第五单元 第2课时 圆的周长和面积（预习讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版（新教材）

本讲义聚焦圆的周长和面积核心知识点，系统梳理从周长定义、圆周率π意义及取值，到周长公式（C=πd、C=2πr）及反向求量，再到面积公式（S=πr²，转化思想推导）、半圆周长（πr+2r）与面积（πr²÷2），最后明确周长与面积的区别（意义、公式、单位）及高频易错点，形成完整的学习支架。 该资料以转化思想培养几何直观（数学眼光），结合火锅桌、保温转盘等生活实例构建模型意识（数学语言），通过例题讲解与跟踪训练提升运算能力和推理意识（数学思维）。课中助力教师突出重难点，课后培优练习帮助学生规范解题步骤，有效查漏补缺。

第五单元 第2课时 圆的周长和面积 【核心知识点+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 （一）学习目标 1. 理解圆的周长和面积的含义，认识圆周率π的意义、取值及历史常识，厘清周长与面积的本质区别。 2. 熟练掌握圆的周长计算公式、面积计算公式，能根据半径、直径灵活代入公式计算。 3. 掌握半圆的周长、半圆的面积计算方法，能区分半圆周长和圆周长的一半，规避高频易错点。 4. 能运用圆的周长、面积公式解决生活中的基础实际问题，规范解题步骤。 5. 建立平面图形的空间观念，提升公式运用、计算推理能力，养成区分周长与面积的解题习惯。 （二）学习重难点 重点：理解圆周率的意义，掌握圆的周长和面积计算公式，能正确计算圆、半圆的周长和面积。 难点：区分圆的周长与面积的概念、公式和单位；准确计算半圆周长，解决周长、面积的综合性实际问题。 核心知识点 知识点1：圆的周长与圆周率π 1. 周长定义：围成圆的曲线的长度叫作圆的周长，周长是长度，对应长度单位（cm、m等）。 2. 圆周率意义：任意一个圆的周长都是它直径的固定倍数，这个固定倍数就是圆周率，用字母π表示。 3. π的取值：π是无限不循环小数，小学计算中统一取近似值π≈3.14。 4. 数学常识：我国古代数学家祖冲之最早精确算出圆周率的值，是数学重要文化考点。 知识点2：圆的周长计算公式（必考） 1. 已知直径求周长：C = πd 2. 已知半径求周长：C = 2πr 3. 公式推导：周长÷直径=π，由此反向推出周长公式，适用于所有圆形。 4. 反向求量：已知周长求直径 d=C÷π；已知周长求半径 r=C÷π÷2。 知识点3：圆的面积公式及推导 1. 面积定义：圆所占平面的大小叫作圆的面积，面积对应面积单位（cm²、m²等）。 2. 推导思想：转化思想。把圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。 3. 对应关系：长方形的长≈圆周长的一半（πr），长方形的宽=圆的半径（r）。 4. 核心公式：长方形面积=长×宽，推出圆的面积公式 S = πr²。 5. 重点提醒：r²表示r×r，不是r×2，是计算最高频易错点。 知识点4：半圆周长与半圆面积（高频考点） 1. 半圆面积：是整圆面积的一半，公式：S半圆 = πr²÷2，计算简单无多余部分。 2. 半圆周长：不是圆周长的一半，需要加一条直径，是曲线+直线的总长。 3. 半圆周长公式：C半圆 = πr + 2r 或 C半圆 = πd÷2 + d。 4. 易错区分：圆周长的一半只有曲线长度，半圆周长包含曲线和直径，二者绝不相等。 知识点5：周长与面积的核心区别 1. 意义不同：周长是圆一周的曲线长度；面积是圆占据平面的大小。 2. 公式不同：周长用C=πd或2πr；面积用S=πr²。 3. 单位不同：周长用长度单位；面积用面积单位，单位不可混用、不可漏写。 4. 数值无关：周长相等的两个圆，面积一定相等；但周长和面积数值无法比较大小，单位不同。 知识点6：本课高频易错点汇总 1. 公式混淆：求面积误用周长公式，求周长误用面积公式，单位写错。 2. 平方误区：计算面积时把 r² 算成 2r，导致结果严重错误。 3. 半圆误区：计算半圆周长忘记加直径，只算圆弧长度，答题不完整。 4. 取值错误：未按题目要求取值，随意替换3.14，或保留小数位数出错。 5. 审题失误：题目给直径，直接代入面积公式，未先换算成半径。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 已知圆的周长是25.12dm，求阴影部分的面积。 【答案】 【分析】观察发现阴影部分的面积为梯形的面积减去个圆。梯形的面积（上底下底）高；圆的周长，圆的面积。先根据周长公式反求出半径，再求出个圆的面积。 【详解】 【跟踪训练】 计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】39.25平方厘米 【分析】通过对图的分析，该图形的阴影面积为一个圆形面积除以2，该圆的直径为10厘米，用直径除以2，求出该圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，将数据代入求解。 【详解】3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 该阴影部分面积为39.25平方厘米。 【例题讲解】 学校400米田径跑道的弯道是半圆形，半圆弯道半径为36米，求一个单侧半圆弯道的长是多少米？ 【答案】113.04米 【分析】单侧半圆弯道的形状是半圆形，求它的长就是求半径为36米的圆的周长的一半。圆的周长C＝2πr，算出圆的周长再除以2即可。 【详解】2×3.14×36÷2 ＝6.28×36÷2 ＝226.08÷2 ＝113.04（米） 答：一个单侧半圆弯道的长是113.04米。 【跟踪训练】 一堆沙子，测得高30分米，底面周长12.56米。如果每立方米沙子重1500千克，这堆沙子共重多少吨？ 【答案】 18.84 吨 【分析】将“一堆沙子”视为圆锥体。解题关键在于统一单位，将高由分米换算为米。接着利用圆的周长公式求出底面半径，再根据圆锥体积公式求出体积。最后根据“总重量＝体积×每立方米重量”计算总重，并将结果换算为吨。 【详解】30分米＝3米 底面半径： （米） 沙子体积： （立方米） 沙子总重量： （千克） 18840千克＝18.84吨 答：这堆沙子共重18.84吨。 【例题讲解】 火锅桌。火锅桌起源于我国古代，从陶鼎到青铜器，演变至今，形式多样。如图所示，一个圆形火锅桌面，桌面直径是2米。中间放置火锅的部分的直径是60厘米，采用大理石制作，其他部分是由实木板做成的桌面。制作这样一张桌面，至少需要多少平方米的木板？ 【答案】2.8574平方米 【分析】桌面直径是2米，所以半径为2÷2＝1米，中间放置火锅的部分的直径是60厘米，因为1米＝100厘米，60厘米是60÷100＝0.6米，所以半径为0.6÷2＝0.3米。其它部分是由实木板做成，把实木板部分看作是圆环。根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）（π取3.14，R为外圆半径，r为内圆半径），把外圆半径1米，内圆半径0.3米代入公式计算即可。 【详解】2÷2＝1（米） 1米＝100厘米 60÷100÷2＝0.3（米） 3.14×（12－0.32） ＝3.14×（1－0.09） ＝3.14×0.91 ＝2.8574（平方米） 答：制作这样一张桌面，至少需要2.8574平方米的木板。 【跟踪训练】 为了冬季用餐更加舒适，小明家新买了一个餐桌上的保温转盘（如下图），它的直径是10分米，为了防止使用时被烫伤，它的边上有1分米宽的区域是常温区。 (1)这个转盘加热区的面积是多少？ (2)这个转盘常温区的面积是多少？ 【答案】(1)50.24平方分米 (2)28.26平方分米 【分析】（1）已知保温转盘的直径是10分米，先根据半径＝直径除以2，求出转盘的半径。常温区在转盘边缘，宽1分米，用转盘半径减去常温区宽度，求出加热区半径。再根据圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），代入半径，求出加热区的面积。 （2）由图可知：常温区是转盘（外圆）和加热区（内圆）之间的环形，常温区面积＝外圆面积－内圆面积；内圆（加热区）面积已在小问1中求出；外圆（转盘）半径是5分米，代入圆的面积公式求出转盘总面积；再用转盘总面积减去加热区面积，求出常温区的面积。 【详解】（1）10÷2－1 ＝5－1 ＝4（分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 答：这个转盘加热区的面积是50.24平方分米。 （2）3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 78.5－50.24＝28.26（平方分米） 答：这个转盘常温区的面积是28.26平方分米。 培优练习 一、填空题 1．江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形防护林带的总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14） 【答案】 785 157 【分析】已知圆的半径，根据公式C＝2πr可求出周长（即防护林带总长）。在封闭路线上植树，棵数等于间隔数，用总长除以间隔长度即可求出棵数。 【详解】防护林带的总长： 2×3.14×125 ＝6.28×125 ＝785（米） 一共能栽松树的棵数： 785÷5＝157（棵） 2．在下边长方形中画了一个大圆和三个相同的小圆，AB长32厘米，小圆的面积是( )平方厘米。（） 【答案】50.24 【分析】从图中可以看出，大圆直径是小圆直径的3倍，AB的长度等于大圆直径与小圆直径的和；可以把小圆直径看作1份，大圆直径就是这样的3份，则AB的长度一共是这样的（3＋1）份，用AB的长度除以对应的份数，即可求出1份的长度，也就是小圆直径的长度；再根据圆的面积公式，即可求出小圆的面积。 【详解】32÷（3＋1） ＝32÷4 ＝8（厘米） 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 3．如下图，在将圆转化成面积相等的近似长方形的过程中，周长增加了10cm，那么原来圆的周长是( )cm，面积是( )。（π取3.14） 【答案】 31.4 78.5 【分析】增加的长度等于圆的两条半径的和，用增加的长度÷2，求出圆的半径，再根据圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，据此解答。 【详解】10÷2＝5（cm） 2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（cm） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 4．如图，已知圆的面积与长方形的面积相等，圆的周长是12.56厘米，则长方形的长为( )厘米。 【答案】6.28 【分析】根据求出圆的半径；长方形的宽等于圆的半径再根据圆的面积公式，求出圆的面积；圆的面积和长方形的面积相等，用求得的面积除以宽即可得到长方形的长。 【详解】 （厘米） （平方厘米） （厘米） 长方形的长为6.28厘米。 5．如下图，在这个长方形中正好可以画一个最大的半圆，已知长方形的长为10cm，半圆的周长是( )cm。 【答案】25.7 【分析】半圆的半径为长方形长的一半，半圆的周长＝直径＋圆周长的一半（πr）。 【详解】半圆的周长＝10＋3.14×（10÷2） ＝10＋3.14×5 ＝10＋15.7 ＝25.7（cm） 6．把一个圆形沿半径剪成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形。量得长方形的长大约是18.84厘米，则这个圆的周长是( )厘米。 【答案】37.68 【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆沿半径分成若干等份，然后拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，据此用该长方形的长乘2即可。 【详解】18.84×2＝37.68（厘米） 二、判断题 7．一个圆的半径扩大3倍，那么它的周长和面积也扩大3倍。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的周长公式和面积公式，假设原来圆的半径为r，那么扩大后的半径是3r，分别求出圆原来和扩大后的周长和面积进行比较分析即可。 【详解】设原来圆的半径为。 原来圆的周长： 原来圆的面积： 半径扩大到原来的倍后，现在的半径为。 现在圆的周长：，即周长扩大到原来的倍。 现在圆的面积： 即面积扩大到原来的倍。 因为面积扩大到原来的倍，而不是3倍。原题干说法错误。 故答案为：× 8．圆的直径越大，周长就越大。( ) 【答案】 √ 【分析】圆的周长，是固定不变的数，圆的周长随直径的增大而增大，据此判断即可。 【详解】圆的周长公式为，其中是固定值，因此直径越大，圆的周长就越大，原题干说法正确。 故答案为：√ 9．周长相等的两个圆面积一定相等。( ) 【答案】 √ 【分析】圆的周长公式是C＝2πr，其中π是固定不变的数，如果两个圆周长相等，那它们的半径r一定相等；再根据圆的面积公式S＝πr²，半径相等的两个圆，面积也一定相等，可通过赋值法计算验证。 【详解】假设两个圆的周长都为（取）。 根据圆的周长公式，计算半径： 根据圆的面积公式，计算面积： 两个圆的半径、面积均相等，因此周长相等的两个圆面积一定相等。 故答案为：√ 10．一个挂钟的分针长为40厘米，时针长为30厘米，经过1小时后，分针的尖端所走的路程是251.2厘米。 ( ) 【答案】 √ 【分析】分针经过1小时转动1圈，分针尖端走的路程就是以分针长度为半径的圆的周长，根据“圆的周长＝2πr”计算分针尖端所走的路程。据此判断。 【详解】 （厘米） 即分针的尖端所走的路程是251.2厘米。原说法正确。 故答案为：√ 11．如果大、小两个圆的半径比是，那么这两个圆的周长和面积比都是。( ) 【答案】× 【分析】根据圆的周长公式和面积公式可知，两个圆的半径比等于周长比，而面积比等于半径比的平方。 【详解】设大圆的半径为，小圆的半径为。 大圆周长与小圆周长的比： 大圆面积与小圆面积的比： 因为，所以这两个圆的周长比是，面积比是。 故答案为：× 三、选择题 12．把一个圆分成32等份，然后拼成一个近似长方形，这个长方形的长相当于这个圆的（    ）。 A．半径 B．直径 C．周长的一半 D．周长 【答案】C 【分析】把圆分成若干等份拼近似长方形时，拆分后的圆弧分成两组拼接，形成的长对应圆周长的一半。 【详解】由分析可得：把一个圆分成32等份，然后拼成一个近似长方形，这个长方形的长相当于这个圆的周长的一半。 13．如图，小玲绘制了四个组合图形，其中涂色部分与空白部分的周长相等，面积也相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先逐个分析选项中涂色部分和空白部分的面积：如果两部分等底等高或可通过割补、拼接证明面积相等，那么满足面积相等的条件，用到三角形面积公式、圆的面积公式、割补法等。 再逐个分析选项中两部分的周长：分别列出两部分周长的组成线段和曲线，如果两部分的周长组成完全相同，那么满足周长相等的条件。 【详解】A．两个三角形底相等、高相同，因此面积相等；但涂色和空白部分的侧边长度不同，周长不相等，不符合要求。 B．涂色部分是四分之一圆，涂色面积和空白部分面积不相等；周长上，涂色部分周长是2条正方形边长圆周长的，空白部分是2条正方形边长圆周长的，周长相等，面积不同，不符合要求。 C．大圆被平均分成了两个完全一样的图形，涂色部分与空白部分的周长、面积均相等，符合要求。 D．空白半圆的面积远大于涂色部分的面积，面积不相等，不符合要求。 14．下面有关圆的说法正确的是（    ）。 ①圆周率π大于3.14。 ②两个圆的直径相等，它们的半径也一定相等。 ③两个圆的周长比是3∶2，那么它们的面积比也是9∶4。 ④用4个圆心角都是90°的扇形，一定能拼成一个圆。 A．只有①② B．只有②③ C．只有①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】圆周率是无限不循环小数，近似值为3.14，实际大于3.14；直径是半径的2倍，直径相等则半径一定相等；圆的周长比等于半径比，面积比等于半径的平方比；用扇形拼圆需要圆心角之和为360°且所有扇形半径相等，据此判断即可。 【详解】①，显然，该说法正确； ②根据，可得，直径相等则半径一定相等，该说法正确； ③两个圆周长比是，则半径比也是，面积比为，该说法正确； ④4个圆心角都是90°的扇形，若半径不相等则无法拼成圆，该说法错误。 15．从一张长是10cm，宽是8cm的长方形纸上裁下一个最大的圆。剩下部分的面积是（    ）。 A．50.24 B．1.5 C．17.2 D．29.76 【答案】D 【分析】长方形中裁下的最大圆的直径等于长方形的宽，剩下部分的面积等于长方形面积减去圆的面积，代入对应面积公式计算即可。 【详解】长方形面积：（） 圆的半径：（cm） 圆的面积：（） 剩下部分面积：（） 剩下部分的面积是29.76。 16．王珂要想计算右图阴影部分图形的面积，你认为至少他要测量（    ）条线段的长度。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】要求阴影部分的面积，用梯形的面积－半圆的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，半圆的面积＝÷2（r是半径）。判断需要测量的线段长度有几条。 【详解】要求梯形的面积，AB是上底，DC是下底，BC是高，要求半圆的面积，BC是半径，先测出BC的长度即可知到AB的长度，∠D是45°，DC的长度用AB的长度加BC的长度，因此，至少他要测量1条线段的长度。 17．一个半圆形的面积是32π，请你推算这个半圆形的周长是（    ）。 A．8π B．8π＋16 C．16π＋8 D．24π 【答案】B 【分析】用半圆的面积乘2算出一个圆的面积，根据圆的面积S＝πr2，求出半径；再根据圆的周长C＝2πr，算出圆的周长，再除以2加上半径的2倍即是半圆的周长。 【详解】32π×2＝64π r2＝64π÷π＝64 64＝8×8 r＝8 2×π×8÷2＋8×2 ＝8π＋16 这个半圆形的周长是8π＋16。 四、计算题 18．计算下面各图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】6.28平方厘米；12.5平方厘米 【分析】图1：阴影部分的面积＝半径为4厘米的90°扇形面积－直径为4厘米的半圆面积； 图2：通过移补发现阴影部分面积为正方形面积的一半。 【详解】（1）90°扇形面积：（平方厘米） 半圆面积： （平方厘米） 阴影部分面积：（平方厘米） （2） （平方厘米） 19．求下图阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】31.4cm2 【分析】由图可知，小半圆直径是8cm，半径为8÷2＝4cm，大半圆半径为4＋2＝6cm，圆的面积，再除以2分别求出大半圆和小半圆的面积，最后用大半圆的面积减去小半圆的面积即可求出阴影部分的面积。 【详解】8÷2＝4（cm） 4＋2＝6（cm） 3.14×62÷2－3.14×42÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×16÷2 ＝113.04÷2－50.24÷2 ＝56.52－25.12 ＝31.4（cm2） 阴影部分的面积是31.4cm2。 20．求下面图形中阴影部分的面积。 【答案】7.74cm2 【分析】观察图形，两个空白的半圆可以拼成一个直径是6cm的整圆。 圆的面积公式S＝πr2； 阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积。 【详解】阴影部分的面积： 6×6－3.14×（6÷2）2 ＝6×6－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（cm2） 五、解答题 21．在一个长6米、宽4米的长方形花圃里修建一个最大的圆形水池。水池的占地面积是多少平方米？剩下的花圃的面积是多少平方米？ 【答案】12.56平方米 11.44平方米 【分析】长方形内最大的圆的直径等于长方形的宽，先据此求出圆的半径，再计算圆的面积，最后用长方形面积减去圆的面积得到剩余花圃面积。 【详解】圆形水池的半径：（米） 水池的占地面积：（平方米） 长方形花圃的面积：（平方米） 剩下的花圃面积：（平方米） 答：水池的占地面积是12.56平方米，剩下的花圃的面积是11.44平方米。 22．一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 【答案】(1)15.7米 (2)17.27平方米 【分析】（1）栅栏的长度等于圆周长的一半；根据圆的周长C＝2πr算出圆的周长，再除以2即可。 （2）扩建后羊圈的半径是6米，根据圆的面积S＝πr2，算出扩建后羊圈面积的一半与原来羊圈面积的一半，求出它们的差即可。 【详解】（1）2×3.14×5÷2＝15.7（米） 答：修这个羊圈需要15.7米的栅栏。 （2）5＋1＝6（米） 3.14×62÷2－3.14×52÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×25÷2 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 答：羊圈的面积增加了17.27平方米。 23．学校操场的跑道，两边是直道，两头是半圆形。半圆的半径是20米，直道长60米。操场跑道一圈的周长是多少米？ 【答案】245.6米 【分析】如下图，跑道两头的两个半圆可拼成一个整圆，根据圆的周长公式：C＝2πr，计算出整圆的周长，再加上两条直道长度的和，就是操场跑道一圈的周长，代入数据计算即可。 【详解】3.14×20×2＋60×2 ＝62.8×2＋120 ＝125.6＋120 ＝245.6（米） 答：操场跑道一圈的周长是245.6米。 24．动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 【答案】41.12米 【分析】防护栏长度是半圆形活动区的周长，包含半圆弧长度和一条直径，先利用圆周长公式C＝2πr，π取3.14，求出圆的周长，再除以2求出半圆弧长，再加上直径长度求出总长度。 【详解】半圆弧长：2×3.14×8÷2 ＝6.28×8÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（米） 直径：8×2＝16（米） 总长：25.12＋16＝41.12（米） 答：防护栏长度是41.12米。 25．钟面上的分针长10厘米，时针长5厘米，从3时到6时，分针的针尖走过了多少厘米？ 【答案】188.4厘米 【分析】根据题意可知，时针从3时到6时，分针转了6－3＝3（圈），一圈分针针尖走过的路程即为半径为10厘米的圆的周长，根据圆的周长＝，再乘3可以求出答案。 【详解】3.14×10×2×（6－3） ＝31.4×2×3 ＝62.8×3 ＝188.4（厘米） 答：分针的针尖走过了188.4厘米。 26．社区居委会要在小区的一个半圆形喷水池外围（如图）修一条宽2米的小路。已知水池的半径是8米，这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】 平方米 【分析】这条小路实际上是一个半圆环。要求小路的面积，就是用外半圆的面积减去内半圆（喷水池）的面积。内圆半径是8米，外圆半径是（米），利用圆环面积公式求出整圆环面积，再除以2得到半圆环面积。 【详解】 （平方米） 答：这条小路的面积是56.52平方米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 第2课时 圆的周长和面积 【核心知识点+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 （一）学习目标 1. 理解圆的周长和面积的含义，认识圆周率π的意义、取值及历史常识，厘清周长与面积的本质区别。 2. 熟练掌握圆的周长计算公式、面积计算公式，能根据半径、直径灵活代入公式计算。 3. 掌握半圆的周长、半圆的面积计算方法，能区分半圆周长和圆周长的一半，规避高频易错点。 4. 能运用圆的周长、面积公式解决生活中的基础实际问题，规范解题步骤。 5. 建立平面图形的空间观念，提升公式运用、计算推理能力，养成区分周长与面积的解题习惯。 （二）学习重难点 重点：理解圆周率的意义，掌握圆的周长和面积计算公式，能正确计算圆、半圆的周长和面积。 难点：区分圆的周长与面积的概念、公式和单位；准确计算半圆周长，解决周长、面积的综合性实际问题。 核心知识点 知识点1：圆的周长与圆周率π 1. 周长定义：围成圆的曲线的长度叫作圆的周长，周长是长度，对应长度单位（cm、m等）。 2. 圆周率意义：任意一个圆的周长都是它直径的固定倍数，这个固定倍数就是圆周率，用字母π表示。 3. π的取值：π是无限不循环小数，小学计算中统一取近似值π≈3.14。 4. 数学常识：我国古代数学家祖冲之最早精确算出圆周率的值，是数学重要文化考点。 知识点2：圆的周长计算公式（必考） 1. 已知直径求周长：C = πd 2. 已知半径求周长：C = 2πr 3. 公式推导：周长÷直径=π，由此反向推出周长公式，适用于所有圆形。 4. 反向求量：已知周长求直径 d=C÷π；已知周长求半径 r=C÷π÷2。 知识点3：圆的面积公式及推导 1. 面积定义：圆所占平面的大小叫作圆的面积，面积对应面积单位（cm²、m²等）。 2. 推导思想：转化思想。把圆平均分成若干偶数份，剪开后可以拼成一个近似的长方形。 3. 对应关系：长方形的长≈圆周长的一半（πr），长方形的宽=圆的半径（r）。 4. 核心公式：长方形面积=长×宽，推出圆的面积公式 S = πr²。 5. 重点提醒：r²表示r×r，不是r×2，是计算最高频易错点。 知识点4：半圆周长与半圆面积（高频考点） 1. 半圆面积：是整圆面积的一半，公式：S半圆 = πr²÷2，计算简单无多余部分。 2. 半圆周长：不是圆周长的一半，需要加一条直径，是曲线+直线的总长。 3. 半圆周长公式：C半圆 = πr + 2r 或 C半圆 = πd÷2 + d。 4. 易错区分：圆周长的一半只有曲线长度，半圆周长包含曲线和直径，二者绝不相等。 知识点5：周长与面积的核心区别 1. 意义不同：周长是圆一周的曲线长度；面积是圆占据平面的大小。 2. 公式不同：周长用C=πd或2πr；面积用S=πr²。 3. 单位不同：周长用长度单位；面积用面积单位，单位不可混用、不可漏写。 4. 数值无关：周长相等的两个圆，面积一定相等；但周长和面积数值无法比较大小，单位不同。 知识点6：本课高频易错点汇总 1. 公式混淆：求面积误用周长公式，求周长误用面积公式，单位写错。 2. 平方误区：计算面积时把 r² 算成 2r，导致结果严重错误。 3. 半圆误区：计算半圆周长忘记加直径，只算圆弧长度，答题不完整。 4. 取值错误：未按题目要求取值，随意替换3.14，或保留小数位数出错。 5. 审题失误：题目给直径，直接代入面积公式，未先换算成半径。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 已知圆的周长是25.12dm，求阴影部分的面积。 【跟踪训练】 计算下面图形阴影部分的面积。 【例题讲解】 学校400米田径跑道的弯道是半圆形，半圆弯道半径为36米，求一个单侧半圆弯道的长是多少米？ 【跟踪训练】 一堆沙子，测得高30分米，底面周长12.56米。如果每立方米沙子重1500千克，这堆沙子共重多少吨？ 【例题讲解】 火锅桌。火锅桌起源于我国古代，从陶鼎到青铜器，演变至今，形式多样。如图所示，一个圆形火锅桌面，桌面直径是2米。中间放置火锅的部分的直径是60厘米，采用大理石制作，其他部分是由实木板做成的桌面。制作这样一张桌面，至少需要多少平方米的木板？ 【跟踪训练】 为了冬季用餐更加舒适，小明家新买了一个餐桌上的保温转盘（如下图），它的直径是10分米，为了防止使用时被烫伤，它的边上有1分米宽的区域是常温区。 (1)这个转盘加热区的面积是多少？ (2)这个转盘常温区的面积是多少？ 培优练习 一、填空题 1．江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形防护林带的总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14） 2．在下边长方形中画了一个大圆和三个相同的小圆，AB长32厘米，小圆的面积是( )平方厘米。（） 3．如下图，在将圆转化成面积相等的近似长方形的过程中，周长增加了10cm，那么原来圆的周长是( )cm，面积是( )。（π取3.14） 4．如图，已知圆的面积与长方形的面积相等，圆的周长是12.56厘米，则长方形的长为( )厘米。 5．如下图，在这个长方形中正好可以画一个最大的半圆，已知长方形的长为10cm，半圆的周长是( )cm。 6．把一个圆形沿半径剪成若干等份（偶数份），拼成一个近似的长方形。量得长方形的长大约是18.84厘米，则这个圆的周长是( )厘米。 二、判断题 7．一个圆的半径扩大3倍，那么它的周长和面积也扩大3倍。( ) 8．圆的直径越大，周长就越大。( ) 9．周长相等的两个圆面积一定相等。( ) 10．一个挂钟的分针长为40厘米，时针长为30厘米，经过1小时后，分针的尖端所走的路程是251.2厘米。 ( ) 11．如果大、小两个圆的半径比是，那么这两个圆的周长和面积比都是。( ) 三、选择题 12．把一个圆分成32等份，然后拼成一个近似长方形，这个长方形的长相当于这个圆的（    ）。 A．半径 B．直径 C．周长的一半 D．周长 13．如图，小玲绘制了四个组合图形，其中涂色部分与空白部分的周长相等，面积也相等的是（    ）。 A． B． C． D． 14．下面有关圆的说法正确的是（    ）。 ①圆周率π大于3.14。 ②两个圆的直径相等，它们的半径也一定相等。 ③两个圆的周长比是3∶2，那么它们的面积比也是9∶4。 ④用4个圆心角都是90°的扇形，一定能拼成一个圆。 A．只有①② B．只有②③ C．只有①③ D．①②③ 15．从一张长是10cm，宽是8cm的长方形纸上裁下一个最大的圆。剩下部分的面积是（    ）。 A．50.24 B．1.5 C．17.2 D．29.76 16．王珂要想计算右图阴影部分图形的面积，你认为至少他要测量（    ）条线段的长度。 A．1 B．2 C．3 D．4 17．一个半圆形的面积是32π，请你推算这个半圆形的周长是（    ）。 A．8π B．8π＋16 C．16π＋8 D．24π 四、计算题 18．计算下面各图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 19．求下图阴影部分的面积。（单位：cm） 20．求下面图形中阴影部分的面积。 五、解答题 21．在一个长6米、宽4米的长方形花圃里修建一个最大的圆形水池。水池的占地面积是多少平方米？剩下的花圃的面积是多少平方米？ 22．一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 23．学校操场的跑道，两边是直道，两头是半圆形。半圆的半径是20米，直道长60米。操场跑道一圈的周长是多少米？ 24．动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 25．钟面上的分针长10厘米，时针长5厘米，从3时到6时，分针的针尖走过了多少厘米？ 26．社区居委会要在小区的一个半圆形喷水池外围（如图）修一条宽2米的小路。已知水池的半径是8米，这条小路的面积是多少平方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $