专题 2.2 有理数的加减运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数加减运算核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、运算律（交换律、结合律）、减法法则（减变加相反数）及混合运算（统一加法），构建从基础到综合的学习支架。 资料通过7类题型（含实际应用、数轴与绝对值综合）设计，培养抽象能力（符号意识）、运算能力（简便运算）与应用意识（如无人机飞行问题）。课中例题与变式辅助教学，课后同步检测分层练习助力学生查漏补缺。

专题 2.2 有理数的加减运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】有理数加法法则 1 【知识点二】有理数加法运算律 2 【知识点三】有理数减法法则 2 【知识点四】有理数加减混合运算 2 二.题型精析 2 【题型 1】有理数加法基础运算 2 【题型 2】有理数减法基础运算 5 【题型 3】有理数加减混合常规运算 7 【题型 4】利用运算律简便运算 10 【题型 5】有理数加减实际应用题 13 【题型 6】有理数加减与数轴综合运算 15 【题型 7】有理数加减与数轴绝对值综合运算 18 三.同步检测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 26 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 29 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 【要点提示】两个正数相加结果为正；两个负数相加，先计算绝对值的和，再在结果前添加负号。例：。 2. 异号两数相加：绝对值相等（互为相反数）时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 【要点提示】运算核心口诀：先定符号，再算差值；互为相反数的两个数相加，结果一定为0，是简便运算的常用技巧。例：，。 3. 一个数同0相加：仍得这个数。 【要点提示】0是加法的“不变数”，任意有理数与0相加，数值、符号均不发生改变。 【知识点二】有理数加法运算律 1. 加法交换律： 【要点提示】交换加数位置时，必须连带数字前面的正负号一起移动，严禁只交换数字、不移动符号。 2. 加法结合律： 【要点提示】简便运算优先结合四类数：①互为相反数的数（凑0）；②同号数（统一符号）；③整数、整十数（凑整）；④同分母分数（简化计算）。 【知识点三】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，公式：。 【要点提示】减法转加法两处变、一处不变：减号变加号、减数变相反数，被减数始终不变。例：，。 【知识点四】有理数加减混合运算 1. 运算步骤：先将所有减法统一转化为加法，写成省略加号、括号的最简形式；再利用加法运算律分组简便计算。 2. 读法规则：式子，可读作“正4.5、负3.2、正1.1、负1.4的和”，也可读作“4.5减3.2加1.1减1.4”。 【要点提示】统一为加法后，整个式子仅保留加法运算，无需再区分加减，只需处理符号与绝对值的运算，大幅降低出错率。 二.题型精析 【题型 1】有理数加法基础运算 解题核心：严格按照加法法则，先定符号，再算绝对值。 【例题1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3） ； （4）． 【答案】（1）3；（2）0；（3）；（4） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 【变式1】（2026·广东清远·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数加法中异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 解：∵ ，， ∴ 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）图中的图形经过折叠可以围成一个正方体盒子．如果折好以后，相对面上的两个数互为相反数，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、相反数、代数式求值，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键． 先根据正方体的平面展开图的特点和相反数的定义可得的值，再代入计算即可得． 解：由正方体的平面展开图的特点可知，与1处在相对的面上，与处在相对的面上， ∵折好后相对面上的数互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型 2】有理数减法基础运算 解题核心：减法转加法，牢记“两变一不变”。 【例题2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】（1）；（2）7；（3）7 （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 【变式2】（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键．根据数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值，即，进而求出线段的长度． 解：已知点表示的数为，点表示的数为， 则． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题主要考查了有理数的减法，有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，解决本题的关键是先根据有理数的减法法则把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． （1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （4）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （5）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （6）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【易错警示】绝对不能改变被减数的符号，仅对减号和减数进行变形。 【题型 3】有理数加减混合常规运算 解题核心：统一减法为加法，去括号、省略符号，依次计算。 【例题3】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【变式1】（24-25七年级上·吉林白城·阶段检测）计算的结果是（   ） A．10 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算．根据有理数的加减运算法则计算即可． 解： 故选：A 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）定义新运算：，则____________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可求出值． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减法，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； （2）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； （1）解：； ； （2）解： ． 【题型 4】利用运算律简便运算 解题核心：分组凑0、凑整，简化复杂计算，减少运算失误。 【例题4】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 解：， ， ， ， ． 故选：A 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式（_____） （_____） _____ _____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法转化为加法，再利用加法运算律计算即可，掌握有理数的加减运算法则和加法运算律是解题的关键． 解：原式 ， 故答案为：，，，． 【变式3】（23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）计算（能简算的要简算）： （1）； （2）； （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减运算及加法运算律的应用，解题的关键是利用加法交换律和结合律，将互为相反数或同分母的数结合简化计算． （1）结合互为相反数的数与同分母分数计算； （2）结合互为相反数的数简便计算； （3）将小数化分数后，结合同分母分数计算； （4）拆分带分数，结合整数部分与分数部分分别计算． 解：（1） （2）解： （3） （4） 【题型 5】有理数加减实际应用题 解题核心：根据题意规定正负，列出加减算式，计算结果并结合实际意义作答。常见场景：温度、海拔、水位、行程、盈亏。 【例题5】（25-26六年级上·上海·期中）以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 【答案】B组的第3个飞行指令是下降，下降米 【分析】将A组无人机群的3个飞行指令的数值求和，再减去B组无人机群的2个飞行指令的数值即可． 解：由题意得： （米）， 答：B组的第3个飞行指令是下降，下降米． 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·期中）某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【答案】C 解：设海面高度为0，海面下记为负，上升记为正，下降记为负， 此时潜水艇的位置为米，即停在海面下630米处． 【变式2】（25-26七年级上·河南许昌·期末）小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 解：原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 【变式3】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● （1）“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； （2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】（1）；；（2）会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． （1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 【题型 6】有理数加减与数轴综合运算 【例题6】（25-26七年级上·河南焦作·阶段检测）点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和1的两点之间的距离为________． （2）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中点与点的距离是800，点与点的距离是400，如图所示． ①若以点为原点，写出点、所对应的数和，并计算的值． ②若点是原点，且点与点的距离是150（点在点右侧），求的值． 【答案】（1）2，4；（2）①；② 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减运算、代数式求值，掌握数轴上两点的距离计算公式是解题的关键． （1）根据两点之间距离的定义直接求解即可； （2）①根据两点的距离，求得点所对应的数和点所对应的数，代入进行计算即可求解；②先求出点B表示的数，进而求出点A和点C表示的数，再代值计算即可． （1）解：数轴上表示3和1的两点之间的距离是；数轴上表示和1的两点之间的距离为， 故答案为：2，4； （2）解：①若以点为原点，点所对应的数； 点所对应的数； ； ②若点是原点，且点与点的距离是150（点在点右侧）， 点B所对应的数； 点所对应的数； 点所对应的数； ． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）已知点、是数轴上的两个点，点在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度；点与点相距2个单位长度，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴和绝对值的概念及应用． 根据点A在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度，可知点A是，点B与点A相距2个单位长度，点B可在点A左侧或右侧，分情况计算即可． 解：点A在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度， 点A表示的数是， 点B与点A相距2个单位长度， 点B可能在点A左侧或右侧， 当点B在点A左侧时，点B表示的数是， 当点B在点A右侧时，点B表示的数是， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·山东威海·期末）数轴上点表示，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是3，则点表示的数应该是_____________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的有关概念以及相反数的定义，根据点到点的距离为，求出点表示的数，再根据相反数的定义求出点表示的数． 解：点表示，点到点的距离是， 点表示的数为或， 、两点表示的数互为相反数， 点表示的数应该是或． 故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）已知在纸面上有数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合．请你在对例题理解基础上，解答下列问题： （1）若数轴上1表示的点与表示的点重合，则数轴上表示的点与数 ___________表示的点重合． （2）若数轴上数表示的点与数1表示的点重合． ①则数轴上数3表示的点与数 ___________表示的点重合． ②若数轴上两点之间的距离为6（在的左侧），并且两点经折叠后重合，则点表示的数是 ___________、点表示的数是 ___________． 【答案】（1）5；（2）①②，2 【分析】（1）根据已知条件可得折痕处的数是原点，即可解答； （2）①根据已知可得折痕处的数是，然后利用数轴上两点间的距离进行计算即可解答；②根据已知可得折痕处的数是，然后利用数轴上两点间的距离进行计算即可解答． （1）解：∵数轴上1表示的点与表示的点重合， ∴折痕处的数是原点， ∴数轴上表示的点与数5表示的点重合， 故答案为：5； （2）解：①∵数轴上数表示的点与数1表示的点重合， ∴折痕处的数为， ∴， ∴， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合； ②∵数轴上两点之间的距离为6，在的左侧， ∴，， ∴表示的数是，点表示的数是2． 故答案为：①；②，2． 【点拨】本题主要考查了数轴的知识，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． 【题型 7】有理数加减与数轴绝对值综合运算 解题核心：先根据数轴、绝对值性质求出字母取值，再代入进行加减运算，注意分类讨论。 【例题7】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用计算出结果）： ①______；②______；③______． 【拓展应用】利用以上的方法进行计算： （2）； （3）． 【答案】（1）①；② ；③ ；（2） ；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加减法则． （1）①根据负数的绝对值是其相反数可得答案； ②根据正数的绝对值等于本身可得答案； ③根据负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简后计算可得答案； （3）根据绝对值的性质化简后计算可得答案． 解：由题目规律可得：负数的绝对值是其相反数，正数的绝对值等于本身； ①； ②； ③． 故答案为：①②③； （2） ； （3） ． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与数轴上的距离问题，关键是理解表示数轴上点到和的距离之和，通过计算两点间距离确定的取值范围，再找出整数解求和． 解：表示数轴上点到和的距离之和． ∵与的距离为， ∴当且仅当在到之间（包括端点）时，距离之和为． 符合条件的整数为． 计算这些整数的和：． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义得到表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和，进而得到当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离． 解：由题意，表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和， ∴当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离； ∴的最小值是； 故答案为：7． 【变式3】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉， 例如：． 观察上述式子的特征，解决下列问题． （1）尝试：把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①___________； ②___________； （2）当时，___________； （3）探究：计算． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了去绝对值，有理数的加减计算，熟知去绝对值的方法是解题的关键． （1）负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值即可； （2）负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值即可； （3）先根据（2）的方法去绝对值，再计算加减法即可． （1）解：①；②； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴； 故答案为：； （3）解： ． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）春节假期期间某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：早晨气温为，中午上升了， 中午的气温为． 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义化简绝对值，再计算各选项的结果，即可判断出正确选项． 解：A、，故本选项计算错误． B、，故本选项计算错误． C、，故本选项计算错误． D、，故本选项计算正确． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到，进而根据有理数的大小比较法则分析得出结论即可． 解：， ， ， 故选：D． 6．（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 解：原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 7．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据计算过程并结合运算法则分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解： ． 由计算过程可得，计算错在第②步， 故选：B． 8．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 9．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 10．（25-26七年级下·北京·期中）有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·安徽马鞍山·三模）计算：______． 【答案】 解： 12．（23-24七年级上·四川德阳·阶段检测）把写成省略加号和括号的形式为________． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再省略加号和括号即可． 解：， 故答案为： 【点拨】此题考查了加减混合运算，熟练掌握省略加号和括号的形式是解题的关键． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）运用加法交换律和加法结合律填空：（___________）+（___________）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据有理数的加法交换律和结合律求解即可． 解：， 故答案为：，． 14．（2026·广东广州·一模）如图，数轴上的两点，分别表示的数为，，则，之间的距离为______． 【答案】 解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴，之间的距离为． 15．（2026·四川成都·二模）某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置． 【答案】水下51米 【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量及有理数加减运算． 解题关键是把水面记为0，用负数表示水下深度、正数表示上升，通过有理数加减计算最终位置．先规定水面为0，下潜为负、上升为正，依次列出各阶段位置变化，再通过有理数加减运算，算出潜水员最终的水下深度． 解：我们可以把水面看作0米，下潜记为负数，上升记为正数来计算∶ 先潜入水下56米∶ 位置为米，上升21米∶ 位置变为米 再下潜16米∶ 位置变为米 所以，这时潜水员处在水下51米位置． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）若方框表示运算，则方框 =_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据方框表示的运算把算式转化为一般的有理数加减混合运算，再根据运算法则进行计算． 解：由题意可得：原式． 故答案为：. 17．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【答案】3 【分析】先由数轴上两点间距离公式可得，即，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，，5， ∴， ∵， ∴， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴． 18．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点，，所对应的数即可解决问题． 解：①为原点，，， 点所对应的数为， ， 点所对应的数为， ； ②原点在图中数轴上点的右边，且， 点所对应的数为， ，， 点所对应的数为，点所对应的数为， ； 故答案为：；． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2） ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和加法的运算律. （1）利用有理数的加法交换律，将同分母的分数做加减法运算，最后再相加. （2）根据有理数的加减混合运算法则先将算式统一成加法，再利用加法的交换律进行运算. （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 22．（本小题满分10分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． （1）收工时该检修小组距离A地多远？ （2）该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】（1）收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米；（2）该检修小组这一天行驶的总路程为千米 （1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 23．（本小题满分10分）（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ （1）在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． （2）为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】（1）开始出错的步骤是②，原习题正确过程见分析，结果为；（2）+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． （1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在数轴上，一个点从原点开始先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是．已知点分别是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题． 【问题实践】 （1）在数轴上点表示的数是，当点向___________移动___________个单位长度时，所表示的数恰好是4的相反数； 【操作探究】 （2）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是4，若点不动，当点怎么移动时，点，之间的距离是6？ 【类比探究】 （3）在数轴上，点表示的数是2，将点向左移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度后到达点，则点表示的数是多少？此时点之间的距离是多少？ （4）在数轴上，若点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度后到达点，则点表示的数是多少？ 【答案】（1）左、3；（2）向左移动个单位或向右移动个单位时；（3）、3；（4） 【分析】本题考查了数轴上点的平移及两点的距离，熟知数轴上两点间的距离公式、运用数形结合思想是解题的关键． （1）到应向左移动3个单位； （2）先根据距离为6计算出点的终点位置，再得出点的平移方式； （3）点表示的数是，再求出 两点之间的距离； （4）点表示的数是． 解：（1）4的相反数，， 到应向左移动3个单位， 故答案为：左、3； （2）或， 点的终点位置为或， 到应向左移动个单位，到应向右移动个单位， 则当点向左移动个单位或向右移动个单位时，点，之间的距离是6； （3）点表示的数是， 两点之间的距离为； （4）点表示的数是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2 有理数的加减运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】有理数加法法则 1 【知识点二】有理数加法运算律 2 【知识点三】有理数减法法则 2 【知识点四】有理数加减混合运算 2 二.题型精析 2 【题型 1】有理数加法基础运算 2 【题型 2】有理数减法基础运算 3 【题型 3】有理数加减混合常规运算 4 【题型 4】利用运算律简便运算 4 【题型 5】有理数加减实际应用题 5 【题型 6】有理数加减与数轴综合运算 6 【题型 7】有理数加减与数轴绝对值综合运算 7 三.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】有理数加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 【要点提示】两个正数相加结果为正；两个负数相加，先计算绝对值的和，再在结果前添加负号。例：。 2. 异号两数相加：绝对值相等（互为相反数）时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 【要点提示】运算核心口诀：先定符号，再算差值；互为相反数的两个数相加，结果一定为0，是简便运算的常用技巧。例：，。 3. 一个数同0相加：仍得这个数。 【要点提示】0是加法的“不变数”，任意有理数与0相加，数值、符号均不发生改变。 【知识点二】有理数加法运算律 1. 加法交换律： 【要点提示】交换加数位置时，必须连带数字前面的正负号一起移动，严禁只交换数字、不移动符号。 2. 加法结合律： 【要点提示】简便运算优先结合四类数：①互为相反数的数（凑0）；②同号数（统一符号）；③整数、整十数（凑整）；④同分母分数（简化计算）。 【知识点三】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，公式：。 【要点提示】减法转加法两处变、一处不变：减号变加号、减数变相反数，被减数始终不变。例：，。 【知识点四】有理数加减混合运算 1. 运算步骤：先将所有减法统一转化为加法，写成省略加号、括号的最简形式；再利用加法运算律分组简便计算。 2. 读法规则：式子，可读作“正4.5、负3.2、正1.1、负1.4的和”，也可读作“4.5减3.2加1.1减1.4”。 【要点提示】统一为加法后，整个式子仅保留加法运算，无需再区分加减，只需处理符号与绝对值的运算，大幅降低出错率。 二.题型精析 【题型 1】有理数加法基础运算 解题核心：严格按照加法法则，先定符号，再算绝对值。 【例题1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3） ； （4）． 【变式1】（2026·广东清远·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）图中的图形经过折叠可以围成一个正方体盒子．如果折好以后，相对面上的两个数互为相反数，那么__________． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【题型 2】有理数减法基础运算 解题核心：减法转加法，牢记“两变一不变”。 【例题2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【易错警示】绝对不能改变被减数的符号，仅对减号和减数进行变形。 【题型 3】有理数加减混合常规运算 解题核心：统一减法为加法，去括号、省略符号，依次计算。 【例题3】（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·吉林白城·阶段检测）计算的结果是（   ） A．10 B． C．9 D． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）定义新运算：，则____________． 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【题型 4】利用运算律简便运算 解题核心：分组凑0、凑整，简化复杂计算，减少运算失误。 【例题4】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式（_____） （_____） _____ _____． 【变式3】（23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）计算（能简算的要简算）： （1）； （2）； （3）． （4）． 【题型 5】有理数加减实际应用题 解题核心：根据题意规定正负，列出加减算式，计算结果并结合实际意义作答。常见场景：温度、海拔、水位、行程、盈亏。 【例题5】（25-26六年级上·上海·期中）以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 【变式1】（25-26七年级上·山东德州·期中）某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【变式2】（25-26七年级上·河南许昌·期末）小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【变式3】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● （1）“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； （2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【题型 6】有理数加减与数轴综合运算 【例题6】（25-26七年级上·河南焦作·阶段检测）点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和1的两点之间的距离为________． （2）数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中点与点的距离是800，点与点的距离是400，如图所示． ①若以点为原点，写出点、所对应的数和，并计算的值． ②若点是原点，且点与点的距离是150（点在点右侧），求的值． 【变式1】（25-26七年级上·山西临汾·阶段检测）已知点、是数轴上的两个点，点在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度；点与点相距2个单位长度，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．1或5 【变式2】（23-24七年级上·山东威海·期末）数轴上点表示，两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是3，则点表示的数应该是_____________． 【变式3】（24-25七年级上·福建福州·阶段检测）已知在纸面上有数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合．请你在对例题理解基础上，解答下列问题： （1）若数轴上1表示的点与表示的点重合，则数轴上表示的点与数 ___________表示的点重合． （2）若数轴上数表示的点与数1表示的点重合． ①则数轴上数3表示的点与数 ___________表示的点重合． ②若数轴上两点之间的距离为6（在的左侧），并且两点经折叠后重合，则点表示的数是 ___________、点表示的数是 ___________． 【题型 7】有理数加减与数轴绝对值综合运算 解题核心：先根据数轴、绝对值性质求出字母取值，再代入进行加减运算，注意分类讨论。 【例题7】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用计算出结果）： ①______；②______；③______． 【拓展应用】利用以上的方法进行计算： （2）； （3）． 【变式1】（25-26六年级上·山东淄博·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【变式3】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉， 例如：． 观察上述式子的特征，解决下列问题． （1）尝试：把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①___________； ②___________； （2）当时，___________； （3）探究：计算． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 2．（2026·山东聊城·模拟预测）春节假期期间某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 7．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 8．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 9．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 10．（25-26七年级下·北京·期中）有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·安徽马鞍山·三模）计算：______． 12．（23-24七年级上·四川德阳·阶段检测）把写成省略加号和括号的形式为________． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）运用加法交换律和加法结合律填空：（___________）+（___________）． 14．（2026·广东广州·一模）如图，数轴上的两点，分别表示的数为，，则，之间的距离为______． 15．（2026·四川成都·二模）某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）若方框表示运算，则方框 =_____． 17．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    18．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）． （2） ． 21．（本小题满分10分）（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． （1）收工时该检修小组距离A地多远？ （2）该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 23．（本小题满分10分）（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ （1）在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． （2）为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在数轴上，一个点从原点开始先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是．已知点分别是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题． 【问题实践】 （1）在数轴上点表示的数是，当点向___________移动___________个单位长度时，所表示的数恰好是4的相反数； 【操作探究】 （2）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是4，若点不动，当点怎么移动时，点，之间的距离是6？ 【类比探究】 （3）在数轴上，点表示的数是2，将点向左移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度后到达点，则点表示的数是多少？此时点之间的距离是多少？ （4）在数轴上，若点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度后到达点，则点表示的数是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $