第三单元多边形的面积（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

该小学数学《多边形的面积》单元复习讲义通过思维导图系统梳理知识体系，从单元整体认知出发，以转化思想为主线串联平行四边形、三角形、梯形面积公式推导，用框架图呈现各图形特征、公式及逆向应用，汇总高频易错点形成完整知识脉络。 讲义亮点在于“问题解决+创新实践”的练习设计，如自主设计阴影图案并用分割、补全法计算面积，培养几何直观与创新意识。分层练习涵盖基础公式应用与复杂组合图形计算，配合易错点解析，助力学生夯实基础、提升思维，为教师精准教学提供有效支持。

第三单元 多边形的面积（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、多边形面积单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《多边形的面积》是苏教版五年级上册几何核心重点单元，承接三年级长方形、正方形面积知识，首次系统学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算。本单元全部依托转化思想，将陌生图形转化为熟悉的规则图形推导公式，是小学平面几何面积体系的核心基础，为后续组合图形面积、圆的面积学习铺垫。 2. 面积推导核心思想 本单元所有多边形面积公式均采用割补、平移、拼接的转化方法，把未知图形转化为长方形，通过长方形面积公式逆向推导新图形面积公式，所有公式推导逻辑统一、原理互通。 3. 面积单位规范 计算多边形面积统一使用面积单位，常用单位有平方厘米、平方分米、平方米，相邻面积单位进率为100；计算前需统一单位，计算结果必须带对应面积单位，严禁使用长度单位。 知识点二、平行四边形的面积 1. 平行四边形图形特征 两组对边分别平行且相等，对角相等；平行四边形有无数条高，同一底对应的高长度相等，底和高必须相互垂直，是一一对应的配套关系。 2. 底与高的定义 平行四边形任意一条边均可作为底，从底边对边任意一点向底边作垂直线段，这条垂直线段的长度就是该底对应的高，底和高必须垂直对应。 3. 面积公式推导原理 沿平行四边形的高剪开，通过平移拼接，可以拼成一个完整的长方形。拼接后的长方形长等于平行四边形的底，长方形宽等于平行四边形的高，长方形面积与原平行四边形面积完全相等。 4. 面积公式及逆向公式 平行四边形面积=底×高，字母公式：S=ah。逆向推导：平行四边形底=面积÷高，平行四边形高=面积÷底。 5. 平行四边形面积变化规律 底不变，高扩大几倍，面积扩大几倍；高不变，底扩大几倍，面积扩大几倍；底和高同时扩大，面积扩大倍数为两者倍数的乘积。等底等高的平行四边形面积一定相等。 知识点三、三角形的面积 1. 三角形图形与高的特征 三角形有三条边、三个顶点、三个角，每条边都可以作为对应的底，每个底都有唯一对应的高，三角形共有三条高，高与对应底边互相垂直。 2. 面积公式推导原理 两个完全一样的三角形可以通过拼接拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底和高与原三角形的底和高完全相等，单个三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半。 3. 面积公式及逆向公式 三角形面积=底×高÷2，字母公式：S=ah÷2。逆向推导：三角形底=面积×2÷高，三角形高=面积×2÷底。 4. 三角形面积核心规律 等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同；三角形面积只与底和高有关，与三条边的长短、图形形状无关联。 5. 三角形与平行四边形面积关系 等底等高的三角形和平行四边形，三角形面积是平行四边形的一半，平行四边形面积是三角形的2倍。 知识点四、梯形的面积 1. 梯形图形特征 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰，两底之间的垂直线段是梯形的高。 2. 梯形高的特征 梯形有无数条高，所有高的长度全部相等，梯形的高垂直于上底和下底，与两条腰没有垂直对应关系。 3. 面积公式推导原理 两个完全一样的梯形可以拼接成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，单个梯形面积是拼成平行四边形面积的一半。 4. 面积公式及逆向公式 梯形面积=（上底＋下底）×高÷2，字母公式：S=(a＋b)h÷2。逆向推导：上下底之和=面积×2÷高，高=面积×2÷（上底＋下底）。 5. 特殊梯形认知 两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个直角的梯形是直角梯形，两类特殊梯形均通用梯形标准面积公式，无特殊计算公式。 知识点五、三种多边形面积通用规律 1. 对应取值原则 所有多边形计算面积时，必须使用一一对应的底和高，不能混用不同位置的底和高，底高不对应会直接导致面积计算错误。 2. 公式结构区分 平行四边形无除以2运算，三角形、梯形必须除以2，是三类图形公式最核心的区分点，也是高频考点区分依据。 3. 等积变形规律 图形形状改变，底、高不变时，面积保持不变；周长可以发生变化，面积与周长无必然对应关系。 知识点六、简单组合图形的面积 1. 组合图形定义 由平行四边形、三角形、梯形、长方形、正方形等基本图形拼接、组合、切割形成的不规则图形，统称为组合图形。 2. 分割法核心思路 将复杂组合图形分割成两个或多个规则基本图形，分别计算每个基本图形面积，最后相加求和，得到组合图形总面积。 3. 补全法核心思路 将不规则图形补成完整的大规则图形，用大图形面积减去补充的多余图形面积，差值即为原组合图形面积。 知识点七、不规则图形面积估算 1. 数方格估算规则 不满一格按半格计算，满一格按整格计算；先数整格数量，再数半格数量，总格子数=整格数＋半格数÷2，结合单格面积估算整体面积。 2. 估算核心原则 不规则图形无法精准计算面积，只能估算，结果为近似值，符合生活中不规则平面图形的计量需求。 知识点八、单元高频易错点汇总 1. 公式记忆易错 计算三角形、梯形面积忘记除以2；混淆三类图形面积公式，张冠李戴；逆向求底、求高忘记乘2，公式逻辑颠倒。 2. 底高对应易错 不找对应底和高，随意搭配数值计算；混淆斜边与高，把边长当作高使用，底高不垂直、不匹配。 3. 图形关系易错 误认为两个三角形可以直接拼成平行四边形，忽略“完全一样”前提；混淆等底等高图形的面积倍数关系。 4. 单位换算易错 计算前后不统一单位，长度单位与面积单位混用；面积单位进率记成10，导致单位换算错误。 5. 规律判断易错 误认为周长相等的多边形面积一定相等；不理解等底等高形状不同、面积相等的规律，判断失误。 6. 组合图形计算易错 分割图形重复计算、遗漏部分图形；补全法多减、少减多余区域，总面积计算偏差。 7. 高的认知易错 误认为三角形、梯形的高只有一条；不会识别图形外高，局限于图形内部高，无法灵活选取对应高计算面积。 一、例题讲解 【典例】 1．一个三角形的面积是3.6平方厘米，已知它的底是3厘米，高是( )厘米。 【答案】2.4 【分析】根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，反推出高＝面积×2÷底，求出三角形的高。 【详解】3.6×2÷3 ＝7.2÷3 ＝2.4（厘米） 【典例】 2．一个平行四边形的底是4.5厘米，高是4厘米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】9 【分析】根据题意可知，三角形的底是4.5厘米，高是4厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】4.5×4÷2 ＝18÷2 ＝9（平方厘米） 【典例】 3．自主设计一张多边形阴影图案，要求可以用至少两种不同的巧算方法求出阴影面积，写出完整解题过程，可在网格纸上完成绘制。 【答案】 每个小正方形边长1厘米，阴影面积是多少？ 方法一：5×2÷2＋4×5＝10÷2＋20＝5＋20＝25（平方厘米） 方法二：5×6－2×4÷2－1×2÷2＝30－8÷2－2÷2＝30－4－1＝26－1＝25（平方厘米） 【分析】先设计由长方形和直角三角形组成的规则多边形，再分别用分割求和、补全求差两种不同思路巧算面积。 【详解】每个小正方形边长1厘米，求阴影部分的面积。 方法一： 将阴影分为下方的长方形和上方的直角三角形两部分。 长方形面积：（平方厘米） 三角形的底为5厘米，高为2厘米，面积：（平方厘米） 阴影总面积：（平方厘米） 方法二： 将阴影补成一个长6厘米，宽5厘米的长方形，用长方形面积减去两个空白三角形的面积。 长方形面积：（平方厘米） 左边空白部分的直角三角形，两条直角边分别为2厘米和1厘米，2×1÷2＝2÷2＝1（平方厘米） 右边空白部分的直角三角形，两条直角边分别为4厘米和2厘米，4×2÷2＝8÷2＝4（平方厘米） 阴影总面积：（平方厘米） 【典例】 4．小红将两个完全相同的直角三角形的一部分叠放在一起（如图），阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 【答案】7平方厘米 【分析】求涂色部分的面积，用三角形EFD的面积减去三角形GBD的面积，求梯形ACDG的面积，用三角形ABC的面积减去三角形GBD的面积，所以求涂色部分的面积也就是求梯形ACDG的面积。梯形ACDG的上底、下底已知，需求得高CD的长度。因为三角形ABC与三角形EFD是两个完全相同的直角三角形，所以CB的长度等于DF的长度，DF＝DB＋BF，CB＝CD＋DB，CD＝BF，从而利用梯形的面积公式可求出梯形ACDG的面积，即涂色部分的面积，用上底加下底的和乘高除以2。 【详解】（3＋4）×2÷2 ＝7×2÷2 ＝14÷2 ＝7（平方厘米） 答：阴影部分的面积是7平方厘米。 提升练习 二、填空题 5．一块三角形菜地，底是34m，高是21m，一共收获1785kg蔬菜，平均每平方米收获( )kg蔬菜。 【答案】5 【分析】先根据三角形面积＝底×高÷2算出菜地的面积，再用收获的蔬菜总数除以菜地的面积，得到每平方米收获数量。 【详解】1785÷（34×21÷2） ＝1785÷357 ＝5（kg） 平均每平方米收获5kg蔬菜。 6．一个三角形的底边扩大到原来的2倍，高扩大到原来的4倍，那么它的面积就扩大到原来的( )倍。 【答案】8 【分析】。 【详解】设三角形的底为1，高也为1，那么原来三角形的面积为1×1÷2＝0.5； 变化后，底为2，高为4，面积为2×4÷2＝4； 4÷0.5＝8，所以它的面积就扩大到原来的8倍。 7．选择代表性落叶时，一般会将落叶分成( )、( )、( )三类，每类选几片求平均值，这样结果更准确。 【答案】 大 中 小 【分析】估计一棵树的全部树叶的总面积，选择代表性的落叶，按大小分类，多测量几次，分别估测后求平均值，这样更准确。 【详解】选择代表性落叶时，一般会将落叶分成大、中、小三类，每类选几片求平均值，这样结果更准确。 8．妙妙有两张面积相等的三角形纸板。一张纸板的底是25厘米，对应的高是18厘米，这张纸板的面积是( )平方厘米；另一张纸板的高是15厘米，对应的底是( )厘米。 【答案】 225 30 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，底＝三角形的面积×2÷高，代入数据计算。 【详解】25×18÷2 ＝450÷2 ＝225（平方厘米） 225×2÷15 ＝450÷15 ＝30（厘米） 所以这张纸板的面积是225平方厘米；另一张纸板的高是15厘米，对应的底是30厘米。 9．在括号里填上适当的单位名称。 实验小学的劳动教育基地面积大约有1.2( )，六（1）班分到一块面积为60( )的长方形地种植黄瓜。收获的季节到了，萌萌摘下一条黄瓜，长约3( )，她称了一下，约重0.5( )。 【答案】 公顷/ 平方米/ 分米/ 千克/ 【分析】边长是100米的正方形，面积是1公顷，实验小学的劳动教育基地面积选择公顷作单位比较合适； 边长是1米的正方形，面积是1平方米，六（1）班分到的长方形黄瓜地选择平方米作单位比较合适； 成人手掌的宽度约1分米，黄瓜的长度选择分米作单位比较合适； 1袋盐的重量约0.5千克，一条黄瓜的重量选择千克作单位比较合适。 【详解】实验小学的劳动教育基地面积大约有1.2公顷，六（1）班分到一块面积为60平方米的长方形地种植黄瓜。收获的季节到了，萌萌摘下一条黄瓜，长约3分米，她称了一下，约重0.5千克。 10．国家跳台滑雪中心“雪如意”由顶峰俱乐部、竞赛区、看台区三部分构成，占地面积约62公顷，合( )平方千米。“雪如意”看台区建筑面积达到10068平方米，合( )公顷，比一个国际标准足球场还大。 【答案】 0.62 1.0068 【分析】因为1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，再根据大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率，即可解答。 【详解】因为1平方千米＝100公顷，小单位化大单位除以进率，62÷100＝0.62，所以62公顷＝0.62平方千米； 因为1公顷＝10000平方米，小单位化大单位除以进率，10068÷10000＝1.0068，所以10068平方米＝1.0068公顷。 11．测量校园地面时，常用的长度单位有( )、( )，常用的面积单位有( )、( )。 【答案】 米/ 千米/ 平方米/ 公顷/ 【分析】校园地面的尺度属于中等偏大的场地范围，所以要排除过小的长度单位（如厘米、毫米），筛选适配的长度单位。 面积单位是对应长度单位的平方量级，所以匹配和校园面积极度适配的面积单位，排除过小或过大的面积单位。 【详解】测量校园地面的长度（如操场的长、道路的长等），需要适合较大距离的长度单位。常用的长度单位中，米适用于一般建筑、场地的长度测量（如教室长、走廊长）；千米或公里适用于更长的距离（如校园的周长、较长的道路长度）；虽然“分米”“厘米”也是长度单位，但校园地面的长度通常较大，用“米”和“千米”更合适。 测量校园地面的面积（如操场面积、教学楼占地面积等），需要适合较大平面的面积单位。常用的面积单位中，平方米适用于一般场地的面积（如教室面积、小操场面积）；公顷适用于更大的面积（如整个校园的面积、大操场的面积）；“平方分米”“平方厘米”因单位太小，不适合测量校园地面的面积；“平方千米”虽也可用于大面积，但校园面积通常用“公顷”更直观且校园面积一般小于1平方千米。 12．数学实践课上，老师介绍了土地面积单位“公亩”：边长为10m的正方形，面积是1公亩。一个近似长方形的大型城市公园，总面积为2km2。如果将这个公园按每1公亩划分为一份，一共可以分成( )份。 【答案】20000 【分析】根据定义算出1公亩的面积，统一单位，用公园总面积除以1公亩的面积即可。 【详解】边长10m的正方形面积：10×10＝100（平方米）＝1（公亩） 因为1km²＝1000000平方米，所以2km²＝2000000平方米 2000000÷100＝20000（份） 三、选择题 13．一个三角形的面积是24cm2，与它等底等高的平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．12 B．24 C．48 D．36 【答案】C 【分析】三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高，二者等底等高时，平行四边形面积是三角形面积的2倍。 【详解】（） 与它等底等高的平行四边形的面积是48。 14．估测落叶面积时，更准确的方法是（    ）。 A．凭感觉估一个数 B．用1cm方格纸数满格＋半格（半格按0.5格计算） C．只看叶子的长度估算 D．只看叶子的宽度估算 【答案】B 【分析】估测不规则图形面积的常用准确方法，不规则的物体转化为可量化的标准单位面积之和，可以使用方格纸法，那么需要遵循满格计数、不满格按半格折算的规则，该方法的误差远低于主观估测或仅用长宽估算；逐一对比各选项的方法合理性，判断哪种方法的量化程度更高、误差更小。 【详解】A．凭感觉估数，误差极大，结果不准确，所以该选项不是正确选项； B．使用数方格方法是规范的不规则图形面积估测方法，满格按1格计算，半格按0.5格计算，得到的结果更准确，所以该选项是正确选项； C．不规则图形面积估测不能仅用单一的长度或宽度估算，所以仅凭叶子的长度，无法估算叶子的面积，所以该选项不是正确选项； D．不规则图形面积估测不能仅用单一的长度或宽度估算，所以仅凭叶子的宽度，也都无法估算得到叶子的面积，所以该选项不是正确选项； 所以B选项是正确的。 15．我们在探究平行四边形的面积公式时，运用了（    ）的数学思想。 A．转化 B．倒推 C．假设 D．类比 【答案】A 【分析】推导平行四边形面积公式时，是将平行四边形转化为已经学过的长方形，再结合长方形面积公式推导出平行四边形的面积公式，以此判断对应的数学思想。 【详解】探究平行四边形面积公式时，通过剪拼的方法把平行四边形转化成长方形，利用长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式，这个过程运用了转化的数学思想。 16．下图中每个小方格的边长为4厘米，则阴影正方形的面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．144 C．160 D．176 【答案】C 【分析】阴影正方形在一个由4×4个小方格组成的大正方形内。先求外面大正方形的面积＝边长×边长，再减去四个空白直角三角形的面积，三角形面积＝底×高÷2，即可求出阴影正方形的面积。 【详解】外面大正方形的边长：4×4＝16（厘米）。 每个空白直角三角形的两条直角边分别是4厘米和12厘米。 16×16－4×12÷2×4 ＝256－48÷2×4 ＝256－24×4 ＝256－96 ＝160（平方厘米） 所以阴影正方形的面积是160平方厘米。 17．下面两条平行线间的四个图形中，面积相等的是（    ）。 A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④ 【答案】C 【分析】设两条平行线之间的距离是h，结合图中信息用含h的代数式表示出每个图形的面积，其中长方形的面积＝长×宽；平行四边形的面积＝底×高；三角形的面积＝底×高÷2；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此分析。 【详解】设两条平行线之间的距离是h， ①的面积：6×h＝6h； ②的面积：8×h＝8h； ③的面积： 16×h÷2 ＝16h÷2 ＝8h； ④的面积：（5＋10）×h÷2 ＝15h÷2 ＝7.5h 所以②和③的面积相等。 四、判断题 18．1平方千米比1千米大，1公顷比1平方米大。( ) 【答案】× 【分析】常用的面积单位有平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。常用的长度单位有千米、米、分米、厘米、毫米。根据1公顷＝10000平方米，将单位换算成相同的单位即可。 【详解】1平方千米是面积单位，1千米是长度单位，二者无法比较大小，因此“1平方千米比1千米大”错误。1公顷＝10000平方米，故“1公顷比1平方米大”正确。所以，这句话是错误的。 故答案为：× 19．状状家的客厅面积很大，约28公顷。( ) 【答案】× 【分析】根据对1平方厘米、1平方分米、1平方米、1公顷、1平方千米实际有多大的认识，结合生活实际，可知计量状状家的客厅面积应用“平方米”作单位，约有28平方米。公顷用于计量较大的面积，如公园等，以此判断即可。 【详解】根据分析可知： 状状家的客厅面积很大，约28平方米。原题说法错误。 故答案为：× 20．将3根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和平行四边形，其中正方形的面积最大。( ) 【答案】√ 【分析】由于三根铁丝长度相同，因此围成的长方形、正方形和平行四边形的周长都相等。在周长相等的情况下，比较面积大小： 因为正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽 当两个数的和一定时，它们的差越小，积就越大，所以当他们周长相等时，正方形的面积大于长方形的面积。 当把一个长方形拉成一个平行四边形的时候，底不变，高变小，所以长方形的面积大于平行四边形的面积，则当周长一定时，正方形的面积大于长方形面积，大于平行四边形面积。 【详解】由分析可知： 周长相等的情况下：正方形面积＞长方形面积＞平行四边形的面积。 将3根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和平行四边形，其中正方形的面积最大。原题说法正确。 故答案为：√ 21．定州市的面积大约是12.83平方千米。( ) 【答案】× 【分析】根据对面积单位“平方千米”的认识和生活经验，平方千米是较大的面积单位，常用于测量城市、国家等区域。定州市作为县级行政区，其实际面积应远大于12.83平方千米（通常在几百至几千平方千米范围），而12.83平方千米仅相当于一个小型乡镇或公园的面积，与市级行政区的规模不符，因此说法错误。 【详解】题干中“定州市的面积大约是12.83平方千米”的说法不正确。因为依据生活常识和面积单位概念，一个县级市的面积不可能仅为12.83平方千米（例如，常见县级市面积多在1000平方千米左右），故判断为错误。 故答案为：× 22．等底等高的两个平行四边形，它们的面积一定相等。( ) 【答案】√ 【分析】平行四边形的面积计算公式为“面积＝底×高”。若两个平行四边形等底等高，则它们的底和高的乘积必然相等，因此面积一定相等。 【详解】等底等高的两个平行四边形，它们的面积一定相等。例如：底为5 cm，高为4 cm的两个平行四边形，面积均为5×4＝20 。原题说法正确。 故答案为：√ 五、计算题 23．计算下面每个图形的面积。 【答案】18cm2；4.6cm2；252m2 【分析】平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2 ①图中标注了3cm的高，这条高对应的是6cm长的底； ②梯形的上底长2.8cm，下底长1.2cm，高2.3cm。腰长2.5cm求面积时用不到； ③该图形可分成一个平行四边形和一个三角形。平行四边形的底是14m，高是13m；三角形的底是14m，高是10m。 【详解】①6×3＝18（） ②（2.8＋1.2）×2.3÷2 ＝4×2.3÷2 ＝9.2÷2 ＝4.6（） ③平行四边形的面积：14×13＝182（） 三角形的面积： 14×10÷2 ＝140÷2 ＝70（） 总面积：182＋70＝252（） 六、解答题 24．一个三角形花圃，底是25m，高是22m。如果这个花圃一共可以种月季13750棵，那么每平方米可以种月季多少棵？ 【答案】50棵 【分析】先根据三角形面积＝底×高÷2算出花圃的面积，再用月季总棵数除以花圃面积，得到每平方米种植的棵数。 【详解】13750÷（25×22÷2） ＝13750÷275 ＝50（棵） 答：每平方米可以种月季50棵。 25．一个梯形花园的面积是91平方米，高是7米，上底是9米，下底是多少米？ 【答案】17米 【分析】根据梯形面积公式，逆推得到下底的计算方法：，代入数值求解即可。 【详解】 （米） 答：下底是17米。 26．一块长方形的大型农场，如果长增加2千米、宽不变，面积就增加600公顷；如果宽增加1千米、长不变，面积就增加500公顷。这块农场原来的面积是多少公顷？ 【答案】1500公顷 【分析】先根据进率“1平方千米＝100公顷”将600公顷、500公顷换算成6平方千米、5平方千米；再根据“长方形的宽＝面积÷长”，通过长增加时的新增面积求出原长方形的宽；根据“长方形的长＝面积÷宽”，通过宽增加时的新增面积求出原长方形的长；最后根据“长方形面积＝长×宽”计算这块农场原来的面积，并换算成以公顷作单位。 【详解】600公顷＝6平方千米     500公顷＝5平方千米 6÷2＝3（千米） 5÷1＝5（千米） 5×3＝15（平方千米） 15平方千米＝1500公顷 答：这块农场原来的面积是1500公顷。 27．一块不规则小花园，分割成一个长4米、宽2米的长方形，和一个底4米、高1.5米的三角形。长方形和三角形的面积是多少？这块小花园的总面积是多少平方米？ 【答案】8平方米；3平方米；11平方米 【分析】小花园由长方形和三角形两部分组成，总面积是两部分面积的和，先根据长方形面积公式：面积＝长×宽，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，分别求出两部分面积，再相加求出总面积。 【详解】长方形面积：4×2＝8（平方米） 三角形面积：4×1.5÷2 ＝6÷2 ＝3（平方米） 小花园总面积：8＋3＝11（平方米） 答：长方形面积是8平方米，三角形的面积是3平方米，这块小花园的总面积是11平方米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 多边形的面积（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、多边形面积单元整体基础认知 1. 单元核心定位 《多边形的面积》是苏教版五年级上册几何核心重点单元，承接三年级长方形、正方形面积知识，首次系统学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算。本单元全部依托转化思想，将陌生图形转化为熟悉的规则图形推导公式，是小学平面几何面积体系的核心基础，为后续组合图形面积、圆的面积学习铺垫。 2. 面积推导核心思想 本单元所有多边形面积公式均采用割补、平移、拼接的转化方法，把未知图形转化为长方形，通过长方形面积公式逆向推导新图形面积公式，所有公式推导逻辑统一、原理互通。 3. 面积单位规范 计算多边形面积统一使用面积单位，常用单位有平方厘米、平方分米、平方米，相邻面积单位进率为100；计算前需统一单位，计算结果必须带对应面积单位，严禁使用长度单位。 知识点二、平行四边形的面积 1. 平行四边形图形特征 两组对边分别平行且相等，对角相等；平行四边形有无数条高，同一底对应的高长度相等，底和高必须相互垂直，是一一对应的配套关系。 2. 底与高的定义 平行四边形任意一条边均可作为底，从底边对边任意一点向底边作垂直线段，这条垂直线段的长度就是该底对应的高，底和高必须垂直对应。 3. 面积公式推导原理 沿平行四边形的高剪开，通过平移拼接，可以拼成一个完整的长方形。拼接后的长方形长等于平行四边形的底，长方形宽等于平行四边形的高，长方形面积与原平行四边形面积完全相等。 4. 面积公式及逆向公式 平行四边形面积=底×高，字母公式：S=ah。逆向推导：平行四边形底=面积÷高，平行四边形高=面积÷底。 5. 平行四边形面积变化规律 底不变，高扩大几倍，面积扩大几倍；高不变，底扩大几倍，面积扩大几倍；底和高同时扩大，面积扩大倍数为两者倍数的乘积。等底等高的平行四边形面积一定相等。 知识点三、三角形的面积 1. 三角形图形与高的特征 三角形有三条边、三个顶点、三个角，每条边都可以作为对应的底，每个底都有唯一对应的高，三角形共有三条高，高与对应底边互相垂直。 2. 面积公式推导原理 两个完全一样的三角形可以通过拼接拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底和高与原三角形的底和高完全相等，单个三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半。 3. 面积公式及逆向公式 三角形面积=底×高÷2，字母公式：S=ah÷2。逆向推导：三角形底=面积×2÷高，三角形高=面积×2÷底。 4. 三角形面积核心规律 等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同；三角形面积只与底和高有关，与三条边的长短、图形形状无关联。 5. 三角形与平行四边形面积关系 等底等高的三角形和平行四边形，三角形面积是平行四边形的一半，平行四边形面积是三角形的2倍。 知识点四、梯形的面积 1. 梯形图形特征 只有一组对边平行的四边形叫做梯形。互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰，两底之间的垂直线段是梯形的高。 2. 梯形高的特征 梯形有无数条高，所有高的长度全部相等，梯形的高垂直于上底和下底，与两条腰没有垂直对应关系。 3. 面积公式推导原理 两个完全一样的梯形可以拼接成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，单个梯形面积是拼成平行四边形面积的一半。 4. 面积公式及逆向公式 梯形面积=（上底＋下底）×高÷2，字母公式：S=(a＋b)h÷2。逆向推导：上下底之和=面积×2÷高，高=面积×2÷（上底＋下底）。 5. 特殊梯形认知 两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个直角的梯形是直角梯形，两类特殊梯形均通用梯形标准面积公式，无特殊计算公式。 知识点五、三种多边形面积通用规律 1. 对应取值原则 所有多边形计算面积时，必须使用一一对应的底和高，不能混用不同位置的底和高，底高不对应会直接导致面积计算错误。 2. 公式结构区分 平行四边形无除以2运算，三角形、梯形必须除以2，是三类图形公式最核心的区分点，也是高频考点区分依据。 3. 等积变形规律 图形形状改变，底、高不变时，面积保持不变；周长可以发生变化，面积与周长无必然对应关系。 知识点六、简单组合图形的面积 1. 组合图形定义 由平行四边形、三角形、梯形、长方形、正方形等基本图形拼接、组合、切割形成的不规则图形，统称为组合图形。 2. 分割法核心思路 将复杂组合图形分割成两个或多个规则基本图形，分别计算每个基本图形面积，最后相加求和，得到组合图形总面积。 3. 补全法核心思路 将不规则图形补成完整的大规则图形，用大图形面积减去补充的多余图形面积，差值即为原组合图形面积。 知识点七、不规则图形面积估算 1. 数方格估算规则 不满一格按半格计算，满一格按整格计算；先数整格数量，再数半格数量，总格子数=整格数＋半格数÷2，结合单格面积估算整体面积。 2. 估算核心原则 不规则图形无法精准计算面积，只能估算，结果为近似值，符合生活中不规则平面图形的计量需求。 知识点八、单元高频易错点汇总 1. 公式记忆易错 计算三角形、梯形面积忘记除以2；混淆三类图形面积公式，张冠李戴；逆向求底、求高忘记乘2，公式逻辑颠倒。 2. 底高对应易错 不找对应底和高，随意搭配数值计算；混淆斜边与高，把边长当作高使用，底高不垂直、不匹配。 3. 图形关系易错 误认为两个三角形可以直接拼成平行四边形，忽略“完全一样”前提；混淆等底等高图形的面积倍数关系。 4. 单位换算易错 计算前后不统一单位，长度单位与面积单位混用；面积单位进率记成10，导致单位换算错误。 5. 规律判断易错 误认为周长相等的多边形面积一定相等；不理解等底等高形状不同、面积相等的规律，判断失误。 6. 组合图形计算易错 分割图形重复计算、遗漏部分图形；补全法多减、少减多余区域，总面积计算偏差。 7. 高的认知易错 误认为三角形、梯形的高只有一条；不会识别图形外高，局限于图形内部高，无法灵活选取对应高计算面积。 一、例题讲解 【典例】 1．一个三角形的面积是3.6平方厘米，已知它的底是3厘米，高是( )厘米。 【典例】 2．一个平行四边形的底是4.5厘米，高是4厘米，与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 【典例】 3．自主设计一张多边形阴影图案，要求可以用至少两种不同的巧算方法求出阴影面积，写出完整解题过程，可在网格纸上完成绘制。 【典例】 4．小红将两个完全相同的直角三角形的一部分叠放在一起（如图），阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 提升练习 二、填空题 5．一块三角形菜地，底是34m，高是21m，一共收获1785kg蔬菜，平均每平方米收获( )kg蔬菜。 6．一个三角形的底边扩大到原来的2倍，高扩大到原来的4倍，那么它的面积就扩大到原来的( )倍。 7．选择代表性落叶时，一般会将落叶分成( )、( )、( )三类，每类选几片求平均值，这样结果更准确。 8．妙妙有两张面积相等的三角形纸板。一张纸板的底是25厘米，对应的高是18厘米，这张纸板的面积是( )平方厘米；另一张纸板的高是15厘米，对应的底是( )厘米。 9．在括号里填上适当的单位名称。 实验小学的劳动教育基地面积大约有1.2( )，六（1）班分到一块面积为60( )的长方形地种植黄瓜。收获的季节到了，萌萌摘下一条黄瓜，长约3( )，她称了一下，约重0.5( )。 10．国家跳台滑雪中心“雪如意”由顶峰俱乐部、竞赛区、看台区三部分构成，占地面积约62公顷，合( )平方千米。“雪如意”看台区建筑面积达到10068平方米，合( )公顷，比一个国际标准足球场还大。 11．测量校园地面时，常用的长度单位有( )、( )，常用的面积单位有( )、( )。 12．数学实践课上，老师介绍了土地面积单位“公亩”：边长为10m的正方形，面积是1公亩。一个近似长方形的大型城市公园，总面积为2km2。如果将这个公园按每1公亩划分为一份，一共可以分成( )份。 三、选择题 13．一个三角形的面积是24cm2，与它等底等高的平行四边形的面积是（    ）cm2。 A．12 B．24 C．48 D．36 14．估测落叶面积时，更准确的方法是（    ）。 A．凭感觉估一个数 B．用1cm方格纸数满格＋半格（半格按0.5格计算） C．只看叶子的长度估算 D．只看叶子的宽度估算 15．我们在探究平行四边形的面积公式时，运用了（    ）的数学思想。 A．转化 B．倒推 C．假设 D．类比 16．下图中每个小方格的边长为4厘米，则阴影正方形的面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．144 C．160 D．176 17．下面两条平行线间的四个图形中，面积相等的是（    ）。 A．①和② B．①和④ C．②和③ D．③和④ 四、判断题 18．1平方千米比1千米大，1公顷比1平方米大。( ) 19．状状家的客厅面积很大，约28公顷。( ) 20．将3根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和平行四边形，其中正方形的面积最大。( ) 21．定州市的面积大约是12.83平方千米。( ) 22．等底等高的两个平行四边形，它们的面积一定相等。( ) 五、计算题 23．计算下面每个图形的面积。 六、解答题 24．一个三角形花圃，底是25m，高是22m。如果这个花圃一共可以种月季13750棵，那么每平方米可以种月季多少棵？ 25．一个梯形花园的面积是91平方米，高是7米，上底是9米，下底是多少米？ 26．一块长方形的大型农场，如果长增加2千米、宽不变，面积就增加600公顷；如果宽增加1千米、长不变，面积就增加500公顷。这块农场原来的面积是多少公顷？ 27．一块不规则小花园，分割成一个长4米、宽2米的长方形，和一个底4米、高1.5米的三角形。长方形和三角形的面积是多少？这块小花园的总面积是多少平方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $