平面向量及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量与解三角形综合应用，以题型覆盖核心知识点，构建从概念运算到几何性质应用的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题|含实际测量、外心重心、角平分线等综合应用|向量运算→解三角形定理→几何性质| |填空|4题|解三角形、角平分线长度、外接圆切线问题|性质应用→定量计算| |解答|5题|多问综合，涉及面积、周长、最值及中线角平分线|综合应用→逻辑推理|

高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 一、单选题 1．“凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585），塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、鹤、马、羊等各种祥禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智慧.为了测量其高度，设凤凰塔高为，在与点同一水平面且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为，，，且，则凤凰塔的高约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2．分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 3．在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（   ） A． B． C． D． 4．若向量，满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 6．已知向量、满足，，且，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 7．若的三个内角对应的边分别为，且满足，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 8．已知向量满足，且满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知向量，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量是 10．已知的外接圆圆心为O，且满足，则（    ） A． B． C．若，则在上的投影向量为 D．若，，则 11．已知向量，满足，，则（   ） A． B． C．当时，，同向 D．当时，在上的投影向量为 三、填空题 12．设的内角，，的对边分别为，，，若，，则__． 13．在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为__________ 14．已知在等腰中，．过点作外接圆的切线，交的延长线于点．若．则________． 四、解答题 15．在中，角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若的面积为，内角的角平分线交边于点，求的长； (3)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值． 16．已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且 (1)求; (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长． 17．在锐角△中， 已知角的对边分别为，且. (1)求证： ； (2)求的最小值； (3)若，求△周长的取值范围. 18．函数（其中）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)在中，角的对边分别为，若，，且的面积为，求. 19．在中，角所对的边分别为，角为钝角，且． (1)若，求角； (2)设的平分线交于点，若面积为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B A D A BD ABD 题号 11 答案 ACD 1.B 【分析】利用邻补角余弦互为相反数，结合余弦定理列等式，消去角度直接解出塔高 BE= 3 h,BD=h,BC=√3h 【详解】设塔高h,则 3 在△BDE、△BDC中， coS∠BDE=-cOS∠BDC 因为CD=DE=37m, 所以由余弦定理得 BD+DE-BEBD'+DC:-BC2 +3- 2+372-(3n 2·BD·DE 2BD·DC 2h.37 2.h-37 化简海0=2X37 =376、37×2.49≈45.31m 解得 2 2 故塔高约为45m, 2.B 【分析】设D为BC边中点，连接OD,作OH⊥AC于H,即H为AC中点，求得 40.4C-4C,40.5-B,化简得40.4G-。+4C,再通过面积公式和 6 基本不等式即可得到答案. 【详解】设D为BC边中点，连接OD,作OH⊥AC于H,即H为AC中点， 答案第1页，共2页 G D TO 因为A0.Ac=A0 Cco∠01C=AAC=)4C, 同理40.4-406c0s∠01B=6, 划0c-而而)-号而+而 0(丽+0-名丽+片0-名6+)=3， 所以b2+c2=18,因为∠BAC=30°， 所以aBC的面积为besin30°=bcsb+C_9 4 42-4 当且仅当b=c=3时取等号. 故选：B 3.A 【分析】由正弦定理、余弦定理将已知关系式进行化简得到a=2b, C 再由等面积法得到cos2,由二倍角公式得cosC的值 【详解】由已知和正弦定理得a2+b2-c2=4 b2 cos C, cos C cosC 2h cosC. 2ab 2ab a △ABC为非直角三角形，.c0sC≠0，∴a=2b, SAARC=S△ACD+S△BCD 2’ C 即2sinc=sin+2sin2, 2 又2sinC=2x2 sin CcosC 2 =4sin Coo 2 答案第2页，共2页 所以4 sin Co、 C =3sin 2, C∈(0，π)， C C3 .sin≠0，.cos 2 24· cosC-2cos2C 1-2x 2 611 8 故选：A. 4.B 【详解1设同=>0叭，同=2，a.6夹角为B. 因为a+26外io,2a-=15 a+2bP=812+82cosB=10 所以ll2a-6P=172-82cosB=15 t=1 解行oasB-号 5.A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可 【详解】取BC的中点O,连接OA,由题意△ABC为等边三角形，故以O为坐标原点，建 立如图所示的平面直角坐标系， 因%边ac的边长为3，所以4a40小c任o小】 答案第3页，共2页 又意y方和这的中点两如9)】 夏%o引则-+9)- 师-+}引0=-2， 3 由二次函数开口向上，对称轴为x= 「33 「33] 故函数f(x)在2'8上单调递减，在82上单调递增， ）2 3.3981 48864 6.D 【分析】根据a在b方向上的投影向量公式计算可得. 【详解】由=，=2.化简： (2a-b)a+36)=2a2+6a-6-6.a-352 =5a-b-10 即5a-6-l10=-5.a-6=1 ab b 又。在6方向上的投影的量为月问，代入数都得宁6-。枚D选项正确 4 7.A 【分析】利用正弦定理和余弦定理分析即可 【详解】由正弦定理可得：sinA:sinB:sinC=a:b:c=7:8:9, 因为a:b:C=7:8:9可知a<b<C,由三角形边角关系得：A<B<C, 答案第4页，共2页 7 由ab:c=7:8:9之a=0c,b=6C 72 根据余弦定理：cosC=a+2-c 66e0 2ab 78 7 2×g9 又0<C<x→C<经，从而4<B<C< 2,故。ABC为锐角三角形. 8.A 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的数量积这一性质，将己知模长等式两边平方， a.b 代入己知模长数值即可求出“的值， 【详解】将2a+6外V17 两边平方，得： 12a+bP=(2a+b)-(2a+b=4a.a+4a-6+6.6 代入已知1,63，可得a-aaf-,6-66=9, 且12à+6=(7y=17 代入上式得：4x1+46-B+9=17 整理计算得4-6=4，即a-6=引，因此a-6的值为1. 9.BD 【详解】A选项： 25=2-2),则a+26=0+22-2)=80, 故A选项错误： B选项：|aVP+2-V5 故B正确： cos<a,6>=a.b x x2+yy2 1×1+2×(-1) -1V10 C选项： 1-b1x2+yv2+2P+2.VP+(-121010, 故C错误； a6i-1x6=-6 -X D选项：G在6方向上的投影向量V2V互2”，故D正确. 10.ABD 答案第5页，共2页 【详解】A选项：如图所示，由 孤+4C-240得，-40=40-4C,即0B=可 BO=OC ,所以选项A正确： B R R B选项：如图所示，设△MBC外接圆的半径为R,由A选项知 O=OC 得0为BC的中点，则OAHOBHOCHR,则∠BAC=0, 所以1B.AC=0 选项B正确： C选项：由己知得BHOAHOBER ?,则△0MB为等边三角形， 因为BC2R,所以BC,则BM在BC上的投影向量为： 1BA|cos60°. BC 1 BC=1BC AB|× BCI 22AB4,选项C错误： D适项：在R△MBC中，设∠MBC=60为能角)，则∠ACB=受0， |ABBC]cos0=2R-cos0 ACHBCIsin0=2R.sin0 BA-BO=BABO cos0=2R2 cos20=1 因为 C-C-i2. 答案第6页，共2页 2R2sin20 2 两式相除得， 2Rcos0i解得anr20=2:an0=V2,cos20=} , 代回2R2cos20=1得， R2=R=6 2,即 =2,BC=2R=V6,选项D正确 11.ACD a+=4 la+=16 d+6+2a-6=16 【详解】A选项：由 a-=2得a-=4,即d+-2à-6=4· +6=10 解得 a.b=3 故选项A正确； +6°=10 B选项： 当d=6-4时.符合 .b=3 但不清足。日-名-8 故选项B错误； +6=10 106=10 C选项：当d=36时，由A选项知 a.b=3 ，即316Pcos(a,6)=3: 6=1 解得 osa)=因为(a.e0. 所以 a6-0 所以a,b同向，故选项C正确； 1ala-66-a-b6-36 D选项：a在6上的投影向量为|a11b1b5,故选项D正确 π 12.3 【详解】解：因为3s如B=5nA,则由正弦定理可得36-5a,所以a-6, 5 又a+c=2b,所以c=2b-a=2b 答案第7页，共2页 OsC=+b2-c2 9+b2_49 25 25 由余弦定理可得 2ab 2x3 b×b 2 又因为C∈(0，)， 所以C=琴。 4 13.50.8 【分析】利用角平分线性质得两个小三角形的顶角均为60°，通过等面积法，即△ABC的面 积等于△ABD与△ACD的面积之和，列式计算AD的长度 【详解】因为AD为∠BAC的角平分线，且∠BAC=120°，所以∠BAD=∠CAD=60°， S.ABC=SABD+SACD 根据三角形面积的关系可得： 左边5-24B4C-sin120=x1x4x5-5 1 2 2 右边SABn+SACD= 4B0s血60+号4C4D血60， 1 代得2x1x224大233 1 联立左右两边等式： 35 -AD 4 解得0-号 2 14.9 【分析】利用弦切角定理∠TAC=∠ABC= 6,即可得7C 2,结合平面向量基本定理求 解即可 【详解】如图所示： 答案第8页，共2页 因为AT是过点A的△ABC的外接圆的切线， 所以根据弦切角定理可得：∠TAC=∠ABC= 6 在等腰AABC中，因为∠BAC=∠ABC= =6,所以AC=BC: 且∠TAB=∠TAC+∠CAB=亚+π=元 663, 所以∠ATB=∠ATC=π 2 设AC=BC=1在直角△MC中，∠4C= ,所以17C 2, 所以c-B,即c-7, 所4C=+心=A+兮顶=+-列号+兮4， 2 122 又AC=1B+uAT,所以2=34=5，所以4=3×行) 15.03 4V5 (2)3 5 3)2 【分析】(1)利用正弦定理与两角和的正弦公式分析求解即可： (2)利用三角形的面积公式分析求解即可； (3)利用余弦定理与平面向量运算法则及运算律，再结合向量数量积分析求解即可. 答案第9页，共2页 (2b-c)cosA=acosC (2sinB-sinC)cosA=sinAcosC 【详解】(1)由 ，根据正弦定理得： 2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC=2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(4+C) 即 因为M+B+C=元→A+C=元-B,所以 2sinBcosA=sin(4+C)=sin(-B)=sin B 又因为0<B<π所以如B>0:所以0s1- 2 又因为40，x动，所以4- (2y由8con4=2vim4= 2,得bc=8,又b=4,所以c=2, 又因为，S=Sas+Sa0s,内角A的角平分线交边BC于E,所以∠BME=∠CME=石 6 所以25=)E-bin及)4及xABx4xx4B×2x】34伍，解得 11 13 62 62 22 22 AF=4 3, (3)在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA,得b2+c2-bc=36,① 由边8C上的中线4D=4,又因为B+4C=2D 两边平方得AB+AC2+2AB.4C=4D2 则2+8+2bcos弩=64，即分+ed+bc=64,② 3 联立①②解得：b2+c2=50, 令边AB,AC的中点分别为M,N, 由点O为△ABC的外接圆圆心，得OM⊥AB,ON⊥AC, 则40.=(M+wo列=M.B=4B=女 答案第10页，共2页 40.C-(+o)ac=4c-4C-, 所以40=0（服+d号40.+40.C-e+)-空. 16.(1)A= 3 (2)12 【分析】（1)先切化弦，再交叉相乘，可得血(4-B)=sim(C-4) 根据三角形内角的范 围可得角之间的关系，从而得出A 3 (2)借助面积公式和余弦定理即可得出周长 sinA sinB+sinC 【详解】(1)由切化弦得cos A cosB+cosC得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+-cosAsinC 所以sinAcosB-cos4sinB=cos4sinC-sin4cosC,得s sin(4-B)=sin(C-4) 又-π<A-B<π，-π<C-A<π， 所以4-B=C-A或M-B)+C-4)-不（舍去或A-B)+C-)=-(舍去） 所以A什B+C=4+2A=3A=x解得4=号 S=1 bcsin4= bc (2)由已知2 4,得bc=16① 由余弦定理=b+c2-2cos4,得4=6+e-30c@ 由①②可得b+c=8 所以三角形ABC的周长L=a+b+C=4+8=12 答案第11页，共2页 a b c 17.1)已知a=c-2 acosB,由正弦定理sin4sinBsinc-2R,可得 sin A=sin C-2sin Acos B=sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin A=sin Acos B+sin Bcos A-2sin Acos B 化简海血4=m8-4,因为△8C为整角角形，所以48c0引8-4（号引 所以A=B-A→B=2A. 2√30 (2)5 85+322+4) sin A=sin(B-A) 【分析】(1)利用正弦定理将等式边化弦后化简，得到 由锐角三角形 确定A=B-A后得证； 11 (2)利用三角恒等变换将an 4 tan B化简为sinB,再结合锐角三角形条件得 sin B 最后利用基本不等式得最小值： (3)利用正弦定理将a,b用cosA表示，把周长转化为关于cosA的函数，最后利用CosA的 范围求周长的取值范围。 【详解】(1)略 (2)由题， +sin B=Cos4_cosB 6. 116 sin cos Asin B-cos sininsin(in tan A tan B 5 sin A sin B 5 sin Asin B sin Asin B 5 3+5sinB=146 =sin A 6. -+sin B sin Asin B 5 sinB 5 因为△ABC是锐角三角形，B=2A,A+C+B=π， 答案第12页，共2页 0<A< 2 所以0<2A< 2 →<4<牙，则 6 ,所以 0<π-3A< π<B< sinB∈ 2 2 16 p+-sinB≥2 1 x6 sin B=2 6 6230 因为sinB'5 Vsin B 5 5 5, 16 当且仅当sinB5 si咖B,即siB=v3oeg =62 时等号成立， 11 6 230 +sin B 综上所述，tan A tan B5 最小值为5· a (3)电2)可知snAs如2An3M'即0=im26-2sn24 b sin34 sin34, 因为 sin34=3sin 4-4sin A=sin A(4c0s2 A-1) 2 4cos A 所以a=4cosA-b=4cosA-i, 2 L=a+b+c= 4c0sA+2= 2(2cosA+1) 周长 4cos2 4-1 4cos2 4-1 (2cos 4+1)(2cos A4-1) +2=2 2cos A-1. <A<，所以 √2√3 ,cosA∈ 因为 (2’2 2 则周长L= ,,+2∈3+3,22+4) 2cos4-1 18.0)/6-2sm2x+ 6 (2)a=2V 【分析】(1)根据函数图象求出周期T和0，代入最高点坐标求得P,从而得到函数 的解析式： (2)由(4-1求出角A的值，再利用三角形面积公式，由余弦定理求解即可 答案第13页，共2页 3T11ππ_3π 【详解】(1)设函数的周期为T,由图可知：4=1264， 又0>0，所以7=元→0=2五=2 ②由w-2间24+1.则24+片 又0<A<π→元<2A+<13r 6 +66,所以24+元=奶→A= 66 3 :-bcsin 4-6V3.-6x6cx3 S.=2 =6N3→c=4 由 2 白余孩定理得：。=+-2 beo冰=36+16-2x6x4×28,所以a=27 19.08=8 (②)4D的最大值为2 【分析】(1)利用正弦定理，辅助角公式结合已知条件求解即可； (2)利用三角形面积公式以及基本不等式分析求解即可： 2c 3 2sin C 3 1+ →1+ 【详解】(I)由正弦定理有：”b tanB sin B tanB, 1+2sinC_cosB 从而sin B sinB, 在ABC中，由24<=0<B<经mB>0, 1+2sinC_cos B sin B+2sin C=3 cos B 所以sin B sinB 答案第14页，共2页 2血C=5cas8-sm8-2行8，也 smc=sm(行8】 因为0<B<分=-B<03名骨B<50C<, 2 63 所以C=买-B→B+C= 3 3,又4+B+C=x,所以A=元-=2 33 a。b 51 由正弦定理sinA sinB以及a=V3,b=l得：sinA sin B →sinA=V3sinB 所以sn牙=5sinB→simB= 3 ,所以B=π 61 2百知4 esinx5 2 32得：bc=2, 因为AD为∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD=文， 3 又5=8m+Sm,即2-xex4 Dxsin于+xbx ADxsin V31 AD=2 32 3,解得： b+c, b=c b+c2√bc2×√22，当且仅当bc=2即b=c=√2时等号成立， 2 所以D的最大值为2 B a D 答案第15页，共2页