专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义）（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学讲义围绕绝对值的八类最值模型，通过表格分类、几何图示系统梳理知识脉络，以绝对值几何意义为核心，结合分类讨论思想构建“模型提炼-证明-应用”体系，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计（A组基础、B组提升、C组压轴）和“奇中点偶中段”等解题模板，如模型6通过工厂流水线工具箱放置问题培养模型意识，帮助学生从几何直观角度解决实际问题，支持教师实施分层教学，提升不同层次学生的推理能力与应用意识。

专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义） 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。推导逻辑（数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背）。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1. 的最小值模型 2 模型2. 的最小值和最大值模型 5 模型3. 的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 13 模型5. 型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 18 模型7.绝对值相关运算与最值问题 21 模型8.绝对值最值中的新定义问题 23 易错点与方法总结 28 模型运用 29 A组（基础题） 29 B组（能力提升题） 38 C组（综合压轴题） 42 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 ①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 模型1. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东·期中）结合数轴，回答下列问题： (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是___________；数轴上表示和2的两点之间的距离是___________；数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是_____；如果和两点之间的距离是4，那么为_______； (3)求出所有符合条件的整数，使它在数轴上对应的点到3和的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； (4)已知是有理数，则的最小值为________；此时相应的的最大值是_______；最小值是_______． 【典例2】（25-26七年级上·四川达州·期中）阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】（1）可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】（2）请你结合数轴探究：求当满足什么条件时？有最小值，并求其最小值； （3）若，求的值． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知A，B在数轴上分别表示数m，． (1)观察表格数据： m 2 0 n 5 1 3 A、B两点间的距离 3 5 3 2 试用含m、n的式子表示A、B两点间的距离； (2)①若x为整数，当______，的值取最小值______； ②若的最小值是7，则a的值是______； (3)若，，则的值是多少？ 模型2. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）现在我们已经知道，数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上A、B两点分别表示和5，则A、B两点之间的距离为．在求的最小值时，先把式子化为，然后借助于数轴，分析即可得到最小值为5．按照这样的方法，式子的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（25-26七年级上·四川自贡·期中）如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ．(2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ． (3)有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． 【典例3】（24-25七年级上·湖北黄石·期中）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作，如的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为______；如果，求出x的值： (2)若，求x的值； (3)探究是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 模型3. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的零点，按从小到大排序（不妨假设），借助数轴容易得到： 当n奇数时，则x取中间数（即）时，取得最小值； 当n偶数时，则x取中间段（即）时，取得最小值。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 如图2．已知数轴上两点，表示的数分别为，6． (1)两点间的距离为________；(2)表示的是到________的距离； (3)①当时，代数式取得最小值为_______；②当______时，代数式的最小值为2；③代数式的最小值为________； (4)点表示的数是4，点以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动．点同时以1个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，但点到达点处立刻返回沿着数轴的负方向运动．设点运动的时间为，在此过程中存在使得点到点的距离等于2，请求出的值． 【典例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【典例4】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道的几何意义是：数轴上表示的点到原点的距离，即，这个结论可以推广为表示，两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ；表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ． (2)数轴上表示数的点在与之间移动时，的值是一个固定的值，为 ． (3)可理解为与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，则 ． (4)当式子取最小值时，求出的值． (5)的最小值是多少？ (6)的最小值为 ，此时的取值范围是 ． 【典例5】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______；(4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【模型提炼与证明】 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先第一步想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开，然后利用“奇中点，偶中段”来求了。解得当x=-1时取得最小值，最小值为6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东清远·期中）阅读材料：任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，类似的，表示5与之间的距离，一般地，两点在数轴上表示有理数，那么、之间的距离可以表示为． 解决问题：已知数轴上两点、对应的数分别为和4，数轴上另有一个点对应的数为，试探索： (1)①点A、B之间的距离为：_______．②点、之间的距离________．（用含的式子表示） (2)若点在点两点之间，则的值为12；若，则点表示的数为_______，由此可得，点到、的距离之和的最小值为12． (3)点在数轴上，则的最小值为____；的最小值为____． (4)如果点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动．设点的运动时间为秒（）．当点、点与点三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，求出的值． 【典例2】（25-26七年级上·浙江·专题练习）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ．(4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 【典例3】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 模型5. 型或型最值模型 【模型提炼与证明】 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）关于，下列说法正确的是（   ） A．当时，有最小值5 B．当时，有最大值9 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 【典例2】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【典例3】（25-26七年级上·广东·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【典例4】（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 ‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【模型运用】 【典例1】（2026·安徽宣城·二模）探究的最小值．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)因此，数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两个点之间的距离是3，那么的值为________． 探索规律：（Ⅰ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，表示数的点为，表示数的点为． ①如图1，此时点在点的左侧，则； ②如图2，此时点在点A，B之间，则； ③如图3，此时点在点的右侧，则； 综上：当时，此时的最小值为． （Ⅱ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图4，此时点在点，之间，则； ②如图5，此时点在点C，B之间，则； 显然当为0时，； 综上：当时，此时的最小值为． (2)探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图6，此时点在点A，C之间， 则； ②如图7，此时点在点C，D之间， 则； ③如图8，此时点在点，之间，则________． 综上：当时，此时的最小值为________ …… 规律应用：(3)工厂加工车间工作流水线上依次间隔排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，K，一只工具箱应该放在________工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是________m． 【典例2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】（1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______；②若，则______； 【深入探究】（2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，．∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时．即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即．∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题：求式子的最小值． 【解决问题】（3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【典例3】（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____．数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）：①代数式的最小值是_____；②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）先阅读，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，点与点互为相反数，把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为_______和_______； (2)代数式取最小值时，相应的非负整数有_______，此时最小值为_______； (3)，求的值；(4)，求的最大值和最小值． 【典例2】（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)请你结合数轴探究：的最小值是______． (2)请你结合图④探究的最小值是______． (3)的最小值为___．(4)的最小值为___． (5)已知，则的最大值为______，a＋2b＋3c的最小值为______． 【典例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】（1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】（1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为_______． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为________ 【典例2】（25-26七年级上·北京·阶段检测）对于有理数x,y，a,t，若，则称x和y关于a的“距和数”为t，例如，，则2和3关于1的“距和数”为3． (1)-3和5关于2的“距和数”为__________(2)若x和2关于3的“距和数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“距和数”为1，和关于2的“距和数”为1，和关于3的“距和数”为1，…，和关于16的“距和数”为1．①的最小值为________；②的最小值为_______． 【典例3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】（1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】（2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值；②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】（3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 模型常见易错点 1）混淆和模型与差模型的最值属性； 2）偶数个定点时，误以为只有中间点取最值； 3）未排序定点，直接判断中间点； 4）去绝对值符号符号出错； 5）忽略参数题型的双解； 6）认为所有绝对值最值都需要分段讨论。 解题方法总结 1）绝对值距离和最值解题模板 适用题型： 步骤1：排序：将常数从小到大数轴排序；步骤2：判奇偶：数定点个数；步骤3：定取值：奇数个取中间点，偶数个取中间区间；步骤4：算最值：代入对应x（或区间任意数）计算最小值； 2）绝对值距离差最值解题模板 适用题型： 步骤1：定定点：确定两个定点左右位置，标注a＜b；步骤2：直接写结论：最大值=（x≤a时取得）；最小值=（x≥b时取得）；步骤3：验算：特殊值代入验证，避免符号错误。 注意：所有绝对值最值问题，优先几何意义（数轴），次选代数分段讨论；综合题型中，可结合“零点分段法”辅助验证模型结论。 1．（25-26七年级上·成都·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 2．（25-26七年级上·山东烟台·阶段练习）的最小值是（ ） A．1 B． C．5 D． 3．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 4．（24-25七年级上·四川·期末）规定：，，例如：，．有下列结论：①；②若，则； ③不存在能使成立的x的值；④式子的最小值是2．其中正确的是 （填番号） 5．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．5 C．2 D．3 7．（25-26七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 6．（24-25七年级上·河南漯河·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示，两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】（3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 9．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 10．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2． (1)线段的长度是 ；(2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 则 ，取最小值是 ，取最小值是 ； (3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为_________． (2)当取最小值时，可以取整数_________；的最大值为_________． (3)当_________时，的值最小，最小值为_________． 12．（25-26七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 13.（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子． (1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是_____，最小值是_____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子． (2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____． (3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）． 14．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题：(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值； (3)当取最小值5时，a的值为__________． 15．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 16．（24-25七年级上·重庆江津·期中）【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】(1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 17．（24-25七年级上·北京通州·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，若点P表示的有理数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是_________，若，则x的值为__________； (2)当取最小值时，x取整数的值是__________； (3)当的值最小时，x的取值为__________，最小值是__________． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 18．（25-26七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为． （1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为 　　； 【问题探究】为求代数式的最小值，可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离，看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离，并进行以下讨论： 当x在和3中间时，；当x在-1左边时有，； 当x在3右边时也有；综上所述，代数式最小值为4；（2）的最小值为 　　； 【方法应用】：（3）已知，则　　； 【迁移应用】：（4）若m，n为整数，且m，n满足，则当　　，　　，的最大值为 　　． 19．（24-25七年级上·山东济南·期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾·反思】数学兴趣小组在研究的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现就是x和所对应的两个点之间的距离，就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在的左侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在与7之间，则x到与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ④若，则x到与x到7的距离之和等于11； ⑤若，则x到与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，的最小值为11． 【操作·思考】数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究的最大值问题． 就是x和 所对应的两个点之间的距离，就是x和 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出的最大值为 ； 【尝试·思考】当或b时，代数式的值为相等的正数，则 ． 20．（24-25七年级上·江西九江·阶段检测）阅读材料：在数轴上两个点之间的距离，可以通过对应数的差的绝对值来计算： 例如：数轴上有两个点A，B，若对应的数分别为和3，则A，B两点之间的距离，若对应的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，两个数的差的绝对值在数轴上表示数对应的两个点之间的距离，例如在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离； (1)初步感知： 填空：数轴上两个点对应的数分别是和7，两个点之间的距离为________； 在数轴上表示数a的点与数________的点之间的距离； 在数轴上表示数a的点与数________的点之间的距离 (2)加深理解：若a表示一个有理数，求的最小值，我们可以利用数形结合的方法来分析，代数式在数轴上可以看成是表示数a的点分别到表示数3和的点的距离之和，通过将表示数a的点在数轴上移动可以发现： 当a在左边时，如图1，代数式的值一定会大于8             图1 分当a在3右边时，如图2，代数式的值一定会大于8             图2 当a在和3之间时，如图3，代数式的值都为________            图3 综上可知的最小值为________ (3)方法延申：仿照上面数轴的方法解决下面问题 若时，求的最小值（用含a的式子表示） 21．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 22．（25-26七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 23．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1． ①的最大值为________；②的值为________（用含的式子表示）． 24．（25-26七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．    (1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值． 25．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料并解决问题： 我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：（1）若，则______；     （2）当x满足条件：_______时，式子有最小值，最小值是______； 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 26．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 绝对值的八类最值模型（绝对值的几何意义） 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化纯代数计算，强化几何意义应用，多以“多绝对值叠加最值、含参数绝对值最值、动点距离最值”形式出题。推导逻辑（数形结合，吃透原理，拒绝死记硬背）。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1. 的最小值模型 2 模型2. 的最小值和最大值模型 5 模型3. 的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 13 模型5. 型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 18 模型7.绝对值相关运算与最值问题 21 模型8.绝对值最值中的新定义问题 23 易错点与方法总结 28 模型运用 29 A组（基础题） 29 B组（能力提升题） 38 C组（综合压轴题） 42 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 ①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 绝对值最值问题本质是数轴上动点到定点的距离和、距离差的最值问题，无需复杂代数计算，依托数轴几何特征即可快速求解，是数形结合思想的经典应用。 模型1. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时（在点a的左侧） 的值大于 当时（在点a、b之间） 的值为定值，即为 当（在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·广东·期中）结合数轴，回答下列问题： (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是___________；数轴上表示和2的两点之间的距离是___________；数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是_____；如果和两点之间的距离是4，那么为_______； (3)求出所有符合条件的整数，使它在数轴上对应的点到3和的距离之和为6，并求出所有这些整数的和； (4)已知是有理数，则的最小值为________；此时相应的的最大值是_______；最小值是_______． 【答案】(1)，，(2)，或(3)0(4)，， 【详解】（1）解：数轴上表示3和8的两点之间的距离是；数轴上表示和2的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是，故答案为：，，； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是，故答案为：； ∵和两点之间的距离是4，∴，或，故答案为：或； （3）解：，∴数轴上到3之间的整数对应的点到3和的距离之和为6， ∴符合条件的整数有，∴ （4）解：， ∴为数轴上表示有理数的点到表示的点和表示的点的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，， ∴最小值为，此时相应的最大值是，最小值是，故答案为：，，． 【典例2】（25-26七年级上·四川达州·期中）阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】（1）可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】（2）请你结合数轴探究：求当满足什么条件时？有最小值，并求其最小值； （3）若，求的值． 【答案】（1），；（2）当时，有最小值，最小值为6；（3）或5 【详解】解：（1）由可知表示数x与两点间的距离；故答案为，； （2）由可知：数轴上表示x的数到表示和的距离之和， 根据绝对值的几何意义可知：当表示x的数在和之间时，的值最小， 即当时，有最小值； （3）由（2）知当时，，∴若时，则或， 当时，，解得：； 当时，，解得：， 综上所述：当或5时，． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知A，B在数轴上分别表示数m，． (1)观察表格数据： m 2 0 n 5 1 3 A、B两点间的距离 3 5 3 2 试用含m、n的式子表示A、B两点间的距离； (2)①若x为整数，当______，的值取最小值______； ②若的最小值是7，则a的值是______； (3)若，，则的值是多少？ 【答案】(1)(2)①，，0，1，2，3；5；②6或(3)7或3 【详解】（1）解：； （2）解：①表示数轴上表示x的数到的距离与到3的距离和， ∴当时，都可以使得的值取最小值5， ∵x为整数，当，，0，1，2，3时，距离和最小为5， ②若的最小值是7，即在数轴上x所表示的点到a和所表示的点的距离和的最小值是7， 即a和所表示的点的距离为7，得出，解得或； 故答案为：①，，0，1，2，3；5；②6或； （3）解：若，，即数轴上a和b所表示的点的距离为5，b和c所表示的点的距离为2， 即求数轴上a和c所表示的点的距离，当，时，，当，时，， 当，时，，当，时，，综合得或 模型2. 的最小值和最大值模型 【模型提炼与证明】 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）现在我们已经知道，数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上A、B两点分别表示和5，则A、B两点之间的距离为．在求的最小值时，先把式子化为，然后借助于数轴，分析即可得到最小值为5．按照这样的方法，式子的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：表示的是数轴上表示数的点分别到表示数2、的点的距离之差，画出数轴如图所示，可知当时，这个距离之差取得最大值， 即取得最大值，最大值为．故选∶ C 【典例2】（25-26七年级上·四川自贡·期中）如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ．(2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ． (3)有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． 【答案】(1)，，5(2)2(3)7， 【详解】（1）解：∵a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴，，，故答案为：，，5 （2）解：由（1）知，，，∴， 代数式表示点x与3的距离与点x与5距离的和， 根据题意分情况可得： ①当时，，此时， ②当时，， ③当时，，此时， ∴有最小值是2，故答案为：2． （3）解：代数式表示点x与的距离与点x与4距离的差， ①当时，， ②当时，，此时， ③当时，， ∴有最大值是7，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是， 故答案为：7，． 【典例3】（24-25七年级上·湖北黄石·期中）先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作，如的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为______；如果，求出x的值： (2)若，求x的值； (3)探究是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，或者；(2)或．(3)存在最大值，最大值为，理由见解析 【详解】（1）解：，∵，∴，解得：或者． （2）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和， ∴当时，， 当时，∴对应的点在的右边或的左边， 当对应的点在的右边时，∴，∴，解得：， 当对应的点在的左边时，∴，∴，解得：； 综上：或． （3）解：存在最大值，最大值为，理由如下： ∵表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之差， 当时，； 当时，，此时， 当时，， 综上：的最大值为． 模型3. 的最小值模型 【模型提炼与证明】 的最小值的分析： 找到上述式子中的零点，按从小到大排序（不妨假设），借助数轴容易得到： 当n奇数时，则x取中间数（即）时，取得最小值； 当n偶数时，则x取中间段（即）时，取得最小值。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即 如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即． 根据以上思想，完成下题 如图2．已知数轴上两点，表示的数分别为，6． (1)两点间的距离为________；(2)表示的是到________的距离； (3)①当时，代数式取得最小值为_______；②当______时，代数式的最小值为2；③代数式的最小值为________； (4)点表示的数是4，点以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动．点同时以1个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，但点到达点处立刻返回沿着数轴的负方向运动．设点运动的时间为，在此过程中存在使得点到点的距离等于2，请求出的值． 【答案】(1)8(2)(3)①8；②或；11(4)或 【详解】（1）解：，故答案为：8； （2）解：表示的是到的距离，故答案为：； （3）解：①当时，有最小值，即，故答案为：8； ②表示到的距离和到6的距离的和， 当代数式的最小值为2时，即到6的距离为2， 可得解得或，故答案为：或； ③表示到的距离，到6的距离，到9的距离的和， 则当时，有最小值，即，故答案为：11； （4）解：点表示的数为，， 当时，即点还未返回时，点表示的数为，， 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， 当时，即点返回后，点表示的数为，， 解得或．综上，或． 【典例2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离；故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是；故答案为：； （3）解：共项，根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小，即：当时，原式 ， ∴的最小值为：． 【典例3】（25-26七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或(2)，，(3)的最小值为． 【详解】（1）解：∵，∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或，∴或，故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值，的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值，∴当时,的最小值是．故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 【典例4】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）我们知道的几何意义是：数轴上表示的点到原点的距离，即，这个结论可以推广为表示，两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 根据以上结论探究： (1)表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ；表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，所以 ． (2)数轴上表示数的点在与之间移动时，的值是一个固定的值，为 ． (3)可理解为与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，则 ． (4)当式子取最小值时，求出的值． (5)的最小值是多少？ (6)的最小值为 ，此时的取值范围是 ． 【答案】(1)；(2)(3)；或(4)(5)(6)； 【详解】（1）解：；； （2）解：∵，∴，，∴， ∴数轴上表示数x的点在1与5之间移动时，的值总是一个固定的值为4． （3）解：可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 表示数轴上表示数x与表示数3，的距离之和， ∴根据解析（2）可得：当时，，∴或， ①当时，，即，解得； ②时，，即，解得，综上分析可知，x的值为：或4； （4）解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上，2，3，三个数的距离之和，∴当时，有最小值． （5）解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上1，2，3，4，5，五个数的距离之和， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为： ． （6）解：根据的几何意义，可得表示x到数轴上1，2，3，……，100，共100个数的距离之和， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为： ． 【典例5】（24-25七年级上·福建泉州·阶段检测）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______；(4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 【答案】(1)，，；(2)，或或或或或或或；(3)或；(4)，；或． 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴， ， 、两点之间的距离为，故答案为：，，； （2）解：当位于点左侧时，即时，， 当位于点与点之间时，即时，， 当位于点右侧时，即时， 综上可知：当位于点与点之间时，的值最小，最小值为，符合条件的整数为或或或或或或或，故答案为：；或或或或或或或； （3）解：当位于点左侧时，即时，，解得：； 当位于点与点之间时，即时，， 当位于点右侧时，即时，解得：；故答案为：或； （4）解：当位于点左侧时，即时，， 当位于点与点之间时，即时，， ∴， 当位于点与点之间时，即时，， ∴， 当位于点右侧时，即时，， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，有最小值，当，最小值为，故答案为：，； 当时，即有时可取最小值，，，解得：； 当时，即有时可取最小值，，，解得：； 故答案为：或． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 【模型提炼与证明】 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先第一步想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开，然后利用“奇中点，偶中段”来求了。解得当x=-1时取得最小值，最小值为6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·广东清远·期中）阅读材料：任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如：表示4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，类似的，表示5与之间的距离，一般地，两点在数轴上表示有理数，那么、之间的距离可以表示为． 解决问题：已知数轴上两点、对应的数分别为和4，数轴上另有一个点对应的数为，试探索： (1)①点A、B之间的距离为：_______．②点、之间的距离________．（用含的式子表示） (2)若点在点两点之间，则的值为12；若，则点表示的数为_______，由此可得，点到、的距离之和的最小值为12． (3)点在数轴上，则的最小值为____；的最小值为____． (4)如果点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动．设点的运动时间为秒（）．当点、点与点三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，求出的值． 【答案】(1)①；②(2)或6(3)，8(4)3秒或4秒或秒 【详解】（1）解：①∵数轴上两点、对应的数分别为和4， ∴点A、B之间的距离为：故答案为：； ②∵数轴上另有一个点对应的数为，∴点、之间的距离，故答案为：； （2）；当时，，解得：； 当时，，解得：， 综上所述，点表示的数为或6，故答案为：或6； （3）当时，， ∵，∴，∴； 当时，； 当时，， ∵，∴，∴； 当时，； 当时，， ∵，∴； 当时，； 当时，， ∵，∴，∴， 综上所述，当时，有最小值，故答案为：； 由上述可知，最小值只能在或或或中取到， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，当当时，有最小值8，故答案为：8； （4）∵数轴上两点、对应的数分别为和4，∴， ∵如果点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向右运动，同时点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达点时，点与同时停止运动，设点的运动时间为秒（）， ∴点P表示的数是：，点Q表示的数是：，（秒），∴， 当P与Q相遇时，，解得：，此时点、点与点距离相等； 当时，若P是的中点，则，解得：； 当时，若Q为的中点，，，则，解得：， 综上所述，当点、点与点三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，求出的值为3秒或4秒或秒． 【典例2】（25-26七年级上·浙江·专题练习）我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． (2)点、在数轴上分别表示和1，则两点之间的距离是 ，如果，那么是 ． (3)式子的最小值是 ．(4)式子的最小值是 ，此时的值是 ． 【答案】(1)3，45(2)；3或(3)4(4)6，1.5 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示15和两点之间的距离是．故答案为：3，45； （2）解：数轴上表示和1的两点、之间的距离为，如果，那么， 因为数轴上与1距离为2的点表示的数有两个：3或，所以或，故答案为：；3或； （3）解：根据题意可得，的意义为数轴上表示数的点到表示数，2，3的点的距离之和，因此当时，这个距离之和最小，最小值为4；故答案为：4； （4）解：的几何意义为数轴上表示的点到数轴上表示，1.5，1.5，5点的距离和，当时，这个距离之和最小，最小值为6．故答案为：6，1.5． 【典例3】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，；当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，；∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 模型5. 型或型最值模型 【模型提炼与证明】 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）关于，下列说法正确的是（   ） A．当时，有最小值5 B．当时，有最大值9 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 【答案】C 【详解】解：，，当时，有最小值9；故选：C． 【典例2】（25-26七年级上·浙江舟山·期末）式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴，∴最大值是2026．故选：B． 【典例3】（25-26七年级上·广东·单元复习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0(2)，3(3)，4 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0．故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 【典例4】（25-26七年级上·成都·期中）若，为有理数，下列判断正确的个数是（　　） （1）的最小值是；（2）的最小值是；（3）的最大值为；（4）的最大值是． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，即的最小值是，故（1）正确； ，，当，即时，，故的最小值不是； 当时，则，即，即，故最小值不是；故（2）不正确； 的最小值为，故（3）错误；的最大值是，故（4）正确；．故选：B． 模型6. 绝对值最值模型的实际应用 ‌灵活运用数形结合‌：将绝对值的几何意义与代数表达式结合，可以帮助直观地解决问题。 【模型运用】 【典例1】（2026·安徽宣城·二模）探究的最小值．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)因此，数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两个点之间的距离是3，那么的值为________． 探索规律：（Ⅰ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，表示数的点为，表示数的点为． ①如图1，此时点在点的左侧，则； ②如图2，此时点在点A，B之间，则； ③如图3，此时点在点的右侧，则； 综上：当时，此时的最小值为． （Ⅱ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图4，此时点在点，之间，则； ②如图5，此时点在点C，B之间，则； 显然当为0时，； 综上：当时，此时的最小值为． (2)探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图6，此时点在点A，C之间， 则； ②如图7，此时点在点C，D之间， 则； ③如图8，此时点在点，之间，则________． 综上：当时，此时的最小值为________ …… 规律应用：(3)工厂加工车间工作流水线上依次间隔排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，K，一只工具箱应该放在________工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是________m． 【答案】(1)3；2或(2)；(3)；40 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， ∵数轴上表示和的两个点之间的距离是3，∴，解得或； （2）解：③； 综上：当时，此时的最小值为； （3）解：一只工具箱应该放在工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是． 【典例2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】（1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______；②若，则______； 【深入探究】（2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，．∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时．即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即．∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题：求式子的最小值． 【解决问题】（3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【详解】解：（1）①由条件可知距离是．故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3，∴或，解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5．故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数，∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 【典例3】（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）： 数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____．数轴上表示数3和的两点距离为_____． 则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离； 探索材料2（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？ 图1 ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？ 图2 ⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？ 图3 结论应用（填空）：①代数式的最小值是_____；②代数式的最小值是_____； ③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____． ④代数式的最小值是_____． 【答案】材料一：3；4；6；；； 材料二：点、点之间 点 点、点之间 结论应用：①．②．③，．④ 【详解】解：探索材料1：数轴上表示数2和5的两点距离为， 数轴上表示数3和的两点距离为， 则的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离， 故答案为：3；4；6；；；；探索材料2： ①当点P在点A左边时，； 当点P在点A、点之间时，； 当点P在点A右边时，． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小．故答案为：点A、点B之间； ②当点P在点A左边，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C右边，， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小；故答案为：点； ③当点P在点A左边时，， 当点P在点A、点B之间时，， 当点P在点C、点B之间时，， 当点P在点C、点D之间时，， 当点P在点D右边时，， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小．故答案为：点B、点C之间； 结论应用（填空）：①表示点数轴上表示数到数和的距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，故答案为：． ②表示点数轴上表示数到数三点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． ③表示点数轴上表示数到数四点距离之和， 由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，此时的最大值是．故答案为：，． ④表示点数轴上表示数到数共个点距离之和， 由探究材料2得奇数个距离之和的最小值时，的值为正中间的那一个数，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 模型7. 绝对值相关运算与最值问题 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）先阅读，后探究相关的问题． 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，点与点互为相反数，把点向左移动1.5个单位，得到点，则点和点表示的数分别为_______和_______； (2)代数式取最小值时，相应的非负整数有_______，此时最小值为_______； (3)，求的值；(4)，求的最大值和最小值． 【答案】(1)；1(2)0，1，2；7(3)或10(4)的最大值4，最小值 【详解】（1）解：因为点A表示的数为2.5，点A与点B互为相反数，所以点B表示的数为． 把点A向左移动1.5个单位，得到点C，所以点C表示的数为．故答案为：；1； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示x与的距离，表示x与2的距离． 当时，取最小值，最小值为． 此时相应的非负整数x有0，1，2．故答案为：0，1，2；7； （3）解：当时，．令，解得． 当时，，因为，所以此范围无解。 当时，，令，解得，综上，的值：或10； （4）解：∵，∴， ∴的最大值为，最小值为．故的最大值4，最小值． 【典例2】（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)请你结合数轴探究：的最小值是______． (2)请你结合图④探究的最小值是______． (3)的最小值为___．(4)的最小值为___． (5)已知，则的最大值为______，a＋2b＋3c的最小值为______． 【答案】(1)3(2)2(3)6(4)(5)15， 【详解】（1）的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上）， 可以看出a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3；故答案为：3． （2）当a取中间数2时，绝对值最小，的最小值是；如图所示： 故答案为：2； （3）当a取最中间数时，绝对值最小，的最小值是； （4）当a取中间数1011时，绝对值最小，的最小值为： 1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010=； （5）∵ ∴，，∴，， ∴当时，的值最小，为， 当时，的值最大，为，故答案为：15，． 【典例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）材料一：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离．这个结论可以推广为：的几何意义是：在数轴上数，对应点，之间的距离，例如在数轴上点表示数1，点表示数，则． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． 【简单应用】（1）数轴上表示2和5的两点距离为______； （2）数轴上点，，分别表示数，2，4，则若点与线段的距离为______； （3）数轴上点，，分别表示数，2，，若点与线段的距离为2，则______． 【关联应用】（1）代数式的最小值为______； （2）若代数式的值为12，求的最大值． 【实际应用】如图，某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位，，，和一个中控中心，，分别位于中控中心点左侧8米，左侧3米，，分别位于中控中心右侧2米，右侧5米，工位，分别需要2个机器人同时操作，工位，只需要1个机器人操作，现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区，供6个机器人取用，要求6个机器人到物料区的距离之和最小，请直接写出距离之和最小值． 【答案】[简单应用] （1） ；（2）；（3）或；[关联应用] （1）；（2）；[实际应用] 【详解】[简单应用] （1）解：数轴上表示2和5的两点距离为； （2）利用题中定义可得点与线段的距离为； （3）当点在左边时，，解得； 当点在右边时，，解得，综上，或；故答案为：；；或； [关联应用]（1）解： 表示到的距离加上到的距离， 当时，到的距离加上到的距离最小，最小值为，故的最小值为， 故答案为：； （2）根据（1）可得在时，取最小值为， 在时，取最小值为，在时，取最小值为， ， ，，， ，，，的最大值为； [实际应用]解：设点为原点，则可得，，，表示的数分别为， 由题意可得在之间时，距离最小，设表示的数为，则表示的数为， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为：， 当时，，此时6个机器人到物料区的距离之和为：， 则6个机器人到物料区的距离之和为， 即， 在时，取最小值，在时，取最小值， 的最小值为，综上，距离之和最小值为． 模型8. 绝对值最值中的新定义问题 【模型运用】 【典例1】（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）是双重绝对值运算，运算顺序是先求的差的绝对值，再求与差的绝对值的差的绝对值．求： （1）若，，，的最小值为_______． （2）若随意三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，如果最大值为18，则最小值为________ 【答案】 2 14 【详解】解：（1）根据，，，得，，故答案为：2． （2）解：根据是双重绝对值运算， 故三个互不相等的正整数输入双重绝对值进行运算，得或或， 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， ，，此时最小值是18； 当时，由三个互不相等的正整数，且双重绝对值最大值为18， 时，当时，，不符合题意； 当时，，，最小值为：， 当时，当时，，最小值为18， 当时，，，最小值为：， 同理可证的最小值也是14或18，综上所述，最小值为14，故答案为：14． 【典例2】（25-26七年级上·北京·阶段检测）对于有理数x,y，a,t，若，则称x和y关于a的“距和数”为t，例如，，则2和3关于1的“距和数”为3． (1)-3和5关于2的“距和数”为__________(2)若x和2关于3的“距和数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“距和数”为1，和关于2的“距和数”为1，和关于3的“距和数”为1，…，和关于16的“距和数”为1．①的最小值为________；②的最小值为_______． 【答案】(1)8(2)的值为或(3)①1；②136 【详解】（1）解：根据“距和数”定义，，故答案为：． （2）解：∵和2关于3的“距和数”为4，∴， 化简得，即，则或，解得或，答：的值为或． （3）①解：∵和关于1的“距和数”为1，∴． 由绝对值几何意义：、在数轴上到1的距离和为1， 要使最小，需、（两点均在1左侧）， 此时，即，故答案为：． ②解：和关于2：，需、，得，结合①中（最小值），得； 和关于3：，（最小值），得；…… 和关于16：，（最小值），得． 则，，…，，其和为，故答案为：136． 【典例3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）在数轴上存在不同的三个点，三个点表示的数分别为，对于三个点的“完美距离”规定如下：若，则关于点的“完美距离”；若，则关于点的“完美距离”．点是点的“完美相关点”． 例如：对于点，三个点表示的数分别为，因为，所以关于点的“完美距离”． 【初步理解】（1）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为_____； 【深入应用】（2）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为． ①若关于点的“完美距离”，求的值；②若，则关于点的“完美距离”的最大值为_____． 【知识迁移】（3）已知数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为．若均是整数，求的值． 【答案】（1）（2）①或；②（3）的值为：，，， 【详解】解：（1）∵，， ∴数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，则关于点的“完美距离”为． （2）①∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，关于点的“完美距离” ∴当时，则，解得：（不符合题意舍去）， 当时，则，解得：（不符合题意舍去），综上：或． ②∵，如图， ∴的中点对应的数为，∴当表示时， 关于点的“完美距离”取最大值，最大值为． （3）∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为，且，关于点的“完美距离”的最大值为；结合（2）可得：当为的中点时， ， ∵数轴上不同的三个点，三个点表示的数分别为1，且在和之间，关于点的“完美距离”的最大值为，∴， 同理可得：，∴， ∵均是整数，∴的值为：，，，． 模型常见易错点 1）混淆和模型与差模型的最值属性； 2）偶数个定点时，误以为只有中间点取最值； 3）未排序定点，直接判断中间点； 4）去绝对值符号符号出错； 5）忽略参数题型的双解； 6）认为所有绝对值最值都需要分段讨论。 解题方法总结 1）绝对值距离和最值解题模板 适用题型： 步骤1：排序：将常数从小到大数轴排序；步骤2：判奇偶：数定点个数；步骤3：定取值：奇数个取中间点，偶数个取中间区间；步骤4：算最值：代入对应x（或区间任意数）计算最小值； 2）绝对值距离差最值解题模板 适用题型： 步骤1：定定点：确定两个定点左右位置，标注a＜b；步骤2：直接写结论：最大值=（x≤a时取得）；最小值=（x≥b时取得）；步骤3：验算：特殊值代入验证，避免符号错误。 注意：所有绝对值最值问题，优先几何意义（数轴），次选代数分段讨论；综合题型中，可结合“零点分段法”辅助验证模型结论。 1．（25-26七年级上·成都·专题练习）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【详解】解：∵为有理数，∴，∴，∴． 当时，即，取等号，∴最大值为．故选C． 2．（25-26七年级上·山东烟台·阶段练习）的最小值是（ ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：表示数轴上表示的点到和的距离之和， 当在之间时，有最小值， 即当时，为最小值，故选：C． 3．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离， 就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离，∴当x的取值范围是时，取的最小值，即表示数的点到表示数2的点的距离．故选：C． 4．（24-25七年级上·四川·期末）规定：，，例如：，．有下列结论：①；②若，则； ③不存在能使成立的x的值；④式子的最小值是2．其中正确的是 （填番号） 【答案】①② 【详解】解：①，故①正确； ②若，则，解得，， ，故②正确； ③若，则，即或，解得， 即能使成立的的值存在，故③不正确； ④式子的最小值是，故④不正确； 正确的有①②，故答案为：①②． 5．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（   ） A．0 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵，∴ ，∴的最小值是5，故选：B． 7．（25-26七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴∴， ∴的最大值为：；故答案为：． 6．（24-25七年级上·河南漯河·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示，两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵表示在数轴上到的距离减去到的距离， ①当 时，此时，因为到的距离就是与的差（大于）；，因为到的距离就是与的差（大于）； ； ②当时，，因为此时3大于，到3的距离是3与的差，，则，因为，所以，那么； ③当时，，，因为小于，到的距离是与的差的相反数，所以， 综上所述，， ∴的最大值为，故选：C ． 8．（25-26七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】（3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则，故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或，故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下：表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值，此时最小值为； （4）有最小值，理由如下：若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 9．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【答案】(1)1或(2)5(3)169 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是，故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为，故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为，故答案为：169． 10．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2． (1)线段的长度是 ；(2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 则 ，取最小值是 ，取最小值是 ； (3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)5(2)或3；5；5(3)便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14．理由见解析 【详解】（1）由题意知，，故答案为：5； （2）由题意知，当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解；或3； 由绝对值的意义可知，当时，取最小值5， 当时，取最小值是5，故答案为：或3；5；5； （3）便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14千米，理由如下：记点表示的有理数为0，则、、、表示的有理数分别为，，，，设便民服务点在数轴上表示的点处， 由题意可得便民服务点到四点的距离之和为：， 由绝对值的意义可知，当表示的点在表示和2的点的线段上时有最小值， 此时， 答：便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14． 11．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为_________． (2)当取最小值时，可以取整数_________；的最大值为_________． (3)当_________时，的值最小，最小值为_________． 【答案】(1)或1(2)，，,0,1；4(3)；7 【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离为6，在数轴上表示为： 由图可得，点表示的数为或1，∴则的值为或1，故答案为：或1； （2）解；根据题意可得，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离加上有理数为的点P与表示有理数为1的点之间的距离之和，表示有理数为的点P与表示有理数为的点之间的距离减去有理数为的点P与表示有理数为1的点之间的距离，在数轴上表示： ∴①当时，取最小值，通过数轴可得：可以取整数有，，，0，1； ②当，可化简为；当，可化简为，此时最大值小于4；当，可化简为， 综上所述，当取最小值时，可以取整数有，，，0，1；的最大值为4， 故答案为：，，，0，1；4； （3）解：根据题意可得，表示数轴上表示数的点到表示数和1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵，∴当时，有最小值0，∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为7， 故答案为：；7； 12．（25-26七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 【答案】C 【详解】解：表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离， 当点P在点A、点B两点之间时，的值最小，∴， ∵，∴，∴或9．故选：C． 13.（25-26七年级上·浙江·阶段检测）如图，数轴上点，所对应的数分别是，2．对于关于的式子，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，式子的最大值小于等于2，最小值大于等于，则称式子是线段的“完美”式子．例如，对于关于的式子，当时，式子取得最大值2；当时，式子取得最小值0，所以式子是线段的“完美”式子． (1)关于的式子，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，）的任意一点时，取得的最大值是_____，最小值是_____，所以式子_____（填“是”或“不是”）线段的“完美”式子． (2)关于的式子是线段的“完美”式子，则有理数的最大值是_____，最小值是_____． (3)以下关于的式子：①；②；③．其中是线段的“完美”式子的是_____（填序号），并说明理由（只需对你认为是的式子给出验证过程，不是的无需说明）． 【答案】(1)；；不是 (2)；(3)②，理由见解析 【详解】（1）∵在数轴上、之间（包括、），∴在到之间（包括和）．   对于：  当时，；当时，；当时，， ∴的最大值是，最小值是， 又∵“完美”式子要求最大值，而，∴式子不是线段的“完美”式子．   故答案为：；；不是； （2）∵在到之间（包括和）， 对于：  当时，取最小值；当时，取最大值， ∵是“完美”式子，∴需满足：   最大值：；  最小值： ∴在到之间（包括和），则的最大值是，最小值是．故答案为：；； （3）∵在到之间（包括和），逐一验证式子：   ①对于：  ∵，式子随增大而增大． 当时，（最小值<-2），不符合要求，故①不是；   ②对于：  ∵，在到之间（包括和）时，最大值为、最小值为 ∴式子最大值为，最小值为．∵且，符合要求，故②是；   ③对于：  当在到之间（包括和）时， 式子（最小值），不符合要求，故③不是；   综上，是线段“完美”式子的是②．  故答案为：②； 14．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题：(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值； (3)当取最小值5时，a的值为__________． 【答案】(1)4；4；6(2)或(3)或 【详解】（1）解：数轴上表示1和5的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和5的两点之间的距离是， 故答案为：4；4；6； （2）解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为x和，且， ∴，∴或，∴或； （3）解：由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示数x的点到表示数3和数的两个点的距离之和，∴当表示数x的点在表示数3和数的两个点之间（包括端点）时，有最小值，最小值即为表示数3和数的两个点的距离， ∵得到最小值为5，∴表示数3和数的两个点的距离为5， ∴，∴或，解得或，故答案为：或． 15．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值． 【详解】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值， 的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离．故答案为：-5． （2）数轴上表示的点位于与2之间，， ，，．故答案为：7． （3）若，分三种情况： ①当时， ，； ②当，，此时方程无解； ③当时，，．故答案为：或3． （4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数，或． 表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离， 表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和， 当时，最小值为7．故答案为：或；结论：7，． （5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为7．故答案为：1，7． （6）当为奇数时，中间的点为， 则当时，有最小值； 当为偶数时，中间的点为和， 则当或时，有最小值． 16．（24-25七年级上·重庆江津·期中）【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】(1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)①当时，取得最小值7；②当时，取得最小值9； (3)14 【详解】（1）解：，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数的点的距离； 故答案为：，； （2）解：①表示到的距离与到2的距离以及到3的距离之和， 所以当时，的值最小为； ②∵表示到的距离与到3的距离之和， ∴当时，的值最小为； （3）解：∵表示到的距离3倍的与到5的距离的2倍之和， ∴x越接近，的值越小， ∴当时，的值最小为． 17．（24-25七年级上·北京通州·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，若点P表示的有理数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是_________，若，则x的值为__________； (2)当取最小值时，x取整数的值是__________； (3)当的值最小时，x的取值为__________，最小值是__________． (4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或2(2)，，，0，1(3)，7(4)站点P建在B和C之间，才能使总运送费用最少，最少费用是95元 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于5，由数轴可知为：或2， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或2； （2）解：表示：数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点的距离，与表示有理数x的点到表示有理数1的点的距离之和，所以x应该在表示有理数与1的两点之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0，1；故答案为：，，，0，1； （3）解：表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和，所以x应该在与1之间的线段上，且当时，x到、x到与x到1的距离之和最小， 最小值为到1的距离7；故答案为：，7； （4）解：以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x，由题意可知，，，4， ∴物资的往返总运送费用为：元，如图， ∵表示x到的距离与x到4的距离之和，x到的距离与x到4的距离之和的2倍的总和， 当时，取得最小值， 当时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∵物资运送车往返1千米路程需要花费5元，∴（元）． ∴站点P建在B和C之间，才能使总运送费用最少，最少费用是95元． 18．（25-26七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为． （1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为 　　； 【问题探究】为求代数式的最小值，可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离，看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离，并进行以下讨论： 当x在和3中间时，；当x在-1左边时有，； 当x在3右边时也有；综上所述，代数式最小值为4； （2）的最小值为 　　； 【方法应用】：（3）已知，则　　； 【迁移应用】：（4）若m，n为整数，且m，n满足，则当　　，　　，的最大值为 　　． 【答案】（1）18；（2）5；（3）5或；（4）、0、1、2；、、、0、1； 3 【详解】解：（1），故答案为：18； （2）当x在和3之间时，有最小值，为：，故答案为：5； （3）当时，方程化为：，解得：， 当时，方程化为：，解得：， 当时，方程化为：，无解，故答案为：5或； （4）根据题意，得，， ∵m，n为整数，∴、为整数， ∵，∴，， ∴m的值为：-、0、1、2；，n的值为：、、、0、1，∴的最大值为：3， 故答案为：、0、1、2；、、、0、1； 3． 19．（24-25七年级上·山东济南·期中）类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾·反思】数学兴趣小组在研究的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现就是x和所对应的两个点之间的距离，就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在的左侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在与7之间，则x到与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到与x到7的距离之和大于11； ④若，则x到与x到7的距离之和等于11； ⑤若，则x到与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，的最小值为11． 【操作·思考】数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究的最大值问题． 就是x和 所对应的两个点之间的距离，就是x和 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出的最大值为 ； 【尝试·思考】当或b时，代数式的值为相等的正数，则 ． 【答案】【操作·思考】，3，5；【尝试·思考】12． 【详解】解：【操作·思考】根据题干可知是和所对应的两个点的距离， 是是3两个点所对应的距离，如图所示， ①当时，； ②当时，，在此范围内，当时，最大； ③当时，，综上，最大值为5；故答案为：，3，5； 【尝试思考】如图所示， ①当时，，为负数，不合题意； ②当时，，为负数，不合题意； ③当时，，为正数，符合题意； ④当时，， 此时要想满足其值为正数，则还要小于10，所以，当在2到6和6到10这两段时其值为正数， 即可以在和6之间，则在6和10之间， 当在和6之间时，， 当在6和10之间时，， 所以，所以．故答案为：12． 20．（24-25七年级上·江西九江·阶段检测）阅读材料：在数轴上两个点之间的距离，可以通过对应数的差的绝对值来计算： 例如：数轴上有两个点A，B，若对应的数分别为和3，则A，B两点之间的距离，若对应的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，两个数的差的绝对值在数轴上表示数对应的两个点之间的距离，例如在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离； (1)初步感知： 填空：数轴上两个点对应的数分别是和7，两个点之间的距离为________； 在数轴上表示数a的点与数________的点之间的距离； 在数轴上表示数a的点与数________的点之间的距离 (2)加深理解：若a表示一个有理数，求的最小值，我们可以利用数形结合的方法来分析，代数式在数轴上可以看成是表示数a的点分别到表示数3和的点的距离之和，通过将表示数a的点在数轴上移动可以发现： 当a在左边时，如图1，代数式的值一定会大于8             图1 分当a在3右边时，如图2，代数式的值一定会大于8             图2 当a在和3之间时，如图3，代数式的值都为________            图3 综上可知的最小值为________ (3)方法延申：仿照上面数轴的方法解决下面问题 若时，求的最小值（用含a的式子表示） 【答案】(1)10；；(2)8；8(3) 【详解】（1）解：在数轴上表示与7两点间的距离是， 在数轴上表示数a的点与2的点之间的距离； ，则表示在数轴上表示与两点之间的距离；故答案为：10；；； （2）解：由图可知：当a在和3之间时，， 代数式的值都为8，综上可知的最小值为8，故答案为8，8； （3）解：代数式在数轴上可以看成是表示数的点分别到表示数和的点的距离之和， 当x在左边时，如图1，代数式的值一定会大于 当在右边时，如图2，代数式的值一定会大于        当在和之间时，如图3，； ∴代数式的值都为 综上可知的最小值为 21．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）如果的最小值是10， 那么 ． 【答案】或6 【详解】解：的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数，3，a的点的距离之和， ①当时，当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； ②当时，当时，有最小值，即：，不符合题意； ③当时，当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； 综上，当或时，的最小值是10．故答案为：或6． 22．（25-26七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 【答案】(1)4，3，2或(2)8(3)，8(4)11 【详解】（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为； 表示和2两点之间的距离为； ∵表示数a和的两点之间的距离是3，∴， ∴或，∴或，故答案为：4；3；2或； （2）表示数a到和3两点的距离之和， ∵表示数a的点位于与3之间，； （3）表示x到，，3三个点的距离之和， ∵当时，有最小值，且当时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为，故答案为：，8； （4），∴， ∵，， ，∴当时有最大值，最大值为，故答案为：11． 23．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1． ①的最大值为________；②的值为________（用含的式子表示）． 【答案】(1)(2)或(3)①；②或或或 【详解】（1）解：， ∴和3关于1的“相对关系值”为，故答案为： （2）解：和关于的“相对关系值”为，， 当时，则，解得； 当时，则，解得；综上所述，的值为或； （3）解：①和关于的“相对关系值”为，； 分四种情况：当，时，，则； 当，时，，则，得到； 当，时，，则，得到； 当，时，，则，由此可知的最大值为；故答案为： ②分五种情况，当时，，解得， 由可得，，可得，； 当时，，，此种情形不存在； 当时，，，，；； 当时，，，，， ，，，，，即， ，即，同理可得：，，， ，，，，， ； 当，时，由可得， 即，此种情形不存在； 当，时，可得，，，，， ，，，，， ； 综上，的值为或或或； 故答案为：或或或 24．（25-26七年级上·北京昌平·期末）对于数轴上不同的三个点M，N，P．若满足（），则称点P是点M关于点N的“隔序点”，其中“k是隔序系数”“b是隔序常数”．例如，如图，在数轴上，点M，N表示的数分别是，1，当“隔序常数”时，原点O是点M关于点N的“隔序点”，可知“隔序系数”，原点O也是点N关于点M的“隔序点”，可知“隔序系数”．在数轴上已知点A表示的数是，点B表示的数是3．    (1)若点C在线段上，点C是点A关于B的“隔序点”， 时，点C表示的数是 ； (2)若点C在数轴上，，点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，求k的值； (3)在A，B，C三点中，点C表示的数是m，点C是另一点关于第三个点的“隔序点”，若k和b满足，当k取最小值时，b最大值时，直接写出m的值． 【答案】(1)1(2)或(3)7或或或 【详解】（1）解：设点C表示的数是， ∵点A表示的数是，点B表示的数是3，点C在线段上，∴， ∵点C是点A关于B的“隔序点”，且 ，∴，∴，解得， ∴点C表示的数是1，故答案为：1． （2）设点C表示的数是，∵，∴或， 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数，∴，∴，解得； 当时，∴， ∵点C是点B关于A“隔序点”，隔序常数， ∴，∴，解得；综上所述，或． （3）设点C表示的数是m，则，∵k和b满足， 又：表示数轴上表示点的数到表示点的数的距离，以及到表示点3的数的距离之和， ∴当时，有最小值为，∴当k取最小值时，b最大值时，此时：， 当点C是点B关于A“隔序点”时，，，∴，解得：或； 当点C是点A关于B“隔序点”时，，，∴，解得：或； 综上所述m的值为7或或或． 25．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料并解决问题： 我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：（1）若，则______；     （2）当x满足条件：_______时，式子有最小值，最小值是______； 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】（1）；（2），；（3）共有 5 种调配方案，辆． 【详解】解:（1）表示在数轴上x到和的距离相等，∴，故答案为： （2）∵线段上的点到线段的两端点的距离最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是，故答案为：， 应用：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， 共有 5 种调配方案，如下图所示： 由上可知，方案一的调出的车辆数为 辆． 方案二的调出的车辆数为 辆．方案三的调出的车辆数为 辆． 方案四的调出的车辆数为辆．方案五的调出的车辆数为 辆． ∴调出的最小车辆数为：辆． 26．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 【答案】(1)30(2) 【详解】（1）解：由题意得：当时， 最小，最小值是： ； （2）解： 共个绝对值相加，即时， 最小，令，得： ． 53 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $