、分率、所求问题。 （3）通过线段直观区分整体与部分、基准量与变化量，梳理混合运算列式逻辑。 四、工程问题专属数量关系模型 1. 工程问题基础设定 （1）默认将完整的工作总任务、工作总量看作单位“1”。 （2）工作效率表示单位时间内完成的工作量，用分数形式表示。 （3）单人工作效率 = 1 ÷ 单独完成全部工作的时间。 2. 工程问题核心公式 （1）工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （2）工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 （3）工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 3. 多人合作工程模型 （1）多人合作总效率 = 各单人工作效率之和。 （2）全程合作完工时间 = 1 ÷ 总合作效率。 （3）复合型工程问题：可结合分数四则混合运算，解决先单独后合作、先合作后单独的分段工作问题。 五、分数场景估算应用知识点 1. 估算核心价值 （1）用于快速预判计算结果范围，检验精确计算结果是否合理。 （2）适配生活实际场景，快速判断物资、资金、材料是否充足。 2. 两类专属估算策略 （1）估大法：将所有分数、小数数值适当估大，用于判断资金、物资是否够用。 （2）估小法：将所有分数、小数数值适当估小，用于判断任务、材料是否充足达标。 3. 估算书写与应用规范 （1）估算结果为近似值，统一使用约等号，禁止使用等号。 （2）估算仅用于预判和检验，精准结果必须通过完整四则混合运算得出。 六、单元通用解题步骤 1. 分数四则混合运算解题步骤 （1）统一算式形式：除法转倒数、分数小数按需互化，统一计算标准。 （2）观察算式特征：判断运算顺序，识别可简便计算的运算定律。 （3）分步脱式计算：优先约分简化，规范书写步骤，杜绝跳步出错。 （4）结果化简检验：最终结果化为最简分数，核对运算顺序与计算结果。 2. 分数实际问题解题步骤 （1）审题找关键：抓取分率句式、比较句式，确定单位“1”已知或未知。 （2）梳理数量：区分单位“1”、对应分率、比较量，匹配核心数量模型。 （3）列式计算：根据模型列出分数四则混合算式，规范计算。 （4）验证逻辑：结合生活实际、线段图逻辑，检验结果合理性。 易错指引 1. 混合运算易错点 （1）运算顺序混乱，优先计算加减、后算乘除，违背两级运算规则。 （2）分数除法未转化为乘倒数，直接套用整数除法计算。 （3）乘法分配律使用错误，漏乘括号内任意一项，逆向提取公因数出错。 （4）分数小数混合运算不统一形式，混用计算导致结果偏差。 （5）多层括号运算顺序颠倒，先算外部再算内部。 （6）计算结果未约分，保留非最简分数。 2. 数量关系易错点 （1）找错单位“1”，混淆基准量与比较量，导致乘除法列式颠倒。 （2）混淆“具体数量”和“分率”，直接加减分率求解差值。 （3）单位“1”未知时误用乘法，已知时误用除法。 （4）比多比少问题，错误直接用已知量加减分率，未套用（1±分率）公式。 3. 工程问题易错点 （1）未将工作总量看作单位“1”，误用具体数值计算效率。 （2）多人合作问题，错误单独计算时间再相加，未求和总效率。 4. 估算应用易错点 （1）估算结果当作精确结果使用，乱用等号、约等号。 （2）实际问题中乱用估大、估小策略，判断结果与实际不符。 真题拔高 一、填空题 1．一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去余下的少2吨，这时还剩下16吨。原来这批水泥有( )吨。 【答案】44 【分析】先把第一天用后剩下的水泥吨数看作单位“1”，第二天正好用去余下的，则剩余的水泥会比实际少2吨，即剩余16－2＝14吨。这14吨对应的是第一天用后余下水泥的（1－），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法”，求出第一天用后剩下的水泥吨数； 再把原来这批水泥的吨数看作单位“1”，第一天正好用去总量的，则剩余的水泥会比实际多1吨，且对应的是原来水泥总量的（1－），同理用除法求出原来的水泥吨数。 【详解】（16－2）÷（1－） ＝14÷ ＝14× ＝21（吨） （21＋1）÷（1－） ＝22÷ ＝22×2 ＝44（吨） 2．笑笑在计算8×（□＋0.5）时，错算为8×□＋0.5，这样会与正确结果相差 ( )。 【答案】3.5 【分析】根据乘法分配律把8（□＋0.5）转化成8×□＋8×0.5，再和8×□＋0.5进行比较可以发现两个算式中都包含相同的部分“8×□”，计算相差多少时，这部分相互抵消，只需计算常数部分8×0.5与0.5的差即可。 【详解】8（□＋0.5）＝8×□＋8×0.5 8×0.5－0.5 ＝4－0.5 ＝3.5 3．20千米比( )千米短20%，( )千克比5千克重，12公顷比16公顷少( )%。 【答案】 25 9 25 【分析】求20千米比多少千米短20%，根据已知比一个数多或少百分之几的数是多少，求这个数，用除法计算，即用20除以；求多少千克比5千克重，也就是求5的是多少；12公顷比16公顷少百分之几，先算出12公顷比16公顷少多少公顷，再除以16即可。 【详解】 （千米） （千克） 20千米比25千米短20%，9千克比5千克重，12公顷比16公顷少25%。 4．珠海大道正在修建高架桥，甲工程队单独完成需要8个月，乙工程队单独完成需要10个月。两个工程队合作2个月后，一共完成了这项工作的；甲工程队因故不能继续工作，剩下的任务由乙工程队独自完成，乙工程队还需要（    ）个月能完成任务。 【答案】； 【分析】将这项工作看作单位“1”，合作完成的量＝效率和×合作时间，用单位“1”减去合作完成的量求出剩下的量，再根据时间＝总量÷效率，用剩下的量除以乙工程队的效率求出还需要的时间。 【详解】甲工程队的效率： 乙工程队的效率： 两个工程队合作2个月后，一共完成了这项工作的。 （月） 乙工程队还需要个月能完成任务。 5．打印一份书稿，小明单独打6小时完成，小乐单独打8小时完成。小明和小乐合作3小时可以完成这份书稿的( )，剩下的还需要小乐单独( )小时能完成。 【答案】 1 【分析】先根据单独完成时间求出小明和小乐各自的工作效率，工作效率＝工作总量÷工作时间，再用两人效率之和乘合作时间，工作量＝工作效率×工作时间。 先求出剩余工作量，再用剩余工作量除以小乐的工作效率，工作时间＝工作量÷工作效率。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝1 6．甲数比乙数多，乙数与甲数的比是( )。 【答案】3∶4 【分析】甲数比乙数多，把乙数看作1，用1×（1＋）求出甲是多少，再求出乙数与甲数的比是多少。 【详解】1×（1＋）＝1×＝； 1∶＝（1×3）∶（×3）＝3∶4； 乙数与甲数的比是3∶4。 7．60千克增加( )%是96千克；比( )米多是48米。 【答案】 60 40 【分析】把60千克看作单位“1”，求60千克增加百分之几是96千克，也就是求96千克比60千克多百分之几，96千克比60千克多的百分率＝质量之差÷60×100%；把所求长度看作单位“1”，已知长度比所求长度多，则已知长度占所求长度的（1＋），所求长度＝已知长度÷（1＋），据此解答。 【详解】（96－60）÷60×100% ＝36÷60×100% ＝0.6×100% ＝60% 48÷（1＋） ＝48÷ ＝48× ＝40（米） 所以，60千克增加60%是96千克，比40米多是48米。 8．＝( )。 【答案】2 【分析】整数乘法运算定律在分数乘法中同样适用。乘法分配律：，先把2006×2008看作整体，再运用乘法分配律，计算即可。 【详解】 所以。 【点睛】运用乘法分配律是解题的关键。 9．2025年“九三阅兵”共编设45个方队，包括空中护旗梯队、徒步方队、战旗方队、装备方队和空中梯队。其中空中梯队8个，装备方队比空中梯队多，装备方队有( )个。 【答案】22 【详解】求比一个数多几分之几的数是多少，单位“1”已知，用乘法，一个数×（1＋几分之几），装备方队比空中梯队多，单位“1”为空中梯队的个数，单位“1”已知，用乘法，代入计算即可。 【解答】8×（1＋） ＝8× ＝22（个） 所以装备方队有22个。 10．制作一批零件，甲单独做需要4天完成，乙单独做需要3天完成，甲，乙两台机器的工作效率之比是( )。 【答案】 【分析】把这批零件工作总量看作1，工作效率＝工作总量÷工作时间，据此求出甲和乙各自的工作效率，再求甲和乙的效率比，并化简解答。 【详解】 故甲乙两台机器的工作效率之比是。 二、选择题 11．在计算600×（1.5＋2.4）时，李平忘记写括号了，他计算的结果比正确结果少计算的部分是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c，可得：600×（1.5＋2.4）＝600×1.5＋600×2.4，李平忘记写括号，那么他计算的式子就是600×1.5＋2.4。用正确结果减去错误结果，可得少计算的部分为：（600×1.5＋600×2.4）－（600×1.5＋2.4），据此解答。 【详解】（600×1.5＋600×2.4）－（600×1.5＋2.4） ＝600×1.5＋600×2.4－600×1.5－2.4 ＝（600×1.5－600×1.5）＋（600×2.4－2.4） ＝600×2.4－2.4 ＝（600－1）×2.4 ＝599×2.4 所以他计算的结果比正确结果少计算的部分是599×2.4。 12．8.98×5.89的计算结果，与（    ）的计算结果最接近。 A．10×5 B．9×6 C．8×6 D．8×5 【答案】B 【分析】把因数看作与它接近的整数，再分别计算各选项的结果，最后比较哪个选项的结果与原式的乘积结果最接近。 【详解】8.98≈9，5.89≈6， 8.98×5.89≈9×6＝54 A.  10×5＝50，54－50＝4。 B． 9×6＝54，54＝54。 C．8×6＝48，54－48＝6。 D．8×5＝40，54－40＝14。 0＜4＜6＜14 8.98×5.89的计算结果，与9×6的计算结果最接近。 13．一个长方形房间长3.8米，宽3.2米，这个房间面积是多少平方米？下列估算的说法正确的是（    ）。 A．因为，所以房间实际面积比12.8平方米大。 B．因为，所以房间实际面积比11.4平方米小。 C．因为，所以房间实际面积在12平方米左右。 D．以上说法都不对。 【答案】C 【分析】这道题考查长方形面积计算和小数乘法的估算方法，通过“往大估”“往小估”或“就近估”来判断实际面积的范围。 长方形面积＝长×宽 【详解】A．因为4＞3.8（估大），宽不变，所以房间实际面积比12.8平方米小，原说法错误。 B．因为3＜3.2（估小），长不变，所以房间实际面积比11.4平方米大，原说法错误。 C．把3.8估成4（估大），3.2估成3（估小），得到4×3＝12，实际面积在12平方米左右，原说法正确。 D．因为C选项 正确，所以D选项错误。 14．给2.6×1.43÷1.3＋5.7添上括号，使它的运算顺序为先求商，再求和，最后求积。下面正确的是（    ）。 A．        B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确题目要求的运算顺序为先求商，再求和， 最后求积，再依次分析每个选项的运算顺序是否符合要求；据此进行分析。 【详解】根据分析得： A.根据四则运算规则，有括号先算括号内的运算，再算括号外的运算。括号内是除法运算，之后算括号外的乘法2.6乘这个商，最后算加法，运算顺序为先商，再积，最后和，不符合题目要求； B.括号内包含除法和加法运算，根据运算规则，先算括号内的除法，再算括号内的加法商＋5.7（和），最后算括号外的乘法2.6×和（积），运算顺序为先商，再和，最后求积；符合题目要求； C.先算括号内的乘法（积），之后算除法（商），最后算加法，不符合题目要求； D.先算括号内的和，再按照从左到右的顺序，先算乘法（积），再算除法 ，运算顺序为先和，再积，最后除，不符合题目要求。 故答案为：B 15．一根钢管长15米，截去全长的，算式可以解决的问题是（    ）。 A．这根钢管剩下多少米？ B．截去了多少米？ C．剩下部分比截去部分多多少米？ D．剩下部分比截去部分少多少米？ 【答案】A 【分析】把这根钢管的总长度看作单位“1”，截去部分占总长度的，则剩下部分占总长度的（1－），剩下部分的长度＝这根钢管的总长度×（1－），即，据此解答。 【详解】A．分析可知，把这根钢管的总长度看作单位“1”，剩下部分占总长度的（1－），这根钢管剩下的长度为，该选项正确； B．分析可知，把这根钢管的总长度看作单位“1”，截去部分占总长度的，这根钢管截去的长度为，该选项错误； C．分析可知，把这根钢管的总长度看作单位“1”，截去部分占总长度的，剩下部分占总长度的（1－），剩下部分比截去部分多的长度为，该选项错误； D．分析可知，把这根钢管的总长度看作单位“1”，截去部分占总长度的，剩下部分占总长度的1－＝，因为＞，所以剩下部分比截去部分多，该选项错误。 故答案为：A 三、判断题 16．冰箱的数量相当于电视机数量的，冰箱的数量比电视机数量少。( ) 【答案】√ 【分析】将电视机数量看作单位“1”，冰箱数量相当于电视机数量的，则冰箱数量比电视机数量少，据此解答。 【详解】1－＝ 冰箱的数量相当于电视机数量的，冰箱的数量比电视机数量少。 故答案为：√ 17．算式运用乘法分配律可以使计算简便。( ) 【答案】 √ 【分析】观察算式32.3×3.5＋7.7×3.5，发现两个乘法部分都含有相同的因数3.5，符合乘法分配律的结构特征a×c＋b×c＝（a＋b）×c，因此可以运用乘法分配律进行简便计算。 【详解】根据乘法分配律，将算式变形为： 所以算式运用乘法分配律可以使计算简便，原题表达正确。 故答案为：√ 18．10.1×8.5＝10×8.5＋8.5×0.1运用了乘法分配律。( ) 【答案】√ 【分析】乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。此题是将等式前面的10.1拆成10＋0.1，等号后面是用8.5与10、0.1分别相乘，再相加，根据运算律的特点选择即可。 【详解】10.1×8.5＝（10＋0.1）×8.5＝10×8.5＋8.5×0.1，运用了乘法分配律。 故答案为√ 19．单独修一条路，甲要8天完成，乙要10天完成，甲、乙工作效率的比是4∶5。( ) 【答案】× 【分析】把这条路的长度看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲、乙的工作效率；再根据比的意义，用甲的工作效率∶乙的工作效率，化简，再进行比较，即可解答。 【详解】∶ ＝（×40）∶（×40） ＝5∶4 单独修一条路，甲要8天完成，乙要10天完成，甲、乙工作效率的比是5∶4。 原题干说法错误。 故答案为：× 20．打完一份稿件，甲要小时，乙要小时，两人合打要几小时。正确的列式是1÷（1÷＋1÷）。( ) 【答案】√ 【分析】把这份稿件的工作总量看作单位“1”，已知甲、乙单独完成分别要小时、小时，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙各自的工作效率，相加即是两人的合作工效； 求两人合打的时间，根据“合作时间＝工作总量÷合作工效”列式即可。 【详解】1÷（1÷＋1÷） ＝1÷（1×4＋1×6） ＝1÷（4＋6） ＝1÷10 ＝（小时） 两人合打要几小时。 正确的列式是1÷（1÷＋1÷）。 原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 21．计算下面各题，能简算的要简算。 ÷[×]      9.4×＋0.25×      9×（＋）＋ 【答案】；2.5；6 【详解】（1）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外的除法。 （2）先把转化为0.25，再根据乘法分配律进行计算。 （3）根据乘法分配律，先计算9×（＋），再根据加法结合律计算。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2）9.4×＋0.25× ＝9.4×0.25＋0.25×0.6 ＝0.25×（9.4＋0.6） ＝0.25×10 ＝2.5 （3）9×（＋）＋ ＝ ＝ ＝5＋（） ＝5＋1 ＝6 22．脱式计算。 （1）    （2） 【答案】（1）；（2）0； 【分析】（1）将0.125化成分数，根据乘法分配律，先计算括号里面的加法，再算括号外的乘法。 （2）将转化成乘法，根据减法的性质，先算括号里面的加法，再算括号外面的减法。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝2－2 ＝0 五、解答题 23．在夏季家电补贴销售活动中，文华超市一种品牌的空调原来单价是8600元，现在降价了，这台空调现在单价是多少元？ 【答案】 元 【分析】题干中将空调的原来单价看作单位。已知降价了，意味着降低的价格是原来单价的，那么现在的单价就是原来单价的。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用原来单价乘现在单价所占的分率。 【详解】 （元） 答：这台空调现在单价是元。 24．修一条路，甲队单独修15天完成，乙队单独修10天完成。两队合修，多少天能完成这条路的一半？ 【答案】3天 【分析】把这条路的工作总量看作单位“1”。根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲队和乙队的工作效率。两队合修的工作效率是两队工作效率之和。题目要求完成这条路的一半，即工作总量为。根据工作时间＝工作总量÷工作效率之和，列式计算即可求出所需天数。 【详解】甲的工作效率： 乙的工作效率： （天） 答：两队合修，3天能完成这条路的一半。 25．王老师带了一笔钱，若单独购买课桌，可以买20张；若单独购买椅子，可以买30把。王老师先买了6把椅子，剩下的钱全部购买课桌，可以买几张课桌？ 【答案】16张 【分析】将王老师带的总钱数看作单位“1”。根据单独购买课桌或椅子的数量，利用“总价÷数量＝单价”的关系，分别求出每张课桌和每把椅子的单价，再计算购买6把椅子用去的钱占总钱数的分率，接着求出剩余钱数占总钱数的分率，最后根据“数量＝总价÷单价”求出可购买课桌的数量。 【详解】每张课桌的单价： 每把椅子的单价： 剩余钱数可买课桌的数量： （张） 答：可以买16张课桌。 26．只列式，不计算。 修一条480米的路，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天完成？ 【答案】 【分析】将工作总量看作单位“1”。甲队单独修天完成，则甲队的工作效率是；乙队单独修天完成，则乙队的工作效率是。两队合修，工作效率之和为（）。根据数量关系“合修的工作时间＝工作总量÷工作效率之和”，即可列出算式。 【详解】 ＝ ＝ ＝1×6 ＝6（天） 答：两队合修6天完成。 27．农耕馆参观活动，由四、五、六年级学生共同参与，其中五年级有240人。现有以下信息，请选择信息解答问题。 ①五年级人数占三个年级总人数的    ②四、五两个年级的人数比是 ③六年级人数比四年级人数多        ④六年级人数比三个年级总人数的40%少8人 六年级参观农耕馆的有多少人？ 可以选择的信息是（    ）和（    ）（填序号）。 列式解答。 【答案】①和④|②和③；280人 【分析】已知五年级人数，要求六年级人数。我们选择的这两个条件要使五年级人数和六年级人数能够建立起数量关系，由此列式即可计算出六年级人数。 选择一：①和④，首先利用条件①计算出总人数，然后利用条件④计算出六年级人数。 选择二：②和③，首先利用条件②计算出四年级人数，然后利用条件③计算出六年级人数。 【详解】选择一：①和④ 解：总人数＝240÷ ＝240×3 ＝720（人） 六年级人数＝720×40%－8 ＝288－8 ＝280（人） 答：六年级参观农耕馆的有280人。 选择二：②和③ 解：四年级人数＝240×＝200（人） 六年级人数＝200×（1＋） ＝200× ＝280（人） 答：六年级参观农耕馆的有280人。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算和数量关系（三）（讲义） 知识精讲 一、单元整体认知 1. 单元核心定位 （1）本单元是小学阶段四则运算与数量关系的综合进阶单元，整合整数、小数、分数运算体系，衔接分数乘除法基础，为百分数、比例应用题筑牢核心基础。 （2）主要包含两大核心板块：分数四则混合运算计算体系、分数专属数量关系模型，兼顾运算能力与应用题建模能力。 （3）核心数学思想：转化思想、模型思想、择优运算思想、数形结合思想。 2. 单元学习核心目标 （1）掌握分数四则混合运算的通用顺序与简便运算规则，适配分数、小数混合计算场景。 （2）熟练掌握分数三类核心实际问题的数量关系，精准判定单位“1”。 （3）掌握工程问题标准模型，能依托混合运算解决复合型分数实际问题。 （4）学会用估算策略解决分数、小数综合生活问题，区分精确计算与估算应用场景。 二、分数四则混合运算基础规则 1. 通用运算顺序 （1）分数四则混合运算顺序与整数、小数四则混合运算顺序完全一致。 （2）同级运算规则 ① 只有加减或只有乘除，属于同级运算，严格按照从左往右的顺序依次计算。 ② 算式中含分数除法时，需先统一转化为乘倒数，再从左往右约分计算。 （3）两级运算规则 ① 同时含有加减、乘除两级运算时，优先计算乘除法，后计算加减法。 （4）多层括号运算规则 ① 算式带有小括号和中括号时，先算小括号内部，再算中括号内部，最后算括号外部。 2. 运算定律与性质的通用性 （1）整数所有运算定律、简便运算性质，完全适用于分数四则运算。 （2）加法运算定律 ① 加法交换律：交换两个分数加数的位置，和不变。 ② 加法结合律：多个分数相加，可任意结合分组计算，和不变，多用于凑整简化。 （3）乘法运算定律（本单元简便计算核心） ① 乘法交换律：交换分数因数位置，积不变。 ② 乘法结合律：多个分数相乘，可任意结合分组约分，积不变。 ③ 乘法分配律：两个数的和或差乘一个分数，可分别相乘再求和差，支持正向、逆向变形，是高频简便考点。 （4）除法简便性质 ① 一个数连续除以两个分数，等于这个数除以两个分数的积。 3. 分数与小数混合运算择优规则 （1）统一计算形式是混合运算的核心原则，避免分数、小数混用计算。 （2）优先化小数为分数：当分数无法化成有限小数时，全部转化为分数计算，杜绝近似误差。 （3）优先化分数为小数：当分数分母仅含2、5质因数，能化成有限小数时，可转化为小数快速计算。 4. 分数运算通用书写规范 （1）所有分数除法，必须先转化为乘除数的倒数，再进行约分相乘。 （2）计算过程中能提前约分的优先约分，简化大数运算，降低出错率。 （3）最终结果必须化为最简分数，假分数可根据需求规范转化为带分数。 三、分数实际问题核心数量关系（三） 1. 单位“1”精准判定方法 （1）句式判定核心规则 ① 带有“的几分之几”句式，“的”字紧邻靠前的量为单位“1”。 ② 带有“比、多、少几分之几”句式，“比”字后面的参照量为单位“1”。 （2）逻辑判定规则 ① 整体量、标准量、被比较的基准量，统一判定为单位“1”。 ② 部分量、变化量均为对应分率的比较量。 2. 三大通用基础数量关系式 （1）单位“1”的量 × 对应分率 = 分率对应的比较量 （2）比较量 ÷ 单位“1”的量 = 比较量对应的分率 （3）比较量 ÷ 对应分率 = 单位“1”的量 3. 三类核心分数应用模型 （1）模型一：求一个数的几分之几是多少 ① 适用条件：单位“1”的量已知，求对应部分量。 ② 核心逻辑：整体按指定分率拆分，直接用乘法列式。 （2）模型二：求剩余部分量 ① 适用条件：已知总量，减去其中一部分分率，求剩余量。 ② 两种列式逻辑：总量－总量×部分分率；总量×（1－部分分率），可灵活选用混合运算列式。 （3）模型三：比单位“1”多、少几分之几的问题 ① 比单位“1”多几分之几：单位“1”的量 ×（1＋多分率）。 ② 比单位“1”少几分之几：单位“1”的量 ×（1－少分率）。 4. 线段图辅助解题规则 （1）优先绘制完整线段表示单位“1”的整体量。 （2）按照题目分率平均分线段，清晰标注已知条件、分率、所求问题。 （3）通过线段直观区分整体与部分、基准量与变化量，梳理混合运算列式逻辑。 四、工程问题专属数量关系模型 1. 工程问题基础设定 （1）默认将完整的工作总任务、工作总量看作单位“1”。 （2）工作效率表示单位时间内完成的工作量，用分数形式表示。 （3）单人工作效率 = 1 ÷ 单独完成全部工作的时间。 2. 工程问题核心公式 （1）工作总量 = 工作效率 × 工作时间 （2）工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 （3）工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 3. 多人合作工程模型 （1）多人合作总效率 = 各单人工作效率之和。 （2）全程合作完工时间 = 1 ÷ 总合作效率。 （3）复合型工程问题：可结合分数四则混合运算，解决先单独后合作、先合作后单独的分段工作问题。 五、分数场景估算应用知识点 1. 估算核心价值 （1）用于快速预判计算结果范围，检验精确计算结果是否合理。 （2）适配生活实际场景，快速判断物资、资金、材料是否充足。 2. 两类专属估算策略 （1）估大法：将所有分数、小数数值适当估大，用于判断资金、物资是否够用。 （2）估小法：将所有分数、小数数值适当估小，用于判断任务、材料是否充足达标。 3. 估算书写与应用规范 （1）估算结果为近似值，统一使用约等号，禁止使用等号。 （2）估算仅用于预判和检验，精准结果必须通过完整四则混合运算得出。 六、单元通用解题步骤 1. 分数四则混合运算解题步骤 （1）统一算式形式：除法转倒数、分数小数按需互化，统一计算标准。 （2）观察算式特征：判断运算顺序，识别可简便计算的运算定律。 （3）分步脱式计算：优先约分简化，规范书写步骤，杜绝跳步出错。 （4）结果化简检验：最终结果化为最简分数，核对运算顺序与计算结果。 2. 分数实际问题解题步骤 （1）审题找关键：抓取分率句式、比较句式，确定单位“1”已知或未知。 （2）梳理数量：区分单位“1”、对应分率、比较量，匹配核心数量模型。 （3）列式计算：根据模型列出分数四则混合算式，规范计算。 （4）验证逻辑：结合生活实际、线段图逻辑，检验结果合理性。 易错指引 1. 混合运算易错点 （1）运算顺序混乱，优先计算加减、后算乘除，违背两级运算规则。 （2）分数除法未转化为乘倒数，直接套用整数除法计算。 （3）乘法分配律使用错误，漏乘括号内任意一项，逆向提取公因数出错。 （4）分数小数混合运算不统一形式，混用计算导致结果偏差。 （5）多层括号运算顺序颠倒，先算外部再算内部。 （6）计算结果未约分，保留非最简分数。 2. 数量关系易错点 （1）找错单位“1”，混淆基准量与比较量，导致乘除法列式颠倒。 （2）混淆“具体数量”和“分率”，直接加减分率求解差值。 （3）单位“1”未知时误用乘法，已知时误用除法。 （4）比多比少问题，错误直接用已知量加减分率，未套用（1±分率）公式。 3. 工程问题易错点 （1）未将工作总量看作单位“1”，误用具体数值计算效率。 （2）多人合作问题，错误单独计算时间再相加，未求和总效率。 4. 估算应用易错点 （1）估算结果当作精确结果使用，乱用等号、约等号。 （2）实际问题中乱用估大、估小策略，判断结果与实际不符。 真题拔高 一、填空题 1．一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去余下的少2吨，这时还剩下16吨。原来这批水泥有( )吨。 2．笑笑在计算8×（□＋0.5）时，错算为8×□＋0.5，这样会与正确结果相差 ( )。 3．20千米比( )千米短20%，( )千克比5千克重，12公顷比16公顷少( )%。 4．珠海大道正在修建高架桥，甲工程队单独完成需要8个月，乙工程队单独完成需要10个月。两个工程队合作2个月后，一共完成了这项工作的；甲工程队因故不能继续工作，剩下的任务由乙工程队独自完成，乙工程队还需要（    ）个月能完成任务。 5．打印一份书稿，小明单独打6小时完成，小乐单独打8小时完成。小明和小乐合作3小时可以完成这份书稿的( )，剩下的还需要小乐单独( )小时能完成。 6．甲数比乙数多，乙数与甲数的比是( )。 7．60千克增加( )%是96千克；比( )米多是48米。 8．＝( )。 9．2025年“九三阅兵”共编设45个方队，包括空中护旗梯队、徒步方队、战旗方队、装备方队和空中梯队。其中空中梯队8个，装备方队比空中梯队多，装备方队有( )个。 10．制作一批零件，甲单独做需要4天完成，乙单独做需要3天完成，甲，乙两台机器的工作效率之比是( )。 二、选择题 11．在计算600×（1.5＋2.4）时，李平忘记写括号了，他计算的结果比正确结果少计算的部分是（    ）。 A． B． C． D． 12．8.98×5.89的计算结果，与（    ）的计算结果最接近。 A．10×5 B．9×6 C．8×6 D．8×5 13．一个长方形房间长3.8米，宽3.2米，这个房间面积是多少平方米？下列估算的说法正确的是（    ）。 A．因为，所以房间实际面积比12.8平方米大。 B．因为，所以房间实际面积比11.4平方米小。 C．因为，所以房间实际面积在12平方米左右。 D．以上说法都不对。 14．给2.6×1.43÷1.3＋5.7添上括号，使它的运算顺序为先求商，再求和，最后求积。下面正确的是（    ）。 A．        B． C． D． 15．一根钢管长15米，截去全长的，算式可以解决的问题是（    ）。 A．这根钢管剩下多少米？ B．截去了多少米？ C．剩下部分比截去部分多多少米？ D．剩下部分比截去部分少多少米？ 三、判断题 16．冰箱的数量相当于电视机数量的，冰箱的数量比电视机数量少。( ) 17．算式运用乘法分配律可以使计算简便。( ) 18．10.1×8.5＝10×8.5＋8.5×0.1运用了乘法分配律。( ) 19．单独修一条路，甲要8天完成，乙要10天完成，甲、乙工作效率的比是4∶5。( ) 20．打完一份稿件，甲要小时，乙要小时，两人合打要几小时。正确的列式是1÷（1÷＋1÷）。( ) 四、计算题 21．计算下面各题，能简算的要简算。 ÷[×]      9.4×＋0.25×      9×（＋）＋ 22．脱式计算。 （1）    （2） 五、解答题 23．在夏季家电补贴销售活动中，文华超市一种品牌的空调原来单价是8600元，现在降价了，这台空调现在单价是多少元？ 24．修一条路，甲队单独修15天完成，乙队单独修10天完成。两队合修，多少天能完成这条路的一半？ 25．王老师带了一笔钱，若单独购买课桌，可以买20张；若单独购买椅子，可以买30把。王老师先买了6把椅子，剩下的钱全部购买课桌，可以买几张课桌？ 26．只列式，不计算。 修一条480米的路，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天完成？ 27．农耕馆参观活动，由四、五、六年级学生共同参与，其中五年级有240人。现有以下信息，请选择信息解答问题。 ①五年级人数占三个年级总人数的    ②四、五两个年级的人数比是 ③六年级人数比四年级人数多        ④六年级人数比三个年级总人数的40%少8人 六年级参观农耕馆的有多少人？ 可以选择的信息是（    ）和（    ）（填序号）。 列式解答。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $