2.3 二次根式知识梳理与题型突破（九大题型） 讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦二次根式核心知识点，系统梳理概念（定义、有意义条件）、性质（三个关键性质及细节剖析）、最简与同类二次根式判定，以及乘除、加减运算法则，构建从基础概念到运算应用的学习支架，衔接实数与代数运算。 该资料以九大题型分层突破，从概念辨析到实际应用，如高空抛物问题培养应用意识，性质对比剖析提升推理能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，查漏补缺，发展数学思维与应用能力。

2.3二次根式知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版八年级上册（九大题型） 知识梳理： 知识点01:二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 细节剖析：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 细节剖析：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 细节剖析：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 细节剖析：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点02:二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 细节剖析：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）. 如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 细节剖析：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 题型突破： 题型一：二次根式的相关概念 1.下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 3．当x＝0时，二次根式的值等于（　　） A．4 B．2 C． D．0 【答案】B． 4.若有意义，则x的取值范围为　 　． 【答案】x≥0且x≠6． 5．当x＝　 　时，的值最小． 【答案】3 题型二：二次根式的性质 1.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 2.若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【答案】C 3.若，则x的取值范围是 　 　． 【答案】x． 4.若，则 ． 【答案】12 5.如果，那么 ． 【答案】1 题型三：最简二次根式 1.下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 3．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 4.把化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 5.把下列二次根式化为最简二次根式： (1)(2)(3)(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型四：同类二次根式 1.下列各式中，化简后能与合并的二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 【答案】A 4.若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ） A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2 【答案】A 5.当 时，最简二次根式与是同类二次根式． 【答案】4 题型五：二次根式乘除法 1．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 3．估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 4.下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 5．计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）120；（2）；（3）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． 题型六：二次根式加减法 1．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2．计算： ． 【答案】 3.计算结果为 ． 【答案】 4.计算：． 【答案】． 【解答】解： ＝ ＝． 5．计算：． 【答案】． 【解答】解：原式． 题型七：二次根式混合运算 1．下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2.计算：（+）×﹣4． 【答案】解：原式＝（2+）×﹣2 ＝2×+×﹣2 ＝4+3﹣2 ＝4+． 3.计算：+×﹣． 【答案】解：原式＝+﹣2 ＝4+﹣2 ＝4﹣． 4.化简： （1）；（2）． 【答案】（1）2； （2）8． 【解答】解：（1） ＝9﹣7+2﹣2 ＝2； （2） ＝6﹣+3 ＝8． 5．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）7；（2）． 【解答】解：（1）； （2）． 题型八：二次根式的化简求值 1．若，，则式子的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 2．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3．已知，，那么的值是 ． 【答案】 4．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 5.已知x＝+2，y＝． （1）化简y； （2）求的值． 【答案】（1）﹣2； （2）18． 【解答】解：（1）y＝＝＝﹣2； （2）∵x＝+2，y＝﹣2， ∴xy＝（+2）（﹣2）＝1，x+y＝+2+﹣2＝2， ∴＝＝＝﹣2＝﹣2＝20﹣2＝18． 题型九：二次根式的应用 1．在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 2．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为 ． 【答案】9 4.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【答案】 5.如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】（1）长方形ABCD的周长是； （2）张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元． 【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝＝＝． 答：长方形ABCD的周长是； （2）蔬菜地的面积＝ ＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）． 39×8×15＝4680（元）． 答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次根式知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版八年级上册（九大题型） 知识梳理： 知识点01:二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 细节剖析：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 细节剖析：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 细节剖析：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 细节剖析：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点02:二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 细节剖析：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）. 如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 细节剖析：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 题型突破： 题型一：二次根式的相关概念 1.下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2.下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．当x＝0时，二次根式的值等于（　　） A．4 B．2 C． D．0 4.若有意义，则x的取值范围为　 　． 5．当x＝　 　时，的值最小． 题型二：二次根式的性质 1.已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 2.若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 3.若，则x的取值范围是 　 　． 4.若，则 ． 5.如果，那么 ． 题型三：最简二次根式 1.下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 4.把化为最简二次根式，结果是 ． 5.把下列二次根式化为最简二次根式： (1)(2)(3)(4) 题型四：同类二次根式 1.下列各式中，化简后能与合并的二次根式是（　　） A． B． C． D． 2.下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 4.若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ） A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2 5.当 时，最简二次根式与是同类二次根式． 题型五：二次根式乘除法 1．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 3．估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 4.下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5．计算： （1）； （2）； （3）． 题型六：二次根式加减法 1．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．计算： ． 3.计算结果为 ． 4.计算：． 5．计算：． 题型七：二次根式混合运算 1．下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 2.计算：（+）×﹣4． 3.计算：+×﹣． 4.化简： （1）；（2）． 5．计算： （1）； （2）． 题型八：二次根式的化简求值 1．若，，则式子的值为（　　） A．3 B． C． D． 2．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，那么的值是 ． 4．已知，则代数式的值是 ． 5.已知x＝+2，y＝． （1）化简y； （2）求的值． 题型九：二次根式的应用 1．在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 2．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 3.如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为 ． 4.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 5.如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $