专题07 有理数简便运算（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦初中数学有理数简便运算核心知识点，系统梳理加法交换律结合律、乘法交换律结合律分配律等运算依据，特殊数值关系（相反数和为0、倒数积为1、凑整）及整体思想，构建从基础依据到技巧方法再到思想提升的学习支架。 该资料通过“题型-典例-变式-训练”递进设计，突出运算律选用、拆项法（如9.98拆为10-0.02）、分配律逆用等技巧，培养运算能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后巩固与强化训练助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题 07 有理数简便运算 1. 能根据数字特征选用运算律，完成凑整、配对、提取公因数简算； 2. 掌握大数拆分、分配律逆用等技巧，简化复杂多步算式； 3．依托整体思想配对合并同类算式，突破多层括号、多位数简算难点； 4. 综合解决分配律逆用、拆分凑整压轴题型。 （一）基础核心知识点 加法简便依据：交换律、结合律，适用于相反数、同分母、凑整配对； 乘法简便依据：交换律、结合律、分配律；分配律逆用：； 特殊数值关系：互为相反数和为0；互为倒数乘积为1；整十、整百数便于凑整计算。 （二）标准化简便技巧 抵消配对：与优先结合直接消去； 分数合并：同分母项优先相加； 大数拆分：接近整百/整千数拆成“整百±小数”适配分配律； 统一形式：带分数拆为整数+分数、小数化分数构造可简便整体。 （三）核心数学思想 整体思想：将可抵消、凑整、含公共因数的一组数视为整体合并，减少分步计算。 题型 01 运算律的选用 【典例1】下列各式中，使用运算律计算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式】对算式“9.98×（﹣5）+50”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（　　） 解：9.98×（﹣5）+50 ＝（10﹣0.02）×（﹣5）+50 ＝10×（﹣5）﹣0.02×（﹣5）+50① ＝﹣50+0.1+50 ＝﹣50+50+0.1② ＝0.1 A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 题型 02拆项法的应用 【典例2】学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． （1）淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是 ． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律 （2）请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【变式】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A． B． C． D． 题型 03分配律的逆运用 【典例3】学习了有理数的乘法之后，老师出了两道例题，下面是小方的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 例1：99×（﹣18）＝（100﹣1）×（﹣18）＝100×（﹣18）﹣1×（﹣18）＝﹣1800+18＝﹣1782． 例2：﹣24×345+25×345＝（﹣24+25）×345＝1×345＝345． （1）例1、例2都用到的运算律是　　 ； （2）请你参照上述例1、例2，利用运算律简便计算： ①999×（﹣26）；②． 【变式】利用运算律有时能进行简便运算． 例1：125（﹣5）＝（125）×（）＝125×（）（）＝﹣25+（）＝﹣25， 例2：﹣16×245+17×245＝（﹣16+17）×245＝245． 请你参考上述例子中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）； （2）（﹣98）×0.75+25×0.75+27×（﹣0.75）． 【巩固训练】 1. 式子2×3×0.5×（﹣7）＝（2×0.5）×[3×（﹣7）]中，运用的运算律是（　　） A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 2. 计算，运用哪种运算律更简便？（　　） A．加法交换律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．加法结合律 3. 某同学在计算（﹣4）×5×（﹣0.25）时，将原式变形为[﹣4×（﹣0.25）]×5进行简便运算，这样做的依据是（　　） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 4. 小学学习了加法交换律、加法结合律，这些运算律在有理数范围内仍然成立．例如：31+28+（﹣28）＝31+[28+（﹣28）]，这一步运算的依据是　　 ． 5. 利用加法运算律，将﹣2（）+（﹣1）写成 　　 ，可使运算简便． 6. 在下面的计算过程后面填上运用的加法运算律． 计算：（﹣2）+（+3）+（﹣5）+（+4）． 解：原式＝（﹣2）+（﹣5）+（+3）+（+4）（ 　　 ） ＝[（﹣2）+（﹣5）]+[（+3）+（+4）]（ 　 　 ） ＝（﹣7）+（+7） ＝0． 7. 利用乘法运算律计算：（写出必要的计算过程） （1）（﹣4）×8×（﹣2.5）×（﹣125）； （2）； （3）（﹣4）×57+（﹣4）×43； （4）． 8. （1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：　　 、　　 ； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项： 　　 +　　 ； 　　 +　　 ； ②用拆项法简便计算：． 【强化训练】 1. （2025秋•唐山期中）运用运算律计算99×98，变形正确的是（　　） A．100×99﹣98 B．100×99﹣99 C．100×98﹣99 D．100×98﹣98 2. （2025秋•歙县月考）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A．（﹣4）×3＝3×（﹣4） B． C． D． 3. （2025秋•南岗区校级期中）利用如图简便计算：　　 ． 4. （2025秋•鹤壁月考）阅读下面题目的运算过程，并解答问题． 计算： 解：原式① ② ③ ＝100﹣8④ ＝92．⑤ （1）第①步运用的运算律是 　　 ；第②步运用的运算律是 　　 ； （2）上述计算过程，从第 　　 步出现错误，本题运算的正确结果是 　　 ； （3）运用上述解法，计算：． 5. （2025秋•白塔区校级月考）学习了有理数的乘法之后，老师出了两道例题，下面是小方的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 例199×（﹣18）＝（100﹣1）×（﹣18）＝100×（﹣18）﹣1×（﹣18）＝﹣1800+18＝﹣1782． 例2﹣24×345+25×345＝（﹣24+25）×345＝1×345＝345． （1）任务一：例1、例2都用到的运算律是　　 ． （2）任务二：请你参照上述例1、例2，利用运算律简便计算： ①999×（﹣26）． ②． 6. （2025秋•花溪区校级期中）请你参考老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176． 例2：﹣16×233+17×233＝（﹣16+17）×233＝233． （1）； （2）． 7. （2025秋•夏邑县月考）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式 ＝… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． … 任务： （1）请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式　； （2）题干中横线上空缺的计算结果是　　 ； （3）按小亮的方法计算：． 8. （2025•良庆区校级开学）简便运算． （1）； （2）； （3）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 07 有理数简便运算 1. 能根据数字特征选用运算律，完成凑整、配对、提取公因数简算； 2. 掌握大数拆分、分配律逆用等技巧，简化复杂多步算式； 3．依托整体思想配对合并同类算式，突破多层括号、多位数简算难点； 4. 综合解决分配律逆用、拆分凑整压轴题型。 （一）基础核心知识点 加法简便依据：交换律、结合律，适用于相反数、同分母、凑整配对； 乘法简便依据：交换律、结合律、分配律；分配律逆用：； 特殊数值关系：互为相反数和为0；互为倒数乘积为1；整十、整百数便于凑整计算。 （二）标准化简便技巧 抵消配对：与优先结合直接消去； 分数合并：同分母项优先相加； 大数拆分：接近整百/整千数拆成“整百±小数”适配分配律； 统一形式：带分数拆为整数+分数、小数化分数构造可简便整体。 （三）核心数学思想 整体思想：将可抵消、凑整、含公共因数的一组数视为整体合并，减少分步计算。 题型 01 运算律的选用 【典例1】下列各式中，使用运算律计算不正确的是（　　） A． B． C． D． C【解析】A．∵ ， ∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； B．∵]，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意； C．∵ ， ∴此选项的计算错误，故此选项符合题意； D．∵，∴此选项的计算正确，故此选项不符合题意；故选：C． 【变式】对算式“9.98×（﹣5）+50”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（　　） 解：9.98×（﹣5）+50 ＝（10﹣0.02）×（﹣5）+50 ＝10×（﹣5）﹣0.02×（﹣5）+50① ＝﹣50+0.1+50 ＝﹣50+50+0.1② ＝0.1 A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 A【解析】∵（10﹣0.02）×（﹣5）＝10×（﹣5）﹣0.02×（﹣5）， 这符合分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c（此处为减法形式）． ∴①使用了分配律． ∵﹣50+0.1+50＝﹣50+50+0.1， 符合加法交换律：a+b＝b+a．∴②使用了加法交换律．故选：A． 题型 02拆项法的应用 【典例2】学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． （1）淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是 ． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律 （2）请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 解：（1）她们运用的运算律是乘法对加法的分配律，故选：C； （2）原式 ＝﹣1300+2 ＝﹣1298． 【变式】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　） A． B． C． D． A【解析】将带分数变形成凑整的形式可得：，∴，这样便于后面的运算，故选：A． 题型 03分配律的逆运用 【典例3】学习了有理数的乘法之后，老师出了两道例题，下面是小方的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 例1：99×（﹣18）＝（100﹣1）×（﹣18）＝100×（﹣18）﹣1×（﹣18）＝﹣1800+18＝﹣1782． 例2：﹣24×345+25×345＝（﹣24+25）×345＝1×345＝345． （1）例1、例2都用到的运算律是　　 ； （2）请你参照上述例1、例2，利用运算律简便计算： ①999×（﹣26）；②． 解：（1）例1、例2都用到的运算律是乘法分配律．故答案为：乘法分配律． （2）①原式＝（1000﹣1）×（﹣26） ＝1000×（﹣26）﹣1×（﹣26） ＝﹣26000+26 ＝﹣25974； ② ＝99900+111 ＝100011． 【变式】利用运算律有时能进行简便运算． 例1：125（﹣5）＝（125）×（）＝125×（）（）＝﹣25+（）＝﹣25， 例2：﹣16×245+17×245＝（﹣16+17）×245＝245． 请你参考上述例子中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）； （2）（﹣98）×0.75+25×0.75+27×（﹣0.75）． 解：（1）原式＝（﹣36 ； （2）原式＝（﹣98+25﹣27）×0.75 ＝﹣100×0.75 ＝﹣75． 【巩固训练】 1. 式子2×3×0.5×（﹣7）＝（2×0.5）×[3×（﹣7）]中，运用的运算律是（　　） A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 A【解析】根据题意可知，式子2×3×0.5×（﹣7）＝（2×0.5）×[3×（﹣7）]，使用了乘法交换律和乘法结合律． 2. 计算，运用哪种运算律更简便？（　　） A．加法交换律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．加法结合律 B【解析】观察式子可知，可以利用乘法分配律进行简算，故选：B． 3. 某同学在计算（﹣4）×5×（﹣0.25）时，将原式变形为[﹣4×（﹣0.25）]×5进行简便运算，这样做的依据是（　　） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 D【解析】（﹣4）×5×（﹣0.25）＝[﹣4×（﹣0.25）]×5，这样做的依据是乘法交换律和结合律． 4. 小学学习了加法交换律、加法结合律，这些运算律在有理数范围内仍然成立．例如：31+28+（﹣28）＝31+[28+（﹣28）]，这一步运算的依据是　　 ． 结合律【解析】31+28+（﹣28）＝31+[28+（﹣28）]，运算的依据是加法的结合律． 5. 利用加法运算律，将﹣2（）+（﹣1）写成 　　 ，可使运算简便． [﹣2（）]+[（﹣1）]【解析】利用加法运算律，将﹣2（）+（﹣1）写成[﹣2（）]+[（﹣1）]． 6. 在下面的计算过程后面填上运用的加法运算律． 计算：（﹣2）+（+3）+（﹣5）+（+4）． 解：原式＝（﹣2）+（﹣5）+（+3）+（+4）（ 　　 ） ＝[（﹣2）+（﹣5）]+[（+3）+（+4）]（ 　 　 ） ＝（﹣7）+（+7） ＝0． 加法交换律，加法结合律【解析】原式＝（﹣2）+（﹣5）+（+3）+（+4）（加法交换律） ＝[（﹣2）+（﹣5）]+[（+3）+（+4）]（加法结合律） ＝（﹣7）+（+7） ＝0． 7. 利用乘法运算律计算：（写出必要的计算过程） （1）（﹣4）×8×（﹣2.5）×（﹣125）； （2）； （3）（﹣4）×57+（﹣4）×43； （4）． 解：（1）（﹣4）×8×（﹣2.5）×（﹣125） ＝﹣（4×2.5）×（8×125） ＝﹣10×1000 ＝﹣10000； （2）原式 ＝12﹣4+9﹣10 ＝7； （3）原式＝（﹣4）×（57+43） ＝（﹣4）×100 ＝﹣400； （4）原式 ． 8. （1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：　　 、　　 ； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项： 　　 +　　 ； 　　 +　　 ； ②用拆项法简便计算：． 解：（1）① ． ＝﹣6+5 ＝﹣1； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律， 故答案为：加法交换律；加法结合律； （2）①；﹣55+（），故答案为：17；；﹣5；（）； ②原式 ＝1+0 ＝1． 【强化训练】 1. （2025秋•唐山期中）运用运算律计算99×98，变形正确的是（　　） A．100×99﹣98 B．100×99﹣99 C．100×98﹣99 D．100×98﹣98 D【解析】99×98＝（100﹣1）×98＝100×98﹣98．故选：D． 2. （2025秋•歙县月考）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A．（﹣4）×3＝3×（﹣4） B． C． D． D【解析】（﹣4）×3＝3×（﹣4），运用的乘法交换律，故选项A正确，不符合题意； ﹣24（）[（﹣24）×（）]，运用的是乘法交换律和结合律，故选项B正确，不符合题意； （﹣5）（﹣6）＝（﹣5）×[（﹣6）]，运用的是乘法结合律，故选项C正确，不符合题意； （﹣12）×[（）]＝（﹣12）（﹣12）×（），故选项D错误，符合题意． 3. （2025秋•南岗区校级期中）利用如图简便计算：　　 ． 【解析】根据图形得出整个图形的面积减去不包含在内的图形面积就是剩余图形的面积和可知： ． 4. （2025秋•鹤壁月考）阅读下面题目的运算过程，并解答问题． 计算： 解：原式① ② ③ ＝100﹣8④ ＝92．⑤ （1）第①步运用的运算律是 　　 ；第②步运用的运算律是 　　 ； （2）上述计算过程，从第 　　 步出现错误，本题运算的正确结果是 　　 ； （3）运用上述解法，计算：． 解：（1）第①步运用的运算律是加法交换律，第②步运用的运算律是乘法分配律， 故答案为：加法交换律；乘法分配律； （2）上述计算过程，在第③步出现错误，正确过程如下： 原式 ＝﹣100+8 ＝﹣92． 故答案为：③；﹣92； （3） ＝56． 5. （2025秋•白塔区校级月考）学习了有理数的乘法之后，老师出了两道例题，下面是小方的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： 例199×（﹣18）＝（100﹣1）×（﹣18）＝100×（﹣18）﹣1×（﹣18）＝﹣1800+18＝﹣1782． 例2﹣24×345+25×345＝（﹣24+25）×345＝1×345＝345． （1）任务一：例1、例2都用到的运算律是　　 ． （2）任务二：请你参照上述例1、例2，利用运算律简便计算： ①999×（﹣26）． ②． 解：（1）例1、例2都用到的运算律是乘法分配律．故答案为：乘法分配律； （2）①原式＝（1000﹣1）×（﹣26） ＝1000×（﹣26）﹣1×（﹣26） ＝﹣26000+26 ＝﹣25974； ②原式 ＝100000﹣100 ＝99900． 6. （2025秋•花溪区校级期中）请你参考老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176． 例2：﹣16×233+17×233＝（﹣16+17）×233＝233． （1）； （2）． 解：（1）． （2）． 7. （2025秋•夏邑县月考）平顶山某初中数学小组学完进度章节后，对一道试题展开了讨论，请你仔细阅读并完成任务． 试题：计算：． 小明：对于这道试题我采用直接运算方法，从左到右先写成省略括号和加号的形式，之后… 小亮：对于这类计算，我发现了一种拆项法．以这道试题为例： 原式 ＝… 小明：这种方法很有趣，值得推荐． … 任务： （1）请你帮助小明把原式写成省略括号和加号的形式　； （2）题干中横线上空缺的计算结果是　　 ； （3）按小亮的方法计算：． 解：（1）原式．故答案为：； （2）原式 ． 故答案为：0； （3） ． 8. （2025•良庆区校级开学）简便运算． （1）； （2）； （3）． 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）设，， 原式 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $