第六单元因数与倍数（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

该小学数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了因数与倍数的知识体系，从基础概念、找因数倍数方法、2/5/3倍数特征到质数合数、质因数、公因数公倍数，用核心知识点串联内在逻辑，配套高频易错点集锦，清晰呈现重难点分布与联系。 讲义亮点在于“情境化问题解决”的练习设计，如“香囊缝制时间”“春游人数”等实际问题，引导学生用数学思维分析数量关系，培养应用意识。分层练习覆盖填空、解答等题型，基础学生掌握方法，优秀学生深化理解，助力教师实施精准分层教学。

第六单元 因数与倍数（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、因数与倍数的基础概念 1. 因数与倍数的定义 在非0自然数范围内，如果整数a除以整数b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说a是b的倍数，b是a的因数。因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或某个数是倍数，必须成对描述。 2. 概念适用范围 因数与倍数的研究对象仅限非0自然数，小数、分数、0均不参与因数与倍数的研究，所有判断、推导、规律都在正整数范围内进行。 3. 相互依存核心特征 因数离不开倍数，倍数离不开因数，二者互为对应关系。一个数的因数是相对于它的倍数而言，一个数的倍数是相对于它的因数而言，独立单个数字无因数、倍数属性。 知识点二、找因数与找倍数的方法及特征 1. 找一个数因数的方法 以乘法配对法为主，有序列举两个自然数相乘等于这个数的所有算式，算式中的所有乘数即为这个数的因数；也可采用除法试除法，用这个数依次除以1、2、3……，能整除无余数的除数和商均为因数。 2. 因数的核心特征 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。除1以外的自然数，至少有两个及以上因数，1是所有非0自然数的公因数。 3. 找一个数倍数的方法 用这个数依次乘1、2、3、4……所得的积，都是这个数的倍数，可无限依次列举，无终止条件。 4. 倍数的核心特征 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。任意一个自然数，本身既是自己最大的因数，也是自己最小的倍数。 知识点三、2、5、3的倍数特征（必考核心） 1. 2的倍数特征 个位上是0、2、4、6、8的自然数，都是2的倍数。可通过个位数字快速判断，无需整体计算，是区分奇偶性的核心依据。 2. 奇数与偶数的定义 是2的倍数的数叫做偶数，最小的偶数是0；不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。自然数分为奇数和偶数两类，所有非0自然数非奇即偶。 3. 5的倍数特征 个位上是0或5的自然数，都是5的倍数，仅通过个位数字即可快速判定，规律直观固定。 4. 同时是2和5的倍数特征 个位上是0的自然数，同时满足2和5的倍数要求，是2和5的公倍数，具备双重倍数属性。 5. 3的倍数特征 一个数各位上的数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3的倍数与个位数字无关，仅由各位数字和决定，区别于2、5的倍数规律。 6. 拓展倍数规律 同时是2、3、5的倍数，个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数，是数的综合判定核心考点。 知识点四、质数与合数的概念分类 1. 质数的定义 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫素数。质数的因数个数固定为两个，无其他多余因数。 2. 合数的定义 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。合数的因数个数大于两个，至少包含三个及以上因数。 3. 特殊数字分类规定 1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，2是唯一的偶质数；最小的合数是4，所有偶数中除2以外全部是合数。 4. 自然数分类标准 按因数个数多少，自然数可分为三类：1、质数、合数，分类标准清晰，无重叠、无遗漏。 知识点五、质因数与分解质因数 1. 质因数的概念 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，质因数必须同时满足是质数、是原数因数两个条件。 2. 分解质因数的定义 把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。只有合数可以分解质因数，质数和1无法分解质因数。 3. 分解质因数核心要求 分解结果必须全部为质数相乘，最终写成标准连乘形式，数字从小到大有序排列，不可出现合数、1参与相乘。 知识点六、公因数与最大公因数 1. 公因数的定义 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。公因数是多个数共同拥有的因数，个数有限，可逐一列举查找。 2. 最大公因数的定义 几个数的公因数中，数值最大的那个数，叫做这几个数的最大公因数，是公因数中的最大值。 3. 互质数的概念 公因数只有1的两个数，叫做互质数。互质数的最大公因数为1，互质的两个数不一定都是质数，合数与合数、质数与合数均可互质。 4. 特殊最大公因数规律 两个数成倍数关系时，较小数是这两个数的最大公因数；两个数互质时，最大公因数是1。 知识点七、公倍数与最小公倍数 1. 公倍数的定义 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数的个数是无限的，不存在最大公倍数。 2. 最小公倍数的定义 几个数的公倍数中，数值最小的那个数，叫做这几个数的最小公倍数，是所有公有倍数的最小值。 3. 特殊最小公倍数规律 两个数成倍数关系时，较大数是这两个数的最小公倍数；两个数互质时，最小公倍数是两个数的乘积。 知识点八、单元高频易错点汇总 1. 概念依存关系易错 单独描述某数是因数、某数是倍数，忽略相互依存关系；混淆因数、倍数的适用范围，将0、小数纳入研究范围。 2. 因数倍数特征易错 误认为一个数的最大因数、最小倍数不相等；找因数遗漏首尾数字，找倍数出现有限个数列举错误。 3. 倍数判断易错 判断3的倍数只看个位；混淆2、5、3的倍数规律；无法区分同时满足多个倍数的数字特征。 4. 奇偶、质合分类易错 误认为所有奇数都是质数、所有偶数都是合数；忘记2是唯一偶质数；混淆1的分类，将1归为质数或合数。 5. 分解质因数易错 分解质因数出现合数、1；分解结果书写不规范、数字无序；对质数强行分解质因数。 6. 公因数公倍数易错 混淆最大公因数、最小公倍数的特殊规律；无法区分互质数特征；误认为公倍数个数有限、存在最大值。 7. 综合判断易错 混淆因数个数、数字奇偶、质合属性的判断标准，多层概念叠加判断失误，概念混淆混乱。 一、例题讲解 【典例】 1．一个两位数，个位数是最大的一位整数，十位数是7的最大因数，这个两位数是( )。 【典例】 2．今年龙舟赛有交通协管志愿者64人，医护志愿者72人，如果把他们分别分成若干小组，每组人数一样，且没有剩余。那么每组最多( )人，交通协管志愿者分成了( )组，医护志愿者分成了( )组。 【典例】 3．端午缝制香囊，李阿姨每10分钟缝制一个香囊，王阿姨每8分钟缝制一个香囊，上午8：00她们同时开始缝制第一个香囊，下次同时缝制一个香囊的时间是几时几分？ 【典例】 4．一个班的同学去春游，去时12个人坐一个车刚好，回来时16人坐一个车也刚好。问这个班至少有多少人？ 提升练习 二、填空题 5．两个连续偶数的和是10，这两个数是( )和( )，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 6．在15，18，40，60，75这五个数中，是3的倍数的数有( )个，因数中有5的数有( )个，既是3的倍数，又是5的倍数的数有( )个。 7．已知m÷n＝4（m，n为非0的自然数），那么m，n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 8．母亲节活动，商店买来27枝白百合，45枝康乃馨和18枝玫瑰，准备扎成花束送给进店的母亲，这些花最多可以扎成( )束同样的花束（全部花都用完）。 9．已知a＝2×2×3，b＝2×3×3×5，a和b的最小公倍数是( )，它们的最大公因数是( )。 10．18和24的最大公因数是( )；6和48的最小公倍数是( )。 11．若a÷b＝3（a、b均为非0自然数），则a和b的最大公因数是( )；若a＋1＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 12．（a与b为非0自然数），a与b的最大公因数是( )。 三、选择题 13．我国著名数学家陈景润证明了“充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如22＝3×5＋7，国际上将这个结论称作“陈氏定理”。下面式子中符合这个定理的是（    ）。 A．5＝2×1＋3 B．8＝2×2＋4 C．26＝3×7＋5 D．42＝5×8＋2 14．“六一”儿童节期间，实验小学开展了“十岁扬帆梦起航，童心立志向未来”主题活动，参加此次活动的学生数在500～600人之间。若这些学生20人一排则多出10人25人一排也多出10人。参加此次活动的学生有（    ）人。 A．500 B．610 C．560 D．510 15．用6，2，4三个数字组成的没有重复数字的任意三位数，一定是（    ）。 A．2和3的倍数 B．3和5的倍数 C．2和5的倍数 D．3和4的倍数 16．端午包粽子比赛，一共包了abcde个棕子，其中a比最小的质数与最小的合数的积少2，比最小的奇数多2，c是一位数中最大的偶数，既是4的倍数，又是4的因数，是最小奇数与最小偶数的积，则包了（    ）个粽子。 A．83842 B．83840 C．63842 D．63840 17．一个十位数，最高位上是最小的奇数，百万位上是10以内最大的合数，万位上是2和3的最小公倍数，千位上是最小的质数，其余各数位上是最小的自然数，这个十位数写作（    ）。 A．1009052000 B．1009062000 C．1008061000 D．3008601000 四、判断题 18．最小的合数是4，最小的质数是1。( ) 19．一个合数至少有2个因数。( ) 20．两个连续非0的自然数的最大公因数是1。( ) 21．两个质数的乘积一定是合数。( ) 22．3.8÷1.9＝2中，3.8是倍数，1.9是因数。( ) 五、计算题 23．求下面各组数的最小公倍数。 12和16    14和21    24和36    75和25 六、解答题 24．学校进行“六一”彩排活动，某班的学生人数在40人到50人之间，如果6人站一队或者4人站一队都正好站完，这个班有多少个学生？ 25．西双湖农场有一块长105米、宽75米的长方形菜地，计划分成若干个同样大小的正方形种植区域（边长为整米数），且区域之间无空隙。正方形种植区域的边长最大是多少米？至少能划分成多少个这样的种植区域？ 26．AI编程社团要用长36厘米、宽24厘米的长方形木板制作正方形编程模块，要求裁出的正方形大小相同且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形？ 27．小松鼠采集了一些松果，每3个分成一堆少2个，每4个分成一堆少3个，每5个分成一堆少4个。这些松果至少有多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 知识点一、因数与倍数的基础概念 1. 因数与倍数的定义 在非0自然数范围内，如果整数a除以整数b（b≠0），商是整数且没有余数，我们就说a是b的倍数，b是a的因数。因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或某个数是倍数，必须成对描述。 2. 概念适用范围 因数与倍数的研究对象仅限非0自然数，小数、分数、0均不参与因数与倍数的研究，所有判断、推导、规律都在正整数范围内进行。 3. 相互依存核心特征 因数离不开倍数，倍数离不开因数，二者互为对应关系。一个数的因数是相对于它的倍数而言，一个数的倍数是相对于它的因数而言，独立单个数字无因数、倍数属性。 知识点二、找因数与找倍数的方法及特征 1. 找一个数因数的方法 以乘法配对法为主，有序列举两个自然数相乘等于这个数的所有算式，算式中的所有乘数即为这个数的因数；也可采用除法试除法，用这个数依次除以1、2、3……，能整除无余数的除数和商均为因数。 2. 因数的核心特征 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。除1以外的自然数，至少有两个及以上因数，1是所有非0自然数的公因数。 3. 找一个数倍数的方法 用这个数依次乘1、2、3、4……所得的积，都是这个数的倍数，可无限依次列举，无终止条件。 4. 倍数的核心特征 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。任意一个自然数，本身既是自己最大的因数，也是自己最小的倍数。 知识点三、2、5、3的倍数特征（必考核心） 1. 2的倍数特征 个位上是0、2、4、6、8的自然数，都是2的倍数。可通过个位数字快速判断，无需整体计算，是区分奇偶性的核心依据。 2. 奇数与偶数的定义 是2的倍数的数叫做偶数，最小的偶数是0；不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1。自然数分为奇数和偶数两类，所有非0自然数非奇即偶。 3. 5的倍数特征 个位上是0或5的自然数，都是5的倍数，仅通过个位数字即可快速判定，规律直观固定。 4. 同时是2和5的倍数特征 个位上是0的自然数，同时满足2和5的倍数要求，是2和5的公倍数，具备双重倍数属性。 5. 3的倍数特征 一个数各位上的数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3的倍数与个位数字无关，仅由各位数字和决定，区别于2、5的倍数规律。 6. 拓展倍数规律 同时是2、3、5的倍数，个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数，是数的综合判定核心考点。 知识点四、质数与合数的概念分类 1. 质数的定义 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫素数。质数的因数个数固定为两个，无其他多余因数。 2. 合数的定义 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。合数的因数个数大于两个，至少包含三个及以上因数。 3. 特殊数字分类规定 1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，2是唯一的偶质数；最小的合数是4，所有偶数中除2以外全部是合数。 4. 自然数分类标准 按因数个数多少，自然数可分为三类：1、质数、合数，分类标准清晰，无重叠、无遗漏。 知识点五、质因数与分解质因数 1. 质因数的概念 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，质因数必须同时满足是质数、是原数因数两个条件。 2. 分解质因数的定义 把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。只有合数可以分解质因数，质数和1无法分解质因数。 3. 分解质因数核心要求 分解结果必须全部为质数相乘，最终写成标准连乘形式，数字从小到大有序排列，不可出现合数、1参与相乘。 知识点六、公因数与最大公因数 1. 公因数的定义 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。公因数是多个数共同拥有的因数，个数有限，可逐一列举查找。 2. 最大公因数的定义 几个数的公因数中，数值最大的那个数，叫做这几个数的最大公因数，是公因数中的最大值。 3. 互质数的概念 公因数只有1的两个数，叫做互质数。互质数的最大公因数为1，互质的两个数不一定都是质数，合数与合数、质数与合数均可互质。 4. 特殊最大公因数规律 两个数成倍数关系时，较小数是这两个数的最大公因数；两个数互质时，最大公因数是1。 知识点七、公倍数与最小公倍数 1. 公倍数的定义 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数的个数是无限的，不存在最大公倍数。 2. 最小公倍数的定义 几个数的公倍数中，数值最小的那个数，叫做这几个数的最小公倍数，是所有公有倍数的最小值。 3. 特殊最小公倍数规律 两个数成倍数关系时，较大数是这两个数的最小公倍数；两个数互质时，最小公倍数是两个数的乘积。 知识点八、单元高频易错点汇总 1. 概念依存关系易错 单独描述某数是因数、某数是倍数，忽略相互依存关系；混淆因数、倍数的适用范围，将0、小数纳入研究范围。 2. 因数倍数特征易错 误认为一个数的最大因数、最小倍数不相等；找因数遗漏首尾数字，找倍数出现有限个数列举错误。 3. 倍数判断易错 判断3的倍数只看个位；混淆2、5、3的倍数规律；无法区分同时满足多个倍数的数字特征。 4. 奇偶、质合分类易错 误认为所有奇数都是质数、所有偶数都是合数；忘记2是唯一偶质数；混淆1的分类，将1归为质数或合数。 5. 分解质因数易错 分解质因数出现合数、1；分解结果书写不规范、数字无序；对质数强行分解质因数。 6. 公因数公倍数易错 混淆最大公因数、最小公倍数的特殊规律；无法区分互质数特征；误认为公倍数个数有限、存在最大值。 7. 综合判断易错 混淆因数个数、数字奇偶、质合属性的判断标准，多层概念叠加判断失误，概念混淆混乱。 一、例题讲解 【典例】 1．一个两位数，个位数是最大的一位整数，十位数是7的最大因数，这个两位数是( )。 【答案】79 【分析】根据题意，最大的一位整数是9，7的最大因数是7，所以个位是9，十位是7，据此解答。 【详解】一个两位数，个位数是最大的一位整数，十位数是7的最大因数，这个两位数是79。 【典例】 2．今年龙舟赛有交通协管志愿者64人，医护志愿者72人，如果把他们分别分成若干小组，每组人数一样，且没有剩余。那么每组最多( )人，交通协管志愿者分成了( )组，医护志愿者分成了( )组。 【答案】 8 8 9 【分析】因为每组人数相同且无剩余，要每组人数最多，所以该人数是64和72的最大公因数，求最大公因数用短除法。 求出最大公因数后，因为交通协管总人数除以每组人数就是交通协管的分组数，所以用64除以所得最大公因数得到对应组数。 因为医护总人数除以每组人数就是医护的分组数，所以用72除以所得最大公因数得到对应组数。 【详解】 64和72的最大公因数是： （组） （组） 那么每组最多8人，交通协管志愿者分成了8组，医护志愿者分成了9组。 【典例】 3．端午缝制香囊，李阿姨每10分钟缝制一个香囊，王阿姨每8分钟缝制一个香囊，上午8：00她们同时开始缝制第一个香囊，下次同时缝制一个香囊的时间是几时几分？ 【答案】8时40分 【分析】求两人缝制香囊周期的公共时间点，是找到10分钟和8分钟的最小公倍数，因为两人同时开始缝制，所以下次同时开始缝制的间隔时间是两个周期的最小公倍数。 计算10和8的最小公倍数，用短除法计算。 把得到的间隔时间加到上午8:00的起始时间上，即可得到对应的时刻。 【详解】 10和8的最小公倍数为（分钟） 答：下次同时缝制一个香囊的时间是8时40分。 【典例】 4．一个班的同学去春游，去时12个人坐一个车刚好，回来时16人坐一个车也刚好。问这个班至少有多少人？ 【答案】48人 【分析】根据题意，这个班的人数同时是12和16的倍数，求至少有多少人，就是求12和16的最小公倍数。 【详解】 12和16的最小公倍数是； （人） 答：这个班至少有48人。 提升练习 二、填空题 5．两个连续偶数的和是10，这两个数是( )和( )，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 4 6 2 12 【分析】先根据连续偶数相差2，结合两数之和是10，利用和差问题求出这两个偶数；再用列举法找出两个数的因数、倍数，确定最大公因数与最小公倍数。 【详解】连续偶数相差2 两数中的小数：（10－2）÷2 ＝8÷2 ＝4 两数中的大数：4＋2＝6 4的因数：1、2、4 6的因数：1、2、3、6 最大公因数是2 4的倍数：4、8、12、16…… 6的倍数：6、12、18…… 最小公倍数是12 6．在15，18，40，60，75这五个数中，是3的倍数的数有( )个，因数中有5的数有( )个，既是3的倍数，又是5的倍数的数有( )个。 【答案】 4 4 3 【分析】根据能被3整除的数的特征，即该数各个数位上数的和能被3整除，找出3的倍数； 根据能被5整除的数的特征，即该数的个位数是0或5，找出5的倍数； 根据能同时被3和5整除的数的特征进行解答。 【详解】各位数字之和能被3整除的数：15、18、60、75； 个位数是0或5的数：15、40、60、75； 既是3的倍数又是5的倍数：15、60、75。 所以，在15，18，40，60，75这五个数中，是3的倍数的数有4个，因数中有5的数有4个，既是3的倍数，又是5的倍数的数有3个。 7．已知m÷n＝4（m，n为非0的自然数），那么m，n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 n m 【分析】两数成倍数关系时，最大公因数是较小数；最小公倍数是较大数，据此分析。 【详解】已知m÷n＝4（m，n为非0的自然数），说明m是n的倍数，因此m，n的最大公因数是较小的数n，最小公倍数是较大的数m。 8．母亲节活动，商店买来27枝白百合，45枝康乃馨和18枝玫瑰，准备扎成花束送给进店的母亲，这些花最多可以扎成( )束同样的花束（全部花都用完）。 【答案】9 【分析】要把三种花全部用完，扎成数量最多的相同花束，花束的总数需要同时整除27、45、18这三个数，也就是求这三个数的最大公因数。 【详解】 3×3＝9 三者共同的最大因数是9，所以最多可以扎成9束同样的花束。 9．已知a＝2×2×3，b＝2×3×3×5，a和b的最小公倍数是( )，它们的最大公因数是( )。 【答案】 180 6 【分析】求最小公倍数：因为最小公倍数是两个数所共有的质因数与它们各自所有的质因数相乘的积。两个数所共有的质因数是2、3，a除了2、3还剩2，b除了2、3还剩3、5，所以用2×3×2×3×5，计算得到结果； 求最大公因数：因为最大公因数是两个数的公共质因数的乘积，所以先找出a和b都含有的相同的质因数是2、3，再相乘得到结果。 【详解】a和b的最小公倍数： a和b的最大公因数： 10．18和24的最大公因数是( )；6和48的最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】两个数的公有质因数连乘积就是它们的最大公约数，两个数的公有质因数和它们独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，由此解决问题即可。 【详解】18和24的最大公因数： 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 最大公因数是：2×3＝6 6和48的最小公倍数： 6＝2×3 48＝2×2×2×2×3 最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48。 11．若a÷b＝3（a、b均为非0自然数），则a和b的最大公因数是( )；若a＋1＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 b ab 【分析】已知a、b都是非0自然数，且a÷b＝3，说明a是b的3倍，是倍数关系的两个数，最大公因数是其中较小的数。 a＋1＝b说明a和b是相邻的两个非0自然数，相邻的两个自然数只有公因数1，是互质关系的两个数，最小公倍数是这两个数的乘积。 【详解】若a÷b＝3（a、b均为非0自然数），a是b的3倍，则a和b的最大公因数是b。 若a＋1＝b，a和b是互质数，则a和b的最小公倍数是ab。 12．（a与b为非0自然数），a与b的最大公因数是( )。 【答案】b 【分析】已知（a与b为非0自然数），说明a是b的5倍，即a和b是倍数关系。 当两个数成倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数。 【详解】在（a与b为非0自然数）中，a为较大的数，b为较小的数。 因此，a与b的最大公因数是b。 三、选择题 13．我国著名数学家陈景润证明了“充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如22＝3×5＋7，国际上将这个结论称作“陈氏定理”。下面式子中符合这个定理的是（    ）。 A．5＝2×1＋3 B．8＝2×2＋4 C．26＝3×7＋5 D．42＝5×8＋2 【答案】C 【分析】判断需满足两个条件：一是等式左边是偶数；二是等式右边相乘的两个数和最后的加数都是质数。 质数指只有1和它本身两个因数的数，1既不是质数也不是合数，合数指除了1和它本身还有其他因数的数。 【详解】A．5＝2×1＋3，5是奇数，1既不是质数也不是合数，不符合要求； B．8＝2×2＋4，8是偶数，4是合数，不符合要求； C．26＝3×7＋5，26是偶数，3、7、5都是质数，符合要求； D．42＝5×8＋2，42是偶数，8是合数，不符合要求。 14．“六一”儿童节期间，实验小学开展了“十岁扬帆梦起航，童心立志向未来”主题活动，参加此次活动的学生数在500～600人之间。若这些学生20人一排则多出10人25人一排也多出10人。参加此次活动的学生有（    ）人。 A．500 B．610 C．560 D．510 【答案】D 【分析】学生人数不管按20人一排还是25人一排，都多出10人，说明总人数减10之后是20和25的公倍数，找出20和25的公倍数，再加10，结合人数在500~600之间找出相应数据即可。 【详解】 20和25的最小公倍数是： 20和25的公倍数有：、、、、、 （人） （人） 所以，参加此次活动的学生有510人。 15．用6，2，4三个数字组成的没有重复数字的任意三位数，一定是（    ）。 A．2和3的倍数 B．3和5的倍数 C．2和5的倍数 D．3和4的倍数 【答案】A 【分析】2的倍数个位为0、2、4、6、8，本题三个数字都是偶数，组成的数一定是2的倍数； 各数位数字和是3的倍数的数是3的倍数，三个数字和为12，是3的倍数，组成的数一定是3的倍数； 5的倍数个位需为0或5，本题没有这两个数字，组成的数一定不是5的倍数； 举反例可证明不是所有组成的数都是4的倍数。 【详解】2的倍数验证：三个数字均为偶数，组成的三位数个位只能是6、2、4中的一个，符合2的倍数特征，所有组成的三位数都是2的倍数。 3的倍数验证：，，12是3的倍数，无论怎么排列三个数字，各数位和始终是12，所有组成的三位数都是3的倍数。 5的倍数验证：5的倍数个位需为0或5，三个数字中不含0和5，所以组成的所有三位数都不是5的倍数。 4的倍数验证：取组成的三位数642，，642不是4的倍数。 所以用6，2，4三个数字组成的没有重复数字的任意三位数，一定是2和3的倍数。 16．端午包粽子比赛，一共包了abcde个棕子，其中a比最小的质数与最小的合数的积少2，比最小的奇数多2，c是一位数中最大的偶数，既是4的倍数，又是4的因数，是最小奇数与最小偶数的积，则包了（    ）个粽子。 A．83842 B．83840 C．63842 D．63840 【答案】D 【分析】最小的质数是2、最小的合数是4、最小的奇数是1、一位数中最大的偶数是8、既是4的倍数也是4的因数的数是4、最小的偶数是0，分别对应的值是求解的基础。 a是最小质数2与最小合数4的积减2，所以先算二者乘积再减2得到a。 b比最小奇数1多2，所以用最小奇数1加2得到b。 c是一位数中最大的偶数8，所以直接对应得到c。 d既是4的倍数又是4的因数，所以直接得到d是4。 e是最小奇数1与最小偶数0的积，所以计算二者乘积得到e。 将得到的五个数位按a、b、c、d、e的顺序组合成五位数，对应选项即可。 【详解】， ， ， 组合得到总粽子数为63840。 17．一个十位数，最高位上是最小的奇数，百万位上是10以内最大的合数，万位上是2和3的最小公倍数，千位上是最小的质数，其余各数位上是最小的自然数，这个十位数写作（    ）。 A．1009052000 B．1009062000 C．1008061000 D．3008601000 【答案】B 【分析】先明确各条件对应的数字：最小的奇数是1，10以内最大的合数是9，求出2和3的最小公倍数，最小的质数是2，最小的自然数是0，再按照整数的写法从高位到低位依次写出各数位上的数。 【详解】用列举法求出2和3的最小公倍数： 2的倍数：2、4、6、8、10、12…… 3的倍数：3、6、9、12、15…… 共同的倍数：6、12…… 最小的一个是6， 所以2和3的最小公倍数是6。 十位数的最高位是十亿位，十亿位写1，百万位写9，万位写6，千位写2，其余数位均写0，得到的数是1009062000。 四、判断题 18．最小的合数是4，最小的质数是1。( ) 【答案】× 【分析】根据质数、合数的定义，1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4，可直接判断对错。 【详解】合数是除了1和自身外还有其他因数的自然数，最小的合数是4；质数是只有1和自身两个因数的大于1的自然数，最小的质数是2，1既不是质数也不是合数，题目说法错误。 故答案为：× 19．一个合数至少有2个因数。( ) 【答案】× 【分析】除了和它本身还有其他因数的数叫做合数，因此合数至少有个因数。 【详解】一个合数的因数包含、它本身，以及至少个其他因数，最少有个因数，题干说法错误。 故答案为：× 20．两个连续非0的自然数的最大公因数是1。( ) 【答案】√ 【分析】两个连续非0自然数互为互质数，互质数的最大公因数是1。 【详解】根据分析，两个连续非0自然数的差是1，除1外没有其他公因数，因此它们的最大公因数是1，原题说法正确。 故答案为：√ 21．两个质数的乘积一定是合数。( ) 【答案】√ 【分析】质数的因数只有1和它本身，合数的因数除了1和本身外还有其他因数，据此判断即可。 【详解】任意两个质数的乘积，它的因数除了1和它本身之外，如果这两个质数不同，至少还有这两个质数，如果这两个质数相同，则至少还有一个质数，两个质数的积至少有3个因数，所以任意两个质数的乘积一定是一个合数。 故答案为：√ 22．3.8÷1.9＝2中，3.8是倍数，1.9是因数。( ) 【答案】× 【分析】因数和倍数的研究范围是非0的自然数，题中出现的数是小数，不符合研究前提，表述错误。 【详解】因数和倍数仅在非0自然数的范围内研究，题中的3.8和1.9都是小数，不属于该研究范围，不能说3.8是倍数，1.9是因数。故答案为：×。 五、计算题 23．求下面各组数的最小公倍数。 12和16    14和21    24和36    75和25 【答案】12和16的最小公倍数是48。 14和21的最小公倍数是42。 24和36的最小公倍数是72。 75和25的最小公倍数是75。 【分析】12和16的最小公倍数： 先对12和16分解质因数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2。最小公倍数是把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘，公有的质因数是2×2，12独有的是3，16独有的是2×2，所以最小公倍数为2×2×3×2×2＝48。 求14和21的最小公倍数： 分解质因数可得14＝2×7，21＝3×7。公有的质因数是7，14独有的是2，21独有的是3，因此最小公倍数为2×3×7＝42。 求24和36的最小公倍数： 24分解质因数为2×2×2×3，36分解质因数为2×2×3×3。公有的质因数是2×2×3，24独有的是2，36独有的是3，所以最小公倍数是2×2×3×2×3＝72。 求75和25的最小公倍数： 因为75÷25＝3，即75是25的倍数，当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数，所以75和25的最小公倍数是75。 【详解】12和16的最小公倍数是48。 14和21的最小公倍数是42。 24和36的最小公倍数是72。 75和25的最小公倍数是75。 六、解答题 24．学校进行“六一”彩排活动，某班的学生人数在40人到50人之间，如果6人站一队或者4人站一队都正好站完，这个班有多少个学生？ 【答案】48个 【分析】学生人数是6和4的公倍数，需找出40到50之间符合条件的数，先求两数的最小公倍数，再找范围内的倍数即可。 求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积。 【详解】6和4的最小公倍数： （个） 48在40到50之间，符合题意。 答：这个班有48个学生。 25．西双湖农场有一块长105米、宽75米的长方形菜地，计划分成若干个同样大小的正方形种植区域（边长为整米数），且区域之间无空隙。正方形种植区域的边长最大是多少米？至少能划分成多少个这样的种植区域？ 【答案】15米；35个 【分析】根据题意可知，正方形的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求正方形地的边长最大是多少，就是求长和宽的最大公因数。求出正方形的边长后，用长方形的长和宽分别除以正方形的边长，得到长和宽方向上各能划分出的个数，再将这两个数相乘，即可得到一共可以划分出的正方形总个数。 【详解】 105和75的最大公因数是： （个） 答：正方形种植区域的边长最大是15米；至少能划分成35个这样的种植区域。 26．AI编程社团要用长36厘米、宽24厘米的长方形木板制作正方形编程模块，要求裁出的正方形大小相同且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】12厘米；6个 【分析】要裁出无剩余的最大正方形，正方形边长是长方形长和宽的最大公因数；分别用长和宽除以正方形边长，得到长和宽方向分别能裁的个数，两个数相乘就是总个数。 【详解】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是2×2×3＝12 （36÷12）×（24÷12） ＝3×2 ＝6（个） 答：正方形的边长最大是12厘米，可以裁出6个这样的正方形。 27．小松鼠采集了一些松果，每3个分成一堆少2个，每4个分成一堆少3个，每5个分成一堆少4个。这些松果至少有多少个？ 【答案】 61个 【分析】先将“每堆少几个”的条件转化为都多1个，可知松果总数比3、4、5的最小公倍数多1，求最少数量需用最小公倍数加1。 【详解】3、4、5的最小公倍数： （个） 答：这些松果至少有61个。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $