阶段检测2 勾股定理的应用（1.3～1.4）第二周周末作业 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，融合古代数学文化（秦九韶沙田问题、赵爽弦图）与现实情境（风筝测量、救火飞机洒水），梯度设计适配八年级周测，强化数学眼光与应用思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、逆定理、最短路径（圆柱爬行）|基础判断与空间想象结合，如第5题圆柱展开应用| |填空题|5/15|折叠问题、梯子下滑、赵爽弦图|文化素材与几何变换融合，如第15题弦图面积计算| |解答题|5/75|网格直角三角形证明、小区绿化测量、风筝高度计算|现实问题建模，如第20题风筝上升路径的勾股定理应用，体现数学语言表达|

阶段检测2 勾股定理的应用（1.3~1.4） 2026-2027学年北师大版数学八年级上册第二周周末作业 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13 2．的三边长分别为a，b，c，当满足下列条件时，是直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 4．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 5．如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 6．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知x，y为正数，且，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　） A．10 B．100 C．14 D．196 8．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜十三里，中斜十四里，大斜十五里．里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，里，里，里，则的面积是（    ） A．76平方里 B．84平方里 C．88平方里 D．94平方里 9．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，①；②；③；④．则下列结论正确的有（  ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．在中，a，b，c为其三边长，，，，则是_________． 12．如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米． 13．如图，中，，，，将沿折叠，使落在斜边上且与重合，则______．    14．如图，一架梯子长10米底端离墙的距离为6米，当梯子下滑到时，米，则__________米    15．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5，较短直角边长为3，则图中小正方形（空白区域）的面积为_______． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．如图，正方形网格中每个小正方形方格的边长都为1，且点A，，均为格点．求证：是直角三角形． 17．如图，在中，，，，沿折叠，使点C落在边上的点E处．    (1)_____ (2)求线段的长． 18．某小区在创文工作中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，通过测量得到，，，，．    (1)求、两点之间的距离； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 19．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)着火点C受洒水影响吗？为什么？ (2)若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 20．风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； (2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A C C B B B B 1．D 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，，不是正整数，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边长满足最长边的平方等于另两边平方和，则该三角形为直角三角形．据此逐项判断即可． 【详解】A、三边为3、4、5，最长边为5 ，，，，，即，故是直角三角形； B、三边为5、12、14，最长边为14，，，，，，即， 不是直角三角形； C、三边为3、3、5，最长边为5，，，，，即， 不是直角三角形； D、三边为6、8、7，最长边为8， ，，，，，即，不是直角三角形； 故选：A． 3．A 【分析】设旗杆高度为米，根据题意表示出绳子的长度，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵绳子垂直落地后还剩2米， ∴绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为8米． 4．A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 5．C 【分析】画出圆柱侧面展开图，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程，求出的长，根据勾股定理即可求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，长方形为圆柱的侧面展开图，B为边中点，根据“两点之间，线段最短”可知，线段的长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程． 由题意得， 在中，根据勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是15． 6．C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 7．B 【分析】由绝对值和偶次方的非负性质解出、的值，再由勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为正方形的面积． 【详解】解：，为正数，且， ，， ，， 以，的长为直角边作一个直角三角形的斜边长为， 以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、绝对值和偶次方的非负性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．B 【分析】过点作交于点，根据勾股定理列方程求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， 设里，则里， ∵， ∴， 解得， ∴里， ∴平方里． 9．B 【分析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 10．B 【分析】根据矩形的性质得出，根据折叠得出，，根据勾股定理求出，再逐个判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质得出 由折叠的性质得，，， ∴，故①正确； 由折叠的性质得，，， ∴ 在中，，设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴， 同理在中，，， 由得， ∴， ∴， ∴与不相似，故②不正确； ∵，， ∴，即，故③正确； ∵，，， ∴，故④正确． 正确的有①③④． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 11．直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 12．15 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米，米， 设米，则米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴米， 在中，可有， 即， 解得， ∴米， 即这棵树高15米． 故答案为：15． 13．3 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由图形翻折变换的性质得出，设，则，，在中，根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：中，，，， ． 由翻折而成， ，， ． 设，则，， 在中， ，即， 解得． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 14．2 【分析】在中，根据勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理，可得：（米）， ∵， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 15．1 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出较长的直角边的边长，从而得出空白小正方形的边长，即可得解． 【详解】解：由勾股定理可得：较长的直角边的边长为：， ∴空白小正方形的边长为， ∴空白小正方形的面积为， 故答案为：． 16． 证明：由图可得，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理逆定理，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 【详解】略 17．(1)16 (2)． 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理． （1）直接利用勾股定理即可求解； （2）由折叠的性质可得，利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，∴， 故答案为：16； （2）解：∵将沿折叠， ∴， 设， 则， 即， 解得，即． 18．(1) (2)17100元 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． （1）直接利用勾股定理得出； （2）利用勾股定理逆定理得出，再利用直角三角形面积求法得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 19．(1) 着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴着火点C受洒水影响； (2) 能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案； （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中，米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为米． （2）解：米， 由题意可得：米， 在中，米， 米， 答：他应该朝射线方向前进4米． 答案第8页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $