专题 2.5 有理数的混合运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（先乘方再乘除后加减，同级从左到右，括号由内向外）、简便技巧（运算律应用）、科学计算器使用及24点运算规则，构建从基础到拓展的递进式学习支架。 该资料通过分层题型设计（基础顺序型到多层括号综合运算）和24点创新题型，培养学生运算能力（数学思维）与创新意识（数学眼光），结合实例强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师精准教学，课后助力学生通过同步检测查漏补缺，提升综合运用能力。

专题 2.5 有理数的混合运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】有理数混合运算顺序 1 【知识点二】混合运算的简便技巧（运算律） 2 【知识点三】科学计算器的使用 2 【知识点四】有理数24点运算规则 2 二.题型精析 2 【题型 1】基础顺序型混合运算 2 【题型 2】乘方符号辨析运算（基础） 3 【题型 3】乘法分配律简便运算（综合） 3 【题型 4】运算顺序易错辨析题（综合） 4 【题型 5】多层括号综合运算（综合提高） 5 【题型 6】24点创新运算（拓展） 5 三.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一.知识梳理与解读 【知识点一】有理数混合运算顺序 有理数混合运算，严格遵循先高级、后低级，先括号、后同级的运算规则： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次运算，不可随意调换顺序； 3. 含有多层括号时，先算小括号，再算中括号，最后算括号外的运算。 【要点提示】 1. 乘方是最高级运算，是最容易出错的步骤，务必优先计算； 2. 严格区分与：底数为，表示乘方的相反数；底数为，表示负数的乘方； 3. 乘除同级运算禁止结合后算，必须从左往右依次计算。 【知识点二】混合运算的简便技巧（运算律） 在不改变运算顺序的前提下，灵活运用五大运算律简化计算，减少通分、大数运算： 1. 加法交换律、结合律：凑0、凑整、同分母结合； 2. 乘法交换律、结合律：凑整、约分、消去因数； 3. 乘法分配律：正向展开、逆向提取公因数，是分数混合运算的核心简便方法。 【要点提示】遇到“数×分数括号”结构，优先使用分配律，避免先算括号内复杂通分，大幅降低计算失误。 【知识点三】科学计算器的使用 1. 有理数算式可直接按书写顺序输入计算器，负数单独使用负号键，不可用减号键替代； 2. 计算器可快速计算含乘方、分数、多层括号的复杂算式； 3. 根据题目要求，对计算结果四舍五入，保留指定小数位数。 【要点提示】笔算为主、计算器为辅，计算器多用于验算、近似值计算和大数运算。 【知识点四】有理数24点运算规则 给定4个数字，每个数字只能使用一次，可运用加、减、乘、除、乘方、括号，组合列出算式，使最终结果为24。 【要点提示】24点侧重灵活运用运算顺序和运算律，是巩固有理数混合运算的趣味题型。 二.题型精析 【题型 1】基础顺序型混合运算 解题核心：严格遵循“乘方→乘除→加减”顺序，同级从左到右，分步计算、不跳步。 【例题1】（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． （1）按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； （2）计算：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽淮北·二模）计算：________． 【变式3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）计算： （1）． （2）． （3）． 【题型 2】乘方符号辨析运算（基础） 解题核心：精准区分有无括号的乘方底数，杜绝符号错误。 【例题2】（25-26七年级下·云南曲靖·开学考试） 计算： 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 【变式3】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）计算：． 【题型 3】乘法分配律简便运算（综合） 解题核心：优先使用分配律拆分算式，简化分数、括号复杂运算。 【例题3】（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25六年级上·山东济宁·期末）在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【变式3】（25-26七年级上·山西大同·期末）计算： （1）； （2） 【易错警示】注意区分与，底数不同，结果完全不同。 【题型 4】运算顺序易错辨析题（综合） 解题核心：纠正同级运算乱结合的错误，牢记乘除同级从左到右。 【例题4】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）计算____． 【变式3】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）计算： （1）； （2）． 【题型 5】多层括号综合运算（综合提高） 解题核心：由内向外逐层去括号，分步化简，避免一步出错全盘错误。 【例题5】（26-27七年级·上海·小升初衔接）计算： （1） ． （2）； 【变式1】（23-24七年级上·广东梅州·阶段检测）在等式中，▲表示的数是（   ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【变式3】（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： （1）； （2）． 【题型 6】24点创新运算（拓展） 【例题6】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【变式3】（25-26七年级上·全国·单元测试）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，乘积的最大值为 ． 简要说明你这样选的原因： （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，商的最小值为 ． 简要说明你这样选的原因： （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片上数字是 、 、 、 ，写出完整算式及运算过程． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算（   ） A． B．14 C． D．6 2．（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广西防城港·期末）定义一种新运算：，则的值为（　　） A．7 B．1 C． D． 4．（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 5．（25-26七年级上·山东聊城·期末）有理数满足，则等于（    ） A．6 B．30 C． D．0 6．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·河南安阳·期中）把八卦符号看作表示二进制数时，阴爻“”对应数字0，阳爻“”对应数字1，例如：“表示的二进制数为，转换为十进制数是．将“”依次转换为十进制数，得到一个三位数，则这个三位数是（    ） A．134 B．471 C．745 D．713 9．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25六年级上·山东烟台·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的题数有（    ） 甲：． 乙：． 丙：． 丁：． A．3道 B．2道 C．1道 D．0道 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 12．（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）规定一种运算：，则的值为__________． 14．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：______． 15．（2026·黑龙江绥化·二模）计算：________． 16．（25-26七年级上·山东滨州·期末）有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 17．（25-26七年级上·全国·期中）计算：_______． 18．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·浙江·模拟预测）定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是______． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： （1） （2）． 21．（本小题满分10分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 22．（本小题满分10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）． （2） 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． （1）若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； （2）若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 24．（本小题满分12分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 有理数的混合运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】有理数混合运算顺序 1 【知识点二】混合运算的简便技巧（运算律） 2 【知识点三】科学计算器的使用 2 【知识点四】有理数24点运算规则 2 二.题型精析 2 【题型 1】基础顺序型混合运算 2 【题型 2】乘方符号辨析运算（基础） 5 【题型 3】乘法分配律简便运算（综合） 6 【题型 4】运算顺序易错辨析题（综合） 8 【题型 5】多层括号综合运算（综合提高） 10 【题型 6】24点创新运算（拓展） 12 三.同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 20 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 22 一.知识梳理与解读 【知识点一】有理数混合运算顺序 有理数混合运算，严格遵循先高级、后低级，先括号、后同级的运算规则： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次运算，不可随意调换顺序； 3. 含有多层括号时，先算小括号，再算中括号，最后算括号外的运算。 【要点提示】 1. 乘方是最高级运算，是最容易出错的步骤，务必优先计算； 2. 严格区分与：底数为，表示乘方的相反数；底数为，表示负数的乘方； 3. 乘除同级运算禁止结合后算，必须从左往右依次计算。 【知识点二】混合运算的简便技巧（运算律） 在不改变运算顺序的前提下，灵活运用五大运算律简化计算，减少通分、大数运算： 1. 加法交换律、结合律：凑0、凑整、同分母结合； 2. 乘法交换律、结合律：凑整、约分、消去因数； 3. 乘法分配律：正向展开、逆向提取公因数，是分数混合运算的核心简便方法。 【要点提示】遇到“数×分数括号”结构，优先使用分配律，避免先算括号内复杂通分，大幅降低计算失误。 【知识点三】科学计算器的使用 1. 有理数算式可直接按书写顺序输入计算器，负数单独使用负号键，不可用减号键替代； 2. 计算器可快速计算含乘方、分数、多层括号的复杂算式； 3. 根据题目要求，对计算结果四舍五入，保留指定小数位数。 【要点提示】笔算为主、计算器为辅，计算器多用于验算、近似值计算和大数运算。 【知识点四】有理数24点运算规则 给定4个数字，每个数字只能使用一次，可运用加、减、乘、除、乘方、括号，组合列出算式，使最终结果为24。 【要点提示】24点侧重灵活运用运算顺序和运算律，是巩固有理数混合运算的趣味题型。 二.题型精析 【题型 1】基础顺序型混合运算 解题核心：严格遵循“乘方→乘除→加减”顺序，同级从左到右，分步计算、不跳步。 【例题1】（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． （1）按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； （2）计算：． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． （1）解：；；综合算式： （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算及四则混合运算，需按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序逐一计算各选项，判断结果是否正确． 解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵，∴C选项正确． ∵，∴D选项错误． 故选：C． 【变式2】（2026·安徽淮北·二模）计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 解： ． 【变式3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）计算： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先计算乘方和乘除法，再计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内通分作差，再计算乘法，最后计算加减法即可； （3）先计算括号内减法和乘方，将除法化为乘法，再计算连乘即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型 2】乘方符号辨析运算（基础） 解题核心：精准区分有无括号的乘方底数，杜绝符号错误。 【例题2】（25-26七年级下·云南曲靖·开学考试） 计算： 【答案】 解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据有理数乘方和乘法的运算法则，分别计算每个选项中两个式子的值，再比较是否相等即可． 解：，， ，该选项符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； 综上，答案选A． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 【答案】1 解： ． 【变式3】（25-26七年级下·云南玉溪·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方，括号内的，再算乘法，最后算加减即可． 解： ． 【题型 3】乘法分配律简便运算（综合） 解题核心：优先使用分配律拆分算式，简化分数、括号复杂运算。 【例题3】（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算乘方，然后计算乘除； （2）利用有理数的乘法分配律求解． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25六年级上·山东济宁·期末）在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则和顺序计算后即可得到答案． 解：A、， 故A不符合题意； B、， 故B不符合题意； C、， 故C符合题意； D、， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【答案】1 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律及有理数的乘方进行求解即可． 解：原式； 故答案为1． 【变式3】（25-26七年级上·山西大同·期末）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）直接根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． （1）解： ； （2）解： ． 【易错警示】注意区分与，底数不同，结果完全不同。 【题型 4】运算顺序易错辨析题（综合） 解题核心：纠正同级运算乱结合的错误，牢记乘除同级从左到右。 【例题4】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期中）下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算．利用有理数的运算法则逐项判断即可． 解：，则选项A不符合题意； ，则选项B符合题意； ，则选项C不符合题意； ，则选项D不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）计算____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算除法，最后计算加减即可得出答案． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【题型 5】多层括号综合运算（综合提高） 解题核心：由内向外逐层去括号，分步化简，避免一步出错全盘错误。 【例题5】（26-27七年级·上海·小升初衔接）计算： （1） ． （2）； 【答案】（1）；（2） （1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（23-24七年级上·广东梅州·阶段检测）在等式中，▲表示的数是（   ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减乘除的运算，解答此题的关键是判断出， 根据题意可得，据此即可求出“▲”处表示的数． 解：由结果为0，可得， 解得． 故选C． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 解： ． 【变式3】（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． （1）解： ； （2）解： ． 【题型 6】24点创新运算（拓展） 【例题6】（25-26七年级上·河北邢台·期末）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． （1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 解：A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 解：依题意可得（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级上·全国·单元测试）小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，乘积的最大值为 ． 简要说明你这样选的原因： （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，商的最小值为 ． 简要说明你这样选的原因： （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片上数字是 、 、 、 ，写出完整算式及运算过程． 【答案】（1），，15，原因见解析；（2），3，，原因见解析；（3），，3，0，算式及运算过程见解析 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）这5个数两两相乘，结果可为正、负或零，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相乘或负负相乘，即或，所以选，； （2）这5个数选两个相除，结果可为正、负或零．要商最小，结果一定是负数，而商为负，只能异号两数相除，负数的绝对值越大反而越小，所以商的最小值是． （3）我抽取的4张卡片上数字是：，，3，0，首先用减去3，构造出；然后用与的乘积加上0即可． （1）解：我抽取的2张卡片上数字是，，乘积的最大值为：． 这5个数两两相乘，结果可为正、负或零，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相乘或负负相乘，即或，所以选，； （2）解：我抽取的2张卡片上数字是、3，商的最小值为：． 这5个数选两个相除，结果可为正、负或零．要商最小，结果一定是负数，而商为负，只能异号两数相除，负数的绝对值越大反而越小，所以商的最小值是； （3）解：我抽取的4张卡片上数字是：，，3，0， ． 故答案为：，，3，0． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）计算（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，原式先计算乘方、再计算乘法、最后进行加减运算即可. 解： ． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方的有理数混合运算法则是解题的关键；先计算乘方和乘法，再计算加法，注意负数的奇数次幂为负，正数乘负数为负． 解： ． 故选：D． 3．（25-26七年级上·广西防城港·期末）定义一种新运算：，则的值为（　　） A．7 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题为新定义运算问题，依据给定的新运算规则，将对应数值代入进行有理数的混合运算求解即可． 解：∵ ， ∴ ． 故选：A． 4．（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先理解题意，得出，即可作答． 解：观察题干，得出， 则计算结果是 故选：C． 5．（25-26七年级上·山东聊城·期末）有理数满足，则等于（    ） A．6 B．30 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，有理数的混合运算． 根据绝对值和平方的非负性，求出m和n的值，再代入计算即可． 解：∵，且， ∴且， ∴且， ∴，， ∴． 故选：A． 6．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 7．（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，运算律，需按照运算顺序（先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号内）逐一计算每个选项，判断正误即可，掌握运算法则是解题的关键 解：、 ，原选项计算错误，不符合题意； 、 ，原选项计算错误，不符合题意； 、 ，原选项计算错误，不符合题意； 、 ，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 8．（25-26七年级上·河南安阳·期中）把八卦符号看作表示二进制数时，阴爻“”对应数字0，阳爻“”对应数字1，例如：“表示的二进制数为，转换为十进制数是．将“”依次转换为十进制数，得到一个三位数，则这个三位数是（    ） A．134 B．471 C．745 D．713 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方的应用，根据题意先转化成二进制数，然后再转化成十进制数即可得出答案． 解： 解：分别表示二进制数，，，转化成十进制数是， 转化成十进制数是， 转化成十进制数是， 故这个数是745， 故选C 9．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用有理数的相应的法则对各项进行运算即可求解．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 10．（24-25六年级上·山东烟台·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的题数有（    ） 甲：． 乙：． 丙：． 丁：． A．3道 B．2道 C．1道 D．0道 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐个判断即可． 解：甲、错误，不能先算减法． 正确结果为：； 乙、错误，乘方计算错误． 正确结果为：； 丙、错误，同级运算要按从左往后进行，不能先计算后面的． 正确结果为：； 丁、错误，除法没有分配律． 正确结果为：； 故做对的题数有0道， 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，首先负数的奇次幂是负数，其次符号不同的两个数相加，符号取绝对值较大的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． 解： 12．（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘方与乘法运算，先算乘方，再算乘法是解题的关键．根据乘方的运算法则分别计算与，再将结果相乘，进而求出式子的值． 解：． 故答案为：． 13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）规定一种运算：，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据新定义代入计算即可． 解：∵， ∴． 14．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算法则是解题的关键，先计算乘方运算，再根据有理数减法法则将减法转化为加法，最后根据有理数加法法则进行计算即可． 解：原式，故答案为：． 15．（2026·黑龙江绥化·二模）计算：________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 解： ． 16．（25-26七年级上·山东滨州·期末）有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 【答案】/ 【分析】考查了有理数的混合运算，程序流程图的理解，求代数式的值，严格遵循流程、准确计算是解题的关键．解题关键是弄清题意，根据题意把的值代入，按程序一步一步计算即可求得结果． 解：明确流程图的运算为，判断能否成立， 若成立，输出 y； 若不成立，将 y 作为新的 x 再次代入运算，直到满足条件， 将代入上式，得， 将代入上式，得，， 输出的结果为． 故答案为：. 17．（25-26七年级上·全国·期中）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据混合运算的法则和运算顺序进行计算即可． 解：原式 ． 故答案为： 18．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·浙江·模拟预测）定义一种新的运算“F”：①当n为奇数时结果为，②当n为偶数时结果为（其中k是使为正奇数的正整数），反复运算．例如， 那么当时，第2025次“F”运算的结果是______． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的混合运算，规律探索问题，根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、…、8次的运算结果，即可发现从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1，据此可得． 解：前8次的“F”运算结果如下： 依次类推，可以发现，从第4次“F”运算开始，奇数次“F”运算的结果都为8，偶数次“F”运算的结果都为1， ∴第2025次“F”运算的结果为8． 故答案为：8． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·山东临沂·阶段检测）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】第一题涉及有理数乘法分配律的计算；第二题涉及到乘方的计算和绝对值的计算． 解：（1） （2） 21．（本小题满分10分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减． 解：， ， ， ， ， ． 22．（本小题满分10分）（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）． （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： ． （2）解： ． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． （1）若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； （2）若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． （1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 24．（本小题满分12分）（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）15 （1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $