体育中的数学（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

该小学数学讲义以苏教版六年级上册《体育中的数学》综合实践单元为核心，通过分模块梳理构建知识体系，涵盖运动场几何、赛制计数等八大知识点，用逻辑框架图呈现环形跑道路程差规律等核心内容，搭配易错点清单明确重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于生活化问题设计，如世界杯小组赛单循环场次计算、环形跑道起跑线前移距离推导等例题，引导学生用数学眼光观察体育场景，培养模型意识与推理能力。分层练习覆盖填空、解答等题型，基础题巩固公式应用，提升题强化实际问题建模，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可针对性突破。

体育中的数学（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《体育中的数学》是苏教版六年级上册数学综合实践单元，属于生活化数学应用内容。本单元依托各类体育运动场景，整合圆的周长、图形周长面积、比例、统计、组合问题等核心数学知识，实现数学知识与体育生活的融合应用，重点培养数学建模、数据分析、实际问题解决能力，是小学阶段数学综合应用的重要总结与拔高。 2. 单元核心学习本质 摒弃单一公式计算，聚焦体育场景中的真实数学问题，通过观察体育设施结构、分析比赛规则、统计赛事数据、推算运动路程，提炼对应的数学模型，学会用数学思维解释、解决生活中的体育问题。 3. 核心涵盖数学知识体系 本单元整合的核心数学知识点包含：组合计数问题、圆的周长计算、组合图形周长面积计算、路程差值推算、赛事统计规律、比例与标准尺寸规范、最优方案推理，覆盖几何、数论、统计、应用题四大模块。 知识点二、标准运动场的几何结构与数学规律 1. 标准跑道整体结构 标准田径跑道为组合图形结构，整体由两条平行直道和两端两个完全相同的半圆弯道组成，两个半圆可拼接成一个完整的圆形。跑道内圈、外圈为同心圆结构，所有弯道圆心重合，半径随跑道道宽依次增大。 2. 跑道周长组成原理 单条跑道的周长等于两条直道的长度和加上一个整圆的周长，不含跑道内部场地面积，仅计算跑道一圈运动路程。所有跑道直道长度完全相等，周长差值仅来源于两端弯道的圆形周长差异。 3. 跑道道宽与周长差值规律 相邻两条跑道的直道路程无差值，仅弯道存在路程差。外圈跑道半径大于内圈跑道，弯道周长更长，跑道道宽是决定相邻跑道路程差的唯一核心变量。 4. 起跑线前置核心原理 环形跑道赛跑中，为保证所有运动员跑的总路程完全相等，外圈跑道起跑线需要依次向前前移，抵消外圈弯道多出的路程，保证比赛公平性，前移距离等于相邻跑道的弯道路程差。 5. 标准体育场地尺寸规范 常规标准化体育场地具备固定数学尺寸，篮球场为标准长方形，拥有固定的长、宽数值；乒乓球、羽毛球场地均为规则对称图形，长宽比例固定，符合几何规整性要求，可通过周长、面积公式精准计算场地参数。 知识点三、环形跑道路程差精准规律 1. 相邻跑道单圈路程差本质 相邻跑道一圈的路程差，等同于两个同心圆的周长差，与直道长度无关，只和跑道道宽相关，是固定恒定数值，不会随跑道长度变化而改变。 2. 路程差通用数学规律 相邻跑道每往外一圈，圆的半径增加一个道宽，周长增加2π倍的道宽，所有环形跑道起跑线前移距离均遵循此固定规律，适用于所有道次的差值推算。 3. 半圈路程差特征 若仅跑半圈弯道，相邻跑道路程差为整圈差值的一半，即π倍道宽，对应短跑弯道项目的起跑线微调规则。 知识点四、体育赛事赛制与组合计数规律 1. 单循环赛制核心规则 所有参赛队伍两两之间只比赛一场，不重复、不遗漏，是体育赛事最常用赛制。参赛队伍数量固定时，比赛总场数可通过组合规律统一推算，无多余场次。 2. 单循环赛场次计数原理 每支队伍都要和其余所有队伍比赛一次，存在两两重复计算的情况，总场次需要除以2去重，计数逻辑依托组合数学思想。 3. 淘汰赛制核心规则 两两比赛，输者直接淘汰，胜者晋级，直至决出最终名次。淘汰赛每一场比赛都会淘汰一支队伍，比赛场次与淘汰队伍数量完全对应。 4. 淘汰赛场次计数原理 若只决出冠亚军，比赛总场次等于参赛总队伍数减1；若需要决出三四名，需额外增加一场附加赛，场次数量根据名次要求微调。 5. 常见球类赛事固定赛制 乒乓球单打常用七局四胜制，团体赛常用五局三胜制；各类球类赛事的胜负规则、晋级规则均包含固定的次数、概率、最优策略等数学逻辑。 知识点五、体育数据统计与分析规律 1. 体育数据统计范畴 体育运动中大量数据可通过数学统计整理分析，包含比赛比分、胜率、得分平均数、命中率、胜负场次、达标率等，所有数据均可通过四则运算、统计方法量化分析。 2. 核心体育统计量含义 胜率指获胜场次占总参赛场次的百分比，命中率指成功次数占总次数的百分比，平均分指总得分除以参赛次数，是评判运动员、队伍竞技水平的量化数学依据。 3. 数据对比与推理逻辑 通过多组体育数据的横向、纵向对比，可分析竞技水平高低、发挥稳定性、赛事趋势变化，实现用数据支撑结论的数学分析思维。 知识点六、体育中的比例与规范标准 1. 体育场地比例特征 正规体育场地的长宽比值固定，属于标准比例设计，保证场地规整、赛事公平，场地缩放、复刻均遵循比例不变的相似图形规律。 2. 体育动作中的数学比例 部分标准体育动作、器材设计贴合黄金比规律，比值接近0.618，具备最优视觉与实用效果，是比例知识在体育领域的拓展应用。 3. 赛事计分比例规则 各类体育赛事的计分、扣分、晋级分值占比，均按照固定比例设置，分值权重、达标分数线均依托数学比例划分。 知识点七、体育数学实践探究通用流程 1. 信息收集阶段 针对体育运动项目、体育场地、赛事规则，精准收集有效数学信息，包含尺寸、数量、规则、数据，剔除无效无关信息，建立数学研究基础。 2. 问题提炼阶段 从体育场景中提炼可量化、可计算、可分析的数学问题，将生活场景转化为标准数学问题，完成生活化到数学化的转化。 3. 建模求解阶段 选用对应几何公式、计数规律、统计方法、比例知识建立数学模型，规范计算、精准推理，得出对应结果与结论。 4. 结论验证阶段 结合体育实际场景验证数学结果的合理性，保证计算结论贴合赛事规则、场地标准、运动常识，规避脱离实际的数学结论。 知识点八、单元高频易错点汇总 1. 跑道周长易错 计算跑道周长时遗漏两条直道长度；误认为跑道周长为整圆面积，混淆周长与面积概念；忽略内外圈差值仅来自弯道。 2. 起跑线差值易错 记错跑道路程差规律，错误叠加直道差值；混淆整圈、半圈路程差公式，起跑线前移距离计算错误。 3. 赛制计数易错 单循环赛制忘记除以2去重，总场次计算翻倍；混淆单循环与淘汰赛计数规律，两类赛制公式混用；决出三四名时遗漏附加赛场次。 4. 统计数据易错 计算胜率、命中率时混淆分子分母；总数量统计遗漏，百分比计算偏差；无法通过数据合理分析体育竞技规律。 5. 场地几何认知易错 不理解跑道组合图形结构，无法拆分直道与弯道；误将跑道道宽当作半径，几何参数概念混淆。 6. 数学建模易错 无法将体育生活问题转化为数学问题，只会机械套公式，不会结合体育实际场景灵活调整计算逻辑，结论脱离实际。 7. 比例应用易错 不理解体育场地固定比例特征，随意缩放尺寸；混淆赛事分值比例、达标比例的计算逻辑，比例应用不规范。 一、例题讲解 【典例】 1．2026年世界杯足球赛有48支球队参赛，平均分为12个小组，每个小组有( )支球队，小组内每两支球队之间只比赛一场，每个小组要进行( )场比赛，全部小组赛一共要赛( )场。 【典例】 2．4月29日，2025年小学生足球联赛热血启幕，共有24支球队参加比赛。如果比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一支球队）进行，一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 【典例】 3．某种细菌在培养过程中，每0.5时分裂一次（由1个分裂为2个）。这种细菌由1个（刚刚分裂形成）分裂为16个要经过多长时间？ 【典例】 4．学校运动会，有4支队伍参加比赛。每队都要和另外3支队伍进行比赛，一共需要进行几场比赛？ 提升练习 二、填空题 5．某市举行中小学生足球比赛，若有8支球队参加决赛，以单场淘汰制进行，要决出冠军，一共赛( )场，我的想法是( )。 6．六年级10名同学进行羽毛球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比( )场。 7．10名学生要进行象棋比赛，如果每2名学生之间都进行一场比赛，一共要比赛( )场。 8．甲、乙、丙、丁四名同学进行羽毛球单打比赛，每两名同学都要进行一场比赛，一共要进行( )场比赛。 9．六名学生互相握手，每两名小朋友只握一次手，一共需要握( )次手。 10．中国乒乓球队在国际乒乓球坛上拥有极高地位，在巴黎奥运会乒乓球比赛中，第一阶段是团体赛，即32支球队分为4个小组进行单循环赛，那么每组至少要赛( )场。 11．2025年亚洲冬季运动会在哈尔滨举办。中国队、韩国队、中国台北队、泰国队、日本队、哈萨克斯坦队六支队伍分到同一组，每两队要交手一次进行小组内循环赛。中国队要进行( )场比赛，小组内一共要进行( )场比赛。 12．光明小学举行足球比赛，采用单循环赛（每两支球队之间都要赛一场）。六年级一共有5支代表队，他们一共赛了( )场。 三、选择题 13．9支球队参加比赛，如果每2个球队之间都要进行两次比赛，要比赛（    ）场。 A．45 B．90 C．72 D．36 14．六（1）班10名同学进行乒乓球比赛，如果每2名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（    ）场。 A．5 B．20 C．40 D．45 15．有A、B、C、D、E五名同学进行乒乓球比赛，要求每两人比赛一场，比赛进行一段时间后，A已经比了4场，B比了3场，C比了2场，D比了1场，这时E比了（    ）场。 A．1 B．2 C．3 D．4 16．有8位选手参加象棋比赛，若每两位选手之间都要进行一场对决，总共要比赛（    ）场。 A．16 B．24 C．28 D．32 17．主持人选拔赛上，有8名选手准备进行播音比赛，每两名选手之间要进行一场比赛，一共要比赛（    ）场。 A．36 B．28 C．26 D．31 四、判断题 18．有4支球队，每2支球队之间进行一场比赛，一共需要赛8场。( ) 19．8个同学进行象棋比赛，每两人之间都要进行一场比赛，一共要进行16场比赛。( ) 20．某学校有4个班级参加篮球比赛，每两个班级之间都进行一场比赛，一共要赛2场。( ) 21．一场乒乓球比赛，有10名学生参加。如果采用单循环赛（每两名同学都要赛一场），一共需要赛20场。( ) 22．6人进行羽毛球比赛，如果每两人之间都要赛一场，一共要比赛15场。( ) 五、解答题 23．一次足球比赛共有16支队伍参赛，赛制分为两个阶段：第一阶段，将队伍平均分成4个小组，每组进行单循环赛（即每两队之间赛一场）；第二阶段，每组前两名晋级淘汰赛，采用单场淘汰制决出冠军。请你算一算，本次比赛一共需要进行多少场？ 24．12位击剑选手参加友谊比赛，每位选手赛了3场，每场比赛两位选手，击剑比赛无平局；如果一位选手在参加的3场比赛中至少胜了2场，将被颁发一枚“大师杯”奖牌，那么这次友谊比赛中获得“大师杯”奖牌的击剑选手最多有多少人？请给出你的证明和构造。 25．有A、B、C、D、E五支足球队参加足球比赛，每两支球队之间都要比赛一场。一共要进行多少场比赛？（先连一连，再解答） 26．一（1）班举行象棋比赛，共有16位同学参加，比赛采用淘汰制，每场比赛淘汰一位同学，要决出最后的冠军，一共要比赛多少场？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 体育中的数学（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《体育中的数学》是苏教版六年级上册数学综合实践单元，属于生活化数学应用内容。本单元依托各类体育运动场景，整合圆的周长、图形周长面积、比例、统计、组合问题等核心数学知识，实现数学知识与体育生活的融合应用，重点培养数学建模、数据分析、实际问题解决能力，是小学阶段数学综合应用的重要总结与拔高。 2. 单元核心学习本质 摒弃单一公式计算，聚焦体育场景中的真实数学问题，通过观察体育设施结构、分析比赛规则、统计赛事数据、推算运动路程，提炼对应的数学模型，学会用数学思维解释、解决生活中的体育问题。 3. 核心涵盖数学知识体系 本单元整合的核心数学知识点包含：组合计数问题、圆的周长计算、组合图形周长面积计算、路程差值推算、赛事统计规律、比例与标准尺寸规范、最优方案推理，覆盖几何、数论、统计、应用题四大模块。 知识点二、标准运动场的几何结构与数学规律 1. 标准跑道整体结构 标准田径跑道为组合图形结构，整体由两条平行直道和两端两个完全相同的半圆弯道组成，两个半圆可拼接成一个完整的圆形。跑道内圈、外圈为同心圆结构，所有弯道圆心重合，半径随跑道道宽依次增大。 2. 跑道周长组成原理 单条跑道的周长等于两条直道的长度和加上一个整圆的周长，不含跑道内部场地面积，仅计算跑道一圈运动路程。所有跑道直道长度完全相等，周长差值仅来源于两端弯道的圆形周长差异。 3. 跑道道宽与周长差值规律 相邻两条跑道的直道路程无差值，仅弯道存在路程差。外圈跑道半径大于内圈跑道，弯道周长更长，跑道道宽是决定相邻跑道路程差的唯一核心变量。 4. 起跑线前置核心原理 环形跑道赛跑中，为保证所有运动员跑的总路程完全相等，外圈跑道起跑线需要依次向前前移，抵消外圈弯道多出的路程，保证比赛公平性，前移距离等于相邻跑道的弯道路程差。 5. 标准体育场地尺寸规范 常规标准化体育场地具备固定数学尺寸，篮球场为标准长方形，拥有固定的长、宽数值；乒乓球、羽毛球场地均为规则对称图形，长宽比例固定，符合几何规整性要求，可通过周长、面积公式精准计算场地参数。 知识点三、环形跑道路程差精准规律 1. 相邻跑道单圈路程差本质 相邻跑道一圈的路程差，等同于两个同心圆的周长差，与直道长度无关，只和跑道道宽相关，是固定恒定数值，不会随跑道长度变化而改变。 2. 路程差通用数学规律 相邻跑道每往外一圈，圆的半径增加一个道宽，周长增加2π倍的道宽，所有环形跑道起跑线前移距离均遵循此固定规律，适用于所有道次的差值推算。 3. 半圈路程差特征 若仅跑半圈弯道，相邻跑道路程差为整圈差值的一半，即π倍道宽，对应短跑弯道项目的起跑线微调规则。 知识点四、体育赛事赛制与组合计数规律 1. 单循环赛制核心规则 所有参赛队伍两两之间只比赛一场，不重复、不遗漏，是体育赛事最常用赛制。参赛队伍数量固定时，比赛总场数可通过组合规律统一推算，无多余场次。 2. 单循环赛场次计数原理 每支队伍都要和其余所有队伍比赛一次，存在两两重复计算的情况，总场次需要除以2去重，计数逻辑依托组合数学思想。 3. 淘汰赛制核心规则 两两比赛，输者直接淘汰，胜者晋级，直至决出最终名次。淘汰赛每一场比赛都会淘汰一支队伍，比赛场次与淘汰队伍数量完全对应。 4. 淘汰赛场次计数原理 若只决出冠亚军，比赛总场次等于参赛总队伍数减1；若需要决出三四名，需额外增加一场附加赛，场次数量根据名次要求微调。 5. 常见球类赛事固定赛制 乒乓球单打常用七局四胜制，团体赛常用五局三胜制；各类球类赛事的胜负规则、晋级规则均包含固定的次数、概率、最优策略等数学逻辑。 知识点五、体育数据统计与分析规律 1. 体育数据统计范畴 体育运动中大量数据可通过数学统计整理分析，包含比赛比分、胜率、得分平均数、命中率、胜负场次、达标率等，所有数据均可通过四则运算、统计方法量化分析。 2. 核心体育统计量含义 胜率指获胜场次占总参赛场次的百分比，命中率指成功次数占总次数的百分比，平均分指总得分除以参赛次数，是评判运动员、队伍竞技水平的量化数学依据。 3. 数据对比与推理逻辑 通过多组体育数据的横向、纵向对比，可分析竞技水平高低、发挥稳定性、赛事趋势变化，实现用数据支撑结论的数学分析思维。 知识点六、体育中的比例与规范标准 1. 体育场地比例特征 正规体育场地的长宽比值固定，属于标准比例设计，保证场地规整、赛事公平，场地缩放、复刻均遵循比例不变的相似图形规律。 2. 体育动作中的数学比例 部分标准体育动作、器材设计贴合黄金比规律，比值接近0.618，具备最优视觉与实用效果，是比例知识在体育领域的拓展应用。 3. 赛事计分比例规则 各类体育赛事的计分、扣分、晋级分值占比，均按照固定比例设置，分值权重、达标分数线均依托数学比例划分。 知识点七、体育数学实践探究通用流程 1. 信息收集阶段 针对体育运动项目、体育场地、赛事规则，精准收集有效数学信息，包含尺寸、数量、规则、数据，剔除无效无关信息，建立数学研究基础。 2. 问题提炼阶段 从体育场景中提炼可量化、可计算、可分析的数学问题，将生活场景转化为标准数学问题，完成生活化到数学化的转化。 3. 建模求解阶段 选用对应几何公式、计数规律、统计方法、比例知识建立数学模型，规范计算、精准推理，得出对应结果与结论。 4. 结论验证阶段 结合体育实际场景验证数学结果的合理性，保证计算结论贴合赛事规则、场地标准、运动常识，规避脱离实际的数学结论。 知识点八、单元高频易错点汇总 1. 跑道周长易错 计算跑道周长时遗漏两条直道长度；误认为跑道周长为整圆面积，混淆周长与面积概念；忽略内外圈差值仅来自弯道。 2. 起跑线差值易错 记错跑道路程差规律，错误叠加直道差值；混淆整圈、半圈路程差公式，起跑线前移距离计算错误。 3. 赛制计数易错 单循环赛制忘记除以2去重，总场次计算翻倍；混淆单循环与淘汰赛计数规律，两类赛制公式混用；决出三四名时遗漏附加赛场次。 4. 统计数据易错 计算胜率、命中率时混淆分子分母；总数量统计遗漏，百分比计算偏差；无法通过数据合理分析体育竞技规律。 5. 场地几何认知易错 不理解跑道组合图形结构，无法拆分直道与弯道；误将跑道道宽当作半径，几何参数概念混淆。 6. 数学建模易错 无法将体育生活问题转化为数学问题，只会机械套公式，不会结合体育实际场景灵活调整计算逻辑，结论脱离实际。 7. 比例应用易错 不理解体育场地固定比例特征，随意缩放尺寸；混淆赛事分值比例、达标比例的计算逻辑，比例应用不规范。 一、例题讲解 【典例】 1．2026年世界杯足球赛有48支球队参赛，平均分为12个小组，每个小组有( )支球队，小组内每两支球队之间只比赛一场，每个小组要进行( )场比赛，全部小组赛一共要赛( )场。 【答案】 4 6 72 【分析】求每组有几支球队，用球队总数除以小组数量；每支球队都要和其它3支球队进行比赛，一共要赛4×3＝12场，因为是两支球队赛一场，再除以2，即可求出一个小组赛几场；用每个小组的比赛场数乘小组数量，就可以计算出一共要赛的场数。 【详解】（支）； （场）； （场）。 【典例】 2．4月29日，2025年小学生足球联赛热血启幕，共有24支球队参加比赛。如果比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰一支球队）进行，一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 【答案】23 【分析】根据题意，单场淘汰制意味着每场比赛淘汰1支球队，要产生冠军，就需要淘汰除冠军外的所有球队。所以只需计算需要淘汰的球队数量，即为比赛的场数。据此解答。 【详解】24－1＝23（场） 【典例】 3．某种细菌在培养过程中，每0.5时分裂一次（由1个分裂为2个）。这种细菌由1个（刚刚分裂形成）分裂为16个要经过多长时间？ 【答案】2时 【分析】细菌每0.5小时分裂一次，由1个分裂为2个，后续每次分裂数量都翻倍。我们需要找出从1个分裂到16个经历了多少次分裂，再乘以每次分裂的时间（0.5小时），即可得到总时间。 【详解】第1次分裂后：（个） 第2次分裂后：（个） 第3次分裂后：（个） 第4次分裂后：（个） 共经过4次分裂，时间为：（时） 答：这种细菌由1个（刚刚分裂形成）分裂为16个要经过2时。 【典例】 4．学校运动会，有4支队伍参加比赛。每队都要和另外3支队伍进行比赛，一共需要进行几场比赛？ 【答案】6场 【分析】根据题意，可以通过画图表示4支队伍之间的比赛情况，如图：，第一队分别和其余的三队比赛，需要赛3场，第二队和其余的两队比赛，需要赛2场，最后两队赛1场，分别把这些比赛的场次相加，据此解答。 【详解】3＋2＝5（场） 5＋1＝6（场） 答：一共需要进行6场比赛。 提升练习 二、填空题 5．某市举行中小学生足球比赛，若有8支球队参加决赛，以单场淘汰制进行，要决出冠军，一共赛( )场，我的想法是( )。 【答案】 7/七 每淘汰1支球队赛1场，决出冠军需淘汰7支球队 【分析】单场淘汰制是指每场比赛之后，输的球队淘汰不能再继续比赛，赢的球队晋级下一轮，直到最后决出冠军。第一轮要赛8÷2＝4场，第二轮要赛4÷2＝2场，第三轮要赛2÷2＝1场，把所有场数相加就是一共要比赛的场数，据此解答。 【详解】第一轮：8支球队，赛8÷2＝4（场） 第二轮：4支球队，赛4÷2＝2（场） 第三轮：2支球队，赛2÷2＝1（场） 4＋2＋1 ＝6＋1 ＝7（场） 故要决出冠军，一共赛7场，我的想法是每淘汰1支球队赛1场，决出冠军需淘汰7支球队。 6．六年级10名同学进行羽毛球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比( )场。 【答案】45 【分析】10名同学里，每个同学都要和其余9名同学各赛1场，这样初步算下来是10×9＝90场，但这样算的时候，每两名同学之间的1场比赛被重复算了2次，所以用90除以2计算出实际总场次。 【详解】10×9＝90（场） 90÷2＝45（场） 7．10名学生要进行象棋比赛，如果每2名学生之间都进行一场比赛，一共要比赛( )场。 【答案】45 【分析】“每2名学生之间赛一场”：甲和乙比赛、乙和甲比赛是同一场比赛，不能重复计算，将每人比赛次数一一列举出来，再相加求和，得到要比赛的总场数。 【详解】第1人：和其余9人比赛→9场 第2人：已经和第1人比过，再赛8场 第3人：再赛7场 …… 第9人：再赛1场 总和：9＋8＋7＋…＋1＝45（场） 所以，一共要比赛45场。 8．甲、乙、丙、丁四名同学进行羽毛球单打比赛，每两名同学都要进行一场比赛，一共要进行( )场比赛。 【答案】6 【分析】按照顺序逐个统计每位同学需要进行的比赛，去掉重复计算的场次，就能得到全部的比赛总场数，用列举的方法算出结果。 【详解】统计甲的比赛场次： 甲需要和其余3名同学各赛1场，分别是甲和乙、甲和丙、甲和丁，一共要赛3场。 统计乙的剩余比赛场次： 乙需要和还没对战过的丙、丁比赛，分别是乙和丙、乙和丁，一共要赛2场。 统计丙的剩余比赛场次： 丙需要和还没对战过的丁比赛，也就是丙和丁，一共要赛1场。 把所有场次相加： 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（场） 9．六名学生互相握手，每两名小朋友只握一次手，一共需要握( )次手。 【答案】 【分析】理解“每两名小朋友只握一次手”，这意味着甲与乙握手和乙与甲握手是同一次，不能重复计算。解题思路主要有两种： 一是计算所有人握手次数的总和，因为每次握手涉及人，所以总和除以即为实际次数； 二是采用依次累加的方法，第人与其余人握手，第人与其余人握手……以此类推。 【详解】第名学生与其余人握手，共次； 第名学生与其余人握手，共次； 第名学生与其余人握手，共次； 第名学生与其余人握手，共次； 第名学生与其余人握手，共次； 第名学生已与前面所有人握过手，不再计算。 列式计算如下：（次） 10．中国乒乓球队在国际乒乓球坛上拥有极高地位，在巴黎奥运会乒乓球比赛中，第一阶段是团体赛，即32支球队分为4个小组进行单循环赛，那么每组至少要赛( )场。 【答案】28 【分析】根据题意，32支球队进行比赛，分为4个组，那么每组8支球队，小组赛采用单循环赛，即小组内每支球队要与其他7支球队进行比赛。由于比赛是在两支球队之间进行的，要去掉重复计算的情况，即可求得每个小组所有比赛的场数。 【详解】（支） （场） 32支球队分为4个小组进行单循环赛，那么每组至少要赛28场。 11．2025年亚洲冬季运动会在哈尔滨举办。中国队、韩国队、中国台北队、泰国队、日本队、哈萨克斯坦队六支队伍分到同一组，每两队要交手一次进行小组内循环赛。中国队要进行( )场比赛，小组内一共要进行( )场比赛。 【答案】 5 15 【分析】一共有6支队伍，中国队需要和除自己以外的其余队伍各比赛一场。计算小组总场次时，每两队只交手一次，避免重复计算。 【详解】6－1＝5（场） 5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋5＋1 ＝15（场） 12．光明小学举行足球比赛，采用单循环赛（每两支球队之间都要赛一场）。六年级一共有5支代表队，他们一共赛了( )场。 【答案】10 【分析】每支代表队都要与其余的（5－1）支代表队赛一场，共5×（5－1）场，这样重复计算了一遍，再除以2即可。 【详解】5×（5－1）÷2 ＝5×4÷2 ＝10（场） 三、选择题 13．9支球队参加比赛，如果每2个球队之间都要进行两次比赛，要比赛（    ）场。 A．45 B．90 C．72 D．36 【答案】C 【分析】如果每2个球队之间都要进行一次比赛，即第1支球队要与其他的8支球队进行8场比赛、第2支球队要与其他的7支球队进行7场比赛、第3支球队要与其他的6支球队进行6场比赛……，一共比赛场数是场，每2个球队之间都要进行两次比赛，用前面结果乘2即可。 【详解】 （场） 14．六（1）班10名同学进行乒乓球比赛，如果每2名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（    ）场。 A．5 B．20 C．40 D．45 【答案】D 【分析】给10名同学编号，①号要与其他9名同学比赛9场；②号已经与①号比过，要与③号及以后的同学比赛8场；以此类推，③号要比赛7场，④号要比赛6场……⑨号要比赛1场。将所有场次相加即可得出总的比赛场次。 【详解】9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝（9＋1）＋（8＋2）＋（7＋3）＋（6＋4）＋5 ＝10＋10＋10＋10＋5 ＝45（场） 15．有A、B、C、D、E五名同学进行乒乓球比赛，要求每两人比赛一场，比赛进行一段时间后，A已经比了4场，B比了3场，C比了2场，D比了1场，这时E比了（    ）场。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】明确比赛规则为单循环，每两人最多赛1场，每人最多赛4场，确定解题突破口是A已赛4场的条件，因为A和所有人都赛过，所以可先确定A与B、C、D、E各赛1场； 结合D只赛1场的条件，因为D仅和A赛过，所以D没有和B、C、E比赛； 分析B赛3场的条件，因为B不能和D比赛，所以B的3场是和A、C、E进行的； 验证C赛2场的条件，C的2场恰好是和A、B的比赛，符合要求，最终统计E的比赛场次。 【详解】如下图所示： 即E比了2场。 16．有8位选手参加象棋比赛，若每两位选手之间都要进行一场对决，总共要比赛（    ）场。 A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】C 【分析】根据题意，有8人进行象棋比赛，每两人之间都要进行一场比赛，即每人和其他7人都要进行一场比赛，则8人参赛的总场数为8×7＝56场，由于比赛是在两人之间进行的，要去掉重复计算的情况，用56除以2即可。 【详解】 （场） 17．主持人选拔赛上，有8名选手准备进行播音比赛，每两名选手之间要进行一场比赛，一共要比赛（    ）场。 A．36 B．28 C．26 D．31 【答案】B 【分析】由题意可知，第1名选手要和另外7名选手比赛7场，第2名选手和第1名选手已经比过，还要和另外6名选手比赛6场，第3名选手和第1名、第2名选手已经比过，还要和另外5名选手比赛5场，第4名选手还要比赛4场，第5名选手还要比赛3场，第6名选手还要比赛2场，第7名选手还要比赛1场，把所有比赛场数加起来即可。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（场） 一共要比赛28场。 四、判断题 18．有4支球队，每2支球队之间进行一场比赛，一共需要赛8场。( ) 【答案】 × 【分析】每2支球队之间仅进行1场比赛，计算总场次时需避免重复计数。 【详解】第一支球队与剩余3支各赛1场，第二支球队与除第一支外的剩余2支各赛1场，第三支球队与最后1支赛1场，总场次为： （场） 故答案为：× 19．8个同学进行象棋比赛，每两人之间都要进行一场比赛，一共要进行16场比赛。( ) 【答案】× 【分析】8个人进行象棋比赛，每两人之间都要赛一场，则每人都要和其他（8－1）人进行一场比赛，参赛场数＝总人数×（总人数－1）；由于比赛是在两人之间进行的，要去掉重复计算的情况，用参赛场数除以2即可计算实际进行的比赛场数。 【详解】 （场） ，原题说法错误。 故答案为：× 20．某学校有4个班级参加篮球比赛，每两个班级之间都进行一场比赛，一共要赛2场。( ) 【答案】× 【分析】两两之间比赛，每个班就要打4－1＝3场比赛，一共要打4×3＝12场比赛，这样每场比赛就被算了2次，所以再除以2就是全部的比赛场次。 【详解】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 即一共要赛6场，所以原题说法错误。 故答案为：× 21．一场乒乓球比赛，有10名学生参加。如果采用单循环赛（每两名同学都要赛一场），一共需要赛20场。( ) 【答案】 × 【分析】采用单循环赛，即每两名同学都要赛一场。现有10名学生参加，第1名学生需要和其余9名学生比赛，即赛9场；第2名学生需要和其余8名学生比赛（已经和第1名学生比过），即赛8场；第3名学生需要和其余7名学生比赛（已经和前两名学生比过），即赛7场……以此类推，总共需要比赛9＋8＋7＋…＋3＋2＋1＝45场，据此判断。 【详解】9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝5×9 ＝45（场） 所以需要比赛45场，而非20场。 故答案为：× 22．6人进行羽毛球比赛，如果每两人之间都要赛一场，一共要比赛15场。( ) 【答案】 √ 【分析】根据题意，6人进行羽毛球比赛，如果每两人之间都要赛一场，相当于从6个人中任意选出2个人进行一场比赛。 可以用简单的方法计算：第一个人要和剩下的6－1＝5（人）各打一场，也就是6×5＝30（场）；因为比赛是两人之间都参加的，再除以2，就是一共要参加的比赛场数，以此判断即可。 【详解】6×（6－1）÷2 ＝ 6×5÷2 ＝ 30÷2 ＝ 15（场） 6人进行羽毛球比赛，如果每两人之间都要赛一场，一共要比赛15场。 原题说法正确。 故答案为：√ 五、解答题 23．一次足球比赛共有16支队伍参赛，赛制分为两个阶段：第一阶段，将队伍平均分成4个小组，每组进行单循环赛（即每两队之间赛一场）；第二阶段，每组前两名晋级淘汰赛，采用单场淘汰制决出冠军。请你算一算，本次比赛一共需要进行多少场？ 【答案】31场 【分析】分两段计算：①小组单循环赛；②单场淘汰赛。 单循环：每组内每2队打1场。比赛场数：，是组内队伍数。 单场淘汰赛：每场淘汰1支队伍，决出冠军就要淘汰掉除冠军外所有队伍， 比赛场数＝队伍数－1。 【详解】第一阶段（单循环赛）： （支） （场） （场） 第二阶段（淘汰赛）： （支） （场） （场） 答：本次比赛一共需要进行31场。 24．12位击剑选手参加友谊比赛，每位选手赛了3场，每场比赛两位选手，击剑比赛无平局；如果一位选手在参加的3场比赛中至少胜了2场，将被颁发一枚“大师杯”奖牌，那么这次友谊比赛中获得“大师杯”奖牌的击剑选手最多有多少人？请给出你的证明和构造。 【答案】9人 构造方案：1、2、3胜10，4、5、6胜11，7、8、9胜12，1胜2，2胜3、……8胜9，9胜1。 【分析】根据参赛人数与每人比赛场数求出总场数（即总胜利场数），至少胜了2场可获“大师杯”奖牌，用总场数除以2即可。构造方案：将12人编号1－12。让前9人每人胜2场（总计18胜）。后3人全负，每一个胜场对应一个负场。18个胜场被前9人平分，每人胜2负1。后3人承担多出的9个负场（每人负3）。 【详解】（场） （人） 答：获得“大师杯”奖牌的击剑选手最多有9人。 构造方案：1、2、3胜10，4、5、6胜11，7、8、9胜12，1胜2，2胜3、……8胜9，9胜1。（答案不唯一） 25．有A、B、C、D、E五支足球队参加足球比赛，每两支球队之间都要比赛一场。一共要进行多少场比赛？（先连一连，再解答） 【答案】；10场 【分析】因为每两支足球队之间都有比赛，因此每两支足球队都要连接； 每一个队都有和其他4队比赛，一共5个队，一共要比赛5×4＝20场，但是这样算就将比赛都重复计算了一遍，再除以2，即可求出一共要比赛的场次，即可解答。 【详解】图略 5×（5－1）÷2 ＝5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（场） 答：一共要进行10场比赛。 26．一（1）班举行象棋比赛，共有16位同学参加，比赛采用淘汰制，每场比赛淘汰一位同学，要决出最后的冠军，一共要比赛多少场？ 【答案】15场 【分析】淘汰制的比赛，每进行一场比赛，就会淘汰一位同学，一共16位同学，决出冠军，就是剩下一个人，那么需要淘汰的人数就是总人数减去最后留下的冠军人数，据此解答。 【详解】由分析得： 16－1＝15（位） 因为淘汰一位同学就会进行一场比赛，那么淘汰15位同学，就会进行15场比赛。 答：一共要比赛15场。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $