第六单元因数与倍数（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

该小学数学第六单元“因数与倍数”讲义通过单元整体概述与分模块梳理构建知识体系，以知识框架图呈现因数倍数概念、找法、特征及奇偶质合分类等核心内容，突出相互依存关系和分类思想，清晰展现重难点内在逻辑。 讲义亮点在于易错指引精准（如强调因数倍数依存性、3的倍数需算数字和）和真题拔高分层设计（如完全数证明、最大公因数应用题），通过有序寻找因数等方法培养推理意识与抽象能力，助力不同学生掌握，支持教师实施精准复习教学。

第六单元 因数与倍数（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）《因数和倍数》是小学整数知识的核心拓展单元，属于数论基础内容，承接整数四则运算知识。 （2）本单元所有概念、规律仅适用于非0自然数，不包含0、小数、分数，研究范围固定、边界清晰。 （3）是后续分数约分、通分、分数四则运算、最大公因数、最小公倍数学习的前置基础，也是初中数论知识的铺垫内容。 2. 核心学习内容 （1）因数与倍数的基础概念、相互依存关系。 （2）找一个数因数、倍数的方法及对应特征规律。 （3）2、5、3的倍数专属特征，拓展认识4、9的倍数规律。 （4）奇数与偶数的定义、分类及基础性质。 （5）质数与合数的定义、判断方法及特殊数字分类。 3. 核心数学思想 （1）分类思想：对自然数按照不同标准分类，构建清晰的整数分类体系。 （2）有序思想：有序寻找因数和倍数，做到不重复、不遗漏。 （3）归纳思想：通过大量数字观察，归纳出倍数、奇偶、质合的通用规律。 二、因数与倍数基础概念 1. 概念定义 （1）在非0自然数除法中，如果被除数除以除数，商是整数且没有余数，就存在因数和倍数关系。 （2）对应关系：被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 （3）乘法等价定义：两个非0自然数相乘得到积，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 2. 核心依存特征 （1）因数和倍数是相互依存的关系，不能单独存在。 （2）不能单独说某个数是因数、某个数是倍数，必须表述谁是谁的因数、谁是谁的倍数。 3. 研究范围严格界定 （1）只研究非0自然数，1、2、3、4…… （2）0、小数、分数之间不存在因数和倍数关系。 三、一个数的因数知识点 1. 找因数的核心方法 （1）乘法配对法：有序列出两个自然数相乘等于这个数的所有算式，所有乘数都是这个数的因数。 （2）除法验证法：用这个数依次除以1、2、3……，能整除且无余数的除数和商，都是它的因数。 （3）寻找原则：从小到大、有序配对，避免重复、遗漏。 2. 因数的固定特征 （1）一个数的因数个数是有限的。 （2）一个数最小的因数是1。 （3）一个数最大的因数是它本身。 （4）1的因数只有1本身。 四、一个数的倍数知识点 1. 找倍数的核心方法 （1）乘法递增法：用这个数依次乘1、2、3、4……，所得的积都是它的倍数。 2. 倍数的固定特征 （1）一个数的倍数个数是无限的。 （2）一个数最小的倍数是它本身。 （3）一个数没有最大的倍数。 （4）任意非0自然数，既是自身的最大因数，也是自身的最小倍数。 五、2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征 （1）个位上是0、2、4、6、8的自然数，都是2的倍数。 2. 5的倍数特征 （1）个位上是0或5的自然数，都是5的倍数。 3. 同时是2和5的倍数特征 （1）个位上只能是0，是2和5的公倍数。 4. 3的倍数特征 （1）一个数各位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （2）与个位数字无关，不能通过个位直接判断，必须计算数字和。 5. 拓展倍数规律 （1）4的倍数：一个数的末两位能被4整除，这个数就是4的倍数。 （2）9的倍数：一个数各位数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 六、奇数与偶数知识点 1. 定义分类（按能否被2整除分类） （1）偶数：是2的倍数的自然数，个位为0、2、4、6、8。 （2）奇数：不是2的倍数的自然数，个位为1、3、5、7、9。 （3）0在小学本单元范畴内不参与研究，所有奇数、偶数均指正自然数。 2. 奇偶运算基础性质 （1）加减法规律 ① 奇数±奇数 = 偶数 ② 偶数±偶数 = 偶数 ③ 奇数±偶数 = 奇数 （2）乘法规律 ① 奇数×奇数 = 奇数 ② 偶数×偶数 = 偶数 ③ 奇数×偶数 = 偶数 七、质数与合数知识点 1. 定义分类（按因数个数分类） （1）质数（素数） ① 定义：只有1和它本身两个因数的自然数。 ② 特征：因数个数固定为2个。 （2）合数 ① 定义：除了1和它本身，还有其他因数的自然数。 ② 特征：因数个数大于2个，至少有3个因数。 2. 特殊数字分类界定 （1）1既不是质数，也不是合数。 （2）2是最小的质数，也是唯一的偶质数。 （3）4是最小的合数。 3. 基础判断方法 （1）先看数字大小，小于2的无质数合数概念。 （2）大于2的偶数全部是合数。 （3）奇数可通过判断是否存在除1和本身外的其他因数，区分质数与合数。 八、单元核心关联规律总结 1. 因数与倍数关联规律 （1）一个数的最大因数 = 这个数的最小倍数 = 数的本身。 （2）因数有限、倍数无限，因数看配对、倍数看递增。 2. 自然数双重分类体系 （1）按是否是2的倍数：分为奇数、偶数两类。 （2）按因数的个数：分为1、质数、合数三类。 易错指引 1. 概念关系易错 （1）忽略因数与倍数的依存关系，单独说某数是因数、某数是倍数。 （2）将小数、分数纳入因数倍数研究范围，概念范围混淆。 2. 找因数倍数易错 （1）找因数无序寻找，出现重复、遗漏的情况。 （2）误认为一个数的最大因数、最小倍数不是本身，概念记忆颠倒。 （3）误认为倍数个数有限、因数个数无限，特征记忆混淆。 3. 倍数判断易错 （1）判断3的倍数只看个位，不计算各位数字和。 （2）混淆2、5、3的倍数特征，判断标准乱用。 4. 奇偶、质合分类易错 （1）误认为所有奇数都是质数、所有偶数都是合数。 （2）忘记1既不是质数也不是合数的特殊定义。 （3）忽略2是唯一偶质数的特殊属性，判断出错。 5. 运算规律易错 （1）记错奇偶加减乘除运算规律，混淆结果属性。 （2）无法区分自然数两种分类标准，分类混乱、概念混淆。 真题拔高 一、填空题 1．已知60＝2×3×2×5，28＝2×2×7，60和28的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 4 420 【分析】两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。 【详解】60和28的最大公因数是，最小公倍数是。 2．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样等于除了它自身以外的全部因数之和的数叫做完全数，28也是完全数，请你写出式子证明( )。完全数还有一个有趣的性质，它们都可以写成连续自然数之和，像6＝1＋2＋3，请你试一试写出28＝( )。 【答案】 1＋2＋4＋7＋14＝28 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 【分析】先列举出28的所有因数，然后根据完全数的定义，把除28以外的其它因数相加，和等于28；把28写成几个连续自然数和的形式，可以试着从1＋2＋3＋…开始加，加到和为28为止。 【详解】28的因数：1，2，4，7，14，28； 1＋2＋4＋7＋14＝28 28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 3．在10、15、18、25、30、48这六个数中，( )既是2的倍数又是3的倍数，( )既是3的倍数又是5的倍数。 【答案】 18、30、48 15、30 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数的数是3的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数。既是2的倍数又是3的倍数，需同时满足2和3的倍数特征；既是3的倍数又是5的倍数，需同时满足3和5的倍数特征。据此解答即可。 【详解】寻找既是2的倍数又是3的倍数：先找出2的倍数：10、18、30、48（个位是0、8、0、8）。再判断这些数是否为3的倍数：10：1＋0＝1，不是3的倍数；18：1＋8＝9，是3的倍数；30：3＋0＝3，是3的倍数；48：4＋8＝12，是3的倍数。 所以，既是2的倍数又是3的倍数的数有：18、30、48。 寻找既是3的倍数又是5的倍数：先找出5的倍数：10、15、25、30（个位是0、5、5、0）。再判断这些数是否为3的倍数：10：1＋0＝1，不是3的倍数；15：1＋5＝6，是3的倍数；25：2＋5＝7，不是3的倍数；30：3＋0＝3，是3的倍数。所以，既是3的倍数又是5的倍数的数有：15、30。 所以，在10、15、18、25、30、48这六个数中，18、30、48既是2的倍数又是3的倍数，15、30既是3的倍数又是5的倍数。 4．“五月五，过端阳，粽香艾香飘满堂。”笑笑一家包了16个豆沙粽和40个红枣粽，把它们分口味放在袋子里，要使每袋数量相等并且没有剩余，每袋最多放( )个。 【答案】8 【详解】要使每袋数量相等且无剩余，每袋最多放的个数就是16和40的最大公因数。可通过分解质因数的方法求最大公因数。 【解答】 16和40的最大公因数为 所以每袋最多放8个。 5．既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。 【答案】 102 120 【分析】的倍数的特征：个位上是、、、、的数是的倍数。的倍数的特征：个位上是或的数是的倍数。的倍数的特征：各个数位上的数字之和是的倍数。 【详解】既是又是的倍数的最小三位数， 从最小三位数开始验证： ：，1不能被3整除，不符合题意； ：个位是奇数，不能被2整除，不符合题意； ：个位是偶数（能被2整除），，能被整除，符合题意； 2和5的倍数个位必为0，从个位为0的最小三位数开始验证： ：，不能被整除，不符合题意； ：，不能被整除，不符合题意； ：，能被整除，符合题意。 既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是。 6．根据A÷B＝13可以得出A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 B A 【分析】如果两个数成倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【详解】因为A÷B＝13，所以A和B成倍数关系，所以A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。 7．M的最大因数是19，N的最小倍数是5，那么，M×N的积的因数一共有( )个。 【答案】4 【分析】根据因数和倍数的特征：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，由此可以确定M和N的具体数值。求出M与N的积后，利用列举法找出该积的所有因数，进而统计因数的个数。 【详解】因为一个数的最大因数是它本身，M的最大因数是19，所以M＝19； 因为一个数的最小倍数是它本身，N的最小倍数是5，所以N＝5； M与N的积为：19×5＝95 找出95的所有因数： 1×95＝95 5×19＝95 所以95的因数有1、5、19、95，一共有4个。 8．6的因数有1、2、3、6，且1＋2＋3＝6，像6这样的数叫做“完全数”，那么，35( )完全数。（括号里填“是”或“不是”） 【答案】 不是 【分析】由题意可知，如果一个数除了这个数本身外的所有因数的和等于这个数，则这个数是“完全数”，计算出35的所有因数，把去掉35的所有因数相加计算和是否等于35，如果等于则35是完全数，如果不等于则不是。 【详解】35＝1×35＝5×7 35的因数有：1、5、7、35 1＋5＋7＝13，13≠35，则35不是完全数。 9．2026至少加上( )就是5的倍数，至少减去( )就是3的倍数。 【答案】 4 1 【分析】（1）5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。比2026大的最小5的倍数是2030。 （2）3的倍数特征：一个数各数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2026各数位数字和为2＋0＋2＋6＝10，比10小的最大3的倍数是9。 【详解】2030－2026＝4 2＋0＋2＋6＝10 10－9＝1 2026至少加上4就是5的倍数，至少减去1就是3的倍数。 10．体育课分组跳绳训练，参训人数在35~45人之间，无论分成4人一组，还是5人一组，都多1人，本次参与跳绳训练的有( )人。 【答案】41 【分析】不管是每4人一组，还是每5人一组，都剩余1人，可得这个队伍的人数比4和5的公倍数多1，要求这个队伍最少有多少人，4和5互质，所以4和5的最小公倍数是它们的乘积，据此找出35~45之间4和5的公倍数，再加1得解。 【详解】 4和5的最小公倍数是20。 4和5的公倍数：20、40、60······ （人） （人） （人） 21＜35＜41＜45＜61 所以本次参与跳绳训练的有41人。 二、选择题 11．下列各数中，属于质数的是（    ）。 A．9 B．12 C．17 D．21 【答案】C 【分析】质数是指只有和它本身两个因数的自然数，合数是指除了和它本身还有别的因数的自然数。解题时需分别找出各选项数字的所有因数，根据因数的个数判断其是否为质数。 【详解】A．的因数有、、，共有个因数，属于合数，此选项错误； B．的因数有、、、、、，共有个因数，属于合数，此选项错误； C．的因数只有和，共有个因数，符合质数的定义，此选项正确； D．的因数有、、、，共有个因数，属于合数，此选项错误。 12．在12、15、18、20这四个数中，是奇数的是（    ）。 A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】自然数中，是的倍数的数叫做偶数，不是的倍数的数叫做奇数。也可以通过观察数的个位数字来判断，个位上是、、、、的数是奇数，个位上是、、、、的数是偶数。根据这一特征对选项中的四个数分别进行判断，找出其中的奇数。 【详解】A．的个位数字是，是的倍数，属于偶数，此选项错误； B．的个位数字是，不是的倍数，属于奇数，此选项正确； C．的个位数字是，是的倍数，属于偶数，此选项错误； D．的个位数字是，是的倍数，属于偶数，此选项错误。 13．下列各数中，既是2的倍数又是3的倍数的是（    ）。 A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据的倍数的特征：个位上是、、、、的数；根据的倍数的特征：各位上的数字之和是的倍数。既是的倍数又是的倍数，需要同时满足这两个条件。 【详解】A．的个位是，是的倍数；各位上的数字之和为，不是的倍数，所以不是的倍数。此选项错误； B．的个位是，是的倍数；各位上的数字之和为，是的倍数，所以是的倍数。此选项正确； C．的个位是，是的倍数；各位上的数字之和为，不是的倍数，所以不是的倍数。此选项错误； D．的个位是，是的倍数；各位上的数字之和为，不是的倍数，所以不是的倍数。此选项错误。 14．下面M代表一个不等于0的数字，用P表示0，下面组成的四位数中一定是2、3、5的倍数是（    ）。 A．MPMP B．MMPP C．MPMM D．MMMP 【答案】D 【分析】同时是2和5的倍数，个位数字必须是0；是3的倍数，各位上的数的和必须是3的倍数。已知，是不等于0的数字，需逐项验证哪个选项组成的四位数同时满足上述条件。 【详解】A．：个位是（即0），满足2和5的倍数特征。各位上的数的和是。当时，和为2，不是3的倍数，所以不一定是3的倍数。此选项错误； B．：个位是（即0），满足2和5的倍数特征。各位上的数的和是。当时，和为2，不是3的倍数，所以不一定是3的倍数。此选项错误； C．：个位是，因为不等于0，所以个位不是0，不满足2和5的倍数特征。此选项错误； D．：个位是（即0），满足2和5的倍数特征。各位上的数的和是。因为是整数，一定是3的倍数，所以该数一定是3的倍数。此选项正确。 15．著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个质数的和。下列算式中，符合这个猜想的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干中“哥德巴赫猜想”的定义，符合要求的算式需满足两个条件：一是等号左边的数为大于的偶数；二是等号右边的两个加数均为质数。据此对各个选项逐一进行判断。 【详解】A．，和是奇数，不满足“大于的偶数”这一条件，此选项错误； B．，和是大于的偶数，但加数的因数有、、，是合数，不满足“两个质数”这一条件，此选项错误； C．，和是大于的偶数，加数只有因数和，是质数，加数只有因数和，是质数，符合猜想，此选项正确； D．，和是奇数，不满足“大于的偶数”这一条件，且加数是合数，此选项错误。 符合这个猜想的算式是。 三、判断题 16．用长6cm、宽4cm的长方形拼正方形，拼成的最小正方形边长是10cm。( ) 【答案】× 【分析】用若干个相同的小长方形拼成一个大正方形，大正方形的边长必须既是小长方形长的倍数，也是小长方形宽的倍数，即长和宽的公倍数。要求拼成的最小正方形，即求长和宽的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 4＝2×2 6和4的最小公倍数：2×2×3＝12 所以拼成的最小正方形边长是12cm，，12≠10，原题说法错误。 故答案为：× 17．一个非0自然数如果是6的倍数，则这个数也一定是3的倍数。( ) 【答案】 √ 【详解】因为是的倍数，即是的因数。根据因数和倍数的意义，如果一个数是的倍数，说明这个数含有因数，既然含有因数，就一定含有因数，所以这个数一定是的倍数。 故答案为：√ 18．已知a是一个非零自然数，则5a一定是合数。( ) 【答案】 × 【分析】判断命题是否正确，可通过举反例的方法。非零自然数包括，，……，需考虑时的特殊情况，看是否符合合数的定义。 【详解】根据合数的定义：一个数如果除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 因为是非零自然数， 所以可以取， 当时，。 的因数只有和，所以是质数。 由此可见，不一定是合数，原题说法错误。 故答案为：× 19．因为0.8×10＝8，所以0.8和10是8的因数。( ) 【答案】× 【分析】因数和倍数是在不为0的自然数范围内才有的说法。据此判断。 根据五年级所学因数和倍数的意义，研究因数和倍数时，所说的数指的是非零自然数，小数不在研究范围内，据此判断。 【详解】由分析得出： 0.8是小数，不能说0.8和10是8的因数。所以，原题说法错误。 故答案为：× 20．用3、4、5三张数字卡片组成不同的三位数，所组成的三位数中，奇数的可能性大。( ) 【答案】√ 【分析】先列出所有用3、4、5组成的三位数，再分别统计奇数和偶数的数量，比较数量多少判断可能性大小。 【详解】用3、4、5组成的三位数有：345、354、435、453、534、543，共6个。 其中奇数为345、435、453、543，共4个；偶数为354、534，共2个。 因为4＞2，所以组成的三位数中奇数的数量更多，即奇数的可能性大，题目说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 21．按要求用短除法计算。 求24和16的最小公倍数。 【答案】 【分析】短除法：先用这两个数的公因数连续去除，直到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。 【详解】 2×2×2×3×2＝48 五、解答题 22．清明节又称踏青节，“捣青草为汁，和粉作团，色如碧玉”用来形容清明节的时令食物——青团，果果家做了一些青团作为春游小吃，4个装一盒或5个装一盒都剩3个，已知果果家做好的青团不到50个，那么他家最多做了多少个青团？ 【答案】43个 【分析】根据题意，青团总数减去3后，既是4的倍数，也是5的倍数，即是4和5的公倍数。先求出4和5的最小公倍数，再列举出50以内的公倍数，加上余数3后找出小于50的最大数即可。 【详解】4和5的最小公倍数是。 4和5的公倍数有20，40，60… 因为青团不到个，所以公倍数只能取和。 当公倍数是时，青团数量为：（个） 当公倍数是时，青团数量为：（个） （个），，不符合题意。 因为，所以最多做了个。 答：他家最多做了43个。 23．六一儿童节，王老师买了42支荧光笔和28本便签本，要平均分给“智慧小队”的同学们，每个同学分得的荧光笔数量相同，便签本数量也相同，并且正好分完。 (1)“智慧小队”最多有多少名同学？ (2)此时每个同学分得多少支荧光笔？多少本便签本？ 【答案】(1)14名 (2)3支，2本 【分析】（1）要把荧光笔和便签本平均分给同学且正好分完，同学人数必须是和的公因数。要求最多有多少名同学，即求和的最大公因数。 （2）求出人数后，再用总数除以人数得到每个同学分得的数量。 【详解】（1）的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42。 的因数有：1，2，4，7，14，28。 和的公因数有：1，2，7，14，其中最大公因数是。 答：“智慧小队”最多有名同学。 （2）荧光笔：（支） 便签本：（本） 答：此时每个同学分得支荧光笔，本便签本。 24．跳蚤市场的一个摊位地面长36分米，宽24分米。计划用正方形防潮垫铺满（不能裁剪），且防潮垫的边长是整分米数，边长最大是多少分米？此时一共需要多少块？ 【答案】12分米；6块 【分析】要用正方形防潮垫铺满长方形地面且不能裁剪，说明正方形垫子的边长必须既是长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求边长最大是多少，就是求36和24的最大公因数。求出边长后，分别计算长和宽方向各能铺多少块，相乘即可得到总块数。 【详解】 36和24的最大公因数是： 所以防潮垫的边长最大是12分米。 （块） 答：边长最大是12分米，此时一共需要6块。 25．小明和同学们参加了社区“美化家园”志愿活动，老师想把大家分成小组活动，每6人一组或每8人一组，都能正好分完，而且全班不超过40人。那么，这个班最多有多少人？ 【答案】 24人 【分析】全班人数既能被整除，又能被整除，说明全班人数是和的公倍数。先求出和的最小公倍数，再找出不超过的公倍数中最大的一个，即为全班最多的人数。 【详解】，，和的最小公倍数是。 和的公倍数有： 因为全班不超过人，，所以符合条件的公倍数只有。 答：这个班最多有人。 26．光明小学要在校园里栽24棵松树，要求每行的棵数相同，行数要大于1且小于列数，一共有几种不同的栽法？ 【答案】3 种 【分析】根据找一个数的因数的方法，把24写成2个整数乘积的形式，进而根据题意求出有几种不同的栽法。 【详解】因为行数要大于1且小于列数，即：24＝2×12＝3×8＝4×6，所以每一对因数，都有一种栽法，一共有3种不同的栽法。 第一种：栽2行，每行栽12棵； 第二种：栽3行，每行栽8棵； 第三种：栽4行，每行栽6棵。 答：一共有3种不同的栽法。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数（讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 （1）《因数和倍数》是小学整数知识的核心拓展单元，属于数论基础内容，承接整数四则运算知识。 （2）本单元所有概念、规律仅适用于非0自然数，不包含0、小数、分数，研究范围固定、边界清晰。 （3）是后续分数约分、通分、分数四则运算、最大公因数、最小公倍数学习的前置基础，也是初中数论知识的铺垫内容。 2. 核心学习内容 （1）因数与倍数的基础概念、相互依存关系。 （2）找一个数因数、倍数的方法及对应特征规律。 （3）2、5、3的倍数专属特征，拓展认识4、9的倍数规律。 （4）奇数与偶数的定义、分类及基础性质。 （5）质数与合数的定义、判断方法及特殊数字分类。 3. 核心数学思想 （1）分类思想：对自然数按照不同标准分类，构建清晰的整数分类体系。 （2）有序思想：有序寻找因数和倍数，做到不重复、不遗漏。 （3）归纳思想：通过大量数字观察，归纳出倍数、奇偶、质合的通用规律。 二、因数与倍数基础概念 1. 概念定义 （1）在非0自然数除法中，如果被除数除以除数，商是整数且没有余数，就存在因数和倍数关系。 （2）对应关系：被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 （3）乘法等价定义：两个非0自然数相乘得到积，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 2. 核心依存特征 （1）因数和倍数是相互依存的关系，不能单独存在。 （2）不能单独说某个数是因数、某个数是倍数，必须表述谁是谁的因数、谁是谁的倍数。 3. 研究范围严格界定 （1）只研究非0自然数，1、2、3、4…… （2）0、小数、分数之间不存在因数和倍数关系。 三、一个数的因数知识点 1. 找因数的核心方法 （1）乘法配对法：有序列出两个自然数相乘等于这个数的所有算式，所有乘数都是这个数的因数。 （2）除法验证法：用这个数依次除以1、2、3……，能整除且无余数的除数和商，都是它的因数。 （3）寻找原则：从小到大、有序配对，避免重复、遗漏。 2. 因数的固定特征 （1）一个数的因数个数是有限的。 （2）一个数最小的因数是1。 （3）一个数最大的因数是它本身。 （4）1的因数只有1本身。 四、一个数的倍数知识点 1. 找倍数的核心方法 （1）乘法递增法：用这个数依次乘1、2、3、4……，所得的积都是它的倍数。 2. 倍数的固定特征 （1）一个数的倍数个数是无限的。 （2）一个数最小的倍数是它本身。 （3）一个数没有最大的倍数。 （4）任意非0自然数，既是自身的最大因数，也是自身的最小倍数。 五、2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征 （1）个位上是0、2、4、6、8的自然数，都是2的倍数。 2. 5的倍数特征 （1）个位上是0或5的自然数，都是5的倍数。 3. 同时是2和5的倍数特征 （1）个位上只能是0，是2和5的公倍数。 4. 3的倍数特征 （1）一个数各位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （2）与个位数字无关，不能通过个位直接判断，必须计算数字和。 5. 拓展倍数规律 （1）4的倍数：一个数的末两位能被4整除，这个数就是4的倍数。 （2）9的倍数：一个数各位数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 六、奇数与偶数知识点 1. 定义分类（按能否被2整除分类） （1）偶数：是2的倍数的自然数，个位为0、2、4、6、8。 （2）奇数：不是2的倍数的自然数，个位为1、3、5、7、9。 （3）0在小学本单元范畴内不参与研究，所有奇数、偶数均指正自然数。 2. 奇偶运算基础性质 （1）加减法规律 ① 奇数±奇数 = 偶数 ② 偶数±偶数 = 偶数 ③ 奇数±偶数 = 奇数 （2）乘法规律 ① 奇数×奇数 = 奇数 ② 偶数×偶数 = 偶数 ③ 奇数×偶数 = 偶数 七、质数与合数知识点 1. 定义分类（按因数个数分类） （1）质数（素数） ① 定义：只有1和它本身两个因数的自然数。 ② 特征：因数个数固定为2个。 （2）合数 ① 定义：除了1和它本身，还有其他因数的自然数。 ② 特征：因数个数大于2个，至少有3个因数。 2. 特殊数字分类界定 （1）1既不是质数，也不是合数。 （2）2是最小的质数，也是唯一的偶质数。 （3）4是最小的合数。 3. 基础判断方法 （1）先看数字大小，小于2的无质数合数概念。 （2）大于2的偶数全部是合数。 （3）奇数可通过判断是否存在除1和本身外的其他因数，区分质数与合数。 八、单元核心关联规律总结 1. 因数与倍数关联规律 （1）一个数的最大因数 = 这个数的最小倍数 = 数的本身。 （2）因数有限、倍数无限，因数看配对、倍数看递增。 2. 自然数双重分类体系 （1）按是否是2的倍数：分为奇数、偶数两类。 （2）按因数的个数：分为1、质数、合数三类。 易错指引 1. 概念关系易错 （1）忽略因数与倍数的依存关系，单独说某数是因数、某数是倍数。 （2）将小数、分数纳入因数倍数研究范围，概念范围混淆。 2. 找因数倍数易错 （1）找因数无序寻找，出现重复、遗漏的情况。 （2）误认为一个数的最大因数、最小倍数不是本身，概念记忆颠倒。 （3）误认为倍数个数有限、因数个数无限，特征记忆混淆。 3. 倍数判断易错 （1）判断3的倍数只看个位，不计算各位数字和。 （2）混淆2、5、3的倍数特征，判断标准乱用。 4. 奇偶、质合分类易错 （1）误认为所有奇数都是质数、所有偶数都是合数。 （2）忘记1既不是质数也不是合数的特殊定义。 （3）忽略2是唯一偶质数的特殊属性，判断出错。 5. 运算规律易错 （1）记错奇偶加减乘除运算规律，混淆结果属性。 （2）无法区分自然数两种分类标准，分类混乱、概念混淆。 真题拔高 一、填空题 1．已知60＝2×3×2×5，28＝2×2×7，60和28的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样等于除了它自身以外的全部因数之和的数叫做完全数，28也是完全数，请你写出式子证明( )。完全数还有一个有趣的性质，它们都可以写成连续自然数之和，像6＝1＋2＋3，请你试一试写出28＝( )。 3．在10、15、18、25、30、48这六个数中，( )既是2的倍数又是3的倍数，( )既是3的倍数又是5的倍数。 4．“五月五，过端阳，粽香艾香飘满堂。”笑笑一家包了16个豆沙粽和40个红枣粽，把它们分口味放在袋子里，要使每袋数量相等并且没有剩余，每袋最多放( )个。 5．既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )，既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )。 6．根据A÷B＝13可以得出A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 7．M的最大因数是19，N的最小倍数是5，那么，M×N的积的因数一共有( )个。 8．6的因数有1、2、3、6，且1＋2＋3＝6，像6这样的数叫做“完全数”，那么，35( )完全数。（括号里填“是”或“不是”） 9．2026至少加上( )就是5的倍数，至少减去( )就是3的倍数。 10．体育课分组跳绳训练，参训人数在35~45人之间，无论分成4人一组，还是5人一组，都多1人，本次参与跳绳训练的有( )人。 二、选择题 11．下列各数中，属于质数的是（    ）。 A．9 B．12 C．17 D．21 12．在12、15、18、20这四个数中，是奇数的是（    ）。 A．12 B．15 C．18 D．20 13．下列各数中，既是2的倍数又是3的倍数的是（    ）。 A．10 B．12 C．14 D．16 14．下面M代表一个不等于0的数字，用P表示0，下面组成的四位数中一定是2、3、5的倍数是（    ）。 A．MPMP B．MMPP C．MPMM D．MMMP 15．著名的“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个质数的和。下列算式中，符合这个猜想的是（    ）。 A． B． C． D． 三、判断题 16．用长6cm、宽4cm的长方形拼正方形，拼成的最小正方形边长是10cm。( ) 17．一个非0自然数如果是6的倍数，则这个数也一定是3的倍数。( ) 18．已知a是一个非零自然数，则5a一定是合数。( ) 19．因为0.8×10＝8，所以0.8和10是8的因数。( ) 20．用3、4、5三张数字卡片组成不同的三位数，所组成的三位数中，奇数的可能性大。( ) 四、计算题 21．按要求用短除法计算。 求24和16的最小公倍数。 五、解答题 22．清明节又称踏青节，“捣青草为汁，和粉作团，色如碧玉”用来形容清明节的时令食物——青团，果果家做了一些青团作为春游小吃，4个装一盒或5个装一盒都剩3个，已知果果家做好的青团不到50个，那么他家最多做了多少个青团？ 23．六一儿童节，王老师买了42支荧光笔和28本便签本，要平均分给“智慧小队”的同学们，每个同学分得的荧光笔数量相同，便签本数量也相同，并且正好分完。 (1)“智慧小队”最多有多少名同学？ (2)此时每个同学分得多少支荧光笔？多少本便签本？ 24．跳蚤市场的一个摊位地面长36分米，宽24分米。计划用正方形防潮垫铺满（不能裁剪），且防潮垫的边长是整分米数，边长最大是多少分米？此时一共需要多少块？ 25．小明和同学们参加了社区“美化家园”志愿活动，老师想把大家分成小组活动，每6人一组或每8人一组，都能正好分完，而且全班不超过40人。那么，这个班最多有多少人？ 26．光明小学要在校园里栽24棵松树，要求每行的棵数相同，行数要大于1且小于列数，一共有几种不同的栽法？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $