强基培优练(强基培优11 几何体的截面与交线问题)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

强基培优练(时间:45分钟　分值:40分) 强基培优练11　几何体的截面与交线问题 1.(5分)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,B1C1的中点,则过这三点的截面的形状是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 【解析】选D.如图,分别取D1C1,D1D,AD的中点H,M,N,连接GH,HM,MN,EN,EF,FG, 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,B1C1的中点, 所以HG∥EN,HM∥EF,FG∥MN, 所以六边形EFGHMN是过点E,F,G的截面,所以过这三点的截面的形状是六边形. 【加练备选】 已知一个棱柱的底面是正六边形,侧面都是正方形,用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱,所得截面的形状不可能是(　　) A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.五边形 D.正六边形 【解析】选D.如图①,可知,截面ABC为等腰三角形,选项A可能; 截面ABEF为等腰梯形,选项B可能; 如图②,截面AMDEN为五边形,选项C可能; 因为侧面是正方形,只有平行于底面的截面才可能是正六边形,故过棱柱的顶点不可能得到正六边形,选项D不可能. 2.(5分)在三棱锥P-ABC中,AB+2PC=9,E为线段AP上更靠近P的三等分点,过E作平行于AB,PC的平面,则该平面截三棱锥P-ABC所得截面的周长为(　　) A.5 B.6 C.8 D.9 【解析】选B.如图所示,在三棱锥P-ABC中,过点E分别作EF∥AB,EH∥PC, 再分别过点H,F作HG∥AB,FG∥PC,可得E,F,G,H四点共面, 因为AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,所以AB∥平面EFGH, 同理可证,PC∥平面EFGH, 所以截面即为平行四边形EFGH, 又由E为线段AP上更靠近P的三等分点, 且AB+2PC=9,得EF=AB,EH=PC, 所以平行四边形EFGH的周长为 2(EF+EH)=(AB+2PC)=6. 3.(5分)(2024·朔州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为3,E为棱BB1上靠近B1的三等分点,则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 【解析】选C.延长AE,A1B1交于点F,连接D1F交B1C1于点G,连接GE,如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 平面ADD1A1∥平面BCC1B1, 因为平面AFD1∩平面ADD1A1=AD1, 平面AFD1∩平面BCC1B1=EG, 所以AD1∥GE.又因为AD1=3,GE=, 所以四边形AEGD1是梯形,且为平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面. 又因为D1G=AE=,在等腰梯形AEGD1中,过点G作GH⊥AD1于点H, 所以GH==, 所以S=(EG+AD1)·GH=×(+3)×=2. 4.(5分)从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆,下底面圆心为顶点)而得到的几何体如图所示,用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体,则截面图形的面积为(　　) A.4π-4 B.4π C.4π-2 D.2π-2 【解析】选C.截面图形应为圆面中挖去一个正方形,且圆的半径是2,则截面圆的面积为4π, 设正四棱锥的底面正方形边长为a,则2a2=16,所以a=2, 正四棱锥的底面正方形的面积为(2)2=8, 由正四棱锥中截面的性质,可得圆面中挖去的正方形与正四棱锥的底面正方形相似, 设圆面中挖去的正方形的面积为S',正四棱锥的底面正方形的面积为S,则==,从而S'=2, 所以截面图形的面积为4π-2. 5.(5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,BB1的中点为M,过点C1,D,M的平面把正方体分成两部分,则较小部分的体积为(　　) A. B.18 C. D. 【解析】选C.如图,取AB的中点E,连接DC1,C1M,ME,DE,则易知截面是等腰梯形C1MED, 则较小的部分是三棱台BEM-CDC1. S△BEM=×2×2=2,=×4×4=8, 所以较小部分的体积V=×(2+8+)×4=. 6.(5分)(多选题)如图,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为A1D1的中点,F为CC1上的一个动点,设由点A,E,F构成的平面为α,则(　　) A.平面α截正方体的截面可能是三角形 B.当点F与点C1重合时,平面α截正方体的截面面积为2 C.点D到平面α的距离的最大值为 D.当F为CC1的中点时,平面α截正方体的截面为五边形 【解析】选BCD.如图,建立空间直角坐标系,延长AE与z轴交于点P,连接PF并延长与y轴交于点M, 则平面α由平面AEF扩展为平面APM.由此模型可知截面不可能为三角形,故A错误;当点F与点C1重合时,平面α截正方体的截面为边长为的菱形,易得截面面积为2,故B正确;当F为CC1的中点时,易知平面α截正方体的截面为五边形,故D正确;D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4), 设点M的坐标为(0,t,0)(t∈[2,4]), =(2,0,0),=(-2,t,0),=(2,0,-4), 则可知点P到直线AM的距离为d==, S△APM=·d=,S△PAD=×2×4=4. 设点D到平面α的距离为h,利用等体积法VD-APM=VM-PAD, 即·S△APM·h=·S△PAD·t,可得h==. 因为h=在t∈[2,4]上单调递增,所以当t=4时,h取到最大值,最大值为,故C正确. 7.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3+.  【解析】由题意可知过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的周长即△AMC1的周长, 因为直三棱柱ABC-A1B1C1的各侧面均为矩形,所以AC1==, 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面部分展开图如图所示, 则在矩形ACC1A1中,AM+MC1≥AC1==3,所以过A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长为3+. 8.(5分)(2024·曲靖模拟)“中国天眼”(如图1)是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜,其形状可近似地看成一个球冠(球冠是球面被平面所截的一部分,如图2所示,截得的圆叫做球冠的底,垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高.若球面的半径是R,球冠的高度是h,则球冠的面积S=2πRh).已知天眼的球冠的底的半径约为250米,天眼的反射面总面积(球冠面积)约为25万平方米,则天眼的球冠高度约为130米. (参考数值:≈0.52 ) 【解析】由题意得(R-h)2+2502=R2, 则2Rh=h2+2502, 则S=2πRh=πh2+2502π=250 000, 所以h2==2502(-1), 所以h=250≈250×0.52=130. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $