第六单元 因数与倍数 （培优讲义）-2026-2027学年五年级数学上册典型例题系列（苏教版·新教材）

该小学数学第六单元培优讲义通过知识框架图系统梳理了因数与倍数的知识体系，将因数倍数认识、2/3/5倍数特征等核心概念按“定义-方法-特征-易错点”分层呈现，用对比表格区分易混淆概念，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“考点讲练结合”的设计，如用体操队排队问题强化因数特征应用，用图书馆相遇问题训练公倍数思维，培养运算能力与推理意识。附质数口诀等记忆工具，综合训练覆盖多样题型，助力分层提升，支持学生自主复习与教师精准教学。

第六单元 因数与倍数 单元培优讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心概述 2 二、知识点分模块详解 2 （一）因数和倍数的认识（基础核心，必考填空判断） 2 （二）2、3、5的倍数特征（高频选择、填空必考） 3 （三）奇数和偶数（按能否被2整除分类） 3 （四）质数和合数（按因数个数分类，重难点） 3 （五）分解质因数（计算题必考） 4 （六）公因数、最大公因数；公倍数、最小公倍数 4 三、单元高频易错点与答题注意事项（扣分重灾区） 5 四、学习目标与能力要求 5 考点讲练 5 考点一：因数和倍数的认识 5 考点二：找一个数的因数和因数的特征 6 考点三：根据因数的特征解决问题 6 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 7 考点五：根据倍数的特征解决问题 7 考点六：因数和倍数的综合运用 7 考点七：2、3、5的倍数的特征 8 考点八：奇数与偶数的认识 8 考点九：质数与合数的认识 8 考点十：质数与合数的综合应用 9 考点十一：质因数的含义 9 考点十二：分解质因数 9 考点十三：公因数与最大公因数 10 考点十四：用最大公因数解决实际问题 10 考点十五：公倍数与最小公倍数 10 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 11 综合训练 11 知识梳理 一、单元核心概述 本单元属于“数与代数”领域，是小学阶段整数知识的延伸，也是后续学习分数约分、通分、分数四则运算的核心基础。本单元所有概念只研究非0自然数（1、2、3、4……），不包含0、小数和分数。核心内容：认识因数和倍数、2/3/5的倍数特征、奇数与偶数、质数与合数、分解质因数、公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数。本单元概念多、易混淆，重点厘清各类数的定义边界，掌握找因数、找倍数、分解质因数的规范方法，熟记特殊数字规律，避开概念辨析类考题陷阱。 二、知识点分模块详解 （一）因数和倍数的认识（基础核心，必考填空判断） 1. 定义（课本原话，答题必背） 在非0自然数范围内，如果a÷b=c（a、b、c均为非0自然数，没有余数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 2. 关键核心：相互依存，不可单独说 因数和倍数不能单独存在，必须成对描述 正确说法：12÷4=3，12是4的倍数，4是12的因数 错误说法：12是倍数，4是因数（考试直接扣分） 3. 找一个数因数的方法（成对列举法，不重复不遗漏） 方法：从1开始，一对一对找，直到两个数重合为止 示例：18的因数：1和18，2和9，3和6 → 1、2、3、6、9、18 因数特征：一个数因数个数有限；最小因数是1；最大因数是它本身 4. 找一个数倍数的方法 方法：用这个数依次乘1、2、3…… 示例：5的倍数：5、10、15、20…… 倍数特征：一个数倍数个数无限；最小倍数是它本身；没有最大倍数 5. 重要结论 一个数的最大因数和最小倍数相等，都是它本身。 （二）2、3、5的倍数特征（高频选择、填空必考） 1. 2的倍数特征 个位上是：0、2、4、6、8 2. 5的倍数特征 个位上是：0、5 3. 3的倍数特征（最易错题） 各位上数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，和个位数字无关。 4. 组合倍数特征（必考综合题） 同时是2和5的倍数：个位一定是0 同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字和是3的倍数 （三）奇数和偶数（按能否被2整除分类） 1. 定义 偶数：是2的倍数的数（个位0、2、4、6、8），最小偶数是0（本单元研究非0自然数，最小非0偶数是2） 奇数：不是2的倍数的数（个位1、3、5、7、9），最小奇数是1 2. 奇偶四则运算规律（选择判断题秒杀口诀，必背） 加减法：奇±奇=偶 偶±偶=偶 奇±偶=奇 乘法：奇×奇=奇 偶×任意数=偶 （四）质数和合数（按因数个数分类，重难点） 1. 分类标准：根据一个数因数的个数划分 质数（素数）：只有1和它本身两个因数 合数：除了1和它本身，还有别的因数，至少有3个因数 特殊数字1：1既不是质数，也不是合数（考试最高频考点） 2. 关键特殊数（必背） 最小的质数：2（唯一的偶质数） 最小的合数：4 既是质数又是奇数最小数：3 3. 100以内质数口诀（必背，做题直接用） 二三五七一十一，十三十九和十七，二三二九三十一，三七四一三四十七，五三五九六十一，六七七一七十三，七三七九八十七，还有八九九十七。（共25个质数） （五）分解质因数（计算题必考） 1. 定义 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。其中每个质数都是这个合数的质因数。 2. 规范方法：短除法（课本标准写法） 除数必须用质数，从最小质数2开始试除 除到最后的商也是质数为止 最终把所有除数和商连乘 3. 易错提醒 分解质因数结果中，不能出现1和合数，只能全部是质数。例：12=2×2×3（正确）；12=3×4、12=1×2×2×3（错误） （六）公因数、最大公因数；公倍数、最小公倍数 1. 公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数 最大公因数：公因数中最大的一个 特征：公因数个数有限，有最大公因数，无最小公因数 2. 公倍数与最小公倍数 公倍数：几个数公有的倍数 最小公倍数：公倍数中最小的一个（0除外） 特征：公倍数个数无限，无最大公倍数，有最小公倍数 3. 两种特殊关系数的规律（直接秒杀，不用短除法） 倍数关系（如4和8）：小数是最大公因数，大数是最小公倍数 互质关系（公因数只有1，如3和5）：最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积 4. 互质数定义 公因数只有1的两个非0自然数，叫做互质数；两个质数一定互质，互质的两个数不一定都是质数。 三、单元高频易错点与答题注意事项（扣分重灾区） 概念描述不完整：严禁单独说一个数是倍数或因数，必须成对说明，相互依存 3的倍数判断误区：不要看个位，一定要把所有数位数字相加求和再判断 2是唯一偶质数：极易忘记2是质数，误把所有偶数都当成合数 1的分类误区：1既不是质数也不是合数，不属于任何一类 分解质因数格式错误：不能写成等式左边是质数，右边是合数；不能带上1，不能出现合数 因数倍数范围混淆：小数、分数之间没有因数和倍数关系，只针对非0自然数 最大最小数记混：最小质数2、最小合数4、最小奇数1，务必区分记忆 四、学习目标与能力要求 知识目标 理解因数与倍数相互依存的关系，熟练找出一个数的全部因数和指定范围内的倍数 熟记2、3、5倍数特征，快速区分奇数、偶数、质数、合数四类数 会用短除法规范分解质因数，会求两个数的最大公因数和最小公倍数 熟记特殊数字规律，分清倍数关系、互质关系两组数的最大公因数、最小公倍数结论 能力目标 能快速辨析易混淆数学概念，搞定填空、判断、选择易错题 能利用奇偶规律、倍数特征快速解题，提升数感 能结合公因数、公倍数知识解决生活实际问题（分段、分组、日期相遇问题） 答题目标 做概念题优先看范围：是否是非0自然数 分解质因数写完检查：有无1、有无合数，保证结果全是质数 考点讲练 考点一：因数和倍数的认识 【例题】12÷3＝4，我们说3和4是12的( )，12是( )的倍数，也是( )的倍数。 【例题】下列说法中正确的是（    ）。 A．一个数越大它的因数越多 B．一个数的倍数一定大于它的因数 C．一个数倍数的个数比它因数的个数多 考点二：找一个数的因数和因数的特征 【例题】6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数叫作完全数（也叫完美数）。下面的数中也是完美数的是（    ）。 A．4 B．28 C．30 【例题】奥运会，全称奥林匹克运动会，每4年一届，是世界上影响力最大的体育盛会。第34届奥运会将于2028年7月14日至30日在美国洛杉矶举行。 (1)画横线的数中，( )既是2和3的倍数，又是5的倍数。 (2)写出34的全部因数：( )。 考点三：根据因数的特征解决问题 【例题】五育并举，体育为基。阳光小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中，体操队由48人组成，做操时要排成一个长方形的队形，要求每行和每列的人数都至少是3人，共有几种排法？试着写一写。 【例题】五年级要挑选32名身高基本一样的学生参加年级健美操表演，老师在组织训练时，常常将表演队员排成几排（至少2排，每排至少2人），并且每排的人数都一样多，一共有几种不同的排列方式？请一一列举出来。 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 【例题】因为24÷3＝8，所以( )是( )的倍数，( )是( )的因数。 【例题】《水浒传》以水泊梁山起义为题材，成功塑造了108位英雄好汉的形象。这些英雄好汉由天罡星36员和地煞星72员组成，他们性格各异，各有所长，共同演绎了一段可歌可泣的传奇故事。36的因数有( )，比108小的三位数中，既是3的倍数，又是5的倍数的数是( )。 考点五：根据倍数的特征解决问题 【例题】五（1）班同学参加劳动实践，已经来了37人。至少再来多少人，才能正好分成7人一组？ 【例题】拗九节在农历正月廿九日，是福州的民间传统节日。每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”）；或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫做过“九”。安安的爸爸今年50岁，他过了几次“九”？ 考点六：因数和倍数的综合运用 【例题】某建筑工地卸下142吨货物，现有四种不同载重的卡车，用哪一种卡车可以将这些货物正好运完？（    ） A．①号卡车：2吨 B．②号卡车：3吨 C．③号卡车：4吨 D．④号卡车：5吨 【例题】猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式，是元宵节的特色活动。下面是一个“数字猜灯谜”游戏，请你将谜底写在灯笼中。 考点七：2、3、5的倍数的特征 【例题】四位数5□3□既是3的倍数，又是5的倍数。这个四位数最小是( )，最大是( )。 【例题】一个三位数，既是3的倍数，又能同时被2、5整除，这个数最大是（    ）。 A．990 B．999 C．998 D．995 考点八：奇数与偶数的认识 【例题】哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何大于或者等于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。下面四个算式中，符合这个猜想的算式是（    ）。 A．12＝4＋8 B．11＝2＋9 C．6＝1＋5 D．4＝2＋2 【例题】小船最初在南岸，先从南岸驶向北岸（算摆渡1次），再从北岸驶向南岸，不断往返。摆渡25次后，小船在南岸还是北岸？摆渡200次呢？ 考点九：质数与合数的认识 【例题】数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”。如5和7都是质数，它们就像“双胞胎”一样紧紧挨着，中间只隔一个数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．9和11 B．13和15 C．2和3 D．17和19 【例题】一个正方体的六个面分别写有1，2，3，4，5，6。把这个正方体任意往上抛，落下后，朝上的数是质数的可能性( ) 朝上的数是合数的可能性；朝上的数是奇数的可能性( ) 朝上的数是偶数的可能性。（选填“大于”“小于”或“等于”） 考点十：质数与合数的综合应用 【例题】王叔叔的手机屏幕解锁密码提示：第一个数字既是偶数又是质数，第二个数字既不是质数又不是合数，第三个数字是最小的合数，最后一个数字既是奇数又是合数。解锁的密码是( )。 【例题】乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 考点十一：质因数的含义 【例题】一个班的班级编号是两位数，这个两位数是4的倍数，也是6的倍数。这个编号最小是( )，它的因数有( )个，其中质因数是( )和( )。 【例题】42＝6×7，6( )42的质因数，7( )42的质因数。（填“是”或“不是”） 考点十二：分解质因数 【例题】把下面各数分解质因数。 20    81    66    75 【例题】用短除法分解质因数。 ①50    ②76    ③65 考点十三：公因数与最大公因数 【例题】6÷3＝2，所以6和3的最大公因数是( )。 【例题】把两根长度分别为30厘米和24厘米的木条锯成长度一样的小木条，并且没有剩余，每根小木条最长是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．6 考点十四：用最大公因数解决实际问题 【例题】手工课上，亮亮需要把一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，如果纸张没有剩余，最多可以裁多少个这样的正方形？ 【例题】剪纸作为一种镂空艺术，不仅能给人以视觉上透空的感觉，还能给人艺术上的享受。五（1）班的小丽准备用一张长72厘米，宽48厘米的长方形彩纸裁成若干张同样大小的正方形彩纸来制作窗花，且彩纸没有剩余。正方形彩纸的边长最大是多少？最少能裁出多少张正方形彩纸？ 考点十五：公倍数与最小公倍数 【例题】m和n是非0的自然数，如果m÷n＝3，那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【例题】一个数既是64的因数，又是32的因数，这个数最大是( )；一个数既是64的倍数，又是32的倍数，这个数最小是( )。 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 【例题】五（1）班同学计划分组做游戏，按6人一组或8人一组分，都正好分完。五（1）班学生人数在40人至50人之间，五（1）班有多少名同学？ 【例题】小明与小强定期到图书馆参加志愿服务活动。因活动任务不同，小明每6天参加一次，小强每4天参加一次。如果5月1日他们同时参加了志愿服务活动，那么他们下一次同时参加的日期是几月几日？ 综合训练 1．两个质数相乘的积，一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．著名的哥德巴赫猜想说的是任意大于2的偶数都可以写成两个质数的和。下面（    ）组算式可以验证这个猜想。 A．14＝3＋11；16＝7＋9 B．28＝11＋17；32＝13＋19 C．48＝23＋25；36＝17＋19 D．48＝11＋37；54＝3＋51 3．一张长28厘米、宽16厘米的长方形包装纸，剪成边长为整厘米数的正方形且无剩余，正方形边长最大是（    ）厘米。 A．2 B．4 C．7 D．8 4．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6。像这样的数叫完全数（也叫完美数）。下面的数中也是完美数的是（    ）。 A．12 B．20 C．28 D．48 5．小明的爸爸每上3天班后休息一天，妈妈每上4天班后休息1天，3月6日小明的爸爸、妈妈都在家休息，他们下次同时休息的日期是（    ）。 A．3月18日 B．3月12日 C．3月20日 D．3月26日 6．一个数的最大因数和最小倍数的和是28，这个数是( )。 7．既是48的因数，又是6的倍数的数分别是( )。 8．如果a×b＝12（a、b都是非零自然数），则a和b是12的( )，12是a和b的( )。 9．自然数15的所有因数有( )，它的最小倍数是( )；11和13的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 10．在一轮足球联赛中，某城市代表队获得的积分既是18的因数，又是6的倍数，该积分最小是( )分，最多是( )分。 11．一个三位数，个位是最小的合数，十位上是最小的质数，百位上既是奇数又是合数，这个三位数是( )，这个数至少再加上( )就是5的倍数。 12．既是质数，又是偶数的数是( )，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小的三位数是( )。 13．如果A＝a×b×c，B＝a×b×d，a、b、c、d都是质数，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 14．个位上是0的数，一定是2、5的倍数，同时也是3的倍数。( ) 15．因为5×7＝35，所以5和7都是35的因数。( ) 16．2和4的公倍数都是8的倍数。( ) 17．所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。( ) 18．甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是甲、乙两数的积。( ) 19．求下列每组数的最大公因数。 12和30             60和100            12、18和24 20．用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）12和18    （2）45和60    （3）42和28 21．一堆柚子，个数在80~100个之间，如果6个装一箱，正好装完，如果8个装一箱，也能正好装完。你能算出这堆柚子有多少个吗？ 22．把一张长48厘米，宽36厘米的长方形纸裁成同样大的正方形。如果要求纸没有剩余，且裁出的正方形边长最大。一共可以裁出多少个这样的正方形？ 23．为弘扬中华传统文化，某小学举行经典诵读比赛，五年级参赛人数在40～50之间，分组时每6人一组或每8人一组，都正好分完。五年级参加比赛的学生有多少人？ 24．我国现代著名儿童文学作家冰心曾寄语青少年儿童“读书好，多读书，读好书。”欢欢和乐乐经常去同一图书馆看书，欢欢每6天去一次，乐乐每4天去一次。5月1日他们两人同时去该图书馆看书，至少再过多少天，他们再次在图书馆相遇？ 25．有40名学生参加军训，教官让学生排成一排，从左到右由1开始报数，先让所报数是4的倍数的学生向后转，接着让所报数是5的倍数的学生向后转，有多少名学生转了2次？ 26．厦门的鼓浪屿有“钢琴之岛”的美誉，人均钢琴拥有率全国第一。钢琴是一种键盘乐器，拥有“乐器之王”的美称。它由88个琴键组成，琴键非白即黑。其中黑键比白键少，黑键的数量在30~40之间，并且是3和4的倍数。钢琴上黑、白键各有多少个？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数 单元培优讲义 目录 知识梳理 2 一、单元核心概述 2 二、知识点分模块详解 2 （一）因数和倍数的认识（基础核心，必考填空判断） 2 （二）2、3、5的倍数特征（高频选择、填空必考） 3 （三）奇数和偶数（按能否被2整除分类） 3 （四）质数和合数（按因数个数分类，重难点） 3 （五）分解质因数（计算题必考） 4 （六）公因数、最大公因数；公倍数、最小公倍数 4 三、单元高频易错点与答题注意事项（扣分重灾区） 5 四、学习目标与能力要求 5 考点讲练 5 考点一：因数和倍数的认识 5 考点二：找一个数的因数和因数的特征 6 考点三：根据因数的特征解决问题 7 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 9 考点五：根据倍数的特征解决问题 10 考点六：因数和倍数的综合运用 11 考点七：2、3、5的倍数的特征 12 考点八：奇数与偶数的认识 13 考点九：质数与合数的认识 14 考点十：质数与合数的综合应用 15 考点十一：质因数的含义 16 考点十二：分解质因数 17 考点十三：公因数与最大公因数 18 考点十四：用最大公因数解决实际问题 19 考点十五：公倍数与最小公倍数 20 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 21 综合训练 22 知识梳理 一、单元核心概述 本单元属于“数与代数”领域，是小学阶段整数知识的延伸，也是后续学习分数约分、通分、分数四则运算的核心基础。本单元所有概念只研究非0自然数（1、2、3、4……），不包含0、小数和分数。核心内容：认识因数和倍数、2/3/5的倍数特征、奇数与偶数、质数与合数、分解质因数、公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数。本单元概念多、易混淆，重点厘清各类数的定义边界，掌握找因数、找倍数、分解质因数的规范方法，熟记特殊数字规律，避开概念辨析类考题陷阱。 二、知识点分模块详解 （一）因数和倍数的认识（基础核心，必考填空判断） 1. 定义（课本原话，答题必背） 在非0自然数范围内，如果a÷b=c（a、b、c均为非0自然数，没有余数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 2. 关键核心：相互依存，不可单独说 因数和倍数不能单独存在，必须成对描述 正确说法：12÷4=3，12是4的倍数，4是12的因数 错误说法：12是倍数，4是因数（考试直接扣分） 3. 找一个数因数的方法（成对列举法，不重复不遗漏） 方法：从1开始，一对一对找，直到两个数重合为止 示例：18的因数：1和18，2和9，3和6 → 1、2、3、6、9、18 因数特征：一个数因数个数有限；最小因数是1；最大因数是它本身 4. 找一个数倍数的方法 方法：用这个数依次乘1、2、3…… 示例：5的倍数：5、10、15、20…… 倍数特征：一个数倍数个数无限；最小倍数是它本身；没有最大倍数 5. 重要结论 一个数的最大因数和最小倍数相等，都是它本身。 （二）2、3、5的倍数特征（高频选择、填空必考） 1. 2的倍数特征 个位上是：0、2、4、6、8 2. 5的倍数特征 个位上是：0、5 3. 3的倍数特征（最易错题） 各位上数字相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，和个位数字无关。 4. 组合倍数特征（必考综合题） 同时是2和5的倍数：个位一定是0 同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字和是3的倍数 （三）奇数和偶数（按能否被2整除分类） 1. 定义 偶数：是2的倍数的数（个位0、2、4、6、8），最小偶数是0（本单元研究非0自然数，最小非0偶数是2） 奇数：不是2的倍数的数（个位1、3、5、7、9），最小奇数是1 2. 奇偶四则运算规律（选择判断题秒杀口诀，必背） 加减法：奇±奇=偶 偶±偶=偶 奇±偶=奇 乘法：奇×奇=奇 偶×任意数=偶 （四）质数和合数（按因数个数分类，重难点） 1. 分类标准：根据一个数因数的个数划分 质数（素数）：只有1和它本身两个因数 合数：除了1和它本身，还有别的因数，至少有3个因数 特殊数字1：1既不是质数，也不是合数（考试最高频考点） 2. 关键特殊数（必背） 最小的质数：2（唯一的偶质数） 最小的合数：4 既是质数又是奇数最小数：3 3. 100以内质数口诀（必背，做题直接用） 二三五七一十一，十三十九和十七，二三二九三十一，三七四一三四十七，五三五九六十一，六七七一七十三，七三七九八十七，还有八九九十七。（共25个质数） （五）分解质因数（计算题必考） 1. 定义 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。其中每个质数都是这个合数的质因数。 2. 规范方法：短除法（课本标准写法） 除数必须用质数，从最小质数2开始试除 除到最后的商也是质数为止 最终把所有除数和商连乘 3. 易错提醒 分解质因数结果中，不能出现1和合数，只能全部是质数。例：12=2×2×3（正确）；12=3×4、12=1×2×2×3（错误） （六）公因数、最大公因数；公倍数、最小公倍数 1. 公因数与最大公因数 公因数：几个数公有的因数 最大公因数：公因数中最大的一个 特征：公因数个数有限，有最大公因数，无最小公因数 2. 公倍数与最小公倍数 公倍数：几个数公有的倍数 最小公倍数：公倍数中最小的一个（0除外） 特征：公倍数个数无限，无最大公倍数，有最小公倍数 3. 两种特殊关系数的规律（直接秒杀，不用短除法） 倍数关系（如4和8）：小数是最大公因数，大数是最小公倍数 互质关系（公因数只有1，如3和5）：最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积 4. 互质数定义 公因数只有1的两个非0自然数，叫做互质数；两个质数一定互质，互质的两个数不一定都是质数。 三、单元高频易错点与答题注意事项（扣分重灾区） 概念描述不完整：严禁单独说一个数是倍数或因数，必须成对说明，相互依存 3的倍数判断误区：不要看个位，一定要把所有数位数字相加求和再判断 2是唯一偶质数：极易忘记2是质数，误把所有偶数都当成合数 1的分类误区：1既不是质数也不是合数，不属于任何一类 分解质因数格式错误：不能写成等式左边是质数，右边是合数；不能带上1，不能出现合数 因数倍数范围混淆：小数、分数之间没有因数和倍数关系，只针对非0自然数 最大最小数记混：最小质数2、最小合数4、最小奇数1，务必区分记忆 四、学习目标与能力要求 知识目标 理解因数与倍数相互依存的关系，熟练找出一个数的全部因数和指定范围内的倍数 熟记2、3、5倍数特征，快速区分奇数、偶数、质数、合数四类数 会用短除法规范分解质因数，会求两个数的最大公因数和最小公倍数 熟记特殊数字规律，分清倍数关系、互质关系两组数的最大公因数、最小公倍数结论 能力目标 能快速辨析易混淆数学概念，搞定填空、判断、选择易错题 能利用奇偶规律、倍数特征快速解题，提升数感 能结合公因数、公倍数知识解决生活实际问题（分段、分组、日期相遇问题） 答题目标 做概念题优先看范围：是否是非0自然数 分解质因数写完检查：有无1、有无合数，保证结果全是质数 考点讲练 考点一：因数和倍数的认识 【例题】12÷3＝4，我们说3和4是12的( )，12是( )的倍数，也是( )的倍数。 【答案】 因数 3 4 【分析】讨论因数和倍数只在非0自然数的范围内。如果（a、b、c都是非0自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 【详解】12÷3＝4，我们说3和4是12的因数，12是3的倍数，也是4的倍数。 【例题】下列说法中正确的是（    ）。 A．一个数越大它的因数越多 B．一个数的倍数一定大于它的因数 C．一个数倍数的个数比它因数的个数多 【答案】C 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数；一个数的最小倍数和最大的因数是它本身；据此逐项分析即可。 【详解】A．例如：7只有2个因数，6有4个因数，此项说法错误。 B．一个数的最小倍数等于这个数的最大因数，都是这个数本身。原题说法错误。 C．一个数倍数的个数是无限的，因数的个数是有限的，原题说法正确。 考点二：找一个数的因数和因数的特征 【例题】6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样的数叫作完全数（也叫完美数）。下面的数中也是完美数的是（    ）。 A．4 B．28 C．30 【答案】B 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此分别求出各选项中数的因数，再将除它本身以外的所有因数相加，等于这个数即可。 【详解】A．4＝1×4＝2×2，4的因数有1、2、4。 1＋2＝3，4不是完美数； B．28＝1×28＝2×14＝4×7，28的因数有1、2、4、7、14、28。 1＋2＋4＋7＋14＝28，28是完美数； C．30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 1＋2＋3＋5＋6＋10＋15＝42，30不是完美数。 是完美数的是28。 【例题】奥运会，全称奥林匹克运动会，每4年一届，是世界上影响力最大的体育盛会。第34届奥运会将于2028年7月14日至30日在美国洛杉矶举行。 (1)画横线的数中，( )既是2和3的倍数，又是5的倍数。 (2)写出34的全部因数：( )。 【答案】(1)30 (2)1、2、17、34 【分析】（1）同时是2、3、5的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数； （2）求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个。 【详解】（1）分析可知，画横线的数中，30既是2和3的倍数，又是5的倍数。 （2）34÷1＝34 34÷2＝17 34的因数有1、2、17、34。 考点三：根据因数的特征解决问题 【例题】五育并举，体育为基。阳光小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中，体操队由48人组成，做操时要排成一个长方形的队形，要求每行和每列的人数都至少是3人，共有几种排法？试着写一写。 【答案】6种；具体见详解 【分析】根据题意可知需要找总人数的因数，因此根据：求一个数的因数可以通过从1开始想哪两个数相乘等于这个数，那么这两个因数就都是这个数的因数；也可以通过用这个数从1开始除以一个数，找到没有余数的商和除数，就都是这个数的因数；1和它本身也是这个数的因数；先找到总人数的因数，再排除小于3的因数，将剩下因数两两相乘使它们的积等于总人数，据此即可解答。 【详解】48的因数有1，48，2，24，3，16，4，12，6，8； 48＝3×16，即排3行，每行16人； 48＝4×12，即排4行，每行12人； 48＝6×8，即排6行，每行8人。 48＝16×3，即排16行，每行3人； 48＝12×4，即排12行，每行4人； 48＝8×6，即排8行，每行6人。 答：共有6种排法。 【例题】五年级要挑选32名身高基本一样的学生参加年级健美操表演，老师在组织训练时，常常将表演队员排成几排（至少2排，每排至少2人），并且每排的人数都一样多，一共有几种不同的排列方式？请一一列举出来。 【答案】4种；列举见详解 【分析】要把32名学生排成几排，每排人数一样多，排数和每排人数都必须是32的因数。题目要求排数至少2排、每排至少2人，所以要找出符合条件的因数组合，再数有多少种不同的排法。 【详解】 所以32的因数有1，2，4，8，16，32。 可能的排列方式有： 排成1排，每排32人； 排成2排，每排16人； 排成4排，每排8人； 排成8排，每排4人； 排成16排，每排2人； 排成32排，每排1人。 根据“至少2排，每排至少2人”可知“排成1排，每排32人和排成32排，每排1人”两种排法不符合条件，排除这两种情况，剩下的4种符合要求。 答：一共有4种不同的排列方式。 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 【例题】因为24÷3＝8，所以( )是( )的倍数，( )是( )的因数。 【答案】 24 3和8 3和8 24 【分析】根据因数和倍数的定义，整数除法中，商是整数且无余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 【详解】24÷3＝8，24是3和8的倍数，3和8是24的因数。 【例题】《水浒传》以水泊梁山起义为题材，成功塑造了108位英雄好汉的形象。这些英雄好汉由天罡星36员和地煞星72员组成，他们性格各异，各有所长，共同演绎了一段可歌可泣的传奇故事。36的因数有( )，比108小的三位数中，既是3的倍数，又是5的倍数的数是( )。 【答案】 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 105 【分析】根据因数的定义，利用乘法配对法，从 1 开始依次寻找能整除 36 的整数，直到两个因数重复为止，并按从小到大的顺序排列。3的倍数特征：一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。同时是3和5的倍数的数需同时满足个位是0或5，且各位数字之和是3的倍数这两个条件。 【详解】1×36＝36 2×18＝36 3×12＝36 4×9＝36 6×6＝36 36 的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 最小的三位数是100，比108小的三位数包括100，101，102，103，104，105，106，107。 5 的倍数的特征是个位上是 0 或 5。在上述范围内，符合条件的数有 100 和 105。 3 的倍数的特征是各个数位上的数字之和是 3 的倍数。 对于100：1＋0＋0＝1，1不是3的倍数，所以100不是3的倍数。 对于105：1＋0＋5＝6，6是3的倍数，所以105是3的倍数。 同时满足条件的数只有105。 考点五：根据倍数的特征解决问题 【例题】五（1）班同学参加劳动实践，已经来了37人。至少再来多少人，才能正好分成7人一组？ 【答案】5人 【分析】根据题意，要想正好分成7人一组，那么参加活动的总人数必须是7的倍数。用已经来了的人数除以7，商是分的组数，余数是剩下的人数，再用7减去剩下的人数，即是还需至少来的人数，才能正好分成7人一组。 【详解】37÷7＝5（组）……2（人） 7－2＝5（人） 答：至少再来5人，才能正好分成7人一组。 【例题】拗九节在农历正月廿九日，是福州的民间传统节日。每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”）；或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫做过“九”。安安的爸爸今年50岁，他过了几次“九”？ 【答案】9次 【分析】先分别找出50岁内的明九（末尾是9）和暗九（9的倍数）年龄，再去掉重复的9岁，最后把两类年龄的数量相加即可。 【详解】50里“明九”有：9、19、29、39、49（5个） “暗九”有：9、18、27、36、45（5个） 5＋5－1＝9（次） 答：他过了9次“九”。 考点六：因数和倍数的综合运用 【例题】某建筑工地卸下142吨货物，现有四种不同载重的卡车，用哪一种卡车可以将这些货物正好运完？（    ） A．①号卡车：2吨 B．②号卡车：3吨 C．③号卡车：4吨 D．④号卡车：5吨 【答案】A 【分析】要求哪一种卡车可以将这些货物正好运完，说明货物总吨数是卡车载重的倍数，可以用总吨数分别除以四种卡车的载重，看哪个能整除且没有余数即可。 【详解】A．①号卡车：142÷2＝71（次），没有余数，能正好运完； B．②号卡车：142÷3＝47（次）……1（吨），有余数，不能正好运完； C．③号卡车：142÷4＝35（次）……2（吨），有余数，不能正好运完； D．④号卡车：142÷5＝28（次）……2（吨），有余数，不能正好运完。 【例题】猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种文娱活动形式，是元宵节的特色活动。下面是一个“数字猜灯谜”游戏，请你将谜底写在灯笼中。 【答案】见详解 【分析】图一：根据最大公因数和最小公倍数都是本身，所以这个数字是10÷2＝5； 图二：6的最大因数是6，6也是6的最小的倍数，因此，要满足既是6的因数又是6的倍数，这个数只能是6； 图三：根据1是所有非零的自然数的因数，所以这个数是1； 图四：根据1只有本身一个因数，所以这个数是1。 【详解】见下图 考点七：2、3、5的倍数的特征 【例题】四位数5□3□既是3的倍数，又是5的倍数。这个四位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 5130 5835 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数；3的倍数的特征：各位上的数的和是3的倍数。 求最小数：高位数字尽可能小，个位优先选0。求最大数：高位数字尽可能大，个位优先选5。 根据上述特征确定个位数字，再通过计算各位数字之和确定百位数字。 【详解】（1）要使四位数最小，高位上的数字应尽可能小，个位选最小的0。 此时各位上的数的和为：5＋百位＋3＋0＝8＋百位，8＋百位必须是3的倍数。 百位数字最小填1，此时8＋1＝9，9是3的倍数。 所以，最小的四位数是5130。 （2）要使四位数最大，高位上的数字应尽可能大，个位选最大的5。 此时各位上的数的和为：5＋百位＋3＋5＝13＋百位，13＋百位必须是3的倍数。 百位数字最大能填8，此时13＋8＝21，21是3的倍数。 （若个位选0，和为8＋百位，百位最大能填7，数为5730，小于5835） 所以，最大的四位数是5835。 【例题】一个三位数，既是3的倍数，又能同时被2、5整除，这个数最大是（    ）。 A．990 B．999 C．998 D．995 【答案】A 【分析】既是3的倍数，又能同时被2、5整除，表示这个三位数同时是2、3、5的倍数。同时是2、3、5的倍数的特征：个位上是0，各个数位上数字的和是3的倍数。 【详解】根据这个三位数同时是2、3、5的倍数可以确定，个位上一定是0，这个三位数最大，则百位上是9。 十位上的数字和9相加必须是3的倍数，且必须最大，则十位上的数是9。 因为，18是3的倍数，则这个三位数是3的倍数。 所以，这个三位数最大是990。 考点八：奇数与偶数的认识 【例题】哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何大于或者等于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。下面四个算式中，符合这个猜想的算式是（    ）。 A．12＝4＋8 B．11＝2＋9 C．6＝1＋5 D．4＝2＋2 【答案】D 【分析】根据题意可知，符合要求的算式需满足两个条件：一是等式左边的数是大于或等于4的偶数；二是等式右边是两个质数相加。一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。1既不是质数，也不是合数。据此对四个选项逐一进行分析判断。 【详解】A．12＝4＋8：12是大于4的偶数，但4和8除了1和本身外还有其他因数，是合数，不符合两个质数相加的要求，此选项错误。 B．11＝2＋9：11是奇数，不符合大于或者等于4的偶数这一条件，且9是合数，此选项错误。 C．6＝1＋5：6是大于4的偶数，但1既不是质数，也不是合数，不符合两个质数相加的要求，此选项错误。 D．4＝2＋2：4是大于或者等于4的偶数，2只有1和2两个因数，是质数，符合两个质数相加的要求，此选项正确。 【例题】小船最初在南岸，先从南岸驶向北岸（算摆渡1次），再从北岸驶向南岸，不断往返。摆渡25次后，小船在南岸还是北岸？摆渡200次呢？ 【答案】北岸；南岸 【分析】小船最初在南岸，摆渡1次到达北岸，摆渡2次回到南岸，可以发现摆渡次数与所在岸边的规律：奇数次在北岸，偶数次在南岸，根据25和200的奇偶性即可判断小船的位置。 【详解】小船最初在南岸。 摆渡1次，小船在北岸； 摆渡2次，小船在南岸； 摆渡3次，小船在北岸； …… 由此可知：摆渡奇数次后，小船在北岸；摆渡偶数次后，小船在南岸，因为25是奇数，所以摆渡25次后，小船在北岸；因为200是偶数，所以摆渡200次后，小船在南岸。 答：摆渡25次后，小船在北岸，摆渡200次后，小船在南岸。 考点九：质数与合数的认识 【例题】数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”。如5和7都是质数，它们就像“双胞胎”一样紧紧挨着，中间只隔一个数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．9和11 B．13和15 C．2和3 D．17和19 【答案】D 【分析】只有1和它本身两个因数的数，叫作质数。除了1和它本身还有其他因数的数，叫作合数。1既不是质数也不是合数。据此解答。 【详解】A．9是合数，不是质数，不符合。 B．15是合数，不是质数，不符合。 C．2和3相差1，不满足差2的条件。 D．17、19都是质数，差值为2，是孪生质数。 【例题】一个正方体的六个面分别写有1，2，3，4，5，6。把这个正方体任意往上抛，落下后，朝上的数是质数的可能性( ) 朝上的数是合数的可能性；朝上的数是奇数的可能性( ) 朝上的数是偶数的可能性。（选填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】 大于 等于 【分析】质数：在大于的自然数中，除了和它本身没有其他因数；合数：在大于的自然数中，除了和它本身还有其他因数。奇数：不能被整除的自然数；偶数：能被整除的自然数；先根据质数、合数、奇数和偶数的定义找准数字出现的次数，然后再用出现的次数除以总次数就是其可能性；最后比较可能性的大小。 【详解】质数：，出现的次数为次； 合数：，出现的次数为次； 奇数：，出现的次数为次； 偶数：，出现的次数为次。 所以朝上的数是质数的可能性大于朝上的数是合数的可能性。 所以朝上的数是奇数的可能性等于朝上的数是偶数的可能性。 考点十：质数与合数的综合应用 【例题】王叔叔的手机屏幕解锁密码提示：第一个数字既是偶数又是质数，第二个数字既不是质数又不是合数，第三个数字是最小的合数，最后一个数字既是奇数又是合数。解锁的密码是( )。 【答案】2149 【分析】根据解锁密码提示，既是偶数又是质数的数是2，既不是质数又不是合数的数是1，最小的合数是4，一位数中既是奇数又是合数的数是9，以此得出答案。 【详解】第一个数字是2，第二个数字是1，第三个数字是4，第四个数字是9，此解锁密码是2149。 【例题】乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 【答案】理由是：玫瑰总价8×3＝24元，付款100元找回15元，康乃馨总价100−15−24＝61元；61是质数，不能被9整除，而康乃馨买了9枝且单价为整元数，总价应是9的倍数，故账算错了。 【分析】康乃馨的价格是整元数，则总价必须是数量9的倍数。首先通过付款金额和找回金额计算出实际花费，再减去玫瑰的总价得到康乃馨的总价，最后验证该总价是否为9的倍数即可得出结论。 【详解】100－15＝85（元） 8×3＝24（元） 85－24＝61（元） 因为，，61不是9的倍数。 已知每枝康乃馨的价格是整元数，则康乃馨的总价应是9的倍数。 所以店长阿姨把账算错了。 考点十一：质因数的含义 【例题】一个班的班级编号是两位数，这个两位数是4的倍数，也是6的倍数。这个编号最小是( )，它的因数有( )个，其中质因数是( )和( )。 【答案】 【分析】根据题意，该编号既是的倍数，也是的倍数，说明它是和的公倍数。要求最小的两位数，即用短除法求和的最小公倍数。 确定因数个数：求出该数后，利用列举法找出它所有的因数，进而统计因数的个数。 确定质因数：根据质因数的定义，在该数的所有因数中，即除了和它本身外，没有其他的因数即为质数，找出是质数的因数。 【详解】 这个编号最小是，它的因数有个，其中质因数是和。 【例题】42＝6×7，6( )42的质因数，7( )42的质因数。（填“是”或“不是”） 【答案】 不是 是 【分析】分解质因数是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，其中每个质数叫做这个合数的质因数；因为6是合数不是质数，7是质数，所以6不是42的质因数，7是42的质因数，据此解答。 【详解】42＝6×7，则6和7都是42的因数，因为6是合数不是质数，7是质数，因此6不是42的质因数，7是42的质因数。 因此42＝6×7，6不是42的质因数，7是42的质因数。 考点十二：分解质因数 【例题】把下面各数分解质因数。 20    81    66    75 【答案】 20＝2×2×5； 81＝3×3×3×3； 66＝2×3×11； 75＝3×5×5 【分析】分解质因数是指把一个合数写成几个质数相乘的形式。通常可以使用短除法，从最小的质数开始除起，直到商为质数为止。 【详解】20：是偶数，先除以2得10，10再除以2得5，5是质数。所以：20＝2×2×5。 81：是奇数，各位数字之和为9，能被3整除。81÷3＝27，27÷3＝9，9÷3＝3，3是质数。所以：81＝3×3×3×3。 66：是偶数，先除以2得33，33能被3整除得11，11是质数。所以：66＝2×3×11。 75：个位是5，能被5整除。75÷5＝15，15再除以5得3，3是质数（也可先除以3）。所以：75＝3×5×5。 【例题】用短除法分解质因数。 ①50    ②76    ③65 【答案】 ①50＝2×5×5 ②76＝2×2×19 ③65＝5×13 【分析】分解质因数是指把一个合数写成几个质数相乘的形式。使用短除法时，需用质数（如 2、3、5、7……）连续去除这个数，直到商为质数为止，最后将所有的除数和商连乘起来。 【详解】①50＝2×5×5 ②76＝2×2×19 ③65＝5×13           考点十三：公因数与最大公因数 【例题】6÷3＝2，所以6和3的最大公因数是( )。 【答案】3 【分析】两个数成倍数关系，则最大公因数是较小的数。 【详解】因为6÷3＝2，即6和3成倍数关系，所以6和3的最大公因数是3。 【例题】把两根长度分别为30厘米和24厘米的木条锯成长度一样的小木条，并且没有剩余，每根小木条最长是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．6 【答案】C 【分析】把两根木条锯成长度一样且没有剩余的小木条，说明小木条的长度是两根木条长度的公因数；要求每根小木条最长是多少，即求这两个数的最大公因数。 【详解】30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24 30和24的最大公因数为：6 所以每根小木条最长是6厘米。 考点十四：用最大公因数解决实际问题 【例题】手工课上，亮亮需要把一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，如果纸张没有剩余，最多可以裁多少个这样的正方形？ 【答案】20个 【分析】要裁出无剩余的最大正方形，边长得是20和16的公因数，要最大的就取它们的最大公因数，用分解质因数法求出它们的最大公因数作为边长，再用长方形的长和宽分别除以边长，相乘求出可裁出的正方形个数。 【详解】20＝2×2×5 16＝2×2×2×2 20和16的最大公因数是2×2＝4 所以裁成的正方形边长是4厘米。 20÷4＝5（个） 16÷4＝4（个） 5×4＝20（个） 答：最多可以裁20个这样的正方形。 【例题】剪纸作为一种镂空艺术，不仅能给人以视觉上透空的感觉，还能给人艺术上的享受。五（1）班的小丽准备用一张长72厘米，宽48厘米的长方形彩纸裁成若干张同样大小的正方形彩纸来制作窗花，且彩纸没有剩余。正方形彩纸的边长最大是多少？最少能裁出多少张正方形彩纸？ 【答案】24厘米；6张 【分析】要裁出同样大且无剩余的正方形、边长最大，就是求72和48的最大公因数，先把两个数分解质因数，用公有质因数相乘算出最大边长；再分别用长方形的长、宽除以正方形边长，把两个商相乘得到最少裁出的张数。 【详解】72＝2×2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 所以72和48的最大公因数是2×2×2×3＝24 （72÷24）×（48÷24） ＝3×2 ＝6（张） 答：正方形彩纸的边长最大是24厘米，最少能裁出6张正方形彩纸。 考点十五：公倍数与最小公倍数 【例题】m和n是非0的自然数，如果m÷n＝3，那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 n m 【分析】两数成倍数关系，这两个数的最大公因数是较小数，这两个数的最小公倍数是较大数。 【详解】m和n是非0的自然数，如果m÷n＝3，即m是n的3倍，那么m和n的最大公因数是n，最小公倍数是m。 【例题】一个数既是64的因数，又是32的因数，这个数最大是( )；一个数既是64的倍数，又是32的倍数，这个数最小是( )。 【答案】 32 64 【分析】既是64的因数，又是32的因数，这个数就是64和32的公因数，这个数最大是几就是求64和32的最大公因数；既是64的倍数，又是32的倍数，这个数就是64和32的公倍数，这个数最小是几就是求64和32的最小公倍数；成倍数关系的两个数，最大公因数是两个数中较小的那个数，最小公倍数是两个数中较大的那个数。 【详解】，64和32是倍数关系。 所以64和32的最大公因数是32，64和32的最小公倍数是64。 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 【例题】五（1）班同学计划分组做游戏，按6人一组或8人一组分，都正好分完。五（1）班学生人数在40人至50人之间，五（1）班有多少名同学？ 【答案】48名 【分析】根据题意，学生人数按6人一组或8人一组分都正好分完，说明学生人数既是6的倍数，又是8的倍数，即学生人数是6和8的公倍数。又已知学生人数在40人至50人之间，因此需要找出6和8在该范围内的公倍数。 【详解】6的倍数有：6，12，18，24，30，36，48，54… 8的倍数有：8；16；24；32；40；48；56… 6和8的公倍数有：24，48… 因为学生人数在40至50之间，符合条件的数是48。 答：五（1）班有48名同学。 【例题】小明与小强定期到图书馆参加志愿服务活动。因活动任务不同，小明每6天参加一次，小强每4天参加一次。如果5月1日他们同时参加了志愿服务活动，那么他们下一次同时参加的日期是几月几日？ 【答案】5月13日 【分析】求出两人间隔天数的最小公倍数是两人同时参加活动的间隔天数，再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一次同时参加的日期。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】   2×2×3＝12（天） 5月1日＋12天＝5月13日 答：他们下一次同时参加的日期是5月13日。 综合训练 1．两个质数相乘的积，一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】D 【分析】除了和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。能被2整除的数是偶数，不能被2整除的是奇数。 【详解】两个质数相乘，积的因数除了和它本身，还有这两个质数，积一定是合数。 2．著名的哥德巴赫猜想说的是任意大于2的偶数都可以写成两个质数的和。下面（    ）组算式可以验证这个猜想。 A．14＝3＋11；16＝7＋9 B．28＝11＋17；32＝13＋19 C．48＝23＋25；36＝17＋19 D．48＝11＋37；54＝3＋51 【答案】B 【分析】根据哥德巴赫猜想的定义，任意大于的偶数都可以写成两个质数的和。验证该猜想需要满足两个条件：第一，等式左边的数为大于的偶数；第二，等式右边的两个加数均为质数。质数是指只有和它本身两个因数的自然数。解题时需对每个选项中的算式逐一进行检验，判断加数是否均为质数。 【详解】A． 中，和是质数；中，的因数有、、，是合数，不满足两个加数都是质数的条件，此选项错误； B．中，和是质数； 中，和是质数。两组算式均满足大于的偶数等于两个质数之和的条件，此选项正确； C．36＝17＋19中，和是质数，此算式满足大于的偶数等于两个质数之和的条件；但 中，的因数有、、，是合数，不满足两个加数都是质数的条件，此选项错误； D． 中，和是质数；中，的因数有、、、，是合数，不满足两个加数都是质数的条件，此选项错误。 3．一张长28厘米、宽16厘米的长方形包装纸，剪成边长为整厘米数的正方形且无剩余，正方形边长最大是（    ）厘米。 A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意“把一张长28厘米、宽16厘米的长方形纸剪成边长是整厘米数且没有剩余”，可以求出28和16的最大公因数，就是每个正方形的最大边长，据此解答。 【详解】28＝2×2×7，16＝2×2×2×2，所以28和16的最大公因数是2×2＝4，那么正方形的最大边长是4厘米。 4．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6。像这样的数叫完全数（也叫完美数）。下面的数中也是完美数的是（    ）。 A．12 B．20 C．28 D．48 【答案】C 【分析】根据完全数的定义，先找出每个选项的所有因数（不包含它本身），再计算这些因数的和，判断和是否等于这个数本身。 【详解】A．12的因数有1、2、3、4、6、12，除本身外的因数和。1＋2＋3＋4＋6＝16≠12，不是完全数。 B．20的因数有1、2、4、5、10、20，除本身外的因数和。1＋2＋4＋5＋10＝22≠20，不是完全数。 C．28的因数有1、2、4、7、14、28，除本身外的因数和。1＋2＋4＋7＋14＝28，符合完全数的定义，是完全数。 D．48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，除本身外的因数和。1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋16＋24＝76≠48，不是完全数。 5．小明的爸爸每上3天班后休息一天，妈妈每上4天班后休息1天，3月6日小明的爸爸、妈妈都在家休息，他们下次同时休息的日期是（    ）。 A．3月18日 B．3月12日 C．3月20日 D．3月26日 【答案】D 【分析】爸爸每4天休息一次，妈妈每5天休息一次，他们下次同时休息经过的天数应为4和5的最小公倍数。求出间隔天数后，结合起始日期3月6日进行推算，即可得出正确日期。 【详解】4和5是互质数，所以它们的最小公倍数是：4×5＝20 6＋20＝26 所以下次同时休息的日期是3月26日。 6．一个数的最大因数和最小倍数的和是28，这个数是( )。 【答案】14 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。一个数的最大因数和最小倍数的和是28，两者之和即为该数的2倍，由此可求这个数。 【详解】 所以，一个数的最大因数和最小倍数的和是28，这个数是14。 7．既是48的因数，又是6的倍数的数分别是( )。 【答案】6，12，24，48 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数，据此求出48的因数；用6分别乘1、2、3、4、5……，得出的积都是6的倍数。从两组数中找出相同的数，就是既是48的因数，又是6的倍数的数。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 6×1＝6，6×2＝12，6×3＝18，6×4＝24，6×5＝30，6×6＝36，6×7＝42，6×8＝48…… 6的倍数有6，12，18，24，30，36，42，48…… 既是48的因数，又是6的倍数的数分别是6，12，24，48。 8．如果a×b＝12（a、b都是非零自然数），则a和b是12的( )，12是a和b的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】根据因数和倍数的定义，在非零自然数的乘法算式中，相乘的两个数都是积的因数，积是这两个数的倍数。即a×b＝12，则a和b是12的因数，12是a和b的倍数。 【详解】在算式a×b＝12中，相乘的两个数a和b是12的因数，12是a和b的倍数。 9．自然数15的所有因数有( )，它的最小倍数是( )；11和13的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1，3，5，15 15 1 143 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数；据此求出15的因数；一个数的最小倍数是它本身；最大公因数是1；如果两个数为互质数，最小公倍数就是它俩的乘积。 【详解】15＝1×15＝3×5 15的因数有1，3，5，15；它的最小倍数是15。 11和13为互质数，最大公因数是1，最小公倍数是11×13＝143。 10．在一轮足球联赛中，某城市代表队获得的积分既是18的因数，又是6的倍数，该积分最小是( )分，最多是( )分。 【答案】 6 18 【分析】先找出18的所有因数，再在这些因数里找出6的倍数。即可求出该积分最小是几分，最多是几分。 【详解】根据分析可知： 18的因数有1，2，3，6，9，18；其中6的倍数有6，18。 所以既是18的因数又是6的倍数的数有：6，18。 该积分最小是6分，最多是18分。 11．一个三位数，个位是最小的合数，十位上是最小的质数，百位上既是奇数又是合数，这个三位数是( )，这个数至少再加上( )就是5的倍数。 【答案】 924 1 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 5的倍数的特征是个位数字是0或5，先找到比这个三位数大的、最小的5的倍数，再用这个5的倍数减去原三位数，得到的差就是需要加的数。 【详解】一个三位数，个位上是最小的合数即4，十位上是最小的质数即2，百位上既是奇数又是合数即9，这个三位数是924。 比924大且最接近的5的倍数是925。 925－924＝1 所以这个数至少再加上1就是5的倍数。 12．既是质数，又是偶数的数是( )，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小的三位数是( )。 【答案】 2 120 【分析】质数是指只有1和它本身两个因数的自然数。偶数是指能被2整除的整数（个位是0、2、4、6、8的数）。 一个数既是2的倍数又是5的倍数，其个位数字必须是0；一个数是3的倍数，其各位数字之和必须是3的倍数。 【详解】除了2以外，所有的偶数都至少有1、2和它本身三个因数，属于合数。 只有2既是质数又是偶数。 1＋2＋0＝3，3是3的倍数，这个数是120。 13．如果A＝a×b×c，B＝a×b×d，a、b、c、d都是质数，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 a×b a×b×c×d 【分析】将每组的两个数分别分解成质因数相乘的形式，最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积。 【详解】A＝a×b×c B＝a×b×d A和B公有的质因数有a、b，A独有的质因数是c，B独有的质因数是d。 所以A和B的最大公因数是a×b，最小公倍数是a×b×c×d。 14．个位上是0的数，一定是2、5的倍数，同时也是3的倍数。( ) 【答案】× 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。举例说明即可。 【详解】如110，个位上的数字是0，这个数是2、5的倍数，1＋1＋0＝2，110不是3的倍数，原题说法错误。 故答案为：× 15．因为5×7＝35，所以5和7都是35的因数。( ) 【答案】√ 【分析】根据因数和倍数的意义：在非0自然数范围内，如果a×b＝c，那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 【详解】本题中，5、7、35都是非0自然数，且满足5×7＝35，所以5和7都是35的因数。 故答案为：√。 16．2和4的公倍数都是8的倍数。( ) 【答案】× 【分析】先求出2和4的最小公倍数，再通过举例法验证是否所有的公倍数都是8的倍数。 【详解】因为4是2的倍数，所以2和4的最小公倍数是4。 2和4的公倍数有4、8、12、16…… 其中4是2和4的公倍数，但不是8的倍数 12是2和4的公倍数，但不是8的倍数，原说法错误。 故答案为：× 17．所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。( ) 【答案】× 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，据此判断即可。 【详解】9是奇数但不是质数，所以并非所有奇数都是质数；2是偶数但不是合数，所以并非所有偶数都是合数，因此原题说法错误。 故答案为：× 18．甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是甲、乙两数的积。( ) 【答案】× 【分析】利用假设法解决，假设乙数是5，根据“甲数是乙数的倍数”选取一个5的倍数作为甲数，找出甲数和乙数的最大公因数，再和甲、乙两数的积进行比较。 【详解】假设乙数5，则甲数10（5的倍数都可以）。 10和5的最大公因数是5； 甲、乙两数的积：10×5＝50 5＜50 所以，甲、乙两数的最大公因数不是甲、乙两数的积。 故答案为：× 19．求下列每组数的最大公因数。 12和30             60和100            12、18和24 【答案】6；20；6 【分析】几个数的公有质因数的连乘积就是这几个数的最大公因数；如果几个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果几个数为互质数，最大公因数是1。 【详解】12和30 12＝2×2×3 30＝2×3×5 12和30的最大公因数是2×3＝6。 60和100 60＝2×2×3×5 100＝2×2×5×5 60和100的最大公因数是2×2×5＝20。 12、18和24 12＝2×2×3 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 12、18和24的最大公因数是2×3＝6。 20．用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）12和18    （2）45和60    （3）42和28 【答案】（1）12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36； （2）45和60的最大公因数是15，最小公倍数是180； （3）42和28的最大公因数是14，最小公倍数是84 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数，把这两个数写在短除号里面，除以它们的公有的质因数，一直除到所得的两个商互质，只有公因数1为止。把所有的除数相乘，就得到这两个数的最大公因数；把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到两个数的最小公倍数。 【详解】（1）12和18 12和18的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×2×3×3＝36。 （2）45和60 45和60的最大公因数是3×5＝15，最小公倍数是3×3×4×5＝180； （3）42和28 42和28的最大公因数是2×7＝14，最小公倍数是2×2×3×7＝84。 21．一堆柚子，个数在80~100个之间，如果6个装一箱，正好装完，如果8个装一箱，也能正好装完。你能算出这堆柚子有多少个吗？ 【答案】 个 【分析】根据题意，柚子的个数既是的倍数，又是的倍数，所以柚子的个数是和的公倍数。解题时先求出和的最小公倍数，再找出在之间的公倍数即可。 【详解】 （个）， （个）， （个）， 答：这堆柚子有个。 22．把一张长48厘米，宽36厘米的长方形纸裁成同样大的正方形。如果要求纸没有剩余，且裁出的正方形边长最大。一共可以裁出多少个这样的正方形？ 【答案】12个 【分析】要把长方形纸裁成同样大的正方形且没有剩余，正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数。要求裁出的正方形边长最大，即求长和宽的最大公因数（几个数公有的因数，叫做公因数；其中最大的那个，就是最大公因数）。求出正方形的边长后，分别计算出长方形纸的面积和小正方形的面积，用长方形纸的面积除以小正方形的面积，即可求出一共可以裁出多少个这样的正方形。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 取相同质因数相乘：2×2×3＝4×3＝12 所以48和36的最大公因数是12即正方形的边长最大是12厘米。 48×36＝1728（平方厘米） 12×12＝144（平方厘米） 1728÷144＝12（个） 答：一共可以裁出12个这样的正方形。 23．为弘扬中华传统文化，某小学举行经典诵读比赛，五年级参赛人数在40～50之间，分组时每6人一组或每8人一组，都正好分完。五年级参加比赛的学生有多少人？ 【答案】48人 【分析】每6人一组或8人一组都正好分完，即人数应该是6和8的公倍数，先求出6和8的最小公倍数，再求出最小公倍数在40～50之间的倍数就是五年级参加比赛的学生人数。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数： 2×3×2×2＝24 24×1＝24 24×2＝48 24×3＝72 40＜48＜50 答：五年级参加比赛的学生有48人。 24．我国现代著名儿童文学作家冰心曾寄语青少年儿童“读书好，多读书，读好书。”欢欢和乐乐经常去同一图书馆看书，欢欢每6天去一次，乐乐每4天去一次。5月1日他们两人同时去该图书馆看书，至少再过多少天，他们再次在图书馆相遇？ 【答案】12天 【分析】根据题意，欢欢去图书馆的周期是天，乐乐去图书馆的周期是天。两人再次相遇经过的天数必须既是的倍数，又是的倍数，即和的公倍数。题目要求“至少”再过多少天，即求和的最小公倍数。 【详解】因为欢欢每天去一次，乐乐每天去一次，所以他们再次相遇经过的天数必须是和的公倍数。 要求至少再过多少天，就是求和的最小公倍数。 的倍数有：，，， 的倍数有：，， 和的最小公倍数是。 答：至少再过天，他们再次在图书馆相遇。 25．有40名学生参加军训，教官让学生排成一排，从左到右由1开始报数，先让所报数是4的倍数的学生向后转，接着让所报数是5的倍数的学生向后转，有多少名学生转了2次？ 【答案】2名 【分析】转了2次的学生，需要同时满足“报数是4的倍数”和“报数是5的倍数”，即所报的数既是4的倍数又是5的倍数的数，是4和5的公倍数。需要找出1到40之间4和5的公倍数有多少个，先求4和5的最小公倍数，再看40里面包含几个这样的最小公倍数。 【详解】因为4和5互质，所以4和5的最小公倍数是： 4×5＝20 在1到40中，20的倍数有：20、40，共有2个。 答：有2名学生转了2次。 26．厦门的鼓浪屿有“钢琴之岛”的美誉，人均钢琴拥有率全国第一。钢琴是一种键盘乐器，拥有“乐器之王”的美称。它由88个琴键组成，琴键非白即黑。其中黑键比白键少，黑键的数量在30~40之间，并且是3和4的倍数。钢琴上黑、白键各有多少个？ 【答案】 36个；52个 【分析】根据“黑键的数量是3和4的倍数”，可以确定黑键数量是3和4的公倍数，所以先求出3和4的最小公倍数，再列举出最小公倍数的倍数。找出30~40之间符合条件的公倍数，即可得到黑键的数量，最后再求出白键数量。 【详解】3和4的最小公倍数是12。 12的倍数有：12、24、36、48…… 因为黑键的数量在30~40之间，所以黑键有36个。 白键的数量：（个） ，符合条件。 答：钢琴上黑键有36个，白键有52个。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $