专题05 平方根与立方根（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦平方根与立方根核心知识点，系统梳理算术平方根、平方根的定义及双重非负性，立方根的定义与性质，通过对比辨析明确二者在被开方数范围、结果个数上的差异，构建从概念理解到计算应用的完整学习支架。 资料以Venn文字辨析深化概念认知，典例与变式结合覆盖基础求值、双重非负性应用等题型，融入刹车距离推算车速等实际问题，培养抽象能力、运算能力与模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过巩固训练查漏补缺，强化知识应用。

专题05 平方根与立方根 1. 理解算术平方根、平方根的定义，分清二者区别与联系，会用根号表示； 2. 掌握平方根的双重非负性，能求非负数的平方根与算术平方根； 3. 理解立方根定义，掌握立方根符号，会求任意实数的立方根； 4. 区分平方根、立方根的性质差异，能熟练进行开平方、开立方计算； 5. 利用平方根、立方根解决简单求值、实际应用题。。 一、算术平方根 1. 定义：若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则正数x叫做a的算术平方根，记作； 2. 特殊规定：0的算术平方根是0，即=0； 3. 取值范围：被开方数a0，算术平方根结果≥0（双重非负性）。 二、平方根 1. 定义：如果一个数 x 的平方等于 a，也就是 x²=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根，也叫二次方根。 记作； 2. 性质： ①正数有两个平方根，互为相反数； ②0只有一个平方根，是它本身； ③负数没有平方根。 3. 取值范围：被开方数a≥0，算术平方根结果≥0（双重非负性）。 三、立方根 1. 定义：若x=a，则x叫做a的立方根，记作； 2. 性质： ①正数的立方根是正数； ②0的立方根是0； ③负数的立方根是负数； 3. 关键特点：任意实数都有唯一立方根，被开方数可为负数。 四、平方根与立方根对比（Venn文字辨析） 1. 平方根：仅非负数有，结果2个（正数）/1个（0）； 2. 立方根：全体实数都有，结果永远唯一。 五、常用易错点 1. 只代表算术平方根，不等于正负平方根； 2. 0，看到可直接判断； 3. =，立方根负号可直接移出根号。 题型01 求算术平方根、平方根 【典例】9的平方根是(　　) A．±3 B．± C．3 D．－3 【变式】的平方根是（　　） A．3 B．±3 C． D．± 题型02 求立方根 【典例】的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 【变式】体积为9的立方体的棱长为（ ） A． B． C． D．3 题型03 利用双重非负性求值 【典例】若，则的算术平方根为______． 【变式】已知与互为相反数，则的值是 _________． 题型04 平方根、立方根综合辨析 【典例】若的立方根是4，则的平方根是________. 【变式】一个数的平方根等于它本身，这个数是多少？立方根等于本身的数有哪些？平方根与立方根都等于它本身的数是? 【巩固训练】 1．若 ，则 的平方根是____． 2．填空： （1）的平方根是______； （2）______； （3）______． 3．若的立方根是4，则的平方根是________. 4．已知|x+2|+＝0，则＝_____． 5．的算术平方根是__________，的平方根是__________，的立方根是__________． 6．比较大小：3________．（填“”“”或“”） 7．若，且为整数，则的值为_____． 8．估计与0.5的大小关系是：______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 9．交通警察在处理事故时，车辆是否超速是划分责任的一个主要依据，根据实际工作经验，刹车后车轮滑过的距离可以用来推算当时的车速，所用的公式为其中v表示车速，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数.在一段限速80的地段，发生了一起交通事故，警察在现场调查中测得，，则肇事汽车当时______超速.（填“已经”或“没有”） 10．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【强化训练】 1．已知的整数部分为，的小数部分为，求： (1)的值． (2)的值． 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为16的平方根，求的值. 3．已知a，b，c，d，m，n均为实数，且a与b互为相反数，c和d互为倒数，m的倒数等于它本身，n的平方根等于它的立方根.试求. 4．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． (1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； (2)在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 　 　． 5．实数 在数轴上的位置如图，化简：．    6．已知的算术平方根是3，的平方根是±4，是的10倍，求的平方根． 7．求以下各数的平方根：，，，，，，． 8．如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷．若绳子的长度为，地面固定点到帐篷支撑竿底部的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？ 9．求下列各式的值： （1）；        （2）；        （3）；        （4）． 10．先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平方根与立方根 1. 理解算术平方根、平方根的定义，分清二者区别与联系，会用根号表示； 2. 掌握平方根的双重非负性，能求非负数的平方根与算术平方根； 3. 理解立方根定义，掌握立方根符号，会求任意实数的立方根； 4. 区分平方根、立方根的性质差异，能熟练进行开平方、开立方计算； 5. 利用平方根、立方根解决简单求值、实际应用题。。 一、算术平方根 1. 定义：若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则正数x叫做a的算术平方根，记作； 2. 特殊规定：0的算术平方根是0，即=0； 3. 取值范围：被开方数a0，算术平方根结果≥0（双重非负性）。 二、平方根 1. 定义：如果一个数 x 的平方等于 a，也就是 x²=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根，也叫二次方根。 记作； 2. 性质： ①正数有两个平方根，互为相反数； ②0只有一个平方根，是它本身； ③负数没有平方根。 3. 取值范围：被开方数a≥0，算术平方根结果≥0（双重非负性）。 三、立方根 1. 定义：若x=a，则x叫做a的立方根，记作； 2. 性质： ①正数的立方根是正数； ②0的立方根是0； ③负数的立方根是负数； 3. 关键特点：任意实数都有唯一立方根，被开方数可为负数。 四、平方根与立方根对比（Venn文字辨析） 1. 平方根：仅非负数有，结果2个（正数）/1个（0）； 2. 立方根：全体实数都有，结果永远唯一。 五、常用易错点 1. 只代表算术平方根，不等于正负平方根； 2. 0，看到可直接判断； 3. =，立方根负号可直接移出根号。 题型01 求算术平方根、平方根 【典例】9的平方根是(　　) A．±3 B．± C．3 D．－3 【答案】A 【分析】根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：9的平方根是： ±=±3． 故选A． 【变式】的平方根是（　　） A．3 B．±3 C． D．± 【答案】D 【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果． 【详解】解：∵=3， ∴的平方根是±． 题型02 求立方根 【典例】的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义化简，然后再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 又的立方根是， 的立方根是， 故选：C 【变式】体积为9的立方体的棱长为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，正确掌握立方体的体积公式是解答本题的关键． 【详解】解：设立方体的棱长为，则有： ，解得， 所以，立方体的棱长为， 题型03 利用双重非负性求值 【典例】若，则的算术平方根为______． 【答案】4 【分析】本题考查算术平方根的非负性，非负数的性质，算术平方根的定义．根据被开方数大于等于列式求出的值，再求出的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：由题意知，所以 ， ， ， ， 故答案为：4． 【变式】已知与互为相反数，则的值是 _________． 【答案】9 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， 所以，． 故答案为：9． 题型04 平方根、立方根综合辨析 【典例】若的立方根是4，则的平方根是________. 【答案】 【分析】首先利用立方根的定义可以得到关于x的方程，解方程即可求出x，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】∵5x+19的立方根是4， ∴5x+19=64， 解得x=9 则2x+7=2×9+7=25， ∴25的平方根是±5 故答案±5． 【变式】一个数的平方根等于它本身，这个数是多少？立方根等于本身的数有哪些？平方根与立方根都等于它本身的数是? 【答案】1,0；0,1，-1；0,1. 【分析】平方根、立方根的定义与性质 【详解】解：设这个数为x， 它的平方根等于它本身，即：=𝑥，解得x=1，0. 它的立方根等于它本身，即：=𝑥，解得x=-1,1,0. 它的平方根等于它的立方根，即：=，解得x=0,1. 故答案为：1,0；0,1，-1；0,1. 【巩固训练】 1.若 ，则 的平方根是____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、平方根，理解平方根、算术平方根的性质是正确解答的前提．根据算术平方根的意义，可知，解得，然后求得即可求解． 【详解】由题意得：，解得 ∴ ∴ 的平方根是 故答案为：． 2.填空： （1）的平方根是______； （2）______； （3）______． 【答案】 5 5 【分析】（1）根据平方根的定义：如果（b大于等于0），那么a就叫做b的平方根，由此求解即可； （2）根据算术平方根的定义：如果（b大于等于0，a大于等于0），那么a就叫做b的算术平方根，由此求解即可； （3）根据算术平方根的定义：如果（b大于等于0，a大于等于0），那么a就叫做b的算术平方根，由此求解即可； 【详解】解：（1）∵， ∴25的平方根是； （2）； （3）． 故答案为：±5；5；5． 3.若的立方根是4，则的平方根是________. 【答案】 【分析】首先利用立方根的定义可以得到关于x的方程，解方程即可求出x，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】∵5x+19的立方根是4， ∴5x+19=64， 解得x=9 则2x+7=2×9+7=25， ∴25的平方根是±5 故答案±5． 4.已知|x+2|+＝0，则＝_____． 【答案】-2 【分析】根据绝对值与平方根的非负性列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，x+2＝0，y﹣6＝0， 解得x＝﹣2，y＝6， 所以x﹣y＝﹣2﹣6＝﹣8 所以． 故答案为：﹣2． 5.的算术平方根是__________，的平方根是__________，的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义．熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【详解】解：的算术平方根是； ，它的平方根是； ，它的立方根是； 故答案为：；；． 6.比较大小：3________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数大小比较，利用平方比较大小即可．掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 7.若，且为整数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数越大，值越大，由此即可求解． 【详解】解：∵，且为整数， ∴， 故答案为：． 8.估计与0.5的大小关系是：______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 【答案】＞ 【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 9.交通警察在处理事故时，车辆是否超速是划分责任的一个主要依据，根据实际工作经验，刹车后车轮滑过的距离可以用来推算当时的车速，所用的公式为其中v表示车速，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数.在一段限速80的地段，发生了一起交通事故，警察在现场调查中测得，，则肇事汽车当时______超速.（填“已经”或“没有”） 【答案】已经 【分析】把d、f的值代入公式进行计算即可得解． 【详解】∵d=24m，f=1.3，∴v=161616×5.59≈89.4km/h． ∵89.4＞80，∴肇事汽车当时已经超速． 故答案为已经． 10.估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】根据得到，问题得解． 【详解】解：， ，即在5和6之间． 故选：C． 【强化训练】 1.已知的整数部分为，的小数部分为，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算： （1）根据无理数的估算方法得到，则，据此求出A、B的值即可得到答案； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得． 2.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为16的平方根，求的值. 【答案】 【分析】利用相反数，倒数，以及平方根的意义求出，，平方的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，，， 原式 ． 3.已知a，b，c，d，m，n均为实数，且a与b互为相反数，c和d互为倒数，m的倒数等于它本身，n的平方根等于它的立方根.试求. 【答案】当时，原式；当时，原式. 【分析】首先根据题意可得a+b=0，cd=1，，n=0，然后把代数式的值代入即可． 【详解】因为a与b互为相反数，所以. 因为c和d互为倒数，所以. 因为m倒数等于它本身，所以. 因为n的平方根等于它的立方根，所以. 当时，原式； 当时，原式. 4.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． (1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； (2)在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，2 【分析】（1）根据正方形的面积为5，可得正方形的边长为，画出一个边长为的正方形即可； （2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求面积为5的正方形； ∵， ∴如图所示即的正方形即为所求； （2）如图所示， ∵，， ∴如图所示三角形即为所求； 这个三角形的面积为， 故答案为：2． 5.实数 在数轴上的位置如图，化简：．    【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简；先判定，再化简绝对值与二次根式即可； 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 6.已知的算术平方根是3，的平方根是±4，是的10倍，求的平方根． 【答案】． 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a，b的方程组，求得a，b的值，然后求得c的值，接下来求得的值，最后求它的算术平方即可． 【详解】解：由题意得， ∴a=5，b=2， ∵，0.3×10=3， ∴c=3， ∴， ∴的平方根是． 7.求以下各数的平方根：，，，，，，． 【答案】，，，，，， 【分析】根据平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，计算即可． 【详解】解：（1）因为，所以的平方根是，即； （2）的平方根等于； （3）的平方根是； （4）因为，所以的平方根是，即； （5）因为，所以的平方根是，即； （6）因为，所以的平方根是，即； （7）因为，所以的平方根是，即． 8.如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷．若绳子的长度为，地面固定点到帐篷支撑竿底部的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？ 【答案】 【分析】由题意可得，，然后根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴由勾股定理得：， ∴帐篷支撑竿的高是4.8m． 9.求下列各式的值： （1）；        （2）；        （3）；        （4）． 【答案】（1）-2；（2）0.4；（3）；（4）9 【分析】根据立方根的概念进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 10.先阅读材料，再解答问题． ，， ． ，， ． ，， ． ， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ，相反数 (2) 【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数； （2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果． 此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； ∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数； 故答案为：；；； ，相反数 （2）解： ． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $