专题 1.5 勾股定理全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义系统梳理勾股定理（由形得数）与逆定理（由数判形）核心内容，涵盖勾股数（必背及正整数倍性质）、四大应用场景（几何计算、图形判定、实际应用、最短路径）及全章易错点（分类讨论等），构建从定理到应用再到避错的完整学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，基础夯实（如直角三角形边长计算）与巩固提升（如立体最短路径）结合，通过梯子、芦苇等实际问题培养数学眼光，最短路径问题发展空间观念与推理能力，同步检测助力课后查漏补缺，提升教学效果。

专题 1.5 勾股定理全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】核心定理双向贯通（本章基石） 1 【知识点二】勾股数（必背基础） 2 【知识点三】勾股定理四大应用场景 2 【知识点四】全章易错点汇总（高频丢分点） 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】直角三角形边长计算（分类讨论易错题型） 3 【题型 2】勾股数识别与三角形形状判定 5 【题型 3】折叠几何综合求值（期末高频解答题） 7 【题型 4】实际生活应用题（梯子/芦苇/垂直检测） 10 【题型 5】四边形综合求值（拆分三角形模型） 13 三.题型精析（巩固提升） 17 【题型 6】最短路径压轴题型（平面将军饮马模型） 17 【题型 7】最短路径压轴题型（立体最短路径） 24 【题型 8】勾股定理与全等三角形综合 31 【题型 9】勾股定理与等腰三角形综合 35 四.同步检测 39 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 39 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 44 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 49 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】核心定理双向贯通（本章基石） 1. 勾股定理（由形得数） 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边长为，斜边长为，则：。 变式公式：，， 适用条件：仅直角三角形，用于已知两边求第三边。 2. 勾股定理的逆定理（由数判形） 在△ABC中，三边长，若，则△ABC为直角三角形，且边所对的角为直角。 三角形形状拓展判定（选择填空秒杀） 1. → 直角三角形 2. → 锐角三角形（为最长边） 3. → 钝角三角形（为最长边） 【知识点二】勾股数（必背基础） 定义：满足勾股定理的三个正整数，小数、分数不属于勾股数。 常用基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41 核心性质：一组勾股数的所有正整数倍，仍然是勾股数。 【知识点三】勾股定理四大应用场景 1. 几何计算：直角三角形边长、高、周长、面积求解； 2. 图形判定：利用三边关系判定直角三角形、线段垂直； 3. 实际应用：梯子滑动、水池芦苇、建筑垂直检测等生活建模问题； 4. 最短路径：平面将军饮马模型、立体图形（圆柱、长方体）展开最短路径。 【知识点四】全章易错点汇总（高频丢分点） 1. 未区分直角边和斜边，乱用公式，计算前未找最长边； 2. 已知直角三角形两边，未分类讨论（两直角边/一直角边一斜边）； 3. 误将小数、分数组合判定为勾股数； 4. 折叠问题遗漏折叠前后线段相等、角相等的核心性质； 5. 长方体最短路径未分类讨论，直接默认一种展开方式； 6. 实际问题解方程后保留负数解，不符合实际意义。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】直角三角形边长计算（分类讨论易错题型） 核心考法：题目未明确边长对应位置，必须分两种情况讨论，全章最高频基础易错题型。 【例题1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； （1）求线段的长； （2）当为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）；（2）4或 【分析】（1）根据勾股定理构建方程求解即可； （2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． （1）解：设， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即； （2）解：由题意知． ①当时，如图1，点P与点C重合，， ∴． ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：长为5的边是斜边和长为5的边是直角边，利用勾股定理求解即可． 解：当长为5的边是斜边时，则第三边长； 当长为5的边是直角边时，则第三边长 ∴该直角三角形的第三边长为或． 【变式2】（2024八年级下·辽宁鞍山·竞赛）在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 【答案】12或 【分析】根据直角三角形的性质，分为13为斜边和13为直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 解：根据题意，当13为斜边时，第三边为， 当13为直角边时，第三边为， 故第三边的长为12或． 【变式3】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是高．若，求的长． 【答案】的长为或 【分析】先理解题意，根据是高，运用勾股定理列式计算得，，然后进行分类讨论且结合作图，最后列式运算，得出的长，即可作答． 解：是的高， ． 由勾股定理，得， 当在的内部时，如图1所示： 则 当在的外部时，如图2， 综上所述，的长为或． 解题口诀：无图无说明，必做分类讨论。 【题型 2】勾股数识别与三角形形状判定 【例题2】（25-26八年级下·福建莆田·期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，， 那么为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论直接写出一组勾股数． 【答案】正确．理由： ∵表示大于的整数， ∴都是正整数，且是最大边， ∵， ∴即为勾股数， 当时，可得一组勾股数． 【分析】根据勾股定理计算其中较小两边的平方和，判断是否等于第三边的平方，继而证明结论，写出当时，组成的一组勾股数即可. 解：略. 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．1，，2 D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断各选项即可求解． 解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A中三个数为小数，选项C中不是正整数，∴排除A,C； 对选项D：，，，不符合要求，排除D； 对选项B：，且三个数均为正整数，符合勾股数定义，因此选B． 【变式2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． （1）已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． （2）请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【答案】（1）见分析；（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数，是解题的关键： （1）证明，即可； （2）由（1）将分解为，由（1）得到与，可以构成勾股数，进行求解即可． （1）解：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 【题型 3】折叠几何综合求值（期末高频解答题） 【例题3】（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，即，根据勾股定理即可求出的长； （2）设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出的长． （1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠至处， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵将沿折叠至处， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【答案】 【分析】利用折叠的性质，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 解：由折叠的性质可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． 在中，由勾股定理，得． 【点拨】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 【题型 4】实际生活应用题（梯子/芦苇/垂直检测） 【例题4】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． （1）求木杆折断之前的高度； （2）如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】（1）米；（2）小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 【变式1】（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 【变式2】（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 【答案】12 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据题意可得： ， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 【变式3】（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． （1）请问“远方”号沿哪个方向航行？ （2）若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】（1）“远方”号沿东南方向航行；（2）25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． （1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 【题型 5】四边形综合求值（拆分三角形模型） 【例题5】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）某社区有一块位于居民楼旁的四边形闲置场地，社区决定对其进行全面改建，以此来满足居民们多样化的运动需求．在施工前，专业的测量人员对四边形的各边长度和角度进行了精确测量．经测量发现，在四边形中，，米，米，米，米． （1）求AC的长度； （2）已知这种高品质的运动型塑胶地板每平方米250元，要将整个四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，请计算购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 【答案】（1）50米；（2）234000元 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，勾股定理逆定理的应用，解决本题的关键是证明出为直角三角形． （1）根据勾股定理求解边长即可； （2）先由勾股定理逆定理证明为直角三角形，再由三角形的面积公式分别求解出与的面积，再结合塑胶地板每平方米的价格计算即可． （1）解：在中，由勾股定理得： （米）； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴（平方米）； （平方米）； ∴（平方米）， ∴购买运动型塑胶地板的费用为：（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用需要234000元． 【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等，理解“邻等对补四边形"定义，熟练掌握三角形的面积，勾股定理是解决问题的关键． 设，根据“邻等对补四边形”定义得，再根据得①，得②，将①代入②得，由此解出即可得的长． 解：设， ∵四边形是“邻等对补四边形”，， ， ， ， ， 即①， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 将①代入②，得：， ， 或， 由，解得：， 由，解得：（不合题意，舍去）， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． （1）求小溪流的长． （2）求四边形的面积． 【答案】（1）千米；（2）平方千米 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． （1）解：如图，连接， ∵，千米，千米， ∴（千米）； （2）解：∵千米，千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】最短路径压轴题型（平面将军饮马模型） 核心方法：轴对称化折为直，两点之间线段最短，勾股定理求最小值。 【例题6】（24-25八年级上·河南南阳·期末）阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点M，N分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： （1）画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点M关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； （2）设计画图步骤； （3）回答结论并验证． 解决下列两个问题： （1）如图2，在中，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是______，取最小值时点P的位置是（在图中标出来）______； （2）如图3，点M，N分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点P位置的简要步骤：______． 【答案】（1）4，如图所示，线段与直线的交点 （2）如图所示；先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P 【分析】本题考查轴对称变换、最短路径问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意知点B关于直线的对称点为点C，记，的交点为，连接，此时的值最小即的长，求出的长度即可得到结论． （2）先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． （1）解：∵在中，，，， ∴， 如图，记，的交点为，连接， ∵垂直平分， ∴B、C关于对称， ∴， ∴，此时的值最小，最小值为4． （2）解：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 理由如下： ∵由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， ∴． 故答案为：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【分析】作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，从而可得，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，再结合轴对称的性质和勾股定理计算即可得出结果． 解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，， 则，， ∴， 当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为， 根据对称的性质可知：，，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【变式2】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， ∵， ∴． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 的最小值为． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； （2）如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； （3）如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【答案】（1）①点P即为所求作； ②5；（2）；（3） 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称-最短问题． （1）①利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；②作，交的延长线于点H，证明四边形是长方形，再根据勾股定理求出结论即可． （2）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，利用勾股定理求出点的长即可； （3）首先利用证明，得，将的最小值转化为的最小值，然后由（2）同理可得答案． （1）解：①略 ②作，交的延长线于点H， ∴ ∴四边形是长方形， ， ， ， ， ∵点A关于直线l的对称点， ， 的最小值为； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 则， 正方形中，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【题型 7】最短路径压轴题型（立体最短路径） 【例题7】（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答． 解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求出对应的最短路径，比较即可得到答案． 解：如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； ∵， ∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 故答案为：13． 【变式3】（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． （1）如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； （2）如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； （3）如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路程为；（2）蚂蚁爬行的最短路程为；（3）蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． （1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 【题型 8】勾股定理与全等三角形综合 【例题8】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作于． （1）求证：． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质，可得，，即可证得，据此即可证明． （2）先在中用勾股定理算出长度，再借助全等结论得到、的长，求出，最后在中再次利用勾股定理计算的长． 解：（1）略 （2）解：， 由（1）得， ， ， ∵， ∴， 在中， ． 【变式1】（2026·福建三明·三模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等求出、的长，结合图形得出的长及，最后在中利用勾股定理求解即可． 解：，，，都是全等三角形， ，、， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 【答案】 【分析】连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，，结合勾股定理可得结论． 解：如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴为直角三角形 根据勾股定理可得：， ∴ ∵在中，根据勾股定理有，， ∴， ∴. 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，再由即可解答． 解：（1）略 （2）解：∵在中，，， ∴， ∴． 【题型 9】勾股定理与等腰三角形综合 【例题9】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知等腰三角形的底边，D是腰上一点，，且． （1）求的长度； （2）求该三角形的腰的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据勾股定理可出的长； （2）在中，由勾股定理列出方程，得出的长． （1）解：， ． ． ，， ． （2）解：由（1）得，设． ． ， ． ，即． 解得． ． 【变式1】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）若的三边长为a，b，c，满足，则是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关键． 根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解． 解：∵， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，且等腰三角形为钝角三角形，则底边长为______． 【答案】8或 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． 根据题意分两种情况，画出相应的图形，从而可以解答本题． 解：∵等腰三角形为钝角三角形， ①当为腰上的高时，如图所示， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 在中，， 根据勾股定理得：； ②当为底边上的高时，如图所示， ∵， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 综上，等腰三角形的底边长为或8． 【变式3】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； （2）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【答案】（1）①，；②秒；（2）11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在性问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）①根据题意列代数式即可解答；②当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （2）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 解：（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，； 故答案为：，； ②，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （2）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·福建福州·期末）以下列长度的三条线段为三边的三角形，是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】验证三角形中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则该三角形为直角三角形． 解：A、∵， ∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，的三角形是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； 2．（25-26八年级下·江西上饶·期末）一个等腰直角三角形的斜边长为2，则其直角边的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】设等腰直角三角形的直角边长为，结合勾股定理列方程计算即可得到结果． 解：设等腰直角三角形的直角边长为， ∵该三角形是等腰直角三角形，两条直角边长度相等，斜边长为， ∴由勾股定理得：， 整理得， 即， ∴ ∵边长为正数， ∴． 3．（25-26八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 解：在中，， 由勾股定理得：． 4．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 【答案】D 解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 5．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：“赵爽弦图”是： 6．（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：由题意可知：正方形的面积为． 7．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 8．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为．乙一直向东走，甲先向南走步，后又向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇时，乙走了步，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据速度关系得到甲的总路程，确定直角三角形三边后，利用勾股定理列方程即可． 解：设乙走了步， ∵甲乙同时出发，运动时间相同，速度比为甲:乙， ∴甲一共走的路程为步. 甲先向南走10步，后斜向北偏东行走，因此斜行路程为步. 乙向东行走，南北方向与东西方向垂直，可得直角三角形， 两条直角边分别为10步和步，斜边为步. 根据勾股定理可得：． 10．（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 【答案】13 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边的长度即可． 解：∵在中，， ∴， ，， ． 12．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 13．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理，计算，再根据旗杆高度为计算即可． 解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：这根旗杆被吹断裂前至少有8米． 14．（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 【答案】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了海里和海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，，， ∴． 15．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________（提示：作关于对称的点）． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质确定当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，然后利用勾股定理以及线段的和差进行求解． 解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接， ∴， ∴， 当点与点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为． 17．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 【答案】 【分析】证明是直角三角形，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案． 解：∵，，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴． 18．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【答案】 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 解：的长是点到的距离， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， 答：供水点到喷泉的距离为． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的面积． 【答案】（1）证明：，， ， ， 即． （2） 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）利用勾股定理逆定理，即可得证； （2）勾股定理求出，进而求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 解：（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得， 即， ． ． ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求课桌的高度； （2）在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则，，求出，然后利用勾股定理求解． （1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； （2）解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）处与地面的距离是米；（2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． （1）解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 （1）如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． （2）如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】（1）①10；②；（2）12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． （1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践： 【问题背景】人教版教材九年级上册第 10题“探索研究”：等边和等边，将绕点A 旋转到某一位置，要求观察图形，提出问题并加以解决． 【探究发现】 （1）如图1，小明连结，并发现与的数量关系，请你探究后写出证明过程． （2）如图 2，得知小明的结论后，小华又连结，已知，请你求出的长； 【拓展探究】 （3）如图3，小颖画出了等腰直角和等腰直角，其中，，点C在上，请你直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1），理由见分析（2）13（3） 【分析】本题主要考查旋转的性质以及勾股定理，解题关键是找准边与角的关系证明全等，然后利用勾股定理求解． （1）通过判定，根据全等三角形的性质可得结论； （2）由得，再证明，由勾股定理可求出的长； （3）与（1）相同，证明全等后，利用勾股定理证明三边关系即可 解：（1）证明：，理由如下： ∵与均为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴ 由（1）知，， ∴ 又 ∴ 又， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图， ∵，， ∴ ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.5 勾股定理全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】核心定理双向贯通（本章基石） 1 【知识点二】勾股数（必背基础） 2 【知识点三】勾股定理四大应用场景 2 【知识点四】全章易错点汇总（高频丢分点） 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】直角三角形边长计算（分类讨论易错题型） 3 【题型 2】勾股数识别与三角形形状判定 3 【题型 3】折叠几何综合求值（期末高频解答题） 4 【题型 4】实际生活应用题（梯子/芦苇/垂直检测） 5 【题型 5】四边形综合求值（拆分三角形模型） 6 三.题型精析（巩固提升） 8 【题型 6】最短路径压轴题型（平面将军饮马模型） 8 【题型 7】最短路径压轴题型（立体最短路径） 9 【题型 8】勾股定理与全等三角形综合 11 【题型 9】勾股定理与等腰三角形综合 12 四.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】核心定理双向贯通（本章基石） 1. 勾股定理（由形得数） 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边长为，斜边长为，则：。 变式公式：，， 适用条件：仅直角三角形，用于已知两边求第三边。 2. 勾股定理的逆定理（由数判形） 在△ABC中，三边长，若，则△ABC为直角三角形，且边所对的角为直角。 三角形形状拓展判定（选择填空秒杀） 1. → 直角三角形 2. → 锐角三角形（为最长边） 3. → 钝角三角形（为最长边） 【知识点二】勾股数（必背基础） 定义：满足勾股定理的三个正整数，小数、分数不属于勾股数。 常用基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41 核心性质：一组勾股数的所有正整数倍，仍然是勾股数。 【知识点三】勾股定理四大应用场景 1. 几何计算：直角三角形边长、高、周长、面积求解； 2. 图形判定：利用三边关系判定直角三角形、线段垂直； 3. 实际应用：梯子滑动、水池芦苇、建筑垂直检测等生活建模问题； 4. 最短路径：平面将军饮马模型、立体图形（圆柱、长方体）展开最短路径。 【知识点四】全章易错点汇总（高频丢分点） 1. 未区分直角边和斜边，乱用公式，计算前未找最长边； 2. 已知直角三角形两边，未分类讨论（两直角边/一直角边一斜边）； 3. 误将小数、分数组合判定为勾股数； 4. 折叠问题遗漏折叠前后线段相等、角相等的核心性质； 5. 长方体最短路径未分类讨论，直接默认一种展开方式； 6. 实际问题解方程后保留负数解，不符合实际意义。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】直角三角形边长计算（分类讨论易错题型） 核心考法：题目未明确边长对应位置，必须分两种情况讨论，全章最高频基础易错题型。 【例题1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； （1）求线段的长； （2）当为直角三角形时，求t的值． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（2024八年级下·辽宁鞍山·竞赛）在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 【变式3】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是高．若，求的长． 解题口诀：无图无说明，必做分类讨论。 【题型 2】勾股数识别与三角形形状判定 【例题2】（25-26八年级下·福建莆田·期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于的整数，，，， 那么为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论直接写出一组勾股数． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．1，，2 D．，， 【变式2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． （1）已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． （2）请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【题型 3】折叠几何综合求值（期末高频解答题） 【例题3】（25-26八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： （1）求的长； （2）求的长． 【变式1】（25-26八年级下·重庆巴南·期末）如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，已知在长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则_______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【题型 4】实际生活应用题（梯子/芦苇/垂直检测） 【例题4】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． （1）求木杆折断之前的高度； （2）如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【变式1】（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 【变式3】（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． （1）请问“远方”号沿哪个方向航行？ （2）若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【题型 5】四边形综合求值（拆分三角形模型） 【例题5】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）某社区有一块位于居民楼旁的四边形闲置场地，社区决定对其进行全面改建，以此来满足居民们多样化的运动需求．在施工前，专业的测量人员对四边形的各边长度和角度进行了精确测量．经测量发现，在四边形中，，米，米，米，米． （1）求AC的长度； （2）已知这种高品质的运动型塑胶地板每平方米250元，要将整个四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，请计算购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 【变式1】（23-24八年级下·江苏南通·期中）定义：有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”．如图，四边形是“邻等对补四边形”，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式2】（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为__________． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． （1）求小溪流的长． （2）求四边形的面积． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】最短路径压轴题型（平面将军饮马模型） 核心方法：轴对称化折为直，两点之间线段最短，勾股定理求最小值。 【例题6】（24-25八年级上·河南南阳·期末）阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点M，N分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： （1）画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点M关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； （2）设计画图步骤； （3）回答结论并验证． 解决下列两个问题： （1）如图2，在中，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是______，取最小值时点P的位置是（在图中标出来）______； （2）如图3，点M，N分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点P位置的简要步骤：______． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 【变式2】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； （2）如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； （3）如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【题型 7】最短路径压轴题型（立体最短路径） 【例题7】（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【变式2】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是________． 【变式3】（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． （1）如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； （2）如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； （3）如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【题型 8】勾股定理与全等三角形综合 【例题8】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作于． （1）求证：． （2）连接，若，求的长． 【变式1】（2026·福建三明·三模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上（点不与点，重合）．写出线段，，之间的数量关系式：__________． 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，四边形中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 9】勾股定理与等腰三角形综合 【例题9】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知等腰三角形的底边，D是腰上一点，，且． （1）求的长度； （2）求该三角形的腰的长度． 【变式1】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）若的三边长为a，b，c，满足，则是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式2】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，且等腰三角形为钝角三角形，则底边长为______． 【变式3】（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； （2）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·福建福州·期末）以下列长度的三条线段为三边的三角形，是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·江西上饶·期末）一个等腰直角三角形的斜边长为2，则其直角边的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 3．（25-26八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 5．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为．乙一直向东走，甲先向南走步，后又向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇时，乙走了步，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 12．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 13．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 14．（25-26八年级下·河南新乡·期中）2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距_______海里． 15．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 16．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________（提示：作关于对称的点）． 17．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 18．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点在边上，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的面积． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求课桌的高度； （2）在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 （1）如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． （2）如图2，在中，是边上的高，求的长． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践： 【问题背景】人教版教材九年级上册第 10题“探索研究”：等边和等边，将绕点A 旋转到某一位置，要求观察图形，提出问题并加以解决． 【探究发现】 （1）如图1，小明连结，并发现与的数量关系，请你探究后写出证明过程． （2）如图 2，得知小明的结论后，小华又连结，已知，请你求出的长； 【拓展探究】 （3）如图3，小颖画出了等腰直角和等腰直角，其中，，点C在上，请你直接写出和之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $