专题06 勾股定理章末56道压轴题型专项训练（8大题型）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理8大压轴题型，以56道典例构建"概念-证明-应用-拓展"的完整方法体系，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股树问题|7题|规律探究法、代数表达|从具体勾股数到一般公式推导| |证明问题|8题|面积法（赵爽弦图/总统证法）|定理推导与图形变换结合| |折叠问题|7题|方程思想、轴对称性质|折叠前后线段关系转化| |弦图计算|7题|整体代换、双求法|弦图结构与面积公式应用| |逆定理应用|7题|直角判定、构造法|三角形性质与定理逆用| |综合应用|7题|建模思想、方位角分析|实际问题抽象为几何模型| |最短路径|7题|展开法、转化思想|立体图形平面化求最值| |旋转问题|6题|旋转变换、全等性质|图形旋转与边长关系推导|

专题06 勾股定理章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、勾股树（数）问题 1 题型二、勾股定理的证明问题 2 题型三、勾股定理的折叠问题 3 题型四、以弦图为背景的计算题 4 题型五、勾股定理逆定理综合应用 5 题型六、勾股定理的应用综合应用 6 题型七、蚂蚁爬行—最短路径问题 7 题型八、勾股定理中的旋转问题 8 【经典例题一 勾股树（数）问题】 1．（2026·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数． (1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值． (2)当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)是勾股数， ，，， ， 2n， 是勾股数． 【分析】本题考查了勾股数的定义，完全平方公式，算术平方根的求解，准确理解勾股数的定义，是解答本题的关键． （1）根据勾股数的定义得到，结合都为正整数，求出最小b值即可； （2）分别表示出2n， 的平方，得到即可做出判断． 【详解】（1）解：a，b，c为勾股数，c为斜边长， ， ， ， ，， 都为正整数， 当时，， 最小的b值为5； （2）略 2．（25-26八年级下·广西河池·期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 10，24，26是勾股数． ∵． 又∵10，24，26都是正整数 根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数． 【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得， ∴， 把代入， 解得， ∴； （2）略 【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． 若两直角边为，斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______； (2)当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）； (4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______． 【答案】(1)60，61 (2) (3)， (4)25或52或101或29 【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；发现规律是解题的关键； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；发现规律是解题的关键； （3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；发现规律是解题的关键； （4）由勾股定理可得：，再根据勾股定理可得；然后根据列举法即可解答；发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…， ∴11，60，61； 故答案为：60，61． （2）解：观察发现：当（为奇数，且）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：； 证明如下： ∵， ∴， 又∵n为奇数，且， ∴n, 三个数组成的数是勾股数． （3）解：观察发现：当（为偶数，且）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：，； 证明如下： ∵， ∴， 又∵n为偶数，且， ∴n, ，三个数组成的数是勾股数． （4）解：由勾股定理可得：， 当，则有: ，即， 当，解得：； 当，解得：； 当，解得：； 当，解得：． 综上，c的值为25或52或101或29． 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦；当勾时，股，弦； 请根据发现的规律写出7，24，25股和弦的算式． (2)请你根据（1）发现的规律用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦_______，猜想他们之间的相等关系，并对你的猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 【答案】(1)股的算式为：；弦的算式为： (2) 当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 猜想他们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； 故答案为：，，； (3)股表示为：；弦为： 【分析】本题主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键． （1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可； （2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可； （3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可． 【详解】（1），；，； ，24，25的股的算式为：； 弦的算式为：； （2）略 （3）4，3，5的股、弦表示为：，； 6，8，10的股、弦表示为：，； 为勾，股表示为：；弦为：． 5．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： n 2 3 4 5 6 .... a 4 6 8 10 12 ..... b 3 8 15 24 35 ..... c 5 10 17 26 37 ...... 请回答下列问题： （1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）14，48，50；（2）；（3）是，证明见解析 【分析】（1）观察表格，即可得出n=7时a、b、c的值； （2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2加、减1，即可得出答案； （3）计算出a2+b2的值以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【详解】解：（1）由图表可以得出： ∵n=2时，a=2×2，b=22-1， c=22+1， n=3时，a=2×3，b=32-1， c=32+1， n=4时，a=2×4，b=42-1， c=42+1， n=5时，a=2×5，b=52-1， c=52+1， ∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48， c=72+1=50； 故答案为：14，48，50； （2）由规律可得：a=2n，b=n2-1， c=n2+1； 故答案为：2n，n2-1，n2+1； （3）以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1， c2=（n2+1）2=n4+2n2+1， ∴a2+b2=c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题． 6．（2026·浙江·模拟预测）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)60  61 (2) (3) ． 结论成立． 【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股数是解题的关键． （1）根据表格中的数据即可得到答案； （2）．根据表格中的数据找出规律即可得到答案； （3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：60，61 （2）解：由（1）可得，， 当时， （3）略 7．（2026·浙江温州·模拟预测）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形． （1）试画出2次操作后的图形． （2）如果原来直角三角形斜边长为，写出2次操作后的图形中所有正方形的面积和． （3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？ （4）图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据题意在图②的基础上再进行一次操作，完成作图即可； （2）根据勾股定理可得每操作一次，增加的正方形的面积刚好等于第一个正方形的面积，即1cm2，进而求得操作2次操作后的图形中所有正方形的面积和； （3）观察图③即可求得答案； （4）根据等腰直角三角形和正方形都是轴对称图形，每次操作所产生的图形都是关于同一条对称轴对称，进而可得结论． 【详解】（1）2次操作后的图形如图所示． （2）原来直角三角形的斜边为1cm,则最下面的正方形的面积为cm2, 根据勾股定理可得 则原图①中三个正方形的面积为2cm2， 根据勾股定理可得每操作一次，增加的正方形的面积刚好等于第一个正方形的面积，即1cm2；故2次操作后所有正方形的面积和为2+2=4(cm2） 2次操作后的图形中所有正方形的面积和为． （3）如果一直画下去，则看起来像一棵树； （4）如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，“毕达哥拉斯树”将是轴对称图形． 【点睛】本题考查了勾股树问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【经典例题二 勾股定理的证明问题】 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 【答案】 证明：如图．， ， ， ． 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据列出关系式，进而得出结论． 【详解】略 9．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【答案】(1) 梯形的面积为，也可以表示为， ，即； (2)新路比原路少千米 (3) 设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）略 10．（2025八年级上·全国·专题练习）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较长的直角边长都为，较短的直角边长都为，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理； (2)如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【答案】(1) 梯形的面积为，也可以表示为， ∴， ∴； (2)新路比原路少千米． 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法，勾股定理的应用等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （）设千米，则千米，由勾股定理得，解得，即千米，然后通过（千米）即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设千米， ∴千米， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得，即千米， ∴（千米）， 答：新路比原路少千米． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 【答案】(1)，，， (2) 由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积， ， 即． 【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解决本题的关键是根据题意得到等量关系． （1）根据题意即可完成填空； （2）根据题意，由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 【详解】（1）证明：正方形①的面积， 正方形②的面积， 又正方形①与正方形②的边长相等， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：略． 12．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）项目研究 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究． 素材 如图1，在中，，以直角三角形的三条边为边分别向外作正方形，边，边，边的长分别用来表示． 解决问题 任务一 （1）为了计算图2中正方形的面积，对这个正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形，请用图2验证勾股定理． 任务二 （2）为了计算图3中正方形的面积，对这个正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形，请用图3验证勾股定理． 任务三 （3）对图4中正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形及正方形．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含的代数式表示）． 【答案】 任务一：证明：图2中，，， ； 任务二：证明：图3中，，， ； 任务三： 【分析】本题考查勾股定理的证明．任务一和任务二：用不同方式表示出正方形的面积，即可验证勾股定理；任务三：图4中的正方形有，，，，，共5个，面积求和即可． 【详解】解：任务一：略 任务二：略 任务三：图4中正方形有，，，，，共5个， 面积和为： ． 13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 【答案】（1）梯形面积：，三个三角形面积和：， ∵梯形面积三个三角形面积和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）． 【分析】本题主要考查了勾股定理的推导与应用、方程思想（利用勾股定理列方程）．熟练掌握“双求法”表示图形面积、勾股定理的实际应用是解题的关键． （1）用“双求法”表示梯形面积，一方面直接用梯形面积公式，另一方面拆分为三个三角形面积和，列等式推导勾股定理． （2）设，利用勾股定理列方程求，再计算． （3）设，用勾股定理表示（分别通过和），列方程求，再求． 【详解】解：（1）略 （2）设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴千米， 故答案为：； （3）设，则， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴． 14．（25-26八年级上·福建漳州·期中）运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．黄老师在讲授勾股定理的证明时，让同学们准备两个全等的直角三角形纸片，通过动手操作探究勾股定理的证明方法： 方案 勾股定理的证明方法探究 任务与思路 总统证法 美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明． （1）根据阅读内容，图中梯形的面积用两种方法表示分别为______和______． （2）根据（1）中的结果，写出证明过程． 常春证法 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点落在上，点与点重合，斜边与斜边交于点，连接，． 由全等的性质可得：，，，由可得； 利用得， 化简得． 拓展 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点、都落在上，斜边与斜边交于点，连接，，． （3）同上，易得，请用等面积法利用左图证明勾股定理． 【答案】（1），； （2）证明：， ， ， ， ； （3）证明：∵ 设，则， ， ， ． 【分析】本题考查勾股定理及其证明，熟练掌握勾股定理的证明是解题的关键． （1）根据题意结合梯形面积公式可得，图中梯形的面积用两种方法表示分别为和； （2）根据梯形和三角形的面积公式可得，即，化简证得； （3）根据题意可得，设，则，列方程为，化简证得． 【详解】（1）解：根据题意得，图中梯形的面积用两种方法表示分别为和， 故答案为：，； （2）略 （3）略 【经典例题三 勾股定理的折叠问题】 15．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 【答案】线段的长为． 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由折叠的性质可，，，利用勾股定理求得，进而得到，设，则再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在长方形中，，， 由折叠的性质得，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即线段的长为． 16．（25-26八年级上·辽宁丹东·阶段检测）小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边折叠了一下，恰好使落在斜边上，且C点与E点重合，（如图）小宇经过测量得知两直角边，，他想用所学知识求出的长．    (1)求的长． (2)求的长． (3)求出的长． 【答案】(1)10 (2)4 (3)3 【分析】（1）根据勾股定理求出的值，翻折后可知， （2）根据（1）然后直接求出； （3）根据翻折对称，可知，根据勾股定理列方程即可． 【详解】（1）∵直角三角形纸片中，， ； （2）∵将直角边折叠，恰好使落在斜边上，且点与点重合， ， ∴， ； （3）∵翻折得到， 设， ， 在中，， 解得， ． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是翻折前后的图形对称，对应的边和角都相等，然后通过勾股定理列方程求解即可． 17．（25-26八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 18．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）长方形中，，． (1)求的长； (2)将对折，使得点与点重合，折痕交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据勾股定理，得，计算化简即可． (2) 设，根据勾股定理，得，计算即可． 【详解】（1）因为长方形中，，， 所以． （2）因为长方形中，，， 所以． 因为对折，使得点与点重合， 所以， 根据勾股定理，得， 解得， 所以． 【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，方程的解法，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 19．（25-26八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）． 【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识． （1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则； （i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可； （2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：（1）（i）设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （i）在中，， 在中，， 当为锐角时，如图，， 当为钝角时，如图，； （2）如图2，连接交于点，则，过点作于， 在中， 在中， 垂直平分， ∴ ， ， ， 设，则 ， ， ， 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知直线为长方形的对称轴，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在对称轴上．    (1)如图，当点在边上时， ①填空：点到边的距离是；直接写出结果 ②求的长． (2)当点在边的延长线上时，友情提醒：可在备用图上画图分析 ①填空：点到边的距离是；直接写出结果 ②填空：此时的长为_______．(直接写出结果) 【答案】(1)①；②为 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质，轴对称的性质； （1）设直线交于点，交于点，①当点在边上，则点在线段上，由矩形的性质得，，由轴对称的性质得，，，，则，由折叠得，，勾股定理求得即可求解； ②先求得，则，再根据勾股定理列方程得，求得； （2）①点在边的延长线上，则点线段的延长线上，，则，于是得到问题的答案； ②由勾股定理得，而，，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：设直线交于点，交于点， ①如图，点在边上，则点在线段上，   四边形是矩形，，， ，， 直线是长方形的对称轴， ，，，， ，， 由折叠得，， ， 点'到边的距离是， 故答案为：． ②，，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． （2）①如图，点在边的延长线上，则点线段的延长线上，   ，，， ， 点到边的距离是， 故答案为：． ②， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 21．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为． (1)若，求的值． (2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？ 【答案】(1) (2)①36；② 【分析】（1）设DE=CE=x，则BE=4-x，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值． （2）①如图1，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，进而得出S1=x2；如图2，依据S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积． ②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=S△CMF=S△ACM，所以S3=，即可求解． 【详解】（1）解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3， ∴BC＝4，AB＝5， 由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3， 设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x， ∵S△ABE＝AB×DE＝BE×AC， ∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x）， 解得x＝， ∴S1＝BD×DE＝＝． （2）解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x， ①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°， ∵S△ABE=AB×DE=BE×AC， ∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x， 解得DE=x， ∴S1=BD×DE=×2x×x=x2； 如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN， ∴AH=x，AN=3x-HN， ∵S△ABN=AB×HN=AN×BC， ∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x， 解得HN=x， ∴S2=AH×HN=×x×x=x2， ∵S1+S2=13， ∴x2+x2=13， 解得x2=6， ∴S△ABC=×3x×4x=6x2=36． 答：单个直角三角形纸片的面积是36； ②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x， ∴BF=BC-CF=4x-3x=x， ∴S3=S△CMF=S△ACM， ∴S3==， 答：此时S3的值为． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度． 【经典例题四 以弦图为背景的计算题】 22．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，求得，，得到，解方程组得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 正方形的面积． 23．（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 24．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）解：图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 25．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 【答案】(1) 证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； (2) (3)①② 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的推导以及勾股定理得结构特征． （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 26．（25-26八年级上·广东佛山·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理． ②勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理，图1与图2都是由四个全等的直角三角形构成，图3是由两个全等的直角三角形构成（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)如图4，以直角三角形的三边为直径向外部作半圆，请写出、和的数量关系：___________． 【答案】(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据勾股定理的意义进行求解即可； ②如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小四边形的面积等于大正方形的面积；如选择图2，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积；如选择图3，则梯形的面积等腰三个三角形的面积和； （2）分别表示出，即可得出它们之间的数量关系． 【详解】（1）解：①勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ②如选择图1，四个相同的直角三角形的面积和再加上中间小四边形的面积等于大正方形的面积， 即 化简得：， 如选择图2，大正方形的面积等于四个相同的直角三角形的面积和再加上中间四边形的面积， 即， 化简得：； 如选择图3，则梯形的面积等于三个直角三角形的面积和， 即， 化简得：； （2）解：如图： 则， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解答的关键是理解勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 27．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】操作： 大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积又可以表示为， ， ． 应用：； 拓展：飞镖状图案的面积为24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活利用面积法和勾股定理是解答本题的关键． [操作]利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； [应用]运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； [拓展]可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】[操作]略 [应用] 是边上的高， ， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得； [拓展] 飞镖状图案的面积为24． 飞镖模型的周长为24，观察可知， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 飞镖状图案的面积． 28．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简使得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】 （1）解：， ， ， ， ， 化简得：； （2） 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）根据是边上的高，，代入数值进行计算，即可作答． 本题考查了证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）设 ∵是边上的高， ∴ ∴ 即 解得． ∴． 【经典例题五 勾股定理逆定理综合应用】 29．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】米 【分析】先利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，得到，再在中用勾股定理求出长度，最后用减去得到的长． 【详解】解：在中，米，米，米， ， 是直角三角形， ， ， 在中，米，米， （米）， （米）． 30．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M 到喷泉A的距离； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用勾股定理求出，在中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明，则，再根据点到直线的距离即可解答． 【详解】（1）解：∵的长是点到的距离， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵的长为， ∴， 在中，， ∴， 答：供水点到喷泉的距离为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴喷泉到小路的最短距离为的长，即， 答：喷泉到小路的最短距离为． 31．（25-26八年级上·云南昭通·期中）为了响应“绿色社区，美化家园”的号召，某小区计划对一块四边形空地进行绿化改造，补种草坪．如图，经测量米，米，米，米．若该小区补种草坪的综合单价为50元/米（包含人工、材料等费用），求完成这块空地的绿化改造共需要多少元？ 【答案】10200元 【分析】利用勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式求解即可； 【详解】解：米，米， （米）， 又米，米． ， 是直角三角形， （米）， （米）， 四边形的面积为（米）． （元）， 答：完成这块空地的绿化改造共需要10200元． 32．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处． (1)求证：； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：） 【答案】(1) 证明：在中，，，， ，， ， ， ； (2)路线更长 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判定即可； （2）根据勾股定理可求的长度，比较和即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， 由勾股定理，得， ， ． ， 路线更长． 33．（25-26八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．    问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形； (2)池塘两端，之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：是直角三角形，点，，在同一直线上， ， ， 即池塘两端，之间的距离为． 34．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不安全，理由见解析 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 35．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 【经典例题六 勾股定理的应用综合应用】 36．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 37．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 38．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 39．（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 40．（25-26八年级上·山东青岛·期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【答案】(1)20 (2)等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的运用； （1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可； （2）证明即可判断为等腰直角三角形． 【详解】（1）设，则， ∵于A，于B，已知， ∴，， ∵C、D两村庄到市场E的距离相等， ∴， ∴， 解得，即 ∴市场应建在距千米处； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 41．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)如图，    80米 (2)超速，理由： 在中，， 由勾股定理得 ，    该车经过区间用时 ∴该车的速度为   该车超速． 【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）过点A作，交l于点D． ，        在中，， 由勾股定理得 ，     新路长度是80米． （2）略 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． 42．（24-25八年级下·广西百色·期中）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取） (1)如图，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图．请在图中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是________；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________；表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径与圆柱的高度的数量关系． 【答案】(1)蚂蚁的爬行路径如图，，Ⅱ； (2)，；，； (3)圆柱半径与圆柱的高度的数量关系为． 【分析】本题考查了最短路径，勾股定理，解题的关键是找出两种路径对应路程的表达式． （1）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算路径Ⅱ对应的路程，与路径Ⅰ对应的路程比较即可； （2）计算展开图中线段的长度，用勾股定理计算可得的值，与进行比较即可得表示的大小关系，由圆柱高与底面直径相加可得的值，与进行比较即可得表示的大小关系； （3）用圆柱的半径和高分别表示出两种路径对应路程，列方程，化简整理即可． 【详解】（1）解：如图，线段为蚂蚁爬行的路径Ⅱ， ∵图中，圆柱体的高，底面直径， ∴图中，， ∴， ∵， ∴该蚂蚁爬行的最短路程应是路径Ⅱ， 故答案为：，Ⅱ． （2）解：， ∵， ∴表格中表示的大小关系是， ， ∵， ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，；，． （3）解：∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅰ的路程为，蚂蚁在圆柱表面爬行路径Ⅱ的路程为， ∵蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等， ∴， ∴， ∴， 答：圆柱半径与圆柱的高度的数量关系为． 【经典例题七 蚂蚁爬行—最短路径问题】 43．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 【答案】分米 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，管道底面展开得到的长方形的长等于管道底面周长，求出长方形的长和宽，根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 则长为（分米）；宽为8分米， 因此最短路径为（分米）， 答：需要走的最短路程为分米． 44．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段检测）如图所示， 一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为，假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用多少秒？ （结果保留一位小数） 【答案】最少要用秒 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得， ∵ ∴最短路径长为， ∴用时最少为秒． 45．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）一只蚂蚁沿图①中立方体的表面从顶点A爬到顶点B，图②是图①立方体的表面展开图，设立方体的棱长为1． (1)在图②中标出点B的位置． (2)求蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）图①中点与点的位置，在图②中标出即可； （2）在根据利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：连接， 立方体的棱长为1， ，， ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是利用“化曲面为平面”来解决“怎样爬行最近”这类的问题． 46．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）    (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 【答案】(1)方案2爬行距离更近 (2)方案1爬行距离更近 (3)，两种方式的爬行距离同样远 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）方案1：爬行距离，方案：爬行距离=， ∴方案爬行距离更近； （2）方案1：爬行距离，方案2：爬行距离， ∴方案爬行距离更近； （3）根据题意得， 解得： ∴，两种方式的爬行距离同样远． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 47．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2)见解析 (3) 【分析】（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）利用等面积建立等式进行解答； （3）把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）解：若选图1，则由图形可知：， 整理得：； 选择图2，则由图形可知：． 整理，得； 若选图3，则由图形可知：， 整理得：． （3）解：把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出． 当展开图形为①：当展开图为②：当展开图为③： ①② ③ ∵， ∴蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键． 48．（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了勾股定理的应用等知识． （1）画出圆柱侧面展开图，求出，，根据勾股定理即可求出； （2）由题意得，米，求出米，根据勾股定理求出米， 米．问题得解． 【详解】（1）解：将圆柱侧面展开，如图所示，连接． ∵圆柱的底面半径为， ∴， ∵点为中点， ∴． 在中，． 故答案为： （2）解：如图， 由题意得， 在中，米， 当风筝沿方向再上升4米时，米， 在中，米， 米． 故答案为：2 49．（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【分析】由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； 把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，由【归纳总结】可得出最短路程为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质） ∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系）， ∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，    ∴． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵， ∴， ∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为， ∴， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． 故答案为：17． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，勾股定理．理解题意，掌握轴对称的性质是解题关键． 【经典例题八 勾股定理中的旋转问题】 50．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，点在上，将绕点顺时针方向旋转90°后，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1）90°；（2） 【分析】（1）由BA＝BC、∠ABC＝90°，可得出∠A＝∠ACB＝45°，根据旋转的性质可得出∠BCE＝∠A＝45°，再由∠DCE＝∠ACB＋∠BCE即可求出∠DCE的度数； （2）根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长度，由CD＝3AD可得出AD、CD的长度，进而可得出CE的长度，再在Rt△DCE中利用勾股定理即可求出DE的长． 【详解】解：（1）在中，， ． 由旋转的性质可知． ． （2），， ， ， ，， 由旋转的性质可知：， 在中，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据等腰直角三角形的性质结合旋转的性质，找出∠ACB和∠BCE的度数；（2）在Rt△DCE中，利用勾股定理求出DE的长度． 51．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，D是边上的一点，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，分别连接． (1)求证：； (2)当，时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明后推论出的角然后直接求解即可． （2）由（1）中通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转可知：，，    ∵，， ∴，， ∴， ∴，     ∴， ∴ ，    ∴． （2）； 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴在中，． 【点睛】此题考查手拉手旋转全等和勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 52．（25-26八年级上·湖北十堰·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． (1)如图①，若的顶点A在的斜边上，请直接写出的数量关系_______； (2)将绕点C旋转到如图②所示位置，点B在线段上，连，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出正确结论并说明理由． (3)在绕点C旋转过程中，当A、E、B三点共线时，若，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)不成立，，证明见解析； (3)12或3 【分析】（1）连接BD，利用等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD（SAS），推出AE=BD，，得到，由，BD=AE，即可推出； （2）连接BD，证明△ACE≌△BCD（SAS），推出AE=BD，，得到 ，根据，BD=AE，推出； （3）当点E在AB延长线上时，过点C作CF⊥AB于F，得到AF=CF=BF=3，勾股定理求出EF，即可得到AE，利用面积公式计算即可；当点E在BA延长线上时，过点C作CH⊥AB于H，得到AH=CH =3，勾股定理求出EH，求出AE，利用面积公式计算． 【详解】（1）解：连接BD， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD， ∴∠ECA=∠DCB， ∵， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，， ∴， ∴， ∵，BD=AE， ∴， 故答案为：； （2）解：不成立，． 理由：连接BD， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∠ACB+∠BCE=∠BCE+∠ECD， ∴∠ECA=∠DCB， ∵， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，， ∴， ∴， ∵，BD=AE， ∴； （3）解：如图：当点E在AB延长线上时，过点C作CF⊥AB于F， ∵， ∴AF=CF=BF=3， ∵， ∴， ∴AE=AF+EF=3+5=8， ∴的面积=； 如图：当点E在BA延长线上时，过点C作CH⊥AB于H， ∵， ∴AH=CH =3， ∵， ∴， ∴AE=EH-AH=5-3=2， ∴的面积=， 综上，的面积为12或3． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，，熟练掌握全等三角形的判定及性质，以及勾股定理的计算公式是解题的关键． 53．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）综合与实践：小明制作了2张如图①的纸片，其中四边形、均为正方形，他把其中的一张纸片沿对称轴把它剪开，然后把对称轴一侧的部分，沿翻折，再绕着的中点旋转，这样就形成了如图②的图形． (1)在图②中，请先判断与的数量关系，再说明理由． (2)图①图形的面积可以表示为______．图②图形的面积可以表示为______．从而得数学等式：______，化简证得定理______． (3)在图②中，，，连接，求图②中的长． 【答案】(1) 解：．理由： 如图①中， 四边形、均为正方形， ，， 如图②中， 绕着的中点旋转， ， ， ， ； (2)；；； (3) 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出； （2）分别求出图①和图②的面积，由两个图形的面积相等，即可得出结论； （3）过点作于，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）略 （2）由①得：， 由②得：， ， ． 故答案为：；；；； （3）过点作于， ，， ， 由正方形可得：，，，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了翻折的性质，中心对称的性质以及作图，勾股定理，正方形和等腰直角三角形的性质、勾股定理的证明；熟练掌握翻折和中心对称的性质是解决问题的关键． 54．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图1，在中，，，，．将绕点O依次旋转、和构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用图1证明勾股定理； (2)请利用图1说明，并说明等号成立的条件； (3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形中，，．若，则这个四边形的最大面积为__________． 【答案】(1) 因为边长为c的正方形面积为， 它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， 它的面积为， 所以； (2) ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，等号成立； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明和以及非负数的性质． （1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式； （2）利用非负数的性质证明即可； （3）设依题意得，的面积为，利用（2）结论求得当x，y取何值时，该三角形面积最大以及四边形最大面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， 依题意得， ∴的面积为， 由（2）的结论知， ∴， ∴， 当且仅当时，四边形的面积最大，最大面积是． 故答案为：． 55．（24-25八年级下·江苏·期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）正方形、长方形； （2）解：答案如图所示． （3）证明：连接EC， ∵△ABC≌△DBE， ∴AC=DE，BC=BE， ∵∠CBE=60°， ∴△CBE为等边三角形， ∴EC=BC，∠BCE=60°， ∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， ∴DC2+EC2=DE2， ∴DC2+BC2=AC2． 即四边形ABCD是勾股四边形． ． 【分析】（1）直接利用勾股四边形的定义得出答案； （2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个，分别得出答案； （3）连接CE，证明△BCE是等边三角形，△DCE是直角三角形，继而可证明四边形ABCD是勾股四边形； 【详解】（1）解：正方形、长方形，理由如下： 如图： 正方形ABCD中，由勾股定理有：； 长方形DEFG中，由勾股定理有：； 都满足勾股四边形的定义，因此都是勾股四边形． （2）略 （3）略 【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解并运用新定义“勾股四边形”、“勾股边”，正确寻找全等三角形解决问题． 56．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 【答案】（1）该水利部门至少需要布设个监控器；（2）该水利部门至少需要布设个监控器；项目方案3：； 反思提升：我认为方案二是最优化方案，原因是监控器监测范围的距离最大，则水利部门布设监控器个数少． 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）勾股定理求得的长，进而根据河流长度除以的长得出监控器的个数，即可求解； （2）过点作于点，依题意，进而勾股定理求得，设，则，在，中，勾股定理求得，同（1）求得监控器的个数； 项目方案3：根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； 反思提升：结合三个方案，得出监控器布置少的方案，即可求解． 【详解】解：（1）在中， ∴， ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； （2）解：如图所示，过点作于点，依题意， 在中， ， ∴， 设，则， 在中，， 在中， ∴ 解得：， ∴， 在中，， ∵监控器有效监测距离， ∴符合题意， ∴ ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； 项目方案3： ∵，且， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作于点， ∴ 即监控器监测范围的距离为 反思提升： 略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、勾股树（数）问题 1 题型二、勾股定理的证明问题 2 题型三、勾股定理的折叠问题 3 题型四、以弦图为背景的计算题 4 题型五、勾股定理逆定理综合应用 5 题型六、勾股定理的应用综合应用 6 题型七、蚂蚁爬行—最短路径问题 7 题型八、勾股定理中的旋转问题 8 【经典例题一 勾股树（数）问题】 1．（2026·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数． (1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值． (2)当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由． 2．（25-26八年级下·广西河池·期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． 若两直角边为，斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______； (2)当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）； (4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______． 4．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾时，股，弦；当勾时，股，弦； 请根据发现的规律写出7，24，25股和弦的算式． (2)请你根据（1）发现的规律用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦_______，猜想他们之间的相等关系，并对你的猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦． 5．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格： n 2 3 4 5 6 .... a 4 6 8 10 12 ..... b 3 8 15 24 35 ..... c 5 10 17 26 37 ...... 请回答下列问题： （1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明． 6．（2026·浙江·模拟预测）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 7．（2026·浙江温州·模拟预测）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形． （1）试画出2次操作后的图形． （2）如果原来直角三角形斜边长为，写出2次操作后的图形中所有正方形的面积和． （3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？ （4）图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？ 【经典例题二 勾股定理的证明问题】 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 9．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较长的直角边长都为，较短的直角边长都为，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． (1)图为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理； (2)如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 12．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）项目研究 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究． 素材 如图1，在中，，以直角三角形的三条边为边分别向外作正方形，边，边，边的长分别用来表示． 解决问题 任务一 （1）为了计算图2中正方形的面积，对这个正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形，请用图2验证勾股定理． 任务二 （2）为了计算图3中正方形的面积，对这个正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形，请用图3验证勾股定理． 任务三 （3）对图4中正方形适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形及正方形．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含的代数式表示）． 13．（25-26八年级上·吉林长春·期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理． 【方法运用】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米． 【应用拓展】 （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______． 14．（25-26八年级上·福建漳州·期中）运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．黄老师在讲授勾股定理的证明时，让同学们准备两个全等的直角三角形纸片，通过动手操作探究勾股定理的证明方法： 方案 勾股定理的证明方法探究 任务与思路 总统证法 美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明． （1）根据阅读内容，图中梯形的面积用两种方法表示分别为______和______． （2）根据（1）中的结果，写出证明过程． 常春证法 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点落在上，点与点重合，斜边与斜边交于点，连接，． 由全等的性质可得：，，，由可得； 利用得， 化简得． 拓展 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点、都落在上，斜边与斜边交于点，连接，，． （3）同上，易得，请用等面积法利用左图证明勾股定理． 【经典例题三 勾股定理的折叠问题】 15．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 16．（25-26八年级上·辽宁丹东·阶段检测）小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边折叠了一下，恰好使落在斜边上，且C点与E点重合，（如图）小宇经过测量得知两直角边，，他想用所学知识求出的长．    (1)求的长． (2)求的长． (3)求出的长． 17．（25-26八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 18．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）长方形中，，． (1)求的长； (2)将对折，使得点与点重合，折痕交于点，求的长． 19．（25-26八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知直线为长方形的对称轴，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在对称轴上．    (1)如图，当点在边上时， ①填空：点到边的距离是；直接写出结果 ②求的长． (2)当点在边的延长线上时，友情提醒：可在备用图上画图分析 ①填空：点到边的距离是；直接写出结果 ②填空：此时的长为_______．(直接写出结果) 21．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为． (1)若，求的值． (2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？ 【经典例题四 以弦图为背景的计算题】 22．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 23．（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 24．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 25．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想    ②数形结合思想    ③分类讨论思想 26．（25-26八年级上·广东佛山·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理． ②勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理，图1与图2都是由四个全等的直角三角形构成，图3是由两个全等的直角三角形构成（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） (2)如图4，以直角三角形的三边为直径向外部作半圆，请写出、和的数量关系：___________． 27．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）【教材变式】 【阅读】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于边长的平方，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 【操作】爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程； 【应用】如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值； 【拓展】如图4，将图1中的这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，直接写出该飞镖状图案的面积． 28．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简使得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，是边上的高，，求的值． 【经典例题五 勾股定理逆定理综合应用】 29．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 30．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M 到喷泉A的距离； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 31．（25-26八年级上·云南昭通·期中）为了响应“绿色社区，美化家园”的号召，某小区计划对一块四边形空地进行绿化改造，补种草坪．如图，经测量米，米，米，米．若该小区补种草坪的综合单价为50元/米（包含人工、材料等费用），求完成这块空地的绿化改造共需要多少元？ 32．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处． (1)求证：； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：） 33．（25-26八年级下·吉林松原·期末）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端，间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．    问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端，之间的距离． 34．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 35．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【经典例题六 勾股定理的应用综合应用】 36．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 37．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 38．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 39．（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 40．（25-26八年级上·山东青岛·期中） “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 41．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 42．（24-25八年级下·广西百色·期中）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取） (1)如图，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物．若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图．请在图中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是________；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径________（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度．路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________；表格中的值是________，表格中表示的大小关系是________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径与圆柱的高度的数量关系． 【经典例题七 蚂蚁爬行—最短路径问题】 43．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 44．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段检测）如图所示， 一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为，假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用多少秒？ （结果保留一位小数） 45．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）一只蚂蚁沿图①中立方体的表面从顶点A爬到顶点B，图②是图①立方体的表面展开图，设立方体的棱长为1． (1)在图②中标出点B的位置． (2)求蚂蚁从点A到点B爬行的最短路径长． 46．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）    (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 47．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答： (1)用语言叙述勾股定理； (2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由） 48．（25-26八年级上·吉林长春·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图1，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是___________； (2)应用二：解决实际问题． 小明在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图2勘测，得到如下记录： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③小明牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米，如果小明想让风筝沿方向再上升4米，和的长度不变（理想状态下）．则他应该再放出___________米线． 49．（25-26八年级上·山西晋中·阶段检测）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【经典例题八 勾股定理中的旋转问题】 50．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，点在上，将绕点顺时针方向旋转90°后，得到． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 51．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，D是边上的一点，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，分别连接． (1)求证：； (2)当，时，直接写出的长． 52．（25-26八年级上·湖北十堰·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． (1)如图①，若的顶点A在的斜边上，请直接写出的数量关系_______； (2)将绕点C旋转到如图②所示位置，点B在线段上，连，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出正确结论并说明理由． (3)在绕点C旋转过程中，当A、E、B三点共线时，若，请直接写出的面积． 53．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）综合与实践：小明制作了2张如图①的纸片，其中四边形、均为正方形，他把其中的一张纸片沿对称轴把它剪开，然后把对称轴一侧的部分，沿翻折，再绕着的中点旋转，这样就形成了如图②的图形． (1)在图②中，请先判断与的数量关系，再说明理由． (2)图①图形的面积可以表示为______．图②图形的面积可以表示为______．从而得数学等式：______，化简证得定理______． (3)在图②中，，，连接，求图②中的长． 54．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图1，在中，，，，．将绕点O依次旋转、和构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用图1证明勾股定理； (2)请利用图1说明，并说明等号成立的条件； (3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形中，，．若，则这个四边形的最大面积为__________． 55．（24-25八年级下·江苏·期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）； （2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB； （3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 56．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 学科网（北京）股份有限公司 $