专题 2.1 认识实数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“认识实数”核心知识点，系统梳理无理数的产生背景、定义与分类，实数的概念与分类、与数轴的关系及相关性质，构建从有理数到实数的完整知识脉络，形成递进式学习支架。 资料亮点在于题型分层设计（基础夯实与巩固提升），通过无理数估算、数轴应用等实例培养数学思维（推理意识）和数学眼光（几何直观），课中辅助教师教学，课后同步检测帮助学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

专题 2.1 认识实数（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】无理数的产生背景 1 【知识点二】无理数的定义与分类 2 【知识点三】实数的概念与分类 2 【知识点四】实数与数轴的关系 2 【知识点五】实数的相关性质 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】有理数与无理数的辨析 3 【题型 2】实数的分类填空 5 【题型 3】实数与数轴基础应用 7 三.题型精析（巩固提升） 9 【题型 4】无理数的估算 9 【题型 5】实数的相反数、绝对值与大小比较 11 四.同步检测 12 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分） 18 一.知识梳理与解读 【知识点一】无理数的产生背景 1. 通过正方形拼接可知：两个边长为1的小正方形拼成面积为2的大正方形，设大正方形边长为，则。 2. 数值特征分析：不是整数，也不是分数，因此不属于有理数。 3. 拓展延伸：若正方形面积为3、5、7等无法开方的数，其边长同样不是有理数，这类数真实存在，是一类新的数。 【要点提示】 有理数只包含整数和分数，所有有理数都可化为有限小数或无限循环小数；若一个正数的平方为非完全平方数，该数一定不是有理数。 【知识点二】无理数的定义与分类 1. 有理数小数形式：有限小数、无限循环小数。 2. 无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 3. 初中常见三类无理数： ① 开方开不尽的数：等； ② 特殊常数：、等； ③ 构造型无限不循环小数：有规律但不循环，如0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数依次加1）。 【要点提示】 无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数；无限循环小数属于有理数，是考试高频易错点。 【知识点三】实数的概念与分类 1. 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2. 实数两种分类方式： （1）按定义分类：实数分为有理数（整数、分数）、无理数（无限不循环小数）； （2）按正负性分类：正实数、0、负实数。 【要点提示】 0是有理数，是实数中唯一既不是正数、也不是负数的数；所有实数包含初中阶段所有数，无遗漏、无重复。 【知识点四】实数与数轴的关系 1. 一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 2. 核心结论：实数与数轴上的点一一对应（有理数不满足此关系）。 3. 作图方法：可利用勾股定理，在数轴上构造直角三角形，截取边长画出等无理数对应的点。 【要点提示】 数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，填补了有理数数轴无法填满的空白。 【知识点五】实数的相关性质 1. 相反数、倒数、绝对值的含义：与有理数范围内定义完全一致。 2. 运算规律：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内全部适用。 3. 大小比较：数轴上右边的实数始终大于左边的实数。 【要点提示】 无理数近似计算时，需多保留一位小数，最后再取舍，避免结果误差过大。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】有理数与无理数的辨析 【例题1】（25-26七年级上·全国·期中）0，，，3，，，，（每两个1 之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{                      …}； （2）负数集合：{                    …}； （3）整数集合：{                      …}； （4）无理数集合：{                  …}． 【答案】（1）{3，，，，…}；（2）{，，（每两个1 之间依次增加1个2），…}；（3）{0，3，，…}；（4）{，（每两个1 之间依次增加1个2），…} 【分析】本题考查了无理数的定义，正负数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据大于0的数为正数，进行逐个分析，即可作答． （2）根据小于0的数为负数，进行逐个分析，即可作答． （3）根据整数的定义，进行逐个分析，即可作答． （4）根据无限不循环小数即为无理数进行分析，即可作答． （1）解：正数集合：{3，，，，}； （2）解：负数集合：{，，（每两个1 之间依次增加1个2），}； （3）解：整数集合：{0，3，，}； （4）解：无理数集合：{，（每两个1 之间依次增加1个2），} 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）下列各数，是无理数的为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数． 解：A． 是整数，属于有理数； B． ，是整数，属于有理数； C． 是无限不循环小数，是无理数，仍是无理数； D． 是有限小数，属于有理数． 【变式2】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）写出一个你喜欢的无理数________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，任选一个满足定义的数即可． 解：是无限不循环小数，符合无理数的定义 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2025，⑨…（每两个4之间的0依次多一个）． （1）整数集合：______…； （2）分数集合：______…； （3）负数集合：______…； （4）无理数集合：______…． 【答案】（1）③⑥⑧；（2）①②⑤⑦；（3）⑥⑦⑨；（4）④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 解：（1）整数集合：③⑥⑧； （2）分数集合：①②⑤⑦； （3）负数集合：⑥⑦⑨； （4）无理数集合：④⑨． 【题型 2】实数的分类填空 【例题2】（25-26七年级上·广东汕头·期中）把下列各数填在相应的大括号内 ，，，0，，，， 正数集合{            } 整数集合{            } 负分数集合{           } 非正整数集合{          } 【答案】，，；，，0，；，；，0，． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 根据有理数的分类作答即可． 解：正数集合{，，}； 整数集合{，，0，}； 负分数集合{，}； 非正整数集合{，0，}； 故答案为：，，；，，0，；，；，0，． 【变式1】（2024·河南新乡·模拟预测）下列各数为分数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据分数的定义，判断各选项的数的类型即可求解． 解：A、是正分数； B、是整数，不是分数； C、是整数，不是分数； D、是无限不循环小数，属于无理数，因此也是无理数，不是分数． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有________个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的定义，实数的分类，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，判断每个数是否为无理数即可． 解：2022是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 中的是无理数，因此是无理数； （每两个1之间的0依次加1）是无限不循环小数，属于无理数． ∴无理数有2个． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）负有理数集合：{____________…}； （4）无理数集合：{____________…}． 【答案】（1）③⑥⑧；（2）①②⑤⑦；（3）⑥⑦；（4）④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． （1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 【题型 3】实数与数轴基础应用 【例题3】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） （1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： （2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【答案】（1）；（2）①第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远；②点运动的路程共有，此时点所表示的数是 【分析】（1）将的值代入，计算算术平方根即可得； （2）①分别求出第次滚动后，点距离原点的距离，由此即可得； ②先将滚动记录的数字的绝对值相加，再乘以即可得点运动的总路程；先将滚动记录的数字相加，再乘以即可得此时点所表示的数． （1）解：该圆片滚动一周的距离为， ∵该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点， ∴点表示的数； （2）解：①第1次滚动后，，点距离原点2周， 第2次滚动后，，点距离原点1周， 第3次滚动后，，点距离原点4周， 第4次滚动后，，点在原点处， 第5次滚动后，，点距离原点3周， 由此可知，第4次滚动后，点距离原点最近；第3次滚动后，点距离原点最远； ②∵， ∴当圆片结束运动时，点运动的路程共有； ∵， ∴当圆片结束运动时，此时点所表示的数是． 【变式1】（25-26七年级下·山西大同·期末）如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 【变式2】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】/ 解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法正确与否．如果不正确，请举例说明． （1）所有有理数都可用数轴上的点来表示． （2）数轴上所有的点表示的数都是有理数． （3）数轴上所有的点表示的数都是实数． 【答案】（1）正确；（2）不正确，例如；（3）正确 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据实数与数轴上的点是一一对应关系逐个解答即可． （1）解：因为有理数和无理数都能用数轴上的点表示， 所以所有有理数都能用数轴上的点表示是正确； （2）解：因为数轴上的点除了有理数还有无理数， 所以数轴上的所有点表示的数都是有理数是不正确，例如； （3）解：因为数轴上的点和实数是一一对应的关系， 所以数轴上所有的点表示的数都是实数是正确． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】无理数的估算 【例题4】（23-24七年级下·河北衡水·阶段检测）我们知道，面积为的正方形的边长a是一个无理数，即a是一个无限不循环小数，根据这个基本事实，回答下列问题．    （1）若、是最接近的两个正整数，则等于________； （2）等于________． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了无理数估算，代数式求值．正确进行无理数估算和代数式求值是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得； （2）由题意知，将代入计算求解即可． （1）解：由题意知，， ∵， 的值分别是1，2， ∴， 故答案为：3； （2）解：由题意知，， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·河南商丘·期末）十二平均律中，相邻两个音的频率之比是一个固定值，该比值最接近下列哪个数？（    ） A．1.059 B．1.122 C．1.260 D．1.500 【答案】A 【分析】十二平均律将一个八度（整体频率比为2）平均分为12个半音，相邻音的频率比为固定值，通过计算得到该比值的近似值即可选出正确选项． 解：设相邻两个音的频率比为，一个八度内共12个相邻音级，一个八度的总频率比为 ∴，即 ∴该比值最接近． 【变式2】（25-26七年级下·广东江门·期末）已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是______． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质求出的取值范围，再结合是整数确定所有符合条件的，最后找出其中的最大值即可． 解：∵， ∴数轴上，数对应的点到原点的距离小于， ∴， 又∵为整数， ∴的所有可能值为，，，，，，， ∴的所有可能值中，最大值为． 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）苏科版七年级课本在引入无理数概念时，提到了：若一个面积为2的正方形的边长为a，那么a是一个无理数，并采用“逼近法”对a的大小进行探究即先判断出a是大于1且小于2的数再近一步得到终得到 （精确到2位小数似的，若一个面积为10 的正方形的边长为b，请你逐步探索出b的取值范围（精确到2位数即可）． 【答案】 【分析】根据题意得，然后根据，得出，然后根据夹逼法的一般步骤进行解答即可. 解：由题意可知，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点拨】本题考查了逼近法的应用，用有理数逼近无理数，从而求无理数的近似值的方法是夹逼法． 【题型 5】实数的相反数、绝对值与大小比较 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． （1）已知两个实数a，b，则． （2）两个无理数的和一定是无理数． 【答案】（1）不正确；举例见详解；（2）不正确；举例见详解 【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性． （1）考虑b的符号并举例即可判断． （2）考虑互为相反数的无理数即可求解． （1）解：不正确，理由如下： 当时，，例如，则，因此说法不正确． （2）解：不正确，理由如下： 两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和， 它们的和为0（有理数），因此说法不正确． 【变式1】（25-26七年级下·湖北黄石·期末）下列实数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：， 四个选项中最大的实数是． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先化简两个数，再根据实数大小比较规则判断大小即可． 解：，， ∵正数大于一切负数， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 【答案】选用圆形方案围成的场地面积较大，最大面积是． 【分析】本题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，若围成正方形场地，则边长为，面积为；若围成圆形场地，则圆的半径为，面积为，然后比较大小即可解决问题． 解：当围成正方形场地时：面积， 当围成圆形场地时：面积， ∵， ∴围成圆的面积较大，最大面积是． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（24-25七年级下·广西柳州·阶段检测）在下列实数中，无理数是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 解：是分数，、是整数，均为有理数；是无理数． 2．（25-26八年级下·河南商丘·期末）十二平均律中，相邻两个音的频率之比是一个固定值，该比值最接近下列哪个数？（    ） A．1.059 B．1.122 C．1.260 D．1.500 【答案】A 【分析】十二平均律将一个八度（整体频率比为2）平均分为12个半音，相邻音的频率比为固定值，通过计算得到该比值的近似值即可选出正确选项． 解：设相邻两个音的频率比为，一个八度内共12个相邻音级，一个八度的总频率比为 ∴，即 ∴该比值最接近． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，根据已知条件，结合各选项内容逐一判断，即可得到一定成立的结论． 解：∵ 实数，满足，即． 对各选项分析如下： A选项：，只是满足的一种特殊情况，故A错误． B选项：例如，满足，但，不都为，故B错误． C选项：互为倒数的两个数乘积为，例如，满足，乘积为，不互为倒数，故C错误． D选项：根据相反数的定义，和为的两个数互为相反数，由可知，互为相反数，结论一定成立，故D正确． 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）下列四个数中，属于负数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 解：A．，是正数，不符合要求； B． 既不是正数也不是负数，不符合要求； C．，是正数，不符合要求； D．，是负数，符合要求． 5．（2024·山东潍坊·模拟预测）的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 解：， ∴的相反数是． 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点在数轴上的位置得出，则，再判断即可． 解：根据数轴上点的位置可知，则， ∴，则B正确． 7．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解： ，，正数大于一切负数， 、、都大于， ，，， ， 因此比小的数是． 8．（25-26七年级下·北京·期末）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 解：① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】无限不循环小数即为无理数，据此即可作答． 解：∵m是无理数，且， ∴一个符合条件的m为（答案不唯一）． 10．（2026·广西梧州·二模）若实数满足，则代数式的值为______． 【答案】7 解：∵， ， 将代入得． 11．（2026·广东肇庆·三模）已知实数m，n满足，则________． 【答案】9 解：，且， ，， 解得，， ． 12．（25-26七年级上·山东临沂·期末）数轴上、两点所对应的实数分别为2，5，点是线段的中点，则点所对应的实数为________． 【答案】 【分析】数轴上，若点是线段的中点，则对应的实数等于、对应实数的平均数．先设出点对应的实数，再根据中点性质列出方程，最后解方程求出点对应的实数． 解：设点所对应的实数为． ∵点是线段的中点，且、对应的实数分别为、， ∴根据中点性质可得：． 解得． 即点所对应的实数为． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各数填入对应的括号内：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数：{         }； 无理数：{         }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的定义解答即可求解，掌握有理数的定义是解题的关键． 解：有理数：； 无理数：{，（相邻两个之间的个数逐次加）}． 15．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，则、、之间的大小关系为______（用“”连接）． 【答案】 【分析】利用幂的乘方将各数统一为相同底数，再比较指数大小得到结果． 解：， ，，且，当底数大于时，底数相同，指数越大，幂越大， ，即． 16．（2026·江苏南京·一模）实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【分析】先根据得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 解：已知，且， 因此．移项得， 两边取绝对值得，故④正确． 等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． 由得， 假设异号，则，可得或，则或，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，必为同号． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时，，同号； 当时，，，此时，，同号， 因此不一定成立，故①错误； ，一定同号，故②错误． 综上，正确结论的序号是③④． （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分） 17．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，把地球看成球形，地球赤道周长约．假如用一根比赤道仅长的铁丝将赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗？（一个成人拳头宽度约为9厘米） 【答案】能 【分析】本题考查了实数的运算、估算，比较大小等相关知识点，难度不大，掌握其基本知识点是解题关键. 根据题意得地球的直径，圆形铁圈的直径，计算即可求解. 解：地球的直径，圆形铁圈的直径 ∴间隙为 （也可以这样处理：） ∴能放进一个拳头. 18．（24-25七年级上·云南昆明·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，π，0，，，，10，． 整数集合{               …}； 正分数集合{            …}； 非正数集合{            …}； 非负整数集合{            …}． 【答案】，0，10；，，，；，，0，；0，10 【分析】本题考查了有理数，无理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、无理数、非正数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．正分数首先是分数，即是有理数，再是正数． 根据整数、正分数以及非正数、非负整数的定义进行解答即可． 解：整数集合{，0，10}； 正分数集合{，，，}； 非正数集合{，，0，}； 非负整数集合{ 0，10}． 故答案为：，0，10；，，，；，，0，；0，10． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）将直径为2的半圆（半圆的弧长为圆周长的一半）按如图所示的方式放置在数轴上，使直径的一端点P与原点O重合，直径与数轴垂直．让半圆沿数轴的正方向无滑动滚动至点P第一次落在数轴上，这时点P转到数轴上点的位置．那么，点对应的实数是多少？它是有理数还是无理数？ 【答案】，无理数 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据周长公式求出，再根据无理数的定义判断即可． 解：根据题意可知为直径为2的圆的周长一半加上直径， 即， 所以点对应的数是，是无理数． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）在直角三角形中，，的对边分别为． （1）计算：①当时，___________； ②当时，___________； ③当时，___________； （2）通过（1）中计算出的的值，可知是整数的是___________；是分数的是___________既不是整数，也不是分数的是___________．（请填写序号） 【答案】（1）①3；②16；③；（2）②；③；① 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数的分类，熟知勾股定理是解题的关键． （1）①②③根据勾股定理可得，据此代值计算即可； （2）根据（1）所求求出对应的b即可得到答案． （1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ③∵，， ∴； （2）解：由（1）可得，（1）①中的b既不是整数，也不是分数， （1）②中的，此时b是整数， （1）③中的，此时b是分数， 故答案为：②；③；①． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 认识实数（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】无理数的产生背景 1 【知识点二】无理数的定义与分类 2 【知识点三】实数的概念与分类 2 【知识点四】实数与数轴的关系 2 【知识点五】实数的相关性质 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】有理数与无理数的辨析 3 【题型 2】实数的分类填空 4 【题型 3】实数与数轴基础应用 4 三.题型精析（巩固提升） 5 【题型 4】无理数的估算 5 【题型 5】实数的相反数、绝对值与大小比较 6 四.同步检测 6 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分） 8 一.知识梳理与解读 【知识点一】无理数的产生背景 1. 通过正方形拼接可知：两个边长为1的小正方形拼成面积为2的大正方形，设大正方形边长为，则。 2. 数值特征分析：不是整数，也不是分数，因此不属于有理数。 3. 拓展延伸：若正方形面积为3、5、7等无法开方的数，其边长同样不是有理数，这类数真实存在，是一类新的数。 【要点提示】 有理数只包含整数和分数，所有有理数都可化为有限小数或无限循环小数；若一个正数的平方为非完全平方数，该数一定不是有理数。 【知识点二】无理数的定义与分类 1. 有理数小数形式：有限小数、无限循环小数。 2. 无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 3. 初中常见三类无理数： ① 开方开不尽的数：等； ② 特殊常数：、等； ③ 构造型无限不循环小数：有规律但不循环，如0.1010010001……（相邻两个1之间0的个数依次加1）。 【要点提示】 无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数；无限循环小数属于有理数，是考试高频易错点。 【知识点三】实数的概念与分类 1. 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 2. 实数两种分类方式： （1）按定义分类：实数分为有理数（整数、分数）、无理数（无限不循环小数）； （2）按正负性分类：正实数、0、负实数。 【要点提示】 0是有理数，是实数中唯一既不是正数、也不是负数的数；所有实数包含初中阶段所有数，无遗漏、无重复。 【知识点四】实数与数轴的关系 1. 一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 2. 核心结论：实数与数轴上的点一一对应（有理数不满足此关系）。 3. 作图方法：可利用勾股定理，在数轴上构造直角三角形，截取边长画出等无理数对应的点。 【要点提示】 数轴上的点不仅可以表示有理数，还可以表示无理数，填补了有理数数轴无法填满的空白。 【知识点五】实数的相关性质 1. 相反数、倒数、绝对值的含义：与有理数范围内定义完全一致。 2. 运算规律：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内全部适用。 3. 大小比较：数轴上右边的实数始终大于左边的实数。 【要点提示】 无理数近似计算时，需多保留一位小数，最后再取舍，避免结果误差过大。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】有理数与无理数的辨析 【例题1】（25-26七年级上·全国·期中）0，，，3，，，，（每两个1 之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{                      …}； （2）负数集合：{                    …}； （3）整数集合：{                      …}； （4）无理数集合：{                  …}． 【变式1】（24-25八年级下·河南郑州·开学考试）下列各数，是无理数的为（     ） A．0 B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）写出一个你喜欢的无理数________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2025，⑨…（每两个4之间的0依次多一个）． （1）整数集合：______…； （2）分数集合：______…； （3）负数集合：______…； （4）无理数集合：______…． 【题型 2】实数的分类填空 【例题2】（25-26七年级上·广东汕头·期中）把下列各数填在相应的大括号内 ，，，0，，，， 正数集合{              } 整数集合{              } 负分数集合{            } 非正整数集合{           } 【变式1】（2024·河南新乡·模拟预测）下列各数为分数的是（     ） A． B． C．0 D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有________个． 【变式3】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） （1）整数集合：{____________…}； （2）分数集合：{____________…}； （3）负有理数集合：{____________…}； （4）无理数集合：{____________…}． 【题型 3】实数与数轴基础应用 【例题3】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，半径为 个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合．（所有结果均保留） （1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点到达点，设点表示的数为．求的值： （2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：，，，，． ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？此时点所表示的数是多少？ 【变式1】（25-26七年级下·山西大同·期末）如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法正确与否．如果不正确，请举例说明． （1）所有有理数都可用数轴上的点来表示． （2）数轴上所有的点表示的数都是有理数． （3）数轴上所有的点表示的数都是实数． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】无理数的估算 【例题4】（23-24七年级下·河北衡水·阶段检测）我们知道，面积为的正方形的边长a是一个无理数，即a是一个无限不循环小数，根据这个基本事实，回答下列问题．    （1）若、是最接近的两个正整数，则等于________； （2）等于________． 【变式1】（25-26八年级下·河南商丘·期末）十二平均律中，相邻两个音的频率之比是一个固定值，该比值最接近下列哪个数？（    ） A．1.059 B．1.122 C．1.260 D．1.500 【变式2】（25-26七年级下·广东江门·期末）已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是______． 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）苏科版七年级课本在引入无理数概念时，提到了：若一个面积为2的正方形的边长为a，那么a是一个无理数，并采用“逼近法”对a的大小进行探究即先判断出a是大于1且小于2的数再近一步得到终得到 （精确到2位小数似的，若一个面积为10 的正方形的边长为b，请你逐步探索出b的取值范围（精确到2位数即可）． 【题型 5】实数的相反数、绝对值与大小比较 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． （1）已知两个实数a，b，则． （2）两个无理数的和一定是无理数． 【变式1】（25-26七年级下·湖北黄石·期末）下列实数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【变式3】（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 四.同步检测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（24-25七年级下·广西柳州·阶段检测）在下列实数中，无理数是（     ） A． B． C．0 D． 2．（25-26八年级下·河南商丘·期末）十二平均律中，相邻两个音的频率之比是一个固定值，该比值最接近下列哪个数？（    ） A．1.059 B．1.122 C．1.260 D．1.500 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）下列四个数中，属于负数的是（     ） A． B．0 C． D． 5．（2024·山东潍坊·模拟预测）的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·广东佛山·阶段检测）下列各数中比小的数是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·北京·期末）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知m是无理数，且，请写出一个符合条件的m的值________． 10．（2026·广西梧州·二模）若实数满足，则代数式的值为______． 11．（2026·广东肇庆·三模）已知实数m，n满足，则________． 12．（25-26七年级上·山东临沂·期末）数轴上、两点所对应的实数分别为2，5，点是线段的中点，则点所对应的实数为________． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列各数填入对应的括号内：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． 有理数：{          }； 无理数：{          }． 15．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知，，，则、、之间的大小关系为______（用“”连接）． 16．（2026·江苏南京·一模）实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． （三）解答题（本大题共4小题，每小题9分，共36分） 17．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，把地球看成球形，地球赤道周长约．假如用一根比赤道仅长的铁丝将赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗？（一个成人拳头宽度约为9厘米） 18．（24-25七年级上·云南昆明·期中）把下列各数分别填入相应的大括号内：，，，π，0，，，，10，． 整数集合{                …}； 正分数集合{             …}； 非正数集合{             …}； 非负整数集合{             …}． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）将直径为2的半圆（半圆的弧长为圆周长的一半）按如图所示的方式放置在数轴上，使直径的一端点P与原点O重合，直径与数轴垂直．让半圆沿数轴的正方向无滑动滚动至点P第一次落在数轴上，这时点P转到数轴上点的位置．那么，点对应的实数是多少？它是有理数还是无理数？ 20．（2025八年级上·全国·专题练习）在直角三角形中，，的对边分别为． （1）计算：①当时，___________； ②当时，___________； ③当时，___________； （2）通过（1）中计算出的的值，可知是整数的是___________；是分数的是___________既不是整数，也不是分数的是___________．（请填写序号） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $