专题 2.4 有理数的乘方（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方定义（n个相同因数积的运算）、符号法则（正负底数与指数奇偶的符号规律）、与的区别（有无括号的底数差异）、科学记数法（a×10ⁿ的规范表示）及实际模型（倍增问题），构建从概念到应用的学习支架。 该资料通过分层题型设计（基础识别、计算到规律探究、非负性应用），结合拉面拉扣、折纸厚度等实际情境培养模型意识，借助点阵图、三行数规律探究发展抽象能力与推理意识。课中辅助教师突破易错点，课后同步检测帮助学生查漏补缺，强化运算能力。

专题 2.4 有理数的乘方（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】乘方的定义 1 【知识点二】乘方的符号法则 2 【知识点三】 与的区别 2 【知识点四】 科学记数法 2 【知识点五】乘方常见实际模型 2 二.题型精析 3 【题型 1】识别乘方的底数与指数（基础） 3 【题型 2】乘方基础计算 5 【题型 3】乘方符号规律探究 7 【题型 4】科学记数法的改写与还原 9 【题型 5】乘方实际应用题 10 【题型 6】平方的非负性应用 12 【题型 7】乘方规律探究 13 三.同步检测 17 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 20 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 23 一.知识梳理与解读 【知识点一】乘方的定义 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 公式： 在中：是底数，是指数；读作：a的n次方（或a的n次幂）。 补充说明：单独一个数可以看作本身的1次方，指数1通常省略不写，即。 【要点提示】 1. ：底数是，表示n个相乘，负号参与乘方运算； 2. ：底数是，表示的相反数，负号不参与乘方运算。 举例：，，二者完全不同，是考试必考易错点。 【知识点二】乘方的符号法则 1. 正数的任何正整数次幂都是正数； 2. 负数的偶数次幂为正，奇数次幂为负； 3. 0的任何正整数次幂都是0； 4. 1的任何次幂都是1，的奇次幂为，偶次幂为1。 【要点提示】乘方运算先定符号，再算绝对值；符号只由底数正负、指数奇偶共同决定。 【知识点三】 与的区别 1. ：底数为，表示个整体相乘； 2. ：底数为，表示的次方的相反数。 【要点提示】有无括号是两类式子的核心区别，绝大多数易错、扣分点均出自此处。例：，。 【知识点四】 科学记数法 把一个绝对值大于10的数，表示成的形式（其中，为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 【要点提示】 1. 的取值范围严格限定：，整数位只能有且仅有一位； 2. 的值 = 原数的整数位数 ； 3. 负数用科学记数法表示时，负号保留在最前方，不参与的取值运算。 【知识点五】乘方常见实际模型 纸张对折、细胞分裂、病毒繁殖、复利增长等倍增问题，均可用乘方求解：初始量为1，经过次倍增后，总量为。 【要点提示】看清变化次数，次数对应乘方的指数，切勿混淆次数与指数。 二.题型精析 【题型 1】识别乘方的底数与指数（基础） 解题核心：严格区分带括号与不带括号的底数，准确识别指数。 【例题1】（24-25七年级上·全国·课堂例题）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． （1）； （2） 【答案】（1），底数为，指数为5；（2），底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． （1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 【变式1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 解：对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数；（2），底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数；（3），底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数 【分析】此题考查的是有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的意义． （1）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （2）首先仔细观察给出的几个因数，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （3）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． （1）解：原式， 底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数； （2）解：原式， 底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数； （3）解：原式 底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数． 【题型 2】乘方基础计算 解题核心：先判符号，再算绝对值的乘方，重点区分易错式子。 【例题2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）如图有5张写着不同数值的卡片，从中抽出2张卡片，使2张卡片上的数值经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后，能得到一个最大的数，该数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方运算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：有5张写着不同数值的卡片中选择两个数，经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后，能得到一个最大的数，即， 故答案为：． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【易错警示】和极易混淆，计算前必须先确认底数范围。 【题型 3】乘方符号规律探究 解题核心：根据指数奇偶性判断符号，总结10的幂、的幂的通用规律。 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）负；（2）负；（3）负；（4）正 【分析】题目主要考查有理数的乘方运算，判断计算结果的正负，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）（2）（3）（4）分别根据有理数乘方的符号规律解答即可． （1）解： ∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （2）解：是的相反数， 因为是正数，所以其相反数为负数， 故的结果为负； （3）解：∵的指数是7，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （4）解：∵的指数是8，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正． 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的乘方，乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．利用的幂次性质：偶次幂为1，奇次幂为． 解：∵ n为正整数， ∴为偶数，为奇数， ∴ ，， ∴ ． 故选：C． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）算一算：_____，____，_____，______； 【答案】 解：，，，． 【变式3】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． （1）第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； （2）第②行的第n个数是__________； （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）观察可得从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； （2）观察可得第②行每个数等于第①行对应的数减去2，据此求解即可； （3）观察可得第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； （1）解：第①行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第①行的第n个数可以表示为：， 第①行的第8个数是， 第①行的第n个数是， 故答案为：，； （2）解：观察可得，第②行每个数等于第①行对应的数减去2， ∴第②行的第n个数是； （3）解：第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第③行的第n个数可以表示为：， 第①行的第10个数是，第②行的第10个数是，第③行的第10个数， ∴． 【点拨】本题考查了有理数的乘方和探究数的规律，找到并表示出数列的规律是解题的关键． 规律总结： 1. 结果为1后面加个0； 2. 负数的偶次幂为正、奇次幂为负，绝对值对应10的幂的规律。 【题型 4】科学记数法的改写与还原 解题核心：严格遵循规则，大数变小、小数还原，精准确定的值。 【例题4】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【答案】（1）7.2×102g；（2）5×105倍． 试题分析: （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果.（2）先用除法计算出这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 解:（1）8000000×0.00009=7.2×102 （g）    （2）45÷0.00009=500000=5×105，故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×105倍. 【变式1】（2024·北京·模拟预测）2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约亿人．用科学记数法表示亿是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的一般形式为，满足，n为整数，根据科学记数法的规则确定a和n的值即可． 解：亿． 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 解：根据题意，得 【变式3】（25-26七年级上·全国·单元复习）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）2000000；（2）603000；（3） 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法，正确确定a，n的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，n的值为整数，当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，当原数的绝对值小于1时，n为负整数． （1）利用科学记数法的法则解答即可； （2）利用科学记数法的法则解答即可； （3）利用科学记数法的法则解答即可． （1）解：∵， ∴的原数为2000000； （2）解：∵， ∴的原数为603000； （3）解：∵， ∴的原数为． 【题型 5】乘方实际应用题 解题核心：找准倍增次数，利用模型列式，结合实际场景计算求解。 【例题5】（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【答案】拉扣7次后共有128根面条 【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2倍，可推得拉扣次后面条总根数为，代入计算即可得到最终结果. 解：根据题意可得 初始有1根面条， 第1次拉扣后面条根数是， 第2次拉扣后面条根数是， 第3次拉扣后面条根数是， …… 故第7次拉扣后面条根数是. 答：拉扣7次后共有128根面条. 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 【变式2】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 【答案】米2． 【分析】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．根据第1次截去一半，剩下的面积米2，第2次截去一半，剩下的面积米2，依此类推，即可得到6次后剩下的纸片的面积． 解：第1次截去一半，剩下的面积米2， 第2次截去一半，剩下的面积米2， 第6次截去一半，剩下的面积（米2）． 所以第6次后剩下的纸片的面积是米2． 【题型 6】平方的非负性应用 解题核心：任意有理数的平方恒大于等于0，即，平方数不可能为负数。 【例题6】（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）若与互为相反数，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值、平方的非负性，根据绝对值的非负性和平方的非负性可知，若与互为相反数，则有，，从而可求、的值． 解：与互为相反数， 又，， ，， ，， 解得：，． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】A 解：∵任意数的平方和绝对值都是非负数，且， ∴，， 解得 ，， 将， 代入 得：. 【变式2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若，则________． 【答案】2 解：∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）若，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质；由且，，从而得到，，求出，，再代入到中计算即可. 解：∵，， ∴当且仅当，时，成立， ∴，， ∴， ∴. 故答案为：1. 【题型 7】乘方规律探究 【例题7】（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④____________； （2）试用含有的式子表示这一规律：____；（为正整数） （3）请计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键． （1）根据图形结合算式规律直接得到第个图案所代表的算式为：，得到答案； （2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第个图案所代表的算式为：，写出答案． （3）根据（2）得出的一般规律，将，写成即可得到答案． （1）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； （2）由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 以此类推： 第个图案所代表的算式为：． 故答案为：． （3）根据（2）得出的一般规律， ， ， ． 【变式1】（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、、、…，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，数字类规律探索等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 观察数列，发现每个数都是其序号的平方，由此求解即可． 解：∵按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、、、…， 依次可写为、、、、、、…， ∴第7个数为， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的规律，乘方的应用， 先分别表示出，根据变化特点得出，再求出差即可． 解：由图可知，； ； ； ； ， ； ， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·云南临沧·期中）观察下面三行数： 2，，8，，32…；① ，9，，81，；② ，，，65，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． （1）第①行的第8个数是______； （2）第②行的第n个数是______； （3）取每行数的第6个数，计算这三个数的和． 【答案】（1）；（2）；（3）1330 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）分析第①行的前面几个数得出第①行的第个数是，由此即可得解； （2）分析第②行的前面几个数得出第②行的第个数是； （3）观察可得第③行的第个数是，分别求出每一行第6个数，相加即可． （1）解：∵，，，…， ∴第①行的第个数是， 故第①行的第8个数是； （2）解：∵，，，…， ∴第②行的第n个数是； （3）解：∵，，，…， ∴第③行的第个数是， ∵第①行的第个数为，第②行的第个数为，第③行的第6个数为， ∴取每行数的第6个数，计算这三个数的和为． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·广东东莞·三模）近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需先将亿化为普通整数，再按规则改写即可得到结果． 解：∵亿， ∴将其改写为符合要求的科学记数法，可得． 2．（2024八年级上·云南保山·竞赛）的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 【答案】C 解：的意义是个相乘． 3．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值． 解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 6．（2026·河南三门峡·一模）所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵ 半衰期是放射性物质质量缩减为原来一半所用的时间，初始质量为， ∴ 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为. 7．（2026·山东德州·二模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由乘方的定义和乘法的意义，分别化简分子分母即可得到结果． 解：根据乘方的定义，个相乘可表示为；根据乘法的意义，个相加可表示为， ∴． 8．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导得到个细菌经过分钟后的分裂数量，再乘以初始细菌个数即可得到结果． 解：∵个细菌每分钟由个分裂成个， ∴个细菌经过分钟分裂为个，经过分钟分裂为个， 依此类推，可得个细菌经过分钟分裂为个， 本题中，初始细菌个数为， ∴最终总个数为． 9．（24-25七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 10．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）的底数是________________． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方的有关定义即可解答． 解：的底数为． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．求n个相同,因数的积的运算叫乘方,乘方的结果叫做幂，在a的n次方中。a叫做底数,n叫做指数． 12．（2024九年级·安徽合肥·专题练习）山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 【答案】150000 解：． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【分析】分别计算四个数的结果，判断正负性，统计负数的个数． 解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 14．（24-25七年级上·全国·期末）计算： ______． 【答案】4 【分析】先算乘方，再算加减即可解答． 解： ． 15．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 解：∵， ∴， 将代入得． 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，则_________． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，然后代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 【答案】 解：∵， ∴． 18．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 【答案】表示3个4相乘；表示10个3相乘；表示4个5相乘；表示10个相乘；表示4个相乘． 【分析】本题考查幂的意义，即乘方运算表示多个相同因数相乘． 解：∵ 表示 n 个 a 相乘， ∴表示3个4相乘． 表示10个3相乘． 表示4个5相乘． 表示10个相乘． 表示4个相乘． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解：； （2）解：； （3）解：． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）已知下列有理数： （1）中，底数是_______，指数是_______． （2）画一条数轴，在数轴上表示出这些有理数． （3）把这些有理数用“”号连接起来． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，有理数的大小比较． （1）根据乘方的定义作答即可； （2）先去括号，计算绝对值和乘方，再在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴判断即可． 解：（1）中，底数是，指数是， 故答案为：，； （2）， 在数轴上表示如下： （3）由数轴可知 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·全国·期中）已知数轴上的点对应的数分别为，且是数轴上的动点． （1） ， ，两点间的距离为 ； （2）若点到点和点的距离相等，请直接写出此时点所对应的数． 【答案】（1）；（2）点对应的数是 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离求法、非负数和为零的条件等知识，读懂题意，熟记结合非负数和为零的条件、数轴上两点之间的距离求法是解决问题的关键． （1）由绝对值与平方的非负性，结合非负数和为零的条件得到，求解得到的值，再由数轴上两点之间距离的求法求解即可得到答案； （2）设点表示的数为，由点到点和点的距离相等，结合数轴上两点之间距离的求法列方程求解即可得到答案． （1）解：， 当时，， ， 则两点间的距离为， 故答案为：； （2）解：设点表示的数为， ∵点到点和点的距离相等， ， ， ， 解得， 答：点对应的数是． 23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给的错位相减法进行求解即可． 解：设①， 将等式两边同时乘以6得：②， 再将得：， 即． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 有理数的乘方（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】乘方的定义 1 【知识点二】乘方的符号法则 2 【知识点三】 与的区别 2 【知识点四】 科学记数法 2 【知识点五】乘方常见实际模型 2 二.题型精析 3 【题型 1】识别乘方的底数与指数（基础） 3 【题型 2】乘方基础计算 3 【题型 3】乘方符号规律探究 4 【题型 4】科学记数法的改写与还原 5 【题型 5】乘方实际应用题 5 【题型 6】平方的非负性应用 6 【题型 7】乘方规律探究 6 三.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.知识梳理与解读 【知识点一】乘方的定义 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 公式： 在中：是底数，是指数；读作：a的n次方（或a的n次幂）。 补充说明：单独一个数可以看作本身的1次方，指数1通常省略不写，即。 【要点提示】 1. ：底数是，表示n个相乘，负号参与乘方运算； 2. ：底数是，表示的相反数，负号不参与乘方运算。 举例：，，二者完全不同，是考试必考易错点。 【知识点二】乘方的符号法则 1. 正数的任何正整数次幂都是正数； 2. 负数的偶数次幂为正，奇数次幂为负； 3. 0的任何正整数次幂都是0； 4. 1的任何次幂都是1，的奇次幂为，偶次幂为1。 【要点提示】乘方运算先定符号，再算绝对值；符号只由底数正负、指数奇偶共同决定。 【知识点三】 与的区别 1. ：底数为，表示个整体相乘； 2. ：底数为，表示的次方的相反数。 【要点提示】有无括号是两类式子的核心区别，绝大多数易错、扣分点均出自此处。例：，。 【知识点四】 科学记数法 把一个绝对值大于10的数，表示成的形式（其中，为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 【要点提示】 1. 的取值范围严格限定：，整数位只能有且仅有一位； 2. 的值 = 原数的整数位数 ； 3. 负数用科学记数法表示时，负号保留在最前方，不参与的取值运算。 【知识点五】乘方常见实际模型 纸张对折、细胞分裂、病毒繁殖、复利增长等倍增问题，均可用乘方求解：初始量为1，经过次倍增后，总量为。 【要点提示】看清变化次数，次数对应乘方的指数，切勿混淆次数与指数。 二.题型精析 【题型 1】识别乘方的底数与指数（基础） 解题核心：严格区分带括号与不带括号的底数，准确识别指数。 【例题1】（24-25七年级上·全国·课堂例题）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． （1）； （2） 【变式1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． （1）； （2）； （3）． 【题型 2】乘方基础计算 解题核心：先判符号，再算绝对值的乘方，重点区分易错式子。 【例题2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·福建漳州·阶段检测）如图有5张写着不同数值的卡片，从中抽出2张卡片，使2张卡片上的数值经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后，能得到一个最大的数，该数是_____． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【易错警示】和极易混淆，计算前必须先确认底数范围。 【题型 3】乘方符号规律探究 解题核心：根据指数奇偶性判断符号，总结10的幂、的幂的通用规律。 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期中）当n为正整数时，的值是（ ） A．0 B．2 C． D．2或 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）算一算：_____，____，_____，______； 【变式3】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． （1）第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； （2）第②行的第n个数是__________； （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 规律总结： 1. 结果为1后面加个0； 2. 负数的偶次幂为正、奇次幂为负，绝对值对应10的幂的规律。 【题型 4】科学记数法的改写与还原 解题核心：严格遵循规则，大数变小、小数还原，精准确定的值。 【例题4】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【变式1】（2024·北京·模拟预测）2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约亿人．用科学记数法表示亿是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【变式3】（25-26七年级上·全国·单元复习）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ （1）； （2）； （3）． 【题型 5】乘方实际应用题 解题核心：找准倍增次数，利用模型列式，结合实际场景计算求解。 【例题5】（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【变式2】（2026·河南周口·二模）我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 【题型 6】平方的非负性应用 解题核心：任意有理数的平方恒大于等于0，即，平方数不可能为负数。 【例题6】（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）若与互为相反数，求和的值． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【变式2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）若，则________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）若，求的值． 【题型 7】乘方规律探究 【例题7】（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④____________； （2）试用含有的式子表示这一规律：____；（为正整数） （3）请计算：． 【变式1】（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）按一定的规律排列的一列数依次为：1、4、9、、、…，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 【变式3】（25-26七年级上·云南临沧·期中）观察下面三行数： 2，，8，，32…；① ，9，，81，；② ，，，65，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． （1）第①行的第8个数是______； （2）第②行的第n个数是______； （3）取每行数的第6个数，计算这三个数的和． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·广东东莞·三模）近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·云南保山·竞赛）的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 3．（24-25七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 5．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（2026·河南三门峡·一模）所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东德州·二模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）的底数是________________． 12．（2024九年级·安徽合肥·专题练习）山东省面积大约为平方千米 ，用科学记数法表示的数，原数是__________． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在，，，中，结果是负数的有_________个． 14．（24-25七年级上·全国·期末）计算： ______． 15．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 16．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，则_________． 17．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：，．根据上述规定，填空：___________． 18．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）已知下列有理数： （1）中，底数是_______，指数是_______． （2）画一条数轴，在数轴上表示出这些有理数． （3）把这些有理数用“”号连接起来． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·全国·期中）已知数轴上的点对应的数分别为，且是数轴上的动点． （1） ， ，两点间的距离为 ； （2）若点到点和点的距离相等，请直接写出此时点所对应的数． 23．（本小题满分10分）（23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘以2得：②， 再将②-①得：， 即． 上述方法称为错位相减法，请你仿照此法计算：． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $