第三单元多边形的面积（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

该小学数学第三单元“多边形的面积”讲义通过知识框架图系统构建平面几何面积知识体系，从平行四边形、三角形、梯形的面积公式推导（转化思想）到公顷、平方千米等面积单位进率，再到组合图形分割补全、不规则图形估算，形成“概念-公式-应用-逆推”的完整脉络。 讲义亮点在于“真题拔高”分层练习设计，如填空题“三角形菜地面积1公顷，高50米求底边长”，融合单位换算与公式逆推，培养量感和运算能力。易错指引针对公式漏÷2、单位混用等痛点，帮助学生规避错误，教师可依托分层题型实施精准教学，支持不同层次学生自主复习提升。

第三单元 多边形的面积（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）本单元是小学平面几何面积计算的核心单元，承接长方形、正方形面积计算，系统学习平行四边形、三角形、梯形的面积公式。 （2）新增大面积土地单位公顷、平方千米，掌握常用面积单位完整进率体系。 （3）拓展学习组合图形、不规则图形的面积计算方法，是小学阶段平面图形面积知识的综合汇总。 （4）为六年级圆的面积、立体图形表面积学习奠定核心基础。 2. 核心数学思想 （1）转化思想：将未知图形通过割补、拼接转化为已知的长方形、平行四边形，推导面积公式。 （2）数形结合思想：依托图形特征对应底、高，精准匹配面积计算公式。 （3）建模思想：建立各类多边形固定面积模型，实现公式通用计算。 二、平行四边形的面积 1. 平行四边形高与底的概念 （1）底：平行四边形任意一条边都可以作为底。 （2）高：从一条底边对边任意一点向底边作垂直线段，这条垂直线段就是对应底的高。 （3）核心特征：平行四边形有两组对应的底和高，同一底对应无数条高，所有高长度相等。 （4）高与底相互对应，必须匹配使用，不能随意混搭计算面积。 2. 面积公式推导原理 （1）采用割补平移法，沿平行四边形的高剪开，把三角形部分平移拼接，可拼成一个完整的长方形。 （2）拼接对应关系：长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 （3）拼接前后图形面积大小保持不变。 3. 面积计算公式 （1）文字公式：平行四边形面积 = 底 × 高 （2）字母公式：S = ah （3）公式说明：a 表示底，h 表示对应底的高。 4. 核心规律特征 （1）等底等高的平行四边形，面积一定相等。 （2）面积相等的平行四边形，不一定等底等高。 （3）长方形拉成平行四边形，周长不变，高变小，整体面积变小。 三、三角形的面积 1. 三角形底与高的概念 （1）三角形有三条底边，每一条底边都对应一条专属的高。 （2）高的画法：从底边所对的顶点，向底边作垂直虚线，顶点与垂足之间的线段即为高。 （3）锐角三角形三条高均在图形内部；直角三角形两条直角边互为底和高；钝角三角形有两条高在图形外部。 2. 面积公式推导原理 （1）将两个完全相同、大小形状一致的三角形，反向拼接可以拼成一个平行四边形。 （2）拼接对应关系：平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高。 （3）单个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 3. 面积计算公式 （1）文字公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 （2）字母公式：S = ah ÷ 2 4. 核心规律特征 （1）等底等高的三角形，面积一定相等。 （2）面积相等的三角形，不一定等底等高。 （3）三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。 四、梯形的面积 1. 梯形各部分概念 （1）上底、下底：梯形互相平行的一组对边，通常短边为上底，长边为下底。 （2）腰：梯形不平行的一组对边。 （3）高：两条平行底边之间的垂直线段，梯形有无数条高，所有高长度相等。 2. 面积公式推导原理 （1）将两个完全相同的梯形反向拼接，可以拼成一个平行四边形。 （2）拼接对应关系：平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。 （3）单个梯形面积是拼成的平行四边形面积的一半。 3. 面积计算公式 （1）文字公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2 （2）字母公式：S = (a+b)h ÷ 2 （3）公式说明：a 表示上底，b 表示下底，h 表示高。 4. 特殊梯形补充 （1）直角梯形：有一组直角，两条直角边分别为底边和高。 （2）等腰梯形：两腰长度相等，轴对称图形，面积公式与普通梯形一致。 五、常用面积单位与进率 1. 基础小面积单位 （1）常用单位：平方厘米、平方分米、平方米。 （2）进率关系：1平方分米=100平方厘米，1平方米=100平方分米，1平方米=10000平方厘米。 2. 大面积土地单位 （1）公顷：专门用于计量土地、场地面积。 ① 定义：边长100米的正方形土地，面积是1公顷。 ② 进率：1公顷 = 10000平方米。 （2）平方千米：用于计量城市、国家、大型区域面积。 ① 定义：边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。 ② 进率：1平方千米 = 100公顷，1平方千米 = 1000000平方米。 3. 单位使用场景区分 （1）平方厘米、平方分米：计量书本、桌面、小件物品面积。 （2）平方米：计量教室、房屋、操场普通场地面积。 （3）公顷：计量校园、公园、农田、大型场馆面积。 （4）平方千米：计量城市、省份、国家等超大区域面积。 六、组合图形的面积 1. 组合图形定义 （1）由两个或多个基础多边形（长方形、平行四边形、三角形、梯形）拼接、组合而成的复杂图形，叫做组合图形。 2. 核心计算思路 （1）分割法：将复杂组合图形分割成若干个规则基础图形，分别计算面积后相加求和。 （2）补全法：将不规则图形补成完整规则图形，用整体面积减去补充部分面积，得到原图面积。 3. 计算核心原则 （1）优先分割为已知公式的简单图形，分割数量越少，计算越简便。 （2）分割、补全后的数据必须与原图边长、高完全对应，数据匹配无误。 七、不规则图形的面积估算 1. 适用场景 （1）没有固定边长、无法用公式精准计算的曲线、不规则平面图形。 2. 方格纸估算方法 （1）数整格：完整占满方格的全部计数。 （2）数半格：不满一格的全部按半格计算，两个半格合并为一格。 （3）总面积估算：整格数 + 半格数÷2，得到近似面积。 3. 估算核心特征 （1）不规则图形面积仅能得到近似值，无法精准计算。 （2）方格越小，分割越细密，估算结果越精准。 八、单元通用公式逆推知识点 1. 平行四边形逆推 （1）底 = 面积 ÷ 高 （2）高 = 面积 ÷ 底 2. 三角形逆推 （1）底 = 面积 × 2 ÷ 高 （2）高 = 面积 × 2 ÷ 底 3. 梯形逆推 （1）上下底之和 = 面积 × 2 ÷ 高 （2）高 = 面积 × 2 ÷（上底 + 下底） 易错指引 1. 公式易错点 （1）计算三角形、梯形面积时，忘记除以2，公式记忆不完整。 （2）底和高不对应，乱用图形边长、斜边充当高，导致面积计算错误。 （3）逆推公式遗漏乘2，底、高求解数值错误。 2. 概念易错点 （1）误认为周长相等的多边形面积一定相等。 （2）混淆平行四边形、三角形、梯形的拼接条件，只有完全相同的图形才能拼接成规则平行四边形。 （3）误认为三角形面积是平行四边形面积的一半，忽略“等底等高”前提条件。 3. 单位换算易错点 （1）混淆面积单位与长度单位进率，误用10、1000进率换算面积。 （2）公顷与平方米、平方千米进率记忆混乱，换算数值出错。 （3）大题计算不统一单位，边长单位与面积单位混用。 4. 图形判断易错点 （1）数不规则图形方格时，漏数、多数半格，估算误差过大。 （2）拉伸平行四边形时，误认为面积不变，忽略高的变化。 真题拔高 一、填空题 1．一块三角形菜地的面积是1公顷。它的高为50米，底边长( )米。 【答案】400 【分析】已知三角形菜地的面积是1公顷，高是50米，要求底边长。解题时需注意单位统一，首先根据公顷与平方米的进率，将1公顷换算为10000平方米。然后依据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，推导出求底的公式：底＝面积×2÷高。最后代入数值进行脱式计算即可得出结果。 【详解】1公顷＝10000平方米 10000×2÷50 ＝20000÷50 ＝400（米） 一块三角形菜地的面积是1公顷。它的高为50米，底边长（400）米。 2．钢城区隶属于山东省济南市，地处鲁中腹地，北、西两面接莱城区，南邻新泰市，东邻沂源县，区域总面积507( )。 【答案】 平方千米/ 【分析】平方千米适合计量特别大的土地面积，边长是1千米的正方形的面积是1平方千米，所以计量钢城区的总面积用“平方千米”作单位比较合适。 【详解】钢城区隶属于山东省济南市，地处鲁中腹地，北、西两面接莱城区，南邻新泰市，东邻沂源县，区域总面积507平方千米。 3．图中阴影部分面积是( )平方厘米。 【答案】25 【分析】 通过割补法可得，则阴影部分的面积是一个长10厘米，宽10÷2＝5（厘米）的长方形面积减去一个底10厘米，高5厘米的三角形面积，根据长方形的面积公式＝长×宽，三角形的面积公式＝×底×高，代入数据计算即可解答。 【详解】10÷2＝5（厘米） 10×5－×10×5 ＝50－5×5 ＝50－25 ＝25（平方厘米） 4．如图平行四边形ABCD的面积用“1”来表示，三条平行线把它等分成4个小平行四边形。请列式计算，求出图中阴影部分的面积：( )。 【答案】/0.375 【分析】将大平行四边形的面积看作单位“1”，3个小平行四边形面积之和是大平行四边形面积的，阴影面积又是3个小平行四边形面积之和的。所以阴影面积＝大平行四边形面积。 【详解】 5．一个直角三角形绿化带，是长城步道配套景观，三条边长分别是6m、8m、10m，它的面积是( )。 【答案】24 【分析】因为在直角三角形中，斜边大于直角边，则可知这个直角三角形的直角边分别是6米和8米，从而可以求其面积。 【详解】6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方米） 6．如下图，长方形的面积为72平方分米，三角形①的面积为9平方分米，三角形②的面积为18平方分米。阴影部分的面积是( )平方分米。 【答案】33 【分析】长方形面积＝长×宽，假设长方形长12分米、宽6分米；三角形面积＝底×高÷2。 如图，用三角形①的面积乘2除以高（AD）求出底（DE）； 用DC的长度减去DE的长度求出EC的长度，用三角形②的面积乘2除以底（EC）求出高（FC）； 用BC的长度减去FC的长度求出BF的长度，代入数值算出三角形③的面积； 最后用长方形的面积依次减去①②③的面积即可求出阴影部分的面积。 【详解】假设长方形长12分米、宽6分米。 DE的长度：9×2÷6 ＝18÷6 ＝3（分米） EC的长度：12－3＝9（分米） FC的长度：18×2÷9 ＝36÷9 ＝4（分米） BF的长度：6－4＝2（分米） 三角形③的面积：12×2÷2 ＝24÷2 ＝12（平方分米） 阴影部分的面积：72－9－18－12 ＝63－18－12 ＝45－12 ＝33（平方分米） 7．观察方格中的图形，下面图形的面积是( )平方厘米。（每个小方格的边长都是1厘米） 【答案】36 【分析】图形上方向内凹陷的半圆和图形下方向外凸起的半圆形状和大小是完全相同的所以二者的面积也相同，我们可以把图形下方凸起的半圆剪下来向上平移，正好可以填补上方凹陷的半圆位置，经过这样的平移填补后，原来的不规则图形就变成了完整的长方形，观察转化后的长方形，长占了9个小方格就是9厘米，宽占了4个小方格就是4厘米，我们再根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽即可求出阴影部分面积。 【详解】9×4＝36（平方厘米） 所以图形的面积是36平方厘米。 8．如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为( )。 【答案】33.12 【分析】连接BP，涂色部分的面积＝正方形的面积＋半圆的面积－三角形ABP的面积－三角形PQB的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，半圆的面积＝πr2÷2，三角形的面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【详解】连接BP，并分别以AB、BQ为底，作高。如图： 8÷2＝4（cm） 8×8＋3.14×4÷2 ＝64＋3.14×16÷2 ＝64＋50.24÷2 ＝64＋25.12 ＝89.12（cm2） 8×（8＋4）÷2 ＝8×12÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） 89.12－48－8＝33.12（cm2） 9．如图，阴影部分和整个图形的面积之比是( )，如果每个小正方形的面积是4平方厘米，空白部分是( )平方厘米。 【答案】 1∶2/ 8 【分析】求面积比：将每个小正方形面积设为单位“1”，计算阴影部分总面积，阴影部分是一个三角形，三角形的面积＝底×高÷2，与整个图形（4个小正方形）面积作比，求出结果即可； 求空白面积：先算出整个图形面积，整个图形面积＝1个小正方形的面积×个数，再用总面积减去阴影面积，阴影部分是一个三角形，三角形的面积＝底×高÷2，求出空白面积。 【详解】把每个小正方形面积看作单位“1”，则每个小正方形的边长为1， 总面积为： 阴影部分面积为： 阴影部分和整个图形的面积之比是2：4＝1：2； 每个小正方形面积4平方厘米， 则边长为2厘米， 整个图形面积4×4＝16（平方厘米） 阴影面积： （平方厘米） 则空白面积为：（平方厘米） 10．小林从长为4.5cm、6cm、7.5cm的小棒中选了三根，搭成了三角形ABC，且三个内角的度数关系为，按角分这个三角形一定是( )三角形，它的面积为( )。 【答案】 直角 13.5 【分析】三角形的内角和为180°，已知，即，据此算出的度数可得第一问；第一问可能这个三角形是直角三角形，根据直角三角形斜边最长，可判断两条直角边，即底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据计算。 【详解】 按角分这个三角形一定是直角三角形。 6和4.5分别是三角形的底和高 三角形面积：（cm2） 二、选择题 11．市二小有一块正方形草坪，正好能容纳100个小朋友做广播操。这块草坪的面积大约是（    ）。 A．150平方厘米 B．1500平方分米 C．150平方米 D．15公顷 【答案】C 【分析】根据生活经验，对面积单位和数据的大小的认知可知：1平方厘米大约是一个手指甲的面积，1平方分米大约是一个手掌面的大小，1平方米是边长1米的正方形面积的大小， 1公顷＝10000平方米，相当于边长为100米的正方形的面积。 所以估计这块正方形草坪的面积，先要估计出一个小朋友做广播操所需的占地面积，进而推算100个小朋友所需的总面积，最后根据面积单位的大小选择合适的选项。 【详解】根据生活经验，一个小朋友做广播操大约需要1至2平方米的空间。 100个小朋友做广播操大约需要的面积为：100平方米~200平方米。 接下来对各选项进行分析： A．150平方厘米大约相当于一张卡片的大小，远小于100个小朋友所需的空间，选项错误； B．1平方米＝100平方分米，1500平方分米＝15平方米，大约相当于一间小卧室的面积，无法容纳100个小朋友，选项错误； C．150平方米大约相当于一间大教室的面积，接近100个小朋友所需的空间，选项正确； D．1公顷＝10000平方米，15公顷＝150000平方米，面积过大，不符合学校草坪的实际大小，选项错误。 12．下图中，涂色部分甲的面积（    ）乙的面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 【答案】C 【分析】由图可知，长方形和平行四边形同底、等高；长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，因此长方形和平行四边形的面积相等；甲的面积＝长方形面积－空白三角形面积，乙的面积＝平行四边形面积－空白三角形面积。据此解答。 【详解】根据分析，长方形面积＝平行四边形面积，减去的是同一个空白三角形的面积，所以剩下的甲和乙的面积相等，因此涂色部分甲的面积等于乙的面积。 13．下面可以用方程表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程表示的数量关系是：两个量的和为120，其中一个量是x，另一个量是x的。对照每个选项的图形含义，判断哪个选项符合这个关系。 【详解】A．将总个数看作单位“1”，涂色部分表示的个数是总个数的，涂色部分表示的个数÷对应分率＝总个数，列出方程，不符合题意。 B．等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是xm3，则圆柱的体积是3xm3，根据圆柱体积＋圆锥体积＝120m3，列出方程3x＋x＝120，不符合题意。 C．将未知数表示的长度看作单位“1”，已知长度是未知数表示长度的，未知数表示的长度×已知长度对应分率＝已知长度，列出方程x＝120，不符合题意。 D．将梯形分成2个三角形，2个三角形的高相等，阴影三角形的底是空白三角形的，则阴影三角形的面积是空白三角形面积的，根据空白三角形的面积＋阴影三角形的面积＝梯形的面积，列出方程x＋x＝120，符合题意。 14．如图，甲阴影的面积与乙阴影的面积相比较，正确的是（    ）。 A．S甲＞S乙 B．S甲＝S乙 C．S甲＜S乙 D．无法比较 【答案】B 【分析】对角线把大长方形平均分成两个面积相等的大三角形，把两个空白长方形都平均分成了面积相等两部分，所以剩下的甲阴影的面积与乙阴影的面积相等，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：用两个面积相等的大三角形，分别减去面积相等的空白部分，剩余的阴影面积​和相等，即​＝。 15．下图是用一些边长1厘米的小正方形拼成的，图中涂色部分面积是整个图形面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，阴影部分的面积＝大正方形的面积－4个空白小三角形的面积，分别计算出涂色部分的面积和整个图形的面积，结合分数的意义进行分析。 【详解】4×4－2×2÷2×2－2×1÷2×2 ＝16－4÷2×2－2÷2×2 ＝16－2×2－1×2 ＝16－4－2 ＝12－2 ＝10（平方厘米） 整个图形的面积是4×4＝16（平方厘米） 图中涂色部分面积是整个图形面积的，也就是。 三、判断题 16．面积相等的两个三角形一定能拼成一个梯形。( ) 【答案】× 【分析】梯形的定义是只有一组对边平行的四边形，要拼成梯形，需要两个三角形满足特定的拼接条件，而不仅仅是面积相等。 【详解】比如：一个三角形底是4、高是3， 面积是4×3÷2 ＝12÷2 ＝6 另一个三角形底是6、高是2， 面积是6×2÷2 ＝12÷2 ＝6 这两个三角形面积相等，但形状、边长都不同，拼在一起无法形成只有一组对边平行的梯形，所以原题说法错误。 故答案为：× 17．两个平行四边形的面积之比是1∶1，它们的形状一定相同。( ) 【答案】× 【分析】平行四边形的面积＝底×高，根据比的意义可知：“两个平行四边形的面积之比是1∶1”即这两个平行四边形的面积相等，由平行四边形的面积公式可知：只要底和高的乘积相等面积就相等，但是两个平行四边形的底不一定相等，高也不一定相等，所以这两个平行四边形的形状不一定相同，据此判断。 【详解】根据分析可知：两个平行四边形的面积之比是1∶1，它们的形状不一定相同；如底和高分别为6、2和4、3的两个平行四边形，面积都是12；但是因为底和高长度不一样，所以形状不同；原说法错误。 故答案为：× 18．一个平行四边形的面积是20平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是10平方厘米。( ) 【答案】√ 【分析】等底等高的三角形和平行四边形的关系：等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，据此判断即可。 【详解】20÷2＝10（平方厘米） 一个平行四边形的面积是20平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是10平方厘米。原题说法正确。 故答案为：√ 19．在下面的方格图中，三角形ABC的面积和三角形BCD的面积相等。( ) 【答案】√ 【分析】设小正方形的边长是1，分别求出三角形ABC的底和高，三角形BCD的底和高；根据三角形面积＝底×高÷2，求出两个三角形的面积，再进行比较。 【详解】设小正方形的边长是1。 三角形ABC的底：1×3＝3；高：1×1＝1。 面积：3×1÷2 ＝3÷2 ＝1.5 三角形BCD的底：1×3＝3；高：1×1＝1。 面积：3×1÷2 ＝3÷2 ＝1.5 1.5＝1.5，所以三角形ABC的面积和三角形BCD的面积相等。 故答案为：√ 20．下面图形的面积是5平方厘米（每个代表1平方厘米）。( ) 【答案】× 【分析】看图可知，该图形是由6个1平方厘米的小正方形组成的，那么它的面积就是6乘1。 【详解】根据分析可知，该图形的面积＝6×1＝6（平方厘米），题干中说是5平方厘米，说法错误。 故答案为：× 四、计算题 21．求涂色部分的面积。（单位：cm）     【答案】13.5cm2 【分析】如图所示，将右侧阴影部分移到左边，与左边的阴影部分组合成一个梯形，只要求这个上底为6-3＝3cm，下底为6cm，高为3cm的梯形的面积即可。 【详解】（6－3＋6）×3÷2 ＝9×3÷2 ＝27÷2 ＝13.5（cm2） 五、作图题 22．按要求在方格纸上画图。（图中小方格的边长表示1cm） (1)在方格纸中标出A（5，1）、B（8，1）的位置。 (2)以线段AB为底，画一个面积是6cm2的平行四边形ABCD。 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】（1）数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。 （2）根据“平行四边形的面积＝底×高”计算出平行四边形的高，再画出符合要求的平行四边形。 【详解】（1）点A在第5列第1行，点B在第8列第1行。 图略 （2）线段AB的长为：8－5＝3（cm） 6÷3＝2（cm） 以线段AB为底，面积是6cm2的平行四边形ABCD的高为2cm。 图略 六、解答题 23．一块三角形的麦田，在比例尺是1∶2000的图纸上，测得底和高分别是5cm和6cm，已知这块麦田每平方米收小麦0.6千克，这块麦田可以收小麦多少千克？ 【答案】3600千克 【分析】我们先根据比例尺和图上距离算出实际的底和高，再计算三角形面积，最后用“三角形面积×每平方米小麦的质量＝小麦总质量”计算出小麦的质量。 【详解】比例尺 1：2000 表示图上1cm对应实际2000cm。 实际底： 5×2000 ＝ 10000cm＝100m 实际高： 6×2000 ＝ 12000cm＝120m 三角形麦田的面积： 100×120÷2 ＝12000÷2 ＝6000（平方米） 小麦总产量： 6000 ×0.6 ＝ 3600（千克） 答：这块麦田可以收小麦3600千克。 24．要想求下面图形的面积，圆的面积公式目前还没有学习，但能用本学期学的图形的运动这一知识帮助解决，请先写出你的想法，再计算出这个图形的面积。 【答案】将半圆形绕点A顺时针旋转90°补成一个正方形； 100平方厘米 【分析】连接AD，四边形ABCD为正方形，所以AB＝AD。上面的半圆绕点A顺时针旋转90°，就会与下面的阴影部分拼成正方形，求整个图形面积其实就是求正方形的面积，根据正方形面积＝边长×边长。 【详解】如图： 连接AD，将半圆形绕点A顺时针旋转90°补成一个正方形。 10×10＝100（平方厘米） 答：这个图形的面积是100平方厘米。 25．虾池的面积是多少平方米？ 【答案】5950平方米 【分析】观察图中虾池的形状，它的上半部分是一个梯形，下半部分是一个长方形，也就是说虾池可以看作是由梯形和长方形组合而成的。因此求虾池的面积，就是求梯形和长方形的面积和。长方形的面积＝长×宽；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 【详解】 根据题图，长方形的长为80米，宽为40米；梯形的上底为30米，下底为80米，高为（90－40）米。 80×40＋（30＋80）×（90－40）÷2 ＝3200＋110×50÷2 ＝3200＋5500÷2 ＝3200＋2750 ＝5950（平方米） 答：虾池的面积是5950平方米。 26．学校为同学们在校园角落里开辟了一块底是54米，对应的高是30米的三角形菜地，同学们种茄子的面积占这块菜地的，剩下的菜地按4∶5的面积比种西红柿和黄瓜，种黄瓜的面积是多少平方米？ 【答案】350平方米 【分析】三角形面积底高2，据此求出三角形菜地的面积，因为同学们种茄子的面积占这块菜地的，用三角形菜地的面积×种茄子的面积，用总面积减去种茄子的面积，求出种西红柿和黄瓜的面积和，种西红柿和黄瓜的面积比为，西红柿占4份，黄瓜占5份；用求出的种西红柿和黄瓜的面积和除以种西红柿和黄瓜的面积占的份数和，即可求出一份的面积，然后乘黄瓜占的份数即可解答。 【详解】菜地的面积是： （平方米） 种茄子的面积是：（平方米） 种西红柿和黄瓜的面积和是：（平方米） 种黄瓜的面积是： （平方米） 答：种黄瓜的面积是350平方米。 27．如图是由两个相同的半圆叠拼成的。三角形ABC是一个等腰直角三角形，AB＝BC＝8cm，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3） 【答案】16平方厘米 【分析】阴影部分的面积等于直径是8厘米的圆的面积减去三角形ABC的面积，据此解答。 【详解】3×（8÷2）2－8×8÷2 ＝3×16－64÷2 ＝48－32 ＝16（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是16平方厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 多边形的面积（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）本单元是小学平面几何面积计算的核心单元，承接长方形、正方形面积计算，系统学习平行四边形、三角形、梯形的面积公式。 （2）新增大面积土地单位公顷、平方千米，掌握常用面积单位完整进率体系。 （3）拓展学习组合图形、不规则图形的面积计算方法，是小学阶段平面图形面积知识的综合汇总。 （4）为六年级圆的面积、立体图形表面积学习奠定核心基础。 2. 核心数学思想 （1）转化思想：将未知图形通过割补、拼接转化为已知的长方形、平行四边形，推导面积公式。 （2）数形结合思想：依托图形特征对应底、高，精准匹配面积计算公式。 （3）建模思想：建立各类多边形固定面积模型，实现公式通用计算。 二、平行四边形的面积 1. 平行四边形高与底的概念 （1）底：平行四边形任意一条边都可以作为底。 （2）高：从一条底边对边任意一点向底边作垂直线段，这条垂直线段就是对应底的高。 （3）核心特征：平行四边形有两组对应的底和高，同一底对应无数条高，所有高长度相等。 （4）高与底相互对应，必须匹配使用，不能随意混搭计算面积。 2. 面积公式推导原理 （1）采用割补平移法，沿平行四边形的高剪开，把三角形部分平移拼接，可拼成一个完整的长方形。 （2）拼接对应关系：长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 （3）拼接前后图形面积大小保持不变。 3. 面积计算公式 （1）文字公式：平行四边形面积 = 底 × 高 （2）字母公式：S = ah （3）公式说明：a 表示底，h 表示对应底的高。 4. 核心规律特征 （1）等底等高的平行四边形，面积一定相等。 （2）面积相等的平行四边形，不一定等底等高。 （3）长方形拉成平行四边形，周长不变，高变小，整体面积变小。 三、三角形的面积 1. 三角形底与高的概念 （1）三角形有三条底边，每一条底边都对应一条专属的高。 （2）高的画法：从底边所对的顶点，向底边作垂直虚线，顶点与垂足之间的线段即为高。 （3）锐角三角形三条高均在图形内部；直角三角形两条直角边互为底和高；钝角三角形有两条高在图形外部。 2. 面积公式推导原理 （1）将两个完全相同、大小形状一致的三角形，反向拼接可以拼成一个平行四边形。 （2）拼接对应关系：平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高。 （3）单个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 3. 面积计算公式 （1）文字公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 （2）字母公式：S = ah ÷ 2 4. 核心规律特征 （1）等底等高的三角形，面积一定相等。 （2）面积相等的三角形，不一定等底等高。 （3）三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半。 四、梯形的面积 1. 梯形各部分概念 （1）上底、下底：梯形互相平行的一组对边，通常短边为上底，长边为下底。 （2）腰：梯形不平行的一组对边。 （3）高：两条平行底边之间的垂直线段，梯形有无数条高，所有高长度相等。 2. 面积公式推导原理 （1）将两个完全相同的梯形反向拼接，可以拼成一个平行四边形。 （2）拼接对应关系：平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高。 （3）单个梯形面积是拼成的平行四边形面积的一半。 3. 面积计算公式 （1）文字公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2 （2）字母公式：S = (a+b)h ÷ 2 （3）公式说明：a 表示上底，b 表示下底，h 表示高。 4. 特殊梯形补充 （1）直角梯形：有一组直角，两条直角边分别为底边和高。 （2）等腰梯形：两腰长度相等，轴对称图形，面积公式与普通梯形一致。 五、常用面积单位与进率 1. 基础小面积单位 （1）常用单位：平方厘米、平方分米、平方米。 （2）进率关系：1平方分米=100平方厘米，1平方米=100平方分米，1平方米=10000平方厘米。 2. 大面积土地单位 （1）公顷：专门用于计量土地、场地面积。 ① 定义：边长100米的正方形土地，面积是1公顷。 ② 进率：1公顷 = 10000平方米。 （2）平方千米：用于计量城市、国家、大型区域面积。 ① 定义：边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。 ② 进率：1平方千米 = 100公顷，1平方千米 = 1000000平方米。 3. 单位使用场景区分 （1）平方厘米、平方分米：计量书本、桌面、小件物品面积。 （2）平方米：计量教室、房屋、操场普通场地面积。 （3）公顷：计量校园、公园、农田、大型场馆面积。 （4）平方千米：计量城市、省份、国家等超大区域面积。 六、组合图形的面积 1. 组合图形定义 （1）由两个或多个基础多边形（长方形、平行四边形、三角形、梯形）拼接、组合而成的复杂图形，叫做组合图形。 2. 核心计算思路 （1）分割法：将复杂组合图形分割成若干个规则基础图形，分别计算面积后相加求和。 （2）补全法：将不规则图形补成完整规则图形，用整体面积减去补充部分面积，得到原图面积。 3. 计算核心原则 （1）优先分割为已知公式的简单图形，分割数量越少，计算越简便。 （2）分割、补全后的数据必须与原图边长、高完全对应，数据匹配无误。 七、不规则图形的面积估算 1. 适用场景 （1）没有固定边长、无法用公式精准计算的曲线、不规则平面图形。 2. 方格纸估算方法 （1）数整格：完整占满方格的全部计数。 （2）数半格：不满一格的全部按半格计算，两个半格合并为一格。 （3）总面积估算：整格数 + 半格数÷2，得到近似面积。 3. 估算核心特征 （1）不规则图形面积仅能得到近似值，无法精准计算。 （2）方格越小，分割越细密，估算结果越精准。 八、单元通用公式逆推知识点 1. 平行四边形逆推 （1）底 = 面积 ÷ 高 （2）高 = 面积 ÷ 底 2. 三角形逆推 （1）底 = 面积 × 2 ÷ 高 （2）高 = 面积 × 2 ÷ 底 3. 梯形逆推 （1）上下底之和 = 面积 × 2 ÷ 高 （2）高 = 面积 × 2 ÷（上底 + 下底） 易错指引 1. 公式易错点 （1）计算三角形、梯形面积时，忘记除以2，公式记忆不完整。 （2）底和高不对应，乱用图形边长、斜边充当高，导致面积计算错误。 （3）逆推公式遗漏乘2，底、高求解数值错误。 2. 概念易错点 （1）误认为周长相等的多边形面积一定相等。 （2）混淆平行四边形、三角形、梯形的拼接条件，只有完全相同的图形才能拼接成规则平行四边形。 （3）误认为三角形面积是平行四边形面积的一半，忽略“等底等高”前提条件。 3. 单位换算易错点 （1）混淆面积单位与长度单位进率，误用10、1000进率换算面积。 （2）公顷与平方米、平方千米进率记忆混乱，换算数值出错。 （3）大题计算不统一单位，边长单位与面积单位混用。 4. 图形判断易错点 （1）数不规则图形方格时，漏数、多数半格，估算误差过大。 （2）拉伸平行四边形时，误认为面积不变，忽略高的变化。 真题拔高 一、填空题 1．一块三角形菜地的面积是1公顷。它的高为50米，底边长( )米。 2．钢城区隶属于山东省济南市，地处鲁中腹地，北、西两面接莱城区，南邻新泰市，东邻沂源县，区域总面积507( )。 3．图中阴影部分面积是( )平方厘米。 4．如图平行四边形ABCD的面积用“1”来表示，三条平行线把它等分成4个小平行四边形。请列式计算，求出图中阴影部分的面积：( )。 5．一个直角三角形绿化带，是长城步道配套景观，三条边长分别是6m、8m、10m，它的面积是( )。 6．如下图，长方形的面积为72平方分米，三角形①的面积为9平方分米，三角形②的面积为18平方分米。阴影部分的面积是( )平方分米。 7．观察方格中的图形，下面图形的面积是( )平方厘米。（每个小方格的边长都是1厘米） 8．如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为( )。 9．如图，阴影部分和整个图形的面积之比是( )，如果每个小正方形的面积是4平方厘米，空白部分是( )平方厘米。 10．小林从长为4.5cm、6cm、7.5cm的小棒中选了三根，搭成了三角形ABC，且三个内角的度数关系为，按角分这个三角形一定是( )三角形，它的面积为( )。 二、选择题 11．市二小有一块正方形草坪，正好能容纳100个小朋友做广播操。这块草坪的面积大约是（    ）。 A．150平方厘米 B．1500平方分米 C．150平方米 D．15公顷 12．下图中，涂色部分甲的面积（    ）乙的面积。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法比较 13．下面可以用方程表示的是（    ）。 A． B． C． D． 14．如图，甲阴影的面积与乙阴影的面积相比较，正确的是（    ）。 A．S甲＞S乙 B．S甲＝S乙 C．S甲＜S乙 D．无法比较 15．下图是用一些边长1厘米的小正方形拼成的，图中涂色部分面积是整个图形面积的（    ）。 A． B． C． D． 三、判断题 16．面积相等的两个三角形一定能拼成一个梯形。( ) 17．两个平行四边形的面积之比是1∶1，它们的形状一定相同。( ) 18．一个平行四边形的面积是20平方厘米，与它等底等高的三角形的面积是10平方厘米。( ) 19．在下面的方格图中，三角形ABC的面积和三角形BCD的面积相等。( ) 20．下面图形的面积是5平方厘米（每个代表1平方厘米）。( ) 四、计算题 21．求涂色部分的面积。（单位：cm）     五、作图题 22．按要求在方格纸上画图。（图中小方格的边长表示1cm） (1)在方格纸中标出A（5，1）、B（8，1）的位置。 (2)以线段AB为底，画一个面积是6cm2的平行四边形ABCD。 六、解答题 23．一块三角形的麦田，在比例尺是1∶2000的图纸上，测得底和高分别是5cm和6cm，已知这块麦田每平方米收小麦0.6千克，这块麦田可以收小麦多少千克？ 24．要想求下面图形的面积，圆的面积公式目前还没有学习，但能用本学期学的图形的运动这一知识帮助解决，请先写出你的想法，再计算出这个图形的面积。 25．虾池的面积是多少平方米？ 26．学校为同学们在校园角落里开辟了一块底是54米，对应的高是30米的三角形菜地，同学们种茄子的面积占这块菜地的，剩下的菜地按4∶5的面积比种西红柿和黄瓜，种黄瓜的面积是多少平方米？ 27．如图是由两个相同的半圆叠拼成的。三角形ABC是一个等腰直角三角形，AB＝BC＝8cm，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $